正余弦定理习题课(1)
天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 正弦定理与余弦定理习题课课件 新人教A版必修5
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习题课
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正 弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理 求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用 正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角 和定理，求出第三个角． 要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件 中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无 法求解．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
习题课
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1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一 定是 A．等腰直角三角形 ( C ) B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形 解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
1 ah (1)S＝ 2 a
(ha 表示 a 边上的高)； 1 1 1 acsin B bcsin A (2)S＝ absin C＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)． 2
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
题型一
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利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2
小结 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键
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是化去向量的· 题型解法、解题更高效
习题课
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跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、 3 2 b、c，已知 b ＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求 ＋ 的值； tan A tan C → → 3 (2)设BA· BC＝ ，求 a＋c 的值． 2 3 解 (1)由 cos B＝ ， 4
正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)
一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
课前探究学习
课堂讲练互动
续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
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三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
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【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
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解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
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方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
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中职数学教案：正弦定理、余弦定理(全4课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2备课纸课时总编号：
备课组别数学
上课
日期
第课时课型
主备
教师
课
题：
§15.4正弦定理、余弦定理(第1课时)
教学目标1.了解正弦定理在生活中的实用性；
2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解决实际问题；
3.掌握由正弦定理推导的三角形面积公式及运用。
重点正弦定理
难点应用正弦定理解决实际问题
教法讲练结合
教学
设备
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程个案补充
教学内容【课前导学】
1.在我国古代有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的？
【设计意图】：
让学生了解与正弦定理有关的问题，提高学习兴趣。
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高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料
高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
正弦定理余弦定理 导学案答案
日照一中2019级数学导学案班级： 姓名: 使用日期：2020年3月6 日知识梳理1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A ＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形常用面积公式目 录 学案序号 课 题习题课课 型新授课课 时 第 1 课时 编写人 丁明谦 审核人 张念胜 学科联系人签字 孙正吉学法指导运用正弦定理余弦定理解决两类基本的解三角形问题课标要求(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用余弦定理知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题素养达成培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过正弦定理余弦定理等知识间的练习，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C.4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则ABAC ＝BD DC.一．自学探究1、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. ()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．()2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C. 3D. 23．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有() A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定4．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为二．典例讲解考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asin A＝bsin B＝csin C，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asin A＝bsin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asin A＝csin C可求出c，而通过asin A＝bsin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．例1 (1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4 D．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B －sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.练习1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝.2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝72，则BC＝9考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．