实数-非负数性质

合集下载

第2讲实数的运算如非负数性质

中的ｊ个正方形Ａ、、ＢＣ
Ａ
Ｂ
示１￣的点分别、２／
—— ■
言——
为Ａ、，Ｂ点Ｂ父于Ａ的对称点为Ｃ，点（所表示的数为（则
（）Ａ一１（）一Ｂ１（）一２Ｄ（２一ｃ）
（ｊ５４『米１）．１
（）５０米Ｉ）４
８算（１＋３＋）（）．．：）ｓ０＿ｆ吉～计一。（＇一
这部分内容常以填空、择或计算题的选形式出现在试题中，查题目多属于基础题考
的绝对值的最大值是（
（）Ａ１（Ｈ））（（：２（）
）．
（）：Ｉ）
猜想： ”个等式（第 ”为正整数） ”表示可用以表示成
．
— —
３
维普资讯
（９下米Ａ）（９０米Ｃ）０
４在数轴上到一１点的距离等于ｌ的点所：．表示的数是（）．
（）Ａ０（１或１Ｂ）（０或２Ｃ）（ｌＤ）５在ｌｌ２这＿个数巾，意两数之和．，。ｌｉ任
一
（）换律：６１交ｎ＋一
｝ｊ
，・－ “ ｂ－
｝ｊ幸幸亭亭幸
算加减．同级运算按至的顺序进行；有括号时先算括号内的，常按如通的顺序进行．５零指数与负整数指数：． “ ＝＝＝（ “≠ ０ “ 一），（ ≠ ０，为正 “ Ｐ整数）．６非负数性质：个非负数相加，和等于０。．几若则这几个数均为０．

非负数及其应用

(
)(
)
= −5+ 2 6
(第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题）第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题）第四届
[例3]
2u − v v − 2u 解： Q ≥ 0, ≥ 0. 4 u + 3v 4 u + 3v
∴ 2 u − v = 0. 即v = 2u.
v − 2u 3 2u − v 若u、、满足v = + + ， 4u + 3v 4u + 3v 2 2 2 求u − uv + v 的值.
定理
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称如果两个图形关于某直线对称，定理轴是对称点连线的垂直平分线。轴是对称点连线的垂直平分线。定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对两个图形关于某直线对称，定理称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。
(
)
则 a − b ＞0.
2
(
( )
2
−2 a • b +
)
( )
b = −
2
(
a− b .
)
2
2
2 ab − a − b = =
( − a) + 2 − a ( − a + − b)
2 2
−b + −b
( )
2
Hale Waihona Puke = − a + −b.
(1997年重庆市初中数学竞赛决赛试题）年重庆市初中数学竞赛决赛试题）年重庆市初中数学竞赛决赛试题
[例2] 已知
解： Q
b a−b−2 3 +(a+b−2 2) =0,求的值。 a

实数的定义及其运算

17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12．的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。

