八年级数学上册2.7二次根式第3课时二次根式的混合运算练习(新版)北师大版(最新整理)
北师大版数学八年级上册2.7《二次根式》练习
2.7二次根式专题一 与二次根式有关的规律探究题1.将1按如图所示的方式排列.若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ）A.1B.2C. 2. 观察下列各式及其验证过程：322322=+===．====． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想1544+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证；（3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．3. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2, ∴a=m 2+2n 2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： +=（ ＋2；（3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4. 化简二次根式 ）A. - D. -5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-．答案：1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1的顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2.∴（4，2）与（21，2）表示的两数6=.2.解：（1====．（2=（a 为任意自然数，且2a ≥）．===（3）333311-=-+a a a a aa （a 为任意自然数，且2a ≥）．验证：===．a =a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：n n n n n nn n n n a a a a aa a a a a a a 111111-=-=-+-=-+++.3. 解：(1)223n m + 2mn (2)21 12 3 2(3) ∵223n m a +=,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数，∴m=1,n=2或m=2,n=1, ∴a=13或a=7.4.B 【解析】若二次根式有意义，则22a a +-≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式=-B ．5.解：由图知，a ＜0，b ＞0，∴a ﹣b ＜0， ∴222)(b a b a -+-=|a |﹣|b |+|a ﹣b |=（﹣a ）﹣b +（b ﹣a ）=﹣2a ．。
八年级数学上册2.7二次根式二次根式的混合运算同步练习2含解析新版北师大版
二次根式的混合运算一、选择题1.计算2-的结果是（ ）A.-7B. 7--C. 7--D. 6--2．下列计算正确的是( )．A ．b a b a b a -=-+2))(2(B ．1239)33(2=+=+C ．32)23(6+=+÷D ．641426412)232(2-=+-=-3．)32)(23(+-等于( )．A ．7B ．223366-+-C ．1D ．22336-+ 4．下列计算正确的是( )．A ．b a b a +=+2)(B ．ab b a =+C ．b a b a +=+22D ．a aa =⋅15.的结果是（ ）A. 6B.C.6D. 12 二、填空题6.若三角形的一边长为)3cm ，这条边上的高为，则此三角形的面积是 cm 2. 7．合并二次根式：(1)=-+)18(50________；(2)=+-ax xa x 45________． 8．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则=+7)3*7(_______．(2)设5=a ，且b 是a 的小数部分，则=-b a a ________． 三、解答题计算下列各题：9．).32841)(236215(-- 10．).3218)(8321(-+ 11．.)18212(2-12．.)21()21(20092008-+13．.)()(22b a b a --+14.对于任意实数a ，b,定义一种运算“&”如下:a&b = a(a -b) + b(a+b)，如3&2=3×(3-2) + 2×(3 + 2)= 13.15．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值．16．已知,732.13,414.12≈≈求)23(6-÷．(精确到0.01)17.阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务. 斐波那契(约1170〜1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数. 斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列的第nn n ⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦表示(其中，n≥1）这是用无理数表示有理数的一个范例.任务:请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.参考答案1.D解析原式()222653266=--+=---=--故选D.2．D．3．B．4．D．5.D(12===,故选D.6.6+,得))13362S=⨯⨯=+.7．(1);22 (2) .3ax-8．(1)3；(2).55--9．.3314218-10．⋅41711．.62484-12．.21-13．ab4(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．14.解:由a&b＝a(a-b)＋b(a＋b)得253==15．4．16．约7.70．17.解:第1个数:当n＝1时,n n⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦1.⎭第2个数:当n＝2时n n ⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦n n⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦+⎭⎝⎭1=＝1.。
