新高考题型：开放性问题《数列》

新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）

《数列》

1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)

2

n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， ．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记n

n n

a c

b =，求数列{}n

c 的前n 项和n T ．

3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①1

4

n n n b a a +=

，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．

4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ，*n N ∈．

（1）求n S 的最小值； （2）设数列67

1

{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．

5．从条件①2(1)n n S n a =+，

(2)n a n ，①0n a >，2

2n

n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值．

6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与9

2

的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记222

1

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．

请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足12

(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171

,56n n a n S a n

++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12

112,2

a a

b a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫

+⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n T ．

9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11

,13

n n n b a b b =+=．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13

n T <．

10．在①131n n S S +=+，①211

,2139

n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题

中，并给出解答．

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：123

26

n b b b a a a ++⋯+<．

11．给出以下三个条件：

①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列；

①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．

请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，

记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n n

c b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ．

13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是

3

3

S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；

（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得27

8

k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说

明理由．

14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：

条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线