实数(全章复习与巩固)(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3 (). 非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】类型一、实数➽➼平方根✬✬立方根1．（1）计算：3256412-+-．（2）求x 的值：2(1)225x -=．【答案】（1）2；（2）16x =或14x =-【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；2a 0a ≥0a ≥（2）根据平方根的定义解方程即可求解．解：（1）32564|12|-+-；5421=-+-2=；（2）开平方得115x -=±，解得16x =或14x =-．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】求下列各式中的x ．(1) 29160x -=；（2）()3164x +=-．【答案】(1) 43x =±(2) 5x =-【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可；（2）利用求立方根的方法解方程即可．（1）解：∵29160x -=，∵2916x =， ∵2169x =，解得43x =±；（2）解；∵()3164x +=-，∵14x +=-， ∵5x =-．【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．【变式2】“2=3”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为410=915--，所以2525410=91544-+-+， 22225555222=3232222⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+-⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，552=322--，所以2=3． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．【答案】错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步【分析】由22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，所以错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步．解：错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步，显然52<02-，5302->，所以5523022-≠->．【点拨】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，这是学生开平方时常犯的错误．2．已知21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2． (1) 求a ，b 的值； (2) 求a b +的算术平方根．【答案】(1) 5a =，8b =；(2) a b +的算术平方根为13．【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得219a -=，318a b -+=，从而可求得a 、b 的值；（2）把a 、b 的值代入求得代数式a b +的值，最后再求其算术平方根即可．（1）解：∵21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2，∵219a -=，318a b -+=，解得：5a =，8b =；（2）解：∵5a =，8b =，∵5813a b +=+=，∵a b +的算术平方根为13．【点拨】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】已知1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求44a b -的立方根．【答案】44a b -的立方根为2【分析】分别根据1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求出a b 、的值，再求出44a b -的值，最后求出其立方根即可．解：1a -的算术平方根为3，∴19a -=，即10a =，31b +的一个平方根为5-，∴3125b +=，即8b =， ∴4440328a b -=-=， ∴44a b -的立方根为382=．故答案为：44a b -的立方根为2．【点拨】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出a b 、的值是解题的关键．【变式2】已知某正数的两个平方根分别是3a -和215a +，b 的立方根是2-，求 (1) 该正数是多少？ (2) 2a b --的算术平方根．【答案】(1) 49(2) 4【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出a 的值，进而求出这个正数即可；（1）先求出,a b ，代入代数式求出2a b --，再求出算术平方根即可．（1）解：由题意，得：32150a a -++=，解得：4a =-；∵()()2234349a -=--=； ∵该正数是：49；（2）解：∵b 的立方根是2-，∵()328b =-=-；∵()()22488816a b --=-⨯---=+=， ∵2164a b --==．【点拨】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．类型二、实数➽➼性质➽➼相关概念✬✬化简3．把下列各数填入相应的集合中：－3.1415926，07，4π，38227，36 1.414320.2121121112-（每两个2之间依次多一个1）（1）有理数集合：{ }；（2）无理数集合：{ }；（3）负实数集合：{ }．【答案】（1）3223.1415926,0,8,,36,1.414,7---；（2）37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；（3）33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可．解：有理数集合：3223.1415926,0,8,,36,1.414,7⎧⎫---⎨⎬⎩⎭；无理数集合：{37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）}；负实数集合：{33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）}；故答案为：3223.1415926,0,8,,36,1.4147---；37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）．【点拨】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．举一反三：【变式12,2,22,32,52,82___，_____． (1) 两条横线上的实数分别____； (2) 第11、12个实数分别是_____．【答案】(1) 132；212(2) 892； 1442【分析】（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．解：（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，∵横线上的实数，2的系数为5+8=13，8+13=21，所以横线上的实数分别为132212，，（2）由（1）可知第8个数为212，∵第9个数为342，第10个数为552，第11个数为892，第12个数为1442，故答案为：892，1442．【点拨】本题考查了实数的规律问题，观察数字中2的系数，找到规律是解题的关键．【变式2】已知：a ，b 均为有理数，且满足722322332a b -=|2|||x a b x ---．【答案】当x ＜-2时，5x --；当-2≤x ≤1时，33x +；当x ＞1时，5x +【分析】根据已知等式可得关于a 和b 的方程，求出a ，b 的值，再代入，根据x 的范围分类讨论，去绝对值化简即可．解：722322332a b ++-=，a ，b 均为有理数，∵()()7222332a b ++-=， ∵73a +=，220b -=， ∵a =-4，b =1，∵|2|||x a b x ---=|24||1|x x +--，当x ＜-2时，|24||1|x x +--=()241x x ----=5x --；当-2≤x ≤1时，|24||1|x x +--=()241x x +--=33x +；当x ＞1时，|24||1|x x +--=()241x x ++-=5x +．【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a 和b 的值．4．如图，已知BC ∵OA ，BC ＝3，点A 在数轴上，OA ＝OB ．(1) 求出数轴上点A 所表示的数； (2) 比较点A 所表示的数与﹣3.5的大小．【答案】(1) 13-(2) 点A 所表示的数小于﹣3.5【分析】（1）用勾股定理求出OB 的长，进而得到 OA 的长度，即可写出数轴上点A 所表示的数；（2）先计算两数的绝对值，再得到13＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．（1）解：∵BC ∵OA ，∵∵BCO ＝90°， ∵BC ＝3，OC ＝2， ∵2213OB BC OC =+=， ∵OA ＝OB ， ∵OA ＝13，∵点A 在数轴上原点O 的左侧， ∵数轴上点A 所表示的数是﹣13．（2）解：｜﹣13｜＝13，｜﹣3.5｜＝3.5，∵()21313=，23.512.25=，∵13＞3.5，∵﹣13＜﹣3.5，∵点A所表示的数小于﹣3.5．【点拨】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式15x，小数部分是y．(1)求x与y的值；(2)求|5-的值．x y【答案】(1) 2,52==-(2) 0x y【分析】（1）先确定5的取值范围，再求x、y；（2）把x与y的值代入|5|--，化简绝对值，再加减．x y（1）解：∵459<<，<<，即253∵2,52==-；x y（2）∵2,52==-，x y∵|5|--x y()=---|25|52=---52(52)=--+5252=．【点拨】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．【变式2】观察下列等式，并回答问题： ∵1221=； 2332= 3443= 4554= ……(1) 请写出第∵个等式：______356=______； (2) 写出你猜想的第n 个等式：______；（用含n 的式子表示） (3) 241-1的大小．【答案】(1)5665-=-；635- (2) 11n n n n -+=+-(3)24114-< 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第∵个等式，由于3563536-=-，可以根据规律得到结果；（2）由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-；（3）利用作差法比较大小．（1）解：根据前4个式子可得第∵个等式为：5665-=-，35635363635635-=-=-=-，故答案为：5665-=-；635-．（2）解：由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-，故答案为：11n n n n -+=+-．（3）解：∵241241424524251044444-----=-==<，∵24114-<．【点拨】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简5．实数的计算：(1)2316(3)27-(2) 233313(3)-．【答案】(1) 10 (2) 4-【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；（1）解：2316(3)27+-+433=++10=（2）233313(3)-+---333313=-+--4=-．【点拨】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．举一反三：【变式1】计算下列各题(1)4822；（2(203271272π342-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】(1) 2- (2) 33-【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．（1）解：4822---=()22222---=22222--+=2-（2）解：()203271272π342-⎛⎫--⨯+-- ⎪⎝⎭ =3332412--⨯+- =33341--+-=33-【点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知611a ，611b ，(1) 求a b +的值； (2) 求a b -的值．【答案】(1) 1311- (2) 511+ 【分析】（1）先估算出3114<<，进而得到961110<+<，26113<-<由此求出a 、b 的值即可得到答案；（2）根据（1）所求进行求解即可．（1）解：∵91116<<，∵3114<<，∵961110<+<，11-4<-<-3，∵26113<-<，∵96112411a b ==--=-，，∵94111311a b +=+-=-；（2）解：由（1）得()9411511a b -=--=+．【点拨】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键．6．计算：(1)233336481125(3)4(2)--(2) 2231|53|168))(5(2-+--【答案】(1) 3 (2) 4 【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．（1）解：233336481125(3)4(2)-++----495322=-++-+3=，故答案为：3．（2）解：2231|53|168))(5(2-++-----+1354245=-+--+++4=，故答案为：4．【点拨】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．举一反三：【变式1】计算(1) 20223113274-+- (2) 223(3)(3)1664---【答案】(1) 33+ (2) 8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+-++33=+；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．【变式2】计算(1)22110036()(5)4--；（2）已知38270x +=，求x 的值．【答案】(1) 134 (2) 32x =- 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．解：（1）22110036()(5)4-+-- 1854=+- 134=．（2）38270x +=，3827x =-，3278x =-， 32x =-．【点拨】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算✬✬应用7．已知135a b -=+，其中a 是整数，01b <<，求a b -的值．【答案】75+试题分析：可以先估算出整数部分10a =，再计算出b 的值,最后作差.解：10a =，()1351035b =--=-， a b -=()103575--=+．举一反三：【变式1】若整数m 的两个平方根为63a -，22a -，b 11(1) 由题意得，=a ，m = ，b = ．(2) 求31m a ++的平方根；(3) 现规定一种新运算∵，满足x ∵y xy =-，求b ∵()4-的值．【答案】(1)4，36，3 (2)31m a ++的平方根为7± (3)b ∵()4-的值为12【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a 和m 的值，根据无理数估算的方法求出b 的值；（2）将m 和a 的值代入31m a ++求解即可；（3）根据新定义的运算法则求解即可．解：（1）由题意得：63220a a -+-=，4a ∴=， 22(22)(82)36m a ∴=-=-=，91116<<，3114∴<<， ∴11的整数部分为3，3b ∴=，4a ∴=，36m =，3b =，故答案为：4，36，3；（2）当36m =，4a =时，3136121m a ++=++49=，31m a ∴++的平方根为7±；（3）当3b =时，b ∵(4)(4)b -=-⋅-4b = 43=⨯12=，b ∴∵()4-的值为12．【点拨】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式2】探究题：(1) 计算下列各式，完成填空：49649⨯＝，12549＝，12549⨯＝ (2) 通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；请用这一规律计算：2271320⨯．【答案】(1)6，57，57 (2)a b a b ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），227313202⨯= 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到2275271320320⨯=⨯，然后约分后根据算术平方根定义计算．解：（1）49366⨯==，11525=5=4977⨯⨯，125525==49497⨯；故答案为：6，57，57；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：a b a b⋅=⋅（a≥0，b≥0）．22752793132032042⨯=⨯==故答案为：a b a b•=•（a≥0，b≥0），3 2【点拨】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。