2 7二次根式 同步练习 北师大版数学八年级上册
2.7二次根式 同步练习一、单选题1．若代数式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．x≤3C ．x ＞3D ．x≥3 2．点P 在数轴上运动，它所对应的数值为a ，如图，当点P 从点A 运动到点B ，则代数式4a + 的最大值为（ ）A ．5B ．a+1C ．7D ．a+43．若3，m ，5为三角形三边，化简： ﹣ 得（ ）A ．﹣10B ．﹣2m+6C ．﹣2m ﹣6D ．2m ﹣10 4．下列计算中，正确的是（ ）A ．2336(2)8ab a b -=-B ．()()22a b b a a b +-=-C ．3515a a a ⋅=D =5．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A B CD 6．下列运算不正确的是（ ）A =B =C =D ．2(2=7．函数 y =中自变量x 的取值范围是（ ）A ．5x ≠B ．0x ≥C ．5x <D ．5x ≤8．已知，b=2a 与b 的大小关系是（ ） A ．a ＞b B ．a=b C ．a ＜b D ．不确定 9．下列运算正确的是（ ）A ．236(3)9a a -=-B ．235()a a a -⋅=C ．222(2)4x y x y -=-D ．22445a a a +=10． 是二次根式，那么 x 应适合的条件是（ ） A ．x ≥3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ＜3 二、填空题11．x 的取值范围式 .12．的结果等于 ．13．若0xy <，则x += ．14．设 a =， 2b =+，c = ，则 a , b , c 从小到大的顺序是 .15．已知3y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y 值的总和是 ．三、计算题16．计算（1）-（2四、解答题17．实数a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简：2﹣18．已知：2a b +=-，1ab =，求：的值．19．在一个边长为（2 +3 ）cm 的正方形的内部挖去一个长为（2 + ）cm ，宽为（ ﹣ ）cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．20．我们已经知道 )334= ，因此将分子、分母同时乘以“ +3”，分母就变成了4．请仿照这种方法化简： ． 21．如图，面积为48 cm 2的正方形的四个角是面积为3 cm 2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.求这个长方体的底面边长和高分别是多少?(精确到0.1 cm ， ≈1.732)22．已知2a =+2b =-222a b ab +-的值．。
北师大版八年级数学上册2 7二次根式 解答专项 练习题 (word版 含答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《2.7二次根式》解答专项练习题（附答案）1．计算：（1）9﹣7+5；（2）÷﹣×+．2．计算题：（1）（4﹣6+3）÷2；（2）（﹣1）2+（2+）（2﹣）．3．定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．4．已知y＝++，求的值．5．学习二次根式后，小王认为：当x＝m时，3﹣有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？6．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a﹣|+|2﹣a|．（1）求b的值；（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．7．已知．求﹣x﹣3y的立方根．8．已知|2022﹣a|+＝a，求a﹣20222的值．9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简．10．把下列二次根式化简最简二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．11．先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．12．先化简，再求值：（+）﹣（+），其中x＝，y＝27．13．已知一个三角形的三边长分别为、6、2x．（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．14．阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；＝＝＝2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．15．已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的x的取值范围吗？16．若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使+＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．17．计算：．18．（1）计算：．（2）因式分解：5x2﹣5y2．19．已知a＝．