例2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．例3设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[母题探究]1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC的形状．2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．三【课堂小结】1、本节课学了哪些知识内容？2、本节课用了哪些方法思想？四、【课堂达标】1．在△ABC中，a＝3，A＝120°，b＝1，则角B的大小为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－553．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．(2019年山西运城模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π65．已知△ABC 中，b 2＋c 2＞a 2且角A 为三个内角中的最大角，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫2π3，πB ．⎝⎛⎭⎫π2，2π3 C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫π4，π36．(2019年广西梧州校级月考)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A．5.1 km B．5.6 kmC．6.1 km D．6.6 km7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝3，则三角形外接圆的半径为()A． 3 B．2C．2 3 D．48．如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．239．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且c (a cos B －b cos A )＝b 2，则sin Asin B＝________.10．已知△ABC 的周长为2＋1且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C ＝________.11．(2019年湖北武汉模拟)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，则该救援船到达D点需要________小时．12．(2017年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2 B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .12. 【解析】(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ． 又8sin 2B2＝8×1－cos B 2＝4(1－cos B )， ∴sin B ＝4(1－cos B )，两边平方，整理，得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ＝2，则ac ＝172.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4，∴b ＝2.13．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DA ＝DC ，已知B ＝π4，BC ＝1.(1)若△ABC 是锐角三角形，DC ＝63，求角A 的大小； (2)若△BCD 的面积为16，求边AB 的长．13. 【解析】(1)在△BCD 中，B ＝π4，BC ＝1，DC ＝63，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin B ，解得sin ∠BDC ＝1×2263＝32，则∠BDC ＝π3或2π3.若∠BDC ＝π3，则∠BCD ＝π－π3－π4＝5π12，由DA ＝DC 可得∠A ＝∠ACD ＝π6，此时∠ACB＝5π12＋π6 ＝7π12，与△ABC 是锐角三角形矛盾，不合题意；若∠BDC ＝2π3，则∠BCD ＝π－2π3－π4＝π12，由DA＝DC可得∠A＝∠ACD＝π3，此时∠ACB＝π12＋π3＝5π12，满足题意．综上所述，A＝π3.(2)由于B＝π4，BC＝1，△BCD的面积为16，得12·BC·BD·sinπ4＝16，解得BD＝23.由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos π4＝1＋29－2×23×22＝59，解得CD＝5 3，则AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝5＋2 3，∴边AB的长为5＋2 3.参考答案1.A2.D 3C. 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.2 10. 60°11.1。
正弦定理和余弦定理
2 2 ∵ sinC＝ 1－ cos C＝ ， a＝ 3 2，∴ b＝ 2 3. 3
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
4．△ ABC 中，已知 b＝ 2 2，c＝ 2 6，C＝ 60° ，则 A＝ ________.
人 教 B 版 数 学
[答案]
90°
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
又由 b>a，知 B>A， ∴ 30° <B<180° ，∴ B＝ 90° . ∴ C＝ 180° －(A＋ B)＝ 180° － (30° ＋90° )＝60° . ∴ c＝ b2－ a2＝ 162－ 82＝ 8 3.
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
在△ ABC 中，a＝ λ，b＝ 3λ，∠ A＝ 45° ，则满足此 条件的三角形个数是( A． 0 C． 2 ) B． 1 D．无数个
解三角形
正弦定理的综合应用
[例 2] 在△ABC 中，已知∠ B＝ 60° ， tanAtanC＝ 2 ＋ 3，又知顶点 C 的对边 c 上的高为 4 3，求三角形三边 的长． [分析 ] 由已知件不难求出 tanA 和 tanC，从而求出 4 3 4 3 ∠ A 和∠ C，然后根据边 c＝ ＋ 进而问题得解． tanA tanB
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
一、选择题 1．在△ABC 中，a＝ 80，b＝ 100，A＝ 45° ，则此三 角形解的情况是( A．一解 C．一解或两解 ) B．两解 D．无解
余弦定理习题及练习
❖ 2．余弦定理的应用
❖ 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形 的问题：
❖ 1已知三边,求三个角； ❖ 2已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进
而求出其他角．
❖ 解：由于a＋b＋cb＋c－a＝3bc,
❖ 所以a2＝b2＋c2－bc,
❖ 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA,
❖ 又∵sinA＝sinB＋C ❖ ＝sinBcosC＋cosBsinC且 ❖ sinA＝2sinBcosC, ❖ ∴sinBcosC＝cosBsinC, ❖ 即sinB－C＝0,∴B＝C, ❖ 又B＋C＝120°,∴B＝C＝60°. ❖ 故△ABC为等边三角形．
❖ 例 3 在 △ ABC 中 , 若 b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC,试判断三角形的形状．
❖ 分析 由题目可获取以下主要信息：
❖ ① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
❖ ②确定三角形的形状．
❖ 解答本题先由正弦定理将边转化为角,然后 由三角恒等式进行化简,得出结论；也可先 由余弦定理及同角三角函数关系转化成边 之间的关系,然后由边的关系确定三角形形 状．
❖ 例4 在△ABC中,C＝2A,a＋c＝10,cosA ＝ ,求b.
❖ 点评 1本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c,再利 用余弦定理求出b的值,通过正、余弦定理的完美结合求得 结果．
❖ 2正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解 三角形,必须已知三角形的一边的长,对于两个定理,根据实 际情况可以选择地运用,也可以综合地运用,要注意以下关 系式的运用：
高中数学必修二课件：余弦定理、正弦定理习题课
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
2．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝
(A ) A．1
B．2
C．3
D．4
13 ，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝
解析 设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝ 13 ， ∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝12，所以C＝π3 .