高一实数知识点

高一实数知识点一、实数的定义与性质实数是数学中最基础、最常用的数系，它包括有理数和无理数。

实数的特点是具有良序性和完备性。

1. 实数的定义：实数是一切有理数和无理数的统称。

2. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，可以用分数、小数或整数形式表示。

它们包括正整数、负整数、零、有限小数和循环小数等。

3. 无理数：无理数是不能表示为两个整数比值的数，它们的小数部分是无限不循环的。

无理数常见的表示形式有开方数、无限不循环小数等，如π和根号2等。

4. 良序性：实数集合中的任意非空有限集合都有最小元素和最大元素。

5. 完备性：实数集合中的实数以及它们的极限都属于实数。

二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法等基本运算，要熟练掌握实数运算的性质和规则。

1. 加法运算：实数的加法满足交换律、结合律和分配律。

2. 减法运算：实数的减法是加法的逆运算，当减去一个数相当于加上这个数的相反数。

3. 乘法运算：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

4. 除法运算：实数的除法是乘法的逆运算，当除以一个非零数相当于乘以这个数的倒数。

5. 实数的乘方：实数的乘方运算是指一个数自乘若干次，其中乘方数可以是自然数、整数、有理数和实数。

三、实数的性质与应用了解实数的性质和应用可以更好地理解和应用实数知识。

1. 实数的序关系：实数具有比大小的性质，可以进行大小比较和排序。

2. 绝对值与距离：实数的绝对值表示实数到零点的距离，非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于相反数。