（1）求a2﹣4a+4的值；（2）化简并求值：．20．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈，其中R是地球半径，通常取6400km．（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．21．在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：．（2）若a＝，求2a2﹣12a+1的值．参考答案1．解：（1）原式＝9﹣14+20＝15；（2）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+．2．解：（1）原式＝4÷2﹣6÷2+3÷2＝2﹣1+3＝4；（2）原式＝﹣+1+4﹣3＝﹣．3．解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案为：；（2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．4．解：∵x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝，∴＝＝＝．5．解：＝0时，即m＝x＝1时，3﹣有最大值，n最大＝3，m＝1．6．解：（1）由图可知：2＜a＜3，∴a﹣＜0，2﹣a＜0，∴b＝|a﹣|+|2﹣a|＝＝；（2）∵b+2＝，，∴b+2的小数部分是﹣3，∴m＝﹣3，∵8﹣b＝8﹣（﹣3，）＝11﹣，7＜11﹣＜8，∴11﹣的小数部分是11﹣﹣7＝4﹣，∴n＝4﹣，∴2m+2n+1＝2﹣6+8﹣2+1＝3，∴2m+2n+1的平方根为±．7．解：∵，∴，解得x＝3，∴y＝8，∴﹣x﹣3y＝﹣3﹣24＝﹣27，∴﹣x﹣3y的立方根﹣3．8．解：∵a﹣2023≥0，∴a≥2023，∴2022﹣a＜0，∴a﹣2022+＝a，∴＝2022，∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023．9．解：由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，则a+1＜0，b﹣1＞0，所以＝﹣a+[﹣（a+1）]﹣（b﹣1）＝﹣a﹣a﹣1﹣b+1＝﹣2a﹣b．10．解：（1）＝＝4；（2）＝＝2；（3）＝＝＝；（4）＝＝．11．解：（1）原式＝＝＝；原式＝＝＝；故答案为：；；（2）原式＝＝＝；（3）原式＝++++＝1++2﹣+﹣2+＝﹣1．12．解：原式＝6x×+×y﹣4y×﹣6＝6+3﹣4﹣6＝﹣，当x＝，y＝27时，原式＝﹣＝﹣＝﹣3．13．解：（1）周长＝+6+2x＝2+3+2＝7．（2）当x＝4时，周长＝7×＝14．（答案不唯一）．14．解：（1）原式＝＝+；（2）归纳总结得：＝﹣（n≥1）；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．15．解：根据题意得：，解得：，∴＝，∵2x﹣4≥0，∴x≥2．16．解：存在，理由：∵与是可以合并的二次根式，+＝，∴+＝＝5，∴当a＝3，则b＝48，当a＝12，则b＝27．17．解：原式＝+﹣+2＝3﹣．18．解：（1）原式＝2+3﹣﹣3＝；（2）原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）．19．解：（1）a＝＝＝2﹣，a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，将a＝2﹣代入（a﹣2）2得（﹣）2＝3．（2），＝﹣＝（a﹣1）﹣，∵a＝2﹣，∴a﹣1＝1﹣＜0，∴原式＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．20．解：（1）由R＝6400km，h＝0.02km，得d＝＝＝16（km），答：此时d的值为16km；（2）说法是错误，理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h＝1.5km，则d2＝2×1.5×6400＝19200，2302＝52900，∵19200＜52900，∴d＜230，∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．21．解：（1）＝＝＝3+；（2）∵a＝＝＝＝3﹣2，∴a﹣3＝﹣2，∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，∴a2﹣6a＝﹣1，∴2a2﹣12a＝﹣2，则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．。
北师大版八年级数学上册 2.7二次根式混合运算125题(含答案)
2019年秋北师大版八年级数学2.7二次根式混合运算125题(含答案) 1、2、3、4、5、6、7、．8、9、．11、．12、；13、；14、．15、；16、．17、．19、20、；21、22、．23、24、25、26、；．27、28、；；29、；30、31、；（5）；32、33、；34、；35、36、3﹣9+337、÷（3×）38、39、40、；．41、43、44、45、；46、．47、（﹣）2﹣；48、；49、；51、；52、．53、3﹣﹣+（﹣2）（+2）54、55、56、57、59、2÷﹣（2﹣）260、﹣2+（﹣1）261、（+2）﹣．62、63、64、65、．66、68、69、70、3﹣（﹣）71、72、﹣273、74、75、76、77、÷78、×+÷﹣80、81、﹣．82、83、84、85、（+1）2﹣286、（+1）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）287、88、89、90、；92、；93、；；94、95、；96、；97、98、|﹣|+﹣；99、；；100、101、（+）2008（﹣）2009．102、；103、；104、．105、（3+）÷；106、107、；108、；109、．