(2)由已知，得12absin
C＝3
2
3 .
π 又C＝ 3 ，所以ab＝6.
由已知及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解析 (1)因为cos A＝35，A∈(0，π)，所以sin A＝45. 又由A→B·A→C＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5. 因此S△ABC＝12bcsin A＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6， 所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，所以a＝2 5.
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( A )
A．－14
1 B.4
C．－23
＝ac，c＝2a，则cos B＝____4____．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A＝
3 5
，
A→B·A→C＝3.
方法二：因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
正弦定理与余弦定理各地高考练习题
一、选择题1.已知在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为1_ 1 2 2A.- 4B. 4C.- 3D. _>2.在△ ABC中，a=入b=，隹入,A=45° ,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ ABC中，bcosA=acosB,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1（x>1）,则最大角为A.150 °B.120°C.60°D.75°5.在4ABC中，出=1 , BC=2,（须+切）・（项+加）=5+2、5则边|4C|等于A-5 …而杼苕+增A. B .5-2 C. D.6.在△ ABC中，已知B=30° ,b=50，》，c=150,那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ ABC 中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是 A.RtA B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ ABC 中，a=10,B=60° ,C=45° ,贝U c=A.10+ 万B.10（Q-1）C.（而+1）D.10万10.在4ABC中，bsinAvav b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7 x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2 L~C.16D.412.在4ABC 中，a2=b2+c2+bc,则A 等于A.60 °B.45°C.120D.30°= 7c=-13.在△ ABC中， 2 4，则△ ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ ABC 中，a=2, A=30° ,C=45° ,则^ ABC 的面积S”BC等于18. 4ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ ABC 为19. 4ABC 中,A=60° ,b=1,这个三角形的面积为 』’3 ,则^AB C 外接圆的直径为15.已知三角形ABC 的三边A.cos 2BB.1-cos 2B16 .在△ ABC 中, A.充分不必要条件条件17 .在△ ABC 中, A.直角三角形C. + +11D ； ( +1)a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C,则 sinAsinC 等C.1+cos 2BD.1+sin 2BsinA > sinB 是 A > B 的 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要bCosA=acosB,贝U 三角形为 B.锐角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形26^3A.yB. 2届岳C.二D.-20.在△ ABC 中, ——k:C ，则k 为A.2RB.RC.4R-RD. 2(R 为△ ABC 外接圆半径)二、填空题1.在△ ABC 中, A=60° , C=45° , b=2,则此三角形的最小边长为2.在△ ABC 中, dbc口‘十/十白’3 .在△ ABC 中,a ： b ：c=(0+1):痴:2,则^ ABC 的最小角的度数为 4 .在△ ABC 中，已知 sinA : sinB : sinC=6 ： 5 ： 4,贝U secA=5 . 4ABC 中，匕1ns 2m 方，则三角形为6 .在△ ABC 中，角 A 、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ ABC 是7 .在△ ABC 中，若此三角形有一解，则 a 、b 、A 满足的条件为8 .已知在△ ABC 中，a=10,b=5v6,A=45° JU B= 9 .已知△ ABC 中，a=181,b=209,A=121° 14'，此三角形解.10.在△ ABC 中,a=1,b=1,C=120° 贝U c=.11.在△ ABC 中，若a2>b2+c2,则△ ABC 为；若a2=b2+c2,则△ ABC 为;若a2 v b2+c2且b2v a2+c2且c2< a2+b2,则^ ABC 为.12.在△ ABC 中，sinA=2cosBsinC,则三角形为.sn C 2 yr 外—=—6 +1)13.在△ ABC 中，BC=3, AB=2,且41 8 5 , A=.14.