3. 有理数的小数表示：有理数可以用循环小数或有限小数表示。

4. 实数的近似与误差：实数可以通过有理数的近似表示，近似值与真实值之间会存在误差。

5. 实数的应用：实数的数值运算在各个领域具有广泛的应用，如数学、物理、经济学等。

四、实数的扩展在高一阶段还会接触到复数等数系的知识，实数可以通过扩展得到更广义的数系。

1. 复数：复数是由实数和虚数叠加而成，形式为a+bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。

专题提升三第六章实数——非负数的性质练习 2020-2021学年人教版数学七年级下册

第六章实数——非负数的性质1.若x,y为实数,且|x+3|+√y−3=0,则(yx )2020的值为( )A.1B.-1C.2D.-22.√2x−1+2(y-1)2=0,则x+y的值是()A.1B.32C.2 D.523.已知√3a+1与(2b-1)2互为相反数,则ab的值是( )A.12B.-13C.23D.-164.若x,y为实数,且满足|x-3|+√y+3+(z-4)2=0,则z·(xy )2020的值是( )A.2B.3C.4D.55.下列各式中值必为正数的是( )A.|x+1|B.(x-1)2C.x2+1D.√x2−16.若√a−3+|b-2|=0,则b a=.7.√a−1+√b−5=0,则(a-b)2的平方根是.8.当a=时,√a2+4的值最小.9.当x=时,√2x−4+1有最小值,这个最小值为.10.已知实数a在数轴上的位置如图所示,化简|1-a|+√a2的结果是.第10题图11.已知x,y满足√2x−16+|15y−1|=0,求x-45y的平方根.12.若|x2−25|+√y−3=0,求x y的值.13.已知a,b,c满足|a-1|+√2a−b+(c-√3)2=0,求a+b+c的值.3.14.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,请化简:|c|-√(a+b)2+√(b−c)2-√−b3第14题图15.已知|a2-7|与√b−21互为相反数,求实数a,b的值,并求出√b的整数部分和小数部分.16.设a,b,c都是实数,且满足条件(2-a)2+√a2+b+c+|c+8|=0,ax2+bx+c=0,求x2+2x-1的值.17.已知x 1,x 2,…,x 2020都是不等于0的有理数,请你探究以下问题:(1)若y 1=|x 1|x 1,则y 1= ; (2)若y 2=|x 1|x 1+|x 2|x 2,则y 2= ; (3)若y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3,求y 3的值; (4)由以上探究可知,y 2020=|x 1|x 1+|x 2|x 2+…+|x 2020|x 2020,则y 2020共有个不同的值;在y 2020这些不同的值中,最大值和最小值的差等于 ,y 2020的这些所有不同的值的绝对值的和等于 .参考答案非负数的性质1.A2.B3.D4.C5.C6.87.±48.09.2 1 10.1-2a11.由题意得2x -16=0,15y -1=0,解得x =8,y =5,则x -45y =4.∵4的平方根是±2,∴x -45y 的平方根是±2.12.由题意得x 2-25=0,y -3=0,解得x =±5,y =3.当x =5,y =3时,x y =53=125;当x =-5,y =3时,x y =(-5)3=-125.综上所述,x y 的值是±125.13.∵|a -1|+√2a −b +(c -√3)2=0,∴a -1=0,2a -b =0,c -√3=0.∴a =1,b =2,c =√3.∴a +b +c =1+2+√3=3+√3.14.原式=-c +a +b +c -b +b =a +b.15.由题意得|a 2-7|+√b −21=0,∴a 2-7=0,b -21=0.∴a =±√7,b =21.∴4<√b =√21<5.∴√b 的整数部分为4,小数部分为√21-4.16.由题意,得2-a =0,a 2+b +c =0,c +8=0.故a =2,b =4,c =-8.将其代入ax 2+bx +c =0,得2x 2+4x -8=0,变形得x 2+2x =4,∴x 2+2x -1=4-1=3. 17.(1)±1 (2)0,±2 (3)假设x 1≥x 2≥x 3.当x 1>0,x 2>0,x 3>0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=1+1+1=3;当x 1>0,x 2>0,x 3<0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=1+1-1=1;当x 1>0,x 2<0,x 3<0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=1-1-1=-1;当x 1<0,x 2<0,x 3<0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=-1-1-1=-3. 综上所述,y 3的值为±1或±3.(4)2021 4040 2042220。

非负数的性质及应用--华师大版

a
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
[一点就通]将条件和结论的两个等式看作关于 a, b 的方程组, 利用其有界性求出S的范围.
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
解:3 a 5 b 7
abx
c
ABX
C
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
x
abx
c
ABX
C
显然,当X 点与B点重合时,
( B点在A、C之间), 该距离和y是最小.
这时,y= x-a x b x c
xa xc
xacx a c 所以, y的最小值等于c a.
原式 a (a b) c (b c)
aabcbc
2c
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
[一点就通]利用拆项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数之和为零的形式,即a2 b c 0,再由几个非负数之和为零则每个非负数必须为零来解决.
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
解 :由原方程, 得 x yz4 x54 y44 z3 x4 x5 y4 y4z4 z30 [( x 5)2 4 x 5 4][( y 4)2 4 y 4 4][( z 3)2 4 z 3 4] 0 ( x 5 2)2 ( y 4 2)2 ( z 3 2)2 0 即 x 5 2 0, y 4 2 0, z 3 2 0, 解得 : x 9, y 8, z 7