110、﹣1111、（﹣）（+）+2112、+|﹣3|﹣2﹣1113、（﹣2）×﹣6+|﹣3|﹣2﹣1（4）（﹣2）×﹣6 114、115、（2﹣）；116、；117、118、．119、．120、121、122、+6a；﹣×．123、124、（2）（7+4）（7﹣4）+（2+）125、参考答案1、原式=2﹣3=﹣；2、原式=×==30；3、原式=2﹣12=﹣10．4、原式==2．5、原式===﹣6a．6、原式=；7、原式=（）2﹣（﹣1）2=2﹣（3﹣2+1）=8、原式=．9、原式=（3﹣2+3）×=（+3）×=1+10、原式=﹣+=；11、原式=（4+）÷3=12、原式=2+3﹣=；13、原式==；14、原式=（7+）（7+）=14×2=15、原式==3+6﹣10=﹣1；16、原式=2﹣=﹣2．17、原式=﹣2+=3﹣2+=18、原式=（3﹣2）（3+2）=18﹣12=6；19、原式=（2﹣+）=（+）=+120、原式=﹣3•5÷=﹣15÷=﹣15；21、原式=3+﹣2+﹣3=；22、原式=3a+﹣2b23、原式=3﹣2+1﹣（2﹣3）=5﹣2．24、原式==25、原式=2+1﹣（﹣）=3﹣1=2．26、原式=17﹣（19﹣）=﹣2+；27、原式=2﹣3﹣2=﹣3．28、原式=4+12=；29、原式=+2﹣10=；30、原式=4﹣+=；31、原式=6﹣5=1；32、原式=12+18﹣12=；33、原式=（2+）×﹣2=3﹣2=1；34、原式=+×6﹣m=2m+3m﹣m=0；35、原式=++1=﹣1++1=36、原式=12=（12﹣3﹣+6）=；37、原式=6÷（×）=6÷6=38、原式=+3﹣2=3+3﹣2=3+．39、原式=++×1=6+1+=7+．40、原式=×3+6×﹣2x•=2+3﹣2=3；41、原式=2﹣+3﹣2=2﹣2+142、原式=（6﹣+﹣2）÷2﹣3=3﹣+﹣﹣3=﹣+﹣；43、原式===444、=（4÷2）=45、原式=2+3﹣7=﹣2；46、原式===14．47、原式=10﹣7+=3+；48、原式=×（2﹣+）=+×=+1；49、原式=﹣1；50、原式=2+3+2﹣（2﹣3）=5+2+1=6+251、原式=4+﹣4=；52、原式=（4﹣2+6）÷=2+253、原式=6﹣3﹣+5﹣4=（6﹣3﹣）+1=+154、原式==；55、原式==．56、原式=[﹣（﹣）][+（﹣）]=5﹣（﹣）2=5﹣（5﹣2）=2．57、原式=4×2﹣16+12﹣16﹣8=﹣4﹣16；58、原式=+﹣+3=59、原式=2﹣（4﹣4+2）=2﹣6+4=6﹣6．60、原式=×2﹣2×3+5﹣2+1=﹣6﹣2+6=6﹣7．61、原式=a+2=2．62、原式=；63、原式=﹣+=﹣+=0．64、=2+﹣2=．65、=﹣=66、原式=9﹣14+4=﹣；67、原式=﹣43=﹣12=﹣11．68、原式=2×=12；69、原式=×3×=﹣；70、原式=12﹣2+6=16；71、原式=（4﹣2+6）×=2+272、原式=27÷（3×）×﹣8=3×﹣8=﹣8；73、原式=（）2﹣（）2=3﹣（2+2+5）=﹣4﹣274、原式=3+8=11；75、原式=2﹣12=﹣10；76、原式=5+﹣6=0；77、原式=÷=÷=1．78、原式=﹣==4+=4+．79、原式===；80、原式==9+6=1581、原式=（+）2﹣=3+2+2﹣=5+82、原式==；83、原式=；84、原式=5﹣6=﹣1；85、原式=4+=86、（1+）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）2=1﹣（）2﹣（2﹣2+1）+2+2+1=1﹣2﹣2+2﹣1+2+2+1=4﹣1．87、原式=+4×﹣+1=++1=1+．88、原式=（40）=30=15；89、原式=2+2=2+．90、原式===；91、原式===12．92、原式=2+2+4+2=；93、原式=9﹣14+24=；94、原式=（7+4）（7﹣4）+4﹣3=49﹣48+1=2；95、原式=﹣4×+9﹣12﹣（）=﹣8+9﹣12﹣+1=﹣11；96、原式=﹣+=2x+=；97、原式=2a（b﹣×+）=2ab﹣+ab=98、原式=﹣+3﹣5=2﹣4；99、原式=12﹣4+1=13﹣4；100、原式=2+﹣=；101、原式=（）=102、原式=3×2﹣2×3+5×4=6﹣6+20=20；103、原式=7﹣3+2=6；104、原式=•（﹣）×=﹣=﹣105、原式=3÷+÷=3+=；106、原式=3﹣1﹣=2﹣107、原式=+1﹣×2=2+1﹣2=1；108、原式=3﹣2+1﹣1=3﹣2；109、原式=+4﹣3=110、﹣1=﹣1=﹣1=0；111、（）（）+2=﹣+2=5﹣7+2=0；112、+|﹣3|﹣2﹣1=1+3﹣=3；113、（﹣2）×﹣6=﹣4﹣=﹣9﹣=﹣114、原式=4﹣5=﹣1；115、原式=×=1；116、原式=5﹣2﹣5+2=；117、原式=4﹣2+﹣1=3﹣118、原式==3﹣2=1．119、原式==120、原式=+1=121、原式=3+6a=2a+3a=5a；122、原式=﹣=﹣=3﹣2=1．123、原式==12；124、原式=49﹣48+2+=3+．125、原式===．。
2.7二次根式的四则运算及混合运算 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册
二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
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归纳总结
考
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=
−
+
+ − = − .
=
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；
第二课时 二次根式的四则运算
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二次根式乘除法的应用
重 ■题型
难
3 的长方体，它的高为
例
现有一个体积为
120
cm
题
型
）
突 2 cm，长为 3 cm，则这个长方体的宽为 （
整式的形式.