在△ ABC 中，B= V3,C=3,B=30° ,贝(J A=.15.在△ ABC 中，a+b=12,A=60° , B=45° ,贝U a=,b=.16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ ABC 中，化简bcosC+ccosB=.18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题1.已知在^ ABC 中，c=10, A=45° , C=30° ,求a、b 和B.2.已知△ ABC的三边长a=3, b=4, c= 437 ,求三角形的最大内角.3.已知在△ ABC中，/ A=45° , a=2, c=^ ,解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a, DC=2a,四个角A、B、C、D度数的比为3 ： 7 ： 4 ： 10,求AB.5.在△ ABC中，A最大，C最小，且A=2C, A+C=2B,求此三角形三边之比.7.在△ ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2, OA=2, B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ ABC 中，若sinA : sinB : sinC=m : n ： l,且a+b+c=S,求a.10.根据所给条件，判断△ ABC的形状(1) acosA=bcosB值_ b _ 白oosA. 8s R oosC(2)11.△ABC中，a+b=10,而cosC是方程2x2—3x— 2=0的一个根，求^ ABC周长的最小值.12.在△ ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A—C= 3 ,求sinB的值.13.已知△ ABC 中，a=1,b= J^,A=30°，求B、C 和c.14.在△ ABC中，c=242, tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S AABC=10，》,一个角为60° ,这个角的两边之比为5 : 2,求三角形内切圆的半径.* ”------ - 二二口，且7cosm =bcosA16.已知△ ABC中，a-\-b-c，试判断^ ABC的形状.l7tanC=-217.已知△ ABC的面积为1, tanB=2 ，求4ABC的各边长.18.求值：an cos2 800+ j5an20o<xK80c19.已知△ ABC勺面积S=底口 = = 2解此三角形.20.在△ ABC 中，a="G,b=2,c=^^+1 ,求A、B、C 及&.21.已知(a2+bc) x2+2 V* * + 1=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是4ABC的三边，⑴若/ A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求/ A的度数.22.在4ABC 中，(a2+b2) sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ ABC 的形状.元23.在△ ABC中，u = 2J"，a>b,C= 4 ,且有tanA • tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c二+ A = 7/ < 3(1)若方程组国+D有实数解，求k的值.向-7^ ，, N T 2 (2)对于(1)中的k值，若“且有关系式- 上，试求A、B、C的度数.试题本一地区：四川文科卷年份：2012分值：5.0 难度：31. 如图，正方形&C0的边长为1 ,延长至1T ,使= l ,连接因.即snZ.<^D=()4.在△山C 中，角凡及U 对应的边分别是 值力£.已知他门乂-3期（8+0-1 . （I ）求角X 的大小；（n ）若 MBC 的面积& =5邛，匕=5 ,求sm £sinC 的值.地区：浙江理科卷 年份：2013 分值：4.0 难度：3血NBA 财'=—5. △ABC 中，IZC = 90。
1-1-3正、余弦定理习题课
第一章
1.1
第3课时
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3 3 3 故 sin B＝4，sinB＝ 2 或 sinB＝－ 2 (舍去)，
2
π 2π 于是 B＝3或 B＝ 3 . 2π 3 若 B＝ 3 ，则 cos(A－C)＝2－cosB＝2，这不可能，所以 B π ＝ . 3
第一章
1.1
第3课时
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
解三角形
第一章 解三角形
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第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
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第 3 课时 正、余弦定理习题课
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1.1
第3课时
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[解析]
(1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝0 及正弦定理得
sinAcosC＋ 3sinAsinC－sinB－sinC＝0. 因为 B＝π－A－C，所以 3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0， π 1 由于 sinC≠0，所以 sin(A－ )＝ . 6 2 π 又 0<A<π，故 A＝ . 3
利用两角和的公式，辅助角公式以及正弦余弦定理．本题是常 规题目，但紧扣考试说明，万变不离其“本”(教材).