培优专题3 非负数的性质及应用(含解答)-

培优专题3 非负数的性质及应用一个实数的绝对值、偶次方，一个非负数的偶次算术根（这里主要指算术平方根）都是非负数．非负数有一个重要性质：若几个非负数的和等于零，则只有在每个非负数均为零时，等式成立，这个性质应用特别广泛，它不但可以启迪我们的思维，还可以让我们感觉到数学变形的美妙．例1实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图3-1所示，化简a+│a+b ││b-c │．分析此题化简的关键是我们想办法根据a 、b 、c 在数轴上的位置，确定各自的性质，去掉绝对值符号和根号．解：∵a+b<0，c>0，b-c<0，∴原式=a-（a+b ）-│c │+（b-c ）．=a-a-b-c+b-c=2c ．练习11．若a<0，且x ≤||a a ，那么化简│x+1│-│x-2│=________． A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32．已知a<0，ab<0=________． 3．已知abc ≠0，试求||a a +||b b +||c c 的值．例2设实数x、y、z满足x+y+z=4则x=_____，y=_______，z=_______．分析利用折项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数之和为零的形式，即a+│b│+=0，再由几个非负数之和为零则每个非负数必须为零来解决．解：由原方程，得．[222，）2+）2+）2=0．解得：x=9，y=9，z=7．练习21．实数x、y、z满足x+y+z=________． A．6 B．12 C．14 D．202，（a≥b，c≥0），那么a+b的值是_________．A．-2 B．0 C．2 D．43．已知a、b、c、x、y、z是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，的值．例3．分析要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题，•要充分挖掘题目中的隐含条0，-a3≥0．解：∵-a3≥0，∴a≤0．0，∴a≠0．∴a<0．∴原式．练习31=_________．2．已知1a-│a│=1，那么代数式1a+│a│的值为________．3例4若a、b满足│b│=7，则│b│的取值范围是_____．分析│b│的方程组，利用其有界性求出S的范围．解：，①│b│=S．②①×3+②×5得．①×2-②×3得19│b│=14-3S．由21501430SS+≥⎧⎨-≥⎩得：215143SS⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩故-215≤S≤143．练习41．已知a、b、x、y满足y+=1-a2，│x-3│=y-1-b2，则2x+y+3a+b的值为_______．2．如果│x+2│+x-2=0，则x的取值范围是_________．3．求使72为自然数的整数a的值．例5 已知a<b<c，求y=│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值．分析由绝对值的几何意义可知：│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值的几何意义就是在数轴上，求到a、b、c所对应的三点距离之和最小的点所表示的数．解：设a、b、c、x在数轴上对应的点分别是A、B、C、X，则│x-a│、│x-b│、│x-c│分别表示线段AX、BX、CX的长，现在要求│x-a│、│x-b│、│x-c│之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使X到A、B、C三点的距离之和最小，•如图3-2．显然，当X点与B点重合时，（∵B点在A、C点之间），该距离和y最小．这时，y=│x-a│+│x-b│+│x-c│=│x-a│+│x-c│=x-a+c-x=-a+c．所以，y的最小值等于c-a．练习51．若x为有理数，求│x+23│+│x-23│的最小值．2．已知│x-1│+│x-5│=4，求x的取值范围．3．若x为有理数，求│x-1│+│x-2│+…+│x-1999│的最小值．答案:练习11．D23．∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0．（1）若a、b、c都为正数时，原式=3；（2）若a、b、c中有两个正数时，原式=1；（3）若a、b、c都有一个正数时，原式=-1；（4）若a、b、c都为负数时，原式=-3．练习21．D 2．B3．∵a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，∴a2+b2+c2+x2+y2+z2=2ax+2by+2cz．∴a2-2ax+x2+b2-2by+y2+c2-2cz+z2=0．∴（a-x）2+（b-y）2+（c-z）2=0．∴a-x=0，b-y=0，c-z=0．∴x=a，y=b，z=c．练习31．1 23．∵-a2≥0，∴a2≤0．∴a=0．∴原式．练习41．17 2．x≤23．设9-4a=m2（m为整数），于是，4a+m2=9．∵4a为偶数，9为奇数，∴m2必为奇数，即m必为奇数．又即7||2m->0．∴│m│<7．∴-7<m<7．∴m=±1，±3，±5．故a=0，2，4．练习51．432．1≤x≤53．设x在数轴上的对应点P0，而1，2，…，1999在数轴上对应点分别为P1，P2，…，P1999，•如图所示:则│x-1│+│x-2│+│x+3│+…+│x-1999│=P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999．当P0运动到P1000，即P0与P1000重合时，P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999最短，也就是│x-1│+│x-2│+│x-3│+│x-4│+…+│x-1999│有最小值，设这个最小值为S最小．则S最小=│1000-1│+│1000-2│+│1000-3│+…+│1000-1999│=999+998+997+…+2+1+0+1+2+…+998+999=2+999(9991)2⨯+=999×1000=999000．。

第三章实数考点3 非负数的性质：算术平方根(解析版)