第三课时 二次根式的混合运算
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
计算：
（1） ×( + ) ；
（2） −
+ ÷ .
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第三课时 二次根式的混合运算
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［解题思路］（1）类比单项式乘多项式；（2）既可按
考
点
清 二次根式混合运算的顺序计算，也可将除法转化为乘法后，
型
突
破
第二课时 二次根式的四则运算
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2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.拓展资源：
（1）数学杂志：《数学通报》、《数学竞赛》等杂志，其中包含了大量的二次根式混合运算的相关文章和题目，适合学生进行深入研究和挑战。
（2）在线教育平台：可汗学院、网易云课堂等平台上有许多关于二次根式混合运算的教学视频和练习题，可以帮助学生巩固知识点。
（3）数学论坛和博客：数学论坛和博客上有许多数学老师和专家分享的关于二次根式混合运算的教学经验和心得，学生可以从中学习和借鉴。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的混合运算的基本概念。二次根式的混合运算是指……（详细解释概念）。它在数学中扮演着重要的角色，特别是在解决实际问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式混合运算在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学活动设计：
（1）角色扮演：学生分组扮演不同角色，如售货员、顾客等，运用二次根式的混合运算规则计算商品价格，解决实际问题。
（2）实验操作：学生在实验室进行有关二次根式的实验，如测量物体长度、面积等，培养他们的实验操作能力和问题解决能力。
（3）数学游戏：设计有关二次根式混合运算的数学游戏，如卡片游戏、竞赛等，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学运算能力。
难点举例：
（1）加法运算：计算-√5 + √3，先化为同号，即-√5 + √3 = -（√5 - √3），再合并得到-√5 + √3 = -（√5 - √3）。
（2）乘法运算：计算√2 × √15，根据乘法运算规则，底数相乘，指数相加，得到√（2×15）= √30。
（3）混合运算：一个正方形的边长为√5，求该正方形的面积。将实际问题转化为二次根式的混合运算，即√5 × √5 = √（5×5）= √25 = 5。
北师大版八年级数学上册2.7二次根式二次根式的混合运算同步练习含解析
二次根式的混合运算11．计算：⋅--+⨯2818)212(22.已知33a b =+=-求a 2b-ab 2的值.3.先化简，再求值64⎛⎛- ⎝⎝其中3,272x y ==. 4.化简：(1);1525(2);3366÷ (3);211311÷(4).125.02121÷ 5．当24,24+=-=y x 时，求222y xy x +-和xy 2＋x 2y 的值．6．观察规律：,32321,23231,12121-=+-=+-=+……并求值．(1)=+2271_______；(2)=+10111_______；(3)=++11n n _______．7.化简：（;)0a >8．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：__________________．9.（综合应用题）若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，化简a b c --+.10.化简:(1) )20m m -<(2) 112x ⎫->⎪⎭11.有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m ，n ，使22m n a +=且mn =将a ± 成m 2 + n 2 ±2mn，即变成（m±n)2,方便化简.例如：222532+=++=++=,∴==.请你依照上面材料解下列问题:12．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：a 与a ，63+与63-互为有理化因式．试写下列各式的有理化因式：(1)25与______； (2)y x 2-与______； (3)mn 与______； (4)32+与______； (5)223+与______；(6)3223-与______．参考答案1．2．2.解:33a b =+=-(()22331,331ab a b a b ab ab a b ∴=+-=-=++=∴-=-=⨯3.解:原式(= (6346=+--当32x =,y ＝27时,原式== 4.5．.112;2222222=+=+-y x xy y xy x 6．.1)3(;1011)2(;722)1(n n -+--7.解:(1)73==；===；0)a =＞. 8．0．9.解：因为a 、b 、c 是△ABC 的三边长， 所以a-b-c<0，a-b+c>0． 所以原式=b+c-a+a-b+c=2c.10.思想建立的二次根式比较复杂,其结果等于a 还是等于a 的相反数,要由a 的符号决定,因此将根号内的完全平方式开出根号时,一般先加上绝对值符号,然后再根据a 的符号进一步化简,这里用a 进行过渡,可以避免发生错误.解:(1)()2222244m m m m m m m =-=--==-(2)11,2,2,20. 2x x xx-∴-∴-∴+＞＞＜＜[]22(2)(2)x x x x=-++=--+-+222x x x-+--=-11.思想建立：就需要将被开方数5-4-的平方的形式,参照材料给的方法将其转化即可.解:(1)222526322,-=+-=+-⨯=(2)22431121-=++=++)211.===12．(1)2； (2)yx2-； (3)mn； (4)32-； (5)223-；(6)3223+(答案)不唯一．二次根式的混合运算2一、选择题1.计算2-的结果是（）A.-7B. 7--C. 7-- D. 6--2．下列计算正确的是( )．A．bababa-=-+2))(2(B．