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1.1
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命题方向
方程思想
[例 3]
在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，
课时作业21：习题课 正弦定理和余弦定理
习题课 正弦定理和余弦定理基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知：cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝b cos B， ∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4.解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sin C ＝BCsin A ， 于是AB ＝sin Csin A ·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255，于是sin A ＝55，由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝2cos 2A －1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36.又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( ) A.922 B.924 C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( )A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32.又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC→＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.(选做题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解 (1)△ABC 中，∵a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，利用正弦定理可得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 化简可得3sin A －cos A ＝1， ∴sin(A －30°)＝12， ∴A －30°＝30°，∴A ＝60°.(2)若a ＝2，△ABC 的面积为12bc ·sin A ＝34bc ＝3，∴bc ＝4 ①.再利用余弦定理可得a 2＝4＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3·4，∴b ＋c ＝4 ②.结合①②求得b ＝c ＝2.。
正、余弦定理在实际中的应用应用题
正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。
例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。
现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。
求塔的高度。
h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。
为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。
问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。
由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。
本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。
这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。
余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。
通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。
人教A版高中数学必修五 1-1-3习题课 教案 精品
正、余弦定理习题课一、教学目标：知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感、态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
二．重点难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、教材与学情分析本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类。
同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）课题导入师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.（二）推进新课思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况.师 分析：先由a A b B sin sin =可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而AC a c sin sin =. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．2.当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a ＞b sin A ，则有两解； （2）若a =b sin A ，则只有一解； （3）若a ＜b sin A ，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第10页）师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin A ＜a＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A 为直角或钝角（2）A 为锐角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知 a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
习题课 正弦定理与余弦定理
习题课 正弦定理与余弦定理双基达标 (限时20分钟)1．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶4∶30，则△ABC 是 ( )．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析 根据题意，由正弦定理可得，a ∶b ∶c ＝3∶4∶30，设a ＝3t ，b ＝4t ，c ＝30t ，t >0，由余弦定理可得cos C ＝3t 2＋16t 2－30t 283t 2<0，所以三角形ABC 是钝角三角形．故 选C.答案 C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( )．A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析 由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，即b 2＋ab －a 2＝0，∴b ＝a 2a ＋b .由a ＋b >a 知b <a .故选A.答案 A3．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为 ( )．A ．150°B ．30°C ．120°D ．60°解析 由正弦定理可得b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32. 故角B 为150°.答案 A4．在△ABC 中，A ＝120°，c ＝5，a ＝7，则b ＝________.解析 根据余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴72＝b 2＋52－2·b ·5cos 120°，∴b 2＋5b － 24＝0，∴b ＝3或b ＝－8(舍去)．答案 3 5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶19.则该三角形的最大内角为________． 解析 在△ABC 中，根据正弦定理及已知得a ∶b ∶c ＝2∶3∶19.设a ＝2x (x >0)，则b ＝3x ，c ＝19x .显然c >b >a ，∴C 是最大角．