第三章实数（解析板）3、非负数的性质：算术平方根知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共19小题）1．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】非负数的性质：绝对值；算术平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵+|y+3|＝0，∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3，∴原式＝＝．故选：C．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．2．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6B．m＜6C．m＞﹣6D．m＜﹣6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；解一元一次不等式．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：，则6﹣m＜0，解得：m＞6．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．若+|b+2|＝0，那么a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．3D．0【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后求出a﹣b的值．【解答】解：∵，|b+2|≥0，∵+|b+2|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，解得：a＝﹣1，b＝﹣2，把a＝﹣1，b＝﹣2代入a﹣b＝﹣1+2＝1，故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．4．若（m﹣1）2+＝0，则m+n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+2＝0，解得m＝1，n＝﹣2，所以，m+n＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．5．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】已知任何数的绝对值一定是非负数，二次根式的值一定是一个非负数，由于已知的两个非负数的和是0，根据非负数的性质得到这两个非负数一定都是0，从而得到一个关于x、y的方程组，解方程组就可以得到x、y的值，进而求出xy的值．【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，而|x+2|+＝0，∴x+2＝0且y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．故选：B．【点评】本题考查的是非负数的性质，一元一次方程的解法及代数式的求值．题目注重基础，比较简单．6．已知|x﹣3|+＝0，则（x+y）2的值为（）A．4B．16C．25D．64【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，x+2y﹣7＝0，解得x＝3，y＝2，则（x+y）2＝（3+2）2＝25，故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质，关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．7．已知实数x，y满足，则y的值是（）A．2B．﹣2C．0D．3【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负性即可求出x与y的值．【解答】解：由题意可知：x+2＝0，3x+y+8＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查绝对值与二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值与二次根式的性质，本题属于基础题型．8．已知x，y为实数且|x+1|+＝0，则（）2012的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2012【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而求出答案．【解答】解：∵|x+1|+＝0，∴x+1＝0，y﹣1＝0，解得：x＝﹣1，y＝1，∴（）2012＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．9．已知，则a+b的值是（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得a﹣2＝0，b+1＝0，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．已知|7+b|+＝0，则a+b为（）A．8B．﹣6C．6D．8【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得出7+b＝0，a﹣1＝0，求出a、b的值即可．【解答】解：|7+b|+＝0，7+b＝0，a﹣1＝0，b＝﹣7，a＝1，所以a+b＝1+（﹣7）＝﹣6，故选：B．【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，能根据绝对值和算术平方根的非负性得出7+b＝0和a﹣1＝0是解此题的关键．11．已知△ABC的三边长a、b、c满足+|b﹣1|+（c）2＝0，则△ABC一定是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．一般【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．【解答】解：∵+|b﹣1|+（c）2＝0，∴a＝1，b＝1，c＝，∵a2+b2＝1+1＝2，c2＝（）2＝2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握一个数的算术平方根与某个数的绝对值以及另一数的平方的和等于0，那么算术平方根的被开方数为0，绝对值里面的代数式的值为0，平方数的底数为0及勾股定理的逆定理．12．已知，则y的值为（）A．1B．﹣2．C．﹣1D．﹣4【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式计算求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得x﹣y+2＝0，x+y＝0，解得x＝﹣1，y＝1．故选：A．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．13．若x，y为实数，且，则的值为（）A．1B．2011C．﹣1D．﹣2011【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；代数式求值．【分析】由于|x+2|和都是非负数，而它们的和为0，根据非负数的性质即可求出x、y的值，接着可以求出题目的结果．【解答】解：∵若x，y为实数，且，而|x+2|和都是非负数，∴x+2＝0且y﹣2＝0，∴x＝﹣2，y＝2，∴＝（﹣1）2011＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质和代数式的求值，解题的关键是根据非负数的性质得到x+2＝0且y﹣2＝0，由此求出x、y的值解决问题．14．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（）A．﹣1B．1C．32020D．﹣32020【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴（x+y）2020＝（1﹣2）2020＝1，故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．15．若|x﹣2|+＝0，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则xy＝﹣6．故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．17．如果|x﹣3|+＝0，则＝（）A．2B．C．﹣2D．3【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质得出x和y的值，再代入化简即可得．【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣2＝0，则x＝3，y＝2，∴＝＝2，故选：A．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．18．已知+（b+3）2＝0，则（a+b）2020的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2020【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用互为相反数的定义结合绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵+（b+3）2＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，∴（a+b）2020＝（2﹣3）2020＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确应用算术平方根和绝对值的性质是解题关键．19．已知实数x，y满足+|y+2|＝0，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x＝0，y+2＝0，∴x＝0，y＝﹣2，∴x+y＝﹣2故选：A．【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．二．填空题（共17小题）20．已知a、b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．21．当x取﹣5时，的值最小，最小值是0；当x取5时，2﹣的值最大，最大值是2．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x＝0时，的值最小，当5﹣x＝0时，2﹣的值最大．【解答】解：当10+2x＝0时，的值最小，解得x＝﹣5，此时的最小值为0．当5﹣x＝0时，即x＝5时，＝0，此时2﹣的值最大，最大值是2．故答案为：﹣5；0；5；2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．22．已知+|x2﹣3y﹣13|＝0，则x+y＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，x2﹣3y﹣13＝0，解得x＝2，y＝﹣3，所以，x+y＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．23．如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是±1．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x﹣y的值，进而得出答案．【解答】解：∵与（2x﹣4）2互为相反数，∴y﹣3＝0，2x﹣4＝0，解得：y＝3，x＝2，∴2x﹣y＝1，∴2x﹣y的平方根是：±1．故答案为：±1．【点评】此题主要考查了平方根以及算术平方根和偶次方的性质，正确得出x，y的值是解题关键．24．已知+＝0，则+＝．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得a＝3，b＝2，所以，+＝+＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．25．若，则m﹣n的值为4．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．【解答】解：根据题意得：，解得：．则m﹣n＝3＝（﹣1）＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．如果＝0，那么xy的值为﹣6．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，所以，xy＝3×（﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．当x取5时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值2．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：当5﹣x＝0，即x＝5时，代数式2﹣取值最大，此时这个最大值2．故答案为：5，2．【点评】本题考查二次根式的性质，解决本题的关键是能够正确运用二次根式的性质．28．已知+|3x+2y﹣15|＝0，则的算术平方根为．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，x+3＝0，3x+2y﹣15＝0，解得x＝﹣3，y＝12，所以，＝＝3，所以，的算术平方根为．故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于3．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．30．如果+＝0，那么xy的值为﹣6．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质求出x、y，计算即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得，x＝3，y＝﹣2，则xy＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．31．已知与（x+y﹣4）2互为相反数，则y﹣x＝8．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】由与（x+y﹣4）2互为相反数，得出+（x+y﹣4）2＝0，根据非负数的性质得出x、y的值，进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵与（x+y﹣4）2互为相反数，∴+（x+y﹣4）2＝0，∴x+2＝0，x+y﹣4＝0，∴x＝﹣2，y＝6，∴y﹣x＝6﹣（﹣2）＝6+2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了代数式求值，非负数的性质，能够正确利用非负数的性质求得字母的数值是解决问题的关键．32．若+|b2﹣9|＝0，则ab＝±6．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：+|b2﹣9|＝0，∴a﹣2＝0，b＝±3，因此ab＝2×（±3）＝±6．故结果为：±6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．33．已知，则a b＝1．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，a+b+1＝0，解得a＝1，b＝﹣2，所以，a b＝1﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．34．若＝3﹣x，则x的取值范围是x≤3．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．【解答】解：∵＝3﹣x，∴3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．35．若a、b为实数，且（a+）2+＝0，则a b的值3．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性分别求出a、b，根据乘方法则计算即可．【解答】解：∵（a+）2+＝0，∴（a+）2＝0，＝0，解得，a＝﹣，b＝2，则a b＝（﹣）2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握偶次方、算术平方根的非负性是解题的关键．36．已知非零实数a，b满足，则a+b等于1．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】由题设知a≥3，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得a+b的值．【解答】解：∵a≥3，∴原等式可化为，∴b+2＝0且（a﹣3）b2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴a+b＝1．故答案为1．【点评】本题考查了非负数的性质，一个数的算术平方根、偶次方都是非负数．三．解答题（共9小题）37．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根为±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，解得x＝±3．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．38．已知+|x﹣1|＝0．（1）求x与y的值；（2）求x+y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）先依据非负数的性质得到x﹣1＝0，x+2y﹣7＝0，然后解方程组即可；（2）先求得x+y的值，然后再求其平方根即可．【解答】解：（1）∵+|x﹣1|＝0，∴x﹣1＝0，x+2y﹣7＝0，解得：x＝1，y＝3．（2）x+y＝1+3＝4．∵4的平方根为±2，∴x+y的平方根为±2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得x、y的值是解题的关键．39．若+（3x+y﹣1）2＝0，求的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，代入代数式即可得出结论．【解答】解：∵+（3x+y﹣1）2＝0，∴，解得，∴原式＝＝3．∴的平方根为±．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解答此题的关键．40．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；（2）利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．【解答】解：（1）根据题意得：a﹣＝0，b﹣5＝0，c﹣4＝0，解得：a＝，b＝5，c＝4；（2）∵（）2+52＝（4）2，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．41．已知+|y3+1|＝0，求4x﹣3y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先根据绝对值和被开方数的非负性可以求x、y的值，再根据平方根的定义即可求解．【解答】解：根据题意知2x﹣3＝0，y3+1＝0∴x＝，y＝﹣1，∴4x﹣3y＝9，∴4x﹣3y的平方根为±3．【点评】此题主要考查了立方根、平方根定义和非负数的性质，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意：（1）一个数的立方根与原数的性质符号相同．（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．42．已知x、y满足+|y+1|＝0，求x2﹣4y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的定义得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵+|y+1|＝0，∴，解得：，∴x2﹣4y＝1+4＝5，故x2﹣4y的平方根为：±．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及平方根，正确得出x，y的值是解题关键．43．已知|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，求（a+c）b的值．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先根据题意及非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入所求代数式求值．【解答】解：∵|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，∴a+b﹣3＝0，c﹣4＝0，a+2＝0，∴a＝﹣2，b＝5，c＝4，∴（a+c）b＝（﹣2+4）5＝25＝32，即（a+c）b的值是32．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是先根据题意及非负数的性质求出a、b、c的值．44．已知（3x﹣1）2+＝0，求18xy的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，3x﹣1＝0，3﹣2y＝0，解得x＝，y＝，所以，18xy＝18××＝9，所以，18xy的平方根±3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．45．已知实数x，y满足（x﹣4）2+＝0，求﹣xy的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】因为（x﹣4）2和都是非负数，当几个非负数的和为0时，几个非负数都为0，可得关于x和y的方程，求出x，y的值，再根据平方根的定义求解．【解答】解：∵（x﹣4）2 +＝0∴（x﹣4）2＝0，＝0∴x﹣4＝0，y+16＝0，∴x＝4，y＝﹣16∴﹣xy＝﹣4×（﹣16）＝64∴﹣xy的平方根是±8【点评】本题考查了偶次方和算术平方根的性质以及开平方运算，明确非负数的性质及开平方的方法，是解题的关键。