1239)33(2=+=+C．32)23(6+=+÷D．641426412)232(2-=+-=-3．)32)(23(+-等于( )．A．7 B．223366-+-C ．1D ．22336-+4．下列计算正确的是( )． A ．b a b a +=+2)(B ．ab b a =+C ．b a b a +=+22D ．a aa =⋅15.的结果是（ ）A. 6B.C.6D. 12二、填空题6.若三角形的一边长为)3cm ，这条边上的高为，则此三角形的面积是cm 2.7．合并二次根式：(1)=-+)18(50________；(2)=+-ax xax45________． 8．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则=+7)3*7(_______． (2)设5=a ，且b 是a 的小数部分，则=-ba a ________．三、解答题 计算下列各题： 9．).32841)(236215(-- 10．).3218)(8321(-+11．.)18212(2-12．.)21()21(20092008-+13．.)()(22b a b a --+14.对于任意实数a ，b,定义一种运算“&”如下:a&b = a(a -b) + b(a+b)，如3&2=3×(3-2) +.15．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值．16．已知,732.13,414.12≈≈求)23(6-÷．(精确到0.01)17.阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契(约1170〜1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数. 斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列的第nn n⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦表示(其中，n≥1）这是用无理数表示有理数的一个范例.任务:请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.参考答案1.D解析原式()222653266=--+=---=--.故选D.2．D．3．B．4．D．5.D解析：(12==== ,故选D.6.6+,得))13362S=⨯⨯==+ 7．(1);22 (2) .3ax-8．(1)3；(2).55--9．.3314218-10．⋅41711．.62484-12．.21-13．ab4(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．14.解:由a&b＝a(a-b)＋b(a＋b)得253==15．4．16．约7.70．17.解:第1个数:当n＝1时,n n⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦1.===⎭第2个数:当n＝2时n n⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦n n⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦=+-⎭⎝⎭1=＝1.二次根式的混合运算3一、选择题1.下列计算正确的是（）C.2D.(111-=2．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )．A．ab与2ab B mn与nm11+C．22nm+与22nm-D．2398ba与4329ba3．ba-与ab-的关系是( )．A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．乘积是有理式4. ）B.C.5.则此三角形的周长为（ ）A. B.C.D. 二、填空题6．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 7．若27+=a ，27-=b ，那么a ＋b =______，ab =______．8.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x 时，则输出的值为 .9. ()()2016201633= .三、解答题 计算下列各题： 10．⋅-121).2218( 11．).4818)(122(+-12．.6)1242764810(÷+- 13．⋅+⋅-22122114．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x 3y ＋xy 3的值．15.如果:①()1f =②()2f ③()3f ==；④()4f =；…，回答下列问题： (1)利用你观察到的规律求()f n ;(2)计算：()()()()()21232016f f f f ++++⎡⎤⎣⎦参考答案1.D解析A中,两个二次根式的被开方数不同,不能合并,故A错误；B中,=,故B错误；C中,有理数与无理数不能合并,故C错误；D中,(()()(2211111211--==-=-=,故D正确.2．D． 3．B．4.A解析原式===⎛=--⎝⎭5.A=6．6． 7．.3,728.9.1解析原式()()(()20162016220163391 1.⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦10．⋅6611．.1862--12．.21513．⋅-4114．(1)9； (2)10．15.思想建立(1)要求f(n)就需要仔细观察前四个式子的规律:分母均为2,分子是两个二次根式相减,且其被开方数是连续的整数；(2)根据(1)式的规律进行计算即可.解:(1)()f n=.(2)原式)121120172=⋅++)11201712016.==-=。
二次根式的混合运算 北师大版数学八年级上册
北师版·八年级上册·第二章
知识回顾
运算法则：
a b ab (a 0,b 0)
( a)2 a
a a (a 0,b 0) bb
运算律： 各种运算律同样适用于实数的运算.
知识回顾
运算法则：
a b ab (a 0,b 0) ( a)2 a
a a (a 0,b 0) bb
练一练：
化简下列式子：
(1) 1 2 3
(2) 2 5 3
答案： (1)2 3;
(2) 5 3.