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(2x )2＋(3x )2－(19x )22×2x ×3x＝－12， ∴C ＝2π3答案 2π36．在△ABC 中，sin 2A ＋3sin A sin B ＝sin 2C －sin 2B ，求C .解 由正弦定理，设sin A a ＝sin B b ＝sin C c＝k (k ≠0)， 则sin A ＝ka ，sin B ＝kb ，sin C ＝kc .由已知得(ka )2＋3ka ·kb ＝(kc )2－(kb )2.所以a 2＋3ab ＝c 2－b 2.得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ba ＝－32.故C ＝150°. 综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )．A ．1B ．2 C.3－1 D. 3解析 如图所示，由正弦定理知asin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a＝ 1×323＝12.∵a >b ，∴B ＝30°，C ＝90°，c ＝2. 答案 B8．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 大小为 ( )．A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∴C ＝60°.答案 A9．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，p ＝sin B ＋cos B ，则p 的取值范围为________．解析 ∵b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝12，∴0<B ≤π3，∴p ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ∈(1，2]． 答案 (1，2]10．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦值等于32，则三边长为________． 解析 显然a >b >c ，∴A 最大．∴sin A ＝32，cos A ＝±12， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝±12，即b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝±12， b －8b －2＝±1，(只有取－1)，解之b ＝5.∴三边长为3,5,7. 答案 3,5,711．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A ·sin B ，求证：A ＋B ＝120°.证明 ∵(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A ·sin B ，∴由正弦定理得(a ＋b )2－c 2＝3ab ⇒a 2＋b 2－c 2＝ab ⇒a 2＋b 2－c 2ab ＝1.由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0°<C <180°， ∴C ＝60°，∴A ＋B ＝180°－C ＝180°－60°＝120°.12．(创新拓展)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数分别是多少？解 ∵sin A ∶sin B ＝2∶1，∴由正弦定理得a ∶b ＝2∶1，∴a ＝2b .根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋(b 2＋2bc )－(2b )22bc ＝22. ∴A ＝45°，∴sin A ＝22.∴sin B ＝sin A 2＝12. ∵sin A >sin B ，∴A >B ，∴B ＝30°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.即角A ，B ，C 的度数分别为45°，30°，105°.。
正弦定理和余弦定理习题课
判断这个三角形形状。
考点三 平面图形中的计算问题
B组第1题：已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2, BC=6,CD=AD=4,求四边形ABCD的面积。
B组第2题:已知ABC中，AB=4 3, AC 2 3, AD为BC边上的中线， 且BAD 300,求BC的边长。
变式：．已知△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，则此
三角形的最大内角为
(C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，
∴a∶b∶c＝1∶1∶ 3，易知 C 为最大内角，
设 a＝m，则 b＝m，c＝ 3m.
∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝m2＋2mm2－2 3m2＝－12， ∴C＝120°.
[解题技法]
平面图形中计算问题的解题关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问 题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余 弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各 个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求 出结果．
[熟记常用结论]
1．在斜△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 2．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B.
定理
3.正弦定理习题课1
授课时间： 课时序号：3
开始
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学习目标： 1.理解并掌握正弦定理 2.会用正弦定理去解三角形 3.正弦定理的适用范围及解决哪一类问题
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重点难点： 正弦定理的理解与应用 应用正弦定理解三角形
学点一 学点二 学点三 学点四
1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
c sin B 2 sin 30 2 sin C . b 2 2
∵c>b,0°<C<180°,∴C=45°或135°. 当C=45°时，A=105°,
b sin A 2 sin 105 a 3 1; sin B sin 30
当C=135°时，A=15°,
b sin A 2 sin 15 a 3 1. sin B sin 30
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学点四 正弦定理的综合应用 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=
( 3,1) ,n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC.
(1)求角B的大小;
7 (2)求函数f(x)=cos2x+4sinBsinx x 6 , 6
a b c 2 R解题. sin A sin B sin C
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（1）在△ABC中,a=5,b=3,C=120°,则sinA :sinB的值是 （A ） 5 3 3 5 A. B. C. D. 3 5 7 7 （2）已知△ABC外接圆半径是2 cm,A=60°,则BC边长 为 2 3 cm . a b 解 : (1) 由正弦定理得 , sin A sin B sin A a 5 . sin B b 3 即 sin A : sin B 5 : 3.故应选A. BC (2) 2 R, sin A BC 2 R sin A 4 sin 60 2 3 (cm). 返回目录
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（2）在 ABC 中，若
a cos A 2
b cos B 2
c cos C 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三角形
例2 在△ABC中,sinA:sinB:sinC=4:5:6, 求cosA:cosB:cosC. a b c A 2R 由 解： sin A sin B sin C 得 a:b:c=sinA:sinB:sinC =4:5:6 ， 可设 a=4k，b=5k，c=6k，k>0 ，
∵ A、B为△ABC的内角 ，∴ A=B .
又 (a b c )(a b c ) 3ab， 2 2 2 a b c 1 2 2 2 . 得 a b c ab， cos C 2 2ab
∴ C=60°， ∴ A=B=C=60°，
故△ABC为等边三角形 .