实数的性质

实数的性质实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。

实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。

任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

实数对于四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

实数集有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab.实数的传递性实数大小具有传递性，即若agt;b,bgt;c,则有agt;c.实数的阿基米德性实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a，b isin;R，若bgt;agt;0,则存在正整数n，使得nagt;b.实数的稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.实数唯一性如果在一条直线(通常为水平直线)上确定O作为原点，指定一个方向为正方向(通常把指向右的方向规定为正方向)，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。

任一实数都对应与数轴上的唯一一个点;反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。

于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。

完备性作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。

例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。

实际上，它有个实数极限 radic;2。

实数是有理数的完备化这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是微积分的基础。

实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

“完备的有序域”实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。

然而，很容易发现没有有序域会是完备格。

这是由于有序域没有最大元素(对任意元素 z，z + 1 将更大)。

第5讲非负数的性质的应用(教案)

至于学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论非负数在实际生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。但与此同时，也有一部分学生在讨论中显得较为被动，这可能是因为他们对这部分内容还不够自信。针对这个问题，我计划在后续的教学中，多鼓励这些学生发言，提高他们的自信心。
最后，从整个教学过程来看，学生们在掌握非负数性质的应用方面还存在一些难点，如代数化简和几何图形中的运用。在今后的教学中，我会着重针对这些难点进行详细讲解和练习，通过更多的实例和练习，帮助学生克服这些困难。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“非负数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
其次，在新课讲授的案例分析部分，我尝试通过具体例子让学生看到非负数性质在解决问题中的优势。从学生的反馈来看，这种方法较为直观，有助于他们理解抽象的数学概念。但同时，我也注意到，对于一些较复杂的案例，学生们的接受程度并不高，这可能是由于他们对非负数性质的理解还不够深入。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与进来，但我发现有些小组在讨论时容易偏离主题，讨论的内容与今天的课程内容关联度不高。这提醒我，在未来的教学中，需要加强对学生的引导，确保讨论主题的紧了解非负数的定义及其性质。非负数是指大于或等于零的实数，它在数学中有着重要的地位。非负数的性质在解决实际问题中发挥着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，在解决算术平方根问题时，非负数的性质如何帮助我们找到正确的答案。