做一做：
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中 梯形ABCD的面积. 你有哪些方法？
答案：S梯形ABCD=18
作业：
1. 《名校课堂》P29-30
2 92 42 18
2
3 22 2 4
10
练一练 计算：
(1) 2 1 5 10
(3)( 18 1 ) 8 2
(2) 12 3 1 3
(4)2 75 8 27
(4)解：原式 2 253 4 2 93
10 3 2 2 3 3
7 32 2
想一想：
2 的倒数是
？
1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)( 24 1 ) 3 (4) 25 99 18
6
2
(4)解：原式 25 2 99 9 2
22
Hale Waihona Puke 2 99 3 2 21 2 99 2
99 化简后与其他的 非同类二次根式，结 果可以直接保留.
练一练 计算：
(1) 2 1 5 10
(3)( 18 1 ) 8 2
(2) 12 3 1 3
(2) 18 8 1 8
八年级数学上册2.7二次根式第3课时二次根式的混合运算说课稿(新版北师大版)
八年级数学上册2.7二次根式第3课时二次根式的混合运算说课稿（新版北师大版）一. 教材分析本次说课的内容是北师大版八年级数学上册第2.7节二次根式的混合运算。
这一节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的，是进一步培养学生解决实际问题能力的重要环节。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在进行混合运算时，可能会对运算顺序和运算法则掌握不牢固，导致运算错误。
因此，在教学过程中，需要引导学生理清运算思路，巩固运算法则。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的混合运算方法，能够正确地进行计算。
2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的混合运算方法。
2.教学难点：运算顺序和运算法则的掌握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次根式的混合运算。
2.知识讲解：讲解二次根式的混合运算方法，引导学生掌握运算顺序和运算法则。
3.实例分析：分析几个典型的二次根式混合运算题目，让学生明白如何运用所学知识解决实际问题。
4.课堂练习：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.小组讨论：让学生分组讨论，分享解题心得，培养团队合作意识。
6.总结提升：对本节课的内容进行总结，强调运算顺序和运算法则的重要性。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
主要包括以下内容：1.二次根式的混合运算方法2.运算顺序和运算法则3.典型题目分析八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：1.学生课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
北师大版八年级上册数学2.7二次根式(第3课时)导学案
编写人：审核人：
教师寄语：聪明的人，今天做明天的事;懒惰的人，今天做昨天的事;糊涂的人，把昨天的事也推给明天。
课题
二次根式（第二课时）
授课教师
学习
目标
1、会对实数的运算进行灵活的混合运算。
2、（重难点）会运用实数的运算解决简单的实际问题
课堂流程
环节
具 体 内 容
（内容·学法·时间）
自疑自探
预习导航
（2分钟）
复习回顾：求值：
（1） （2） （3） （4）
自学指导
（8分钟）
化简（1） （2） － （3） －
（4） - （5）2 - （6）3 -
议一议：
化简： ，其中a=3,b=2.你是怎么做的？与同伴进行交流。
我的困惑
（2分）
你有什么疑惑吗？
（内容·形式·时间）
学组研讨
研讨策略
3、迁移延伸，再创新高
化简：(1) ； (2) ；
(3) － (4)－
4、对于正数a,b，化简
总结提升
堂堂清日日清月月清达标训练题
训练时间：得分：
【基础题】 （1） （2） （3）
【发展题】(1) (2) （3）
【师生自主反思】
今日一得：今日不足：
（5分钟）
形式：四人小组冲刺与挑战
组长带领下探讨二次根式的化简。
展示方案一
（5分钟）
例1、化简
1、 2、
（方案·要求·时间）
展示交流
展示方案二
（7分钟）
例2、化简
3、 ÷ 4、
课堂反馈
（15分钟）
1、练习：
(1) ； (2) ；
(3)2 ； (4) 。
北师大版初中数学八年级上册2.7 第3课时 二次根式的混合运算
北师大初中数学八年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！2.7 二次根式第3课时二次根式的综合运算复习引入 1、什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答） 可以化简为． 继续提问：，可以化简吗？ ，可以化简吗？ 这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．2、复习整式的加减运算：计算：（1）；（2）；（3）。
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算。
自主探究（一）探究新知问题中的化简 1、2、点拨：如果把二次根式当成x、y，不就转化为上面的问题了吗？（学生在教师的指导下完成）小结：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算。
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算。
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
3、例题解析例1 ：下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，例2 计算例3 计算二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。
（可对比整式的加减法则）例4 计算：（1）（2）（二）随堂练习：课本练习1、2题计算： （1）；（2）；（3）（三）总结、扩展1、同类二次根式的定义2、二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题（四）布置作业：课本习题7.2 A组1、2题B组1题（五）板书设计标题 1．复习题 5．例题（1）、（2）、 2．整式的加减例题 （3）、（4） 3．例题（1）、（2） 6．练习题 4．同类二次根式 7．小结（六）达标训练：相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。
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1
3
2 3
18＋ 8 2
a 3
第 3 课时 二次根式的混合运算
基础题
知识点 二次根式的混合运算
1．计算 24× ＋ 18的结果是(
)
A. B ．5 2 C ．5 D ．6
4. 在算式(－ )□(－ )的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( )
2 2 A. 加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号
5 ．小马虎做了下列四道题：① 3＋ 2＝ 5；② 27＝±3 3；③ 52－32＝ 52－ 32
＝5－3＝2；④ 3－ 12＝－ 3. 他 拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( )
A.1 道 B ．2 道 C ．3 道 D ．3 道
1
6．(包头中考)计算：( 27－ )÷ 3＝ .