练习 1. 例7 、 在ABC中，已知4 sinB sinC 1， b 2 c 2 a 2 bc， 且 B C ，求 A、B、C . 2 2 2 1 bc b c a 解： 由余弦定理， cos A 2bc 2 2bc 0 A 180 ， A 60 . B C 120
4 sinB sinC 1 4 sinB sin( 120 B) 1 3 1 4 sinB( cosB Bsin B )120 1 sinB) 1 (sin120 cos cos 2 2
3 sin2B 2 sin2 B 1 3 sin2B cos2B
2 由条件 （sin A sin B） sin2 C 3 sin A sin B 解：
sin2 A sin2 B sin2 C sin A sin B 由正弦定理 a b c 2R sin A sin B sin C ( a )2 ( b )2 ( c )2 a b 2R 2R 2R 2R 2R
a2 b2 c2 ab
cos C a b c ab 1 2ab 2ab 2
2 2 2
C 60 .
课后作业
1.预习教材1.2应用举例 2.《新概念》学生用书1.1.3课堂练习 3.《新概念》课时作业1.1.3
SABC
1 1 1 bc sin A ca sin B ab sin C 2 2 2
（三角形面积公式）
例1.ABC中，c 2 7 , C 120 , SABC 2 3，求a, b.
例2.ABC中，若(c-a)(c+a)=b 2 +ab，求C.
a+b+c 例3.ABC中，A= ,a= 3 ,求 的值 . 3 sin A sin B sin C
例4.判断ABC的形状 (1)a sin A b sin B;(2)a cos A b cos B
例4.判断ABC的形状 (1)a sin A b sin B;(2)a cos A b cos B
总结：
三角形边角化简就是消元，通过“化边为角”、“化 角为边”达到统一为角或边的目的 A+B+C=180 a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C （1）化边为角： （2）化角为边：余弦定理推论， a b c sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
A
余弦定理
推论：
B
C
利用余弦定理,可解决“三边一角”问题
a b c sin A sin B sin C
BAຫໍສະໝຸດ chbC
a
1 1 1 S ABC a ha ac sinB ab sinC 2 2 2 1 1 同理可证：S ABC bc sin A ba sinC 2 2
1.1.2 正、余弦定理习题课（1）
A c B a C b
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
利用正弦定理，可以解决“两边两角”问题
b2 c 2 a2 cos A 2bc c 2 a2 b2 cos B 2ca a2 b2 c 2 cos C 2ab
(2b c)(2b c) 3b ， b c .
2
abc.
故△ABC为等边三角形 .
例4 在△ABC中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab， 且 2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状 .
∵ A+B+C=180°， ∴ sin(A+B)= sinC， 解 2： 又 2cosAsinB=sinC， ∴ 2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB . 即 sinAcosB – cosAsinB =0 ，∴ sin(A－B)= 0 .
C
C
c 2 R sin C
2 R sin(A B)
a cos B b cos A
2 R sin A cos B 2 R sin B cos A
A
B
同理可证： b a cosC c cos A , a b cosC c cos B ,
例4 在△ABC中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab， 且 2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状 . sinC 由已知得， 解： cos A 2 sinB b2 c 2 a 2 c ab. 即 2bc 2b 又 (a b c )(a b c ) 3ab，
O
1 cos A a 例5.在ABC中，若 , 判断三角形的形状 1 cos B b
3 2 例5.在ABC中， cos( A C ) cos B , b ac , 求B. 2
练习： 1. （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
B b2 c 2 a 2 由余弦定理有 cos A 2bc 25k 2 36k 2 16k 2 3 . 4 2 5k 6k 1 9 同理可得 cos B ，cosC ， 8 16 3 9 1 cos A : cos B : cosC : : 12 : 9 : 2 . 4 16 8
3 2 B 15 或 B B 30 或 2 B105 210 tan2 B 3 由于 B C 120 且 B C 60 B 120
B 105 ，C 180 ( A B) 15 .
2.在ABC中，若 （sinA sinB sinC） （sinA sinB sinC） 3 sinA sinB，求 C .