3 7．(聊城中考)计算：( 2＋ 3)2
－ 24＝ . 8．(盘锦中考)计算 （1－ 2）2＋ 18的值是 ．
9．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数 a ，b ，都有 a*b ＝ b －1.例如 3*4＝ 4－1＝1，那么 15*196＝ ，
m*(m*16)＝ .
10. 计算：
(1)( 12＋ 27)÷ 3；
(2) 27× 3－ ；
(3)( 3a －3 27a 3
)÷ ；
2 2．(宁夏中考)下列计算正确的是(
)
A. 3＋ 2＝ 5
B. 12÷ 3＝2
C ．( 5)－1
＝ 5 3．(白银中考)下列计算错误的是(
)
D ．( 3
－1)2＝2 A. 2× 3＝ 6
B. 2＋ 3＝ 5
C. 12÷ 3＝2
D. 8＝
2 2 2 2
1
2－1
45
3 (4)
＋ 3( 3－ 6)＋ 2.
11. 小华家楼房前有一直角三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为 m ，斜边长为 3 m ．现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？( 15≈3.873， 5≈2.236，结果精确到 0.01 m)
中档题
1 1
12．计算 2 －6 2 ＋ 8的结果是( )
3
A ．3 2－2 3
B ．5－
C ．5－
D ．2 13．计算：
2
(1) 18－ 2
＋|1－ 2|；
1 (2)( 3
27＋2 － 24)×2 3；
(3)(2 3－1)2
＋( 3＋2)( 3－2)．
1
14．先化简，再求值：(a － 3)(a ＋ 3)－a(a －6)，其中 a ＝ 5＋ .
2
20 2 2 2
3
5
1－ 5
1＋ 5 2 1＋ 5 1－ 5 2 1＋ 5 5 综合题
15．(ft 西中考)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契(约 1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在要研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中， 很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
1 1＋ 5 斐波那契数列中的第 n 个数可以用 [( )n －( )n]表示(其中 n≥1)，这是用无理数表示有理数的
2 2
一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数和第2 个数．
参考答案
8
1.B
2.B
3.B
4.D
5.A
6.
7.5
8.4 2－1
9.13
3 10.(1)5.(2)4.(3)3－27a.(4)4－ 2.
3－1
11.由勾股定理得：另一直角边的长的平方为(3 20)2－( 45)2
＝180－45＝135.则另一边的长为 20＋3 15≈31.74(m)．答：小华的爸爸至少要买 31.74 米篱笆．
12.A 13.(1)3 2－1.(2)6－8 2.(3)12－4 3.
135＝3 15. 45＋3 1 1 14.原式＝a 2－3－a 2
＋6a ＝6a －3.当 a ＝ 5＋ 时，原式＝6( 5＋ )－3＝6 5.
2
1 1－ 5 1 1 15.第 1 个数，当 n ＝1 时， ×[( )n －( )n ]＝ ×( － )＝ × 5＝1；第
2 个数，当 n ＝2 时，
1＋ 5 5 1－ 5 1 2 1＋ 5 2 5 1－ 5 1 2 1－ 5 5 1＋ 5
1－ 5 1 ×[( )n
－( )n ]＝ ×[( )2－( )2]＝ ×( ＋ )×( － )＝ ×1× 5＝1. 2 2 5 2 2 5
2 2 2 2 1 5
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。