初中数学重点梳理：非负数

非负数知识定位知道常见的几种非负数，偶次根式，绝对值，二次方程有根的判别系数，常见的题型主要是利用非负数的性质建立方程，不等式，从而求值或证明。

知识梳理非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0)⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：（a≥0）＝2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；例题精讲◆专题一：利用非负数的性质解题：【试题来源】【题目】已知实数x 、y 、z 满足，求x ＋y ＋z 的平方根。

【答案】0 【解析】∵，∴.∵|x-y|>=0，，，∴解得x ＋y ＋z =0所以求x ＋y ＋z 的平方根为0 【知识点】非负数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】已知()0446222=+-+++y xy x y x ，则的值为______________；【答案】2【解析】（x+y-6）²≥0, 2244y xy x +- ≥0,（x+y-6）²+ 2244y xy x +- =0,两个非负数的和为0,只能都是0.所以x+y-6 =0,x²-4xy+4y²=(x-2y)²=0, 即x+y-6 =0, x-2y =0, 解得x=4,y=2. ∴x-y=2,【知识点】非负数【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】若，的值【答案】【解析】解：因为，所以，从而.所以【知识点】非负数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设a 、b 、c 是实数，若，求a 、b 、c 的值【答案】1130===c ,b ,a 【解析】,,,,,【知识点】非负数【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题二：对于的应用【试题来源】【题目】已知x 、y 是实数，且；【答案】81 【解析】根据题意32112+-+-=x x y ，知012≥-x 且021≥-x ，所以21=x ，y=381=y x【知识点】非负数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知、、适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20152015223 ，求z y x -+3 的平方根。

数学实数知识点

数学实数知识点在日复一日的学习中，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺帮大家整理的数学实数知识点（精选8篇），仅供参考，欢迎大家阅读。

数学实数知识点1实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

实数和数轴上点一一对应。

3、相反数：符号不同的两个数，叫做互为相反数。

a的相反数是-a，0的相反数是0。

(若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。

(平方和立方)7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。

(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。

)数学实数知识点21.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。

(表为：x0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

非负数的性质与应用

非负数的性质与应用作者：谢妮娜来源：《学周刊》2017年第27期摘要：非负数是初中代数中一个重要的基本概念，通过对非负数性质介绍和应用举例，可以对初中数学中利用非负数解方程和几何应用问题加以分析，从中整理经验并指导教学。

关键词：非负数；代数式；方程中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）27-0102-02DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.27.063对于初中数学这个大家庭而言，“非负数”是一个不可或缺的重要成员。

从数轴，绝对值，到乘方，完全平方公式，再到开方，二次根式，到处都能看到“非负数”的身影。

那到底什么是非负数呢？所谓非负数，就是指零和正实数，这是从数的层面下的定义；从几何层面来理解，非负数是指在数轴上，原点与原点右边的点所表示的数。

一、常见的非负数初中数学重点学习的非负数主要有三种：1.任何实数的绝对值：a？叟0；2.任何实数的平方：a2？叟0；3.任何非负实数的算术平方根（二次根式）：？叟0（a？叟0）。

二、非负数常用的性质1.有限个非负数之和是非负数；2.有限个非负数之和是0，则每一个均为0，即所谓的“0+0=0”。

三、非负数的应用在初中阶段，非负数的应用集中在对其知识点性质的相关运用。

此类应用在解题时通常需要挖掘题目中暗藏的非负性条件，利用配方、倍分、拆项、添项等变形技巧，通过列方程或不等式解决问题。

（1）化简例1、设2x-4解：∵2x-4∴原式=+=x-3+x-2=3-x+2-x=5-2x（2）求最值例2、求二次函数y=-2x2-8x+3的最大值解：y=-2x-8x+3=-2（x+4x）+3=-2（x+4x+4）+11=-2（x+2）+11∵（x+2）？叟0∴-2（x+2）？燮0∴ y？燮11故y的最大值是11。

（3）求代数式的值在求代数式的值时，必须先求出字母的值，再代入代数式求值。

但在求每个字母的值时，如果已知条件的个数少于其字母的个数，就经常需要根据非负数的性质，将已知条件划分开，求出每个字母的值或找到字母之间的关系，从而求出代数式的值。

数学2020年春季人教版教案 7年级-4 非负数的性质及应用

又∵｜x｜=,∴x=或-.∵y是3的平方根，∴y=或-.
又-＜,-＜-，∴x=,y=或-.
当x=,y=时，x+y=+；当x=,y=-时，x+y=-，
故x+y的值为+或-.
5. 解：由条件，得a-1=0,ab-2=0，∴a=1,b=2，
∴原式＝＝1-＝.
练习册答案：
1. B
2. A
3. B
4. 1
5. 1
师：这个式子满足非负数的性质吗？思考一下，然后和同桌讨论一下.
2.教师指定学生汇报讲解，其他学生指正并补充.
生：由算术平方根的被开方数大于等于0可知1-y≥0，所以(1-y)≥0，这样就可以根据非负数的性质求解了……
答案：
解：∵-(y-1)=0,
∴+(1-y)=0.
∵1-y≥0，∴(1-y)≥0.
根据非负数的性质得x+1=0，1-y=0，
播放导入.
师：怎么样？大家来尝试一下？
生：……
师：合理的运用数学知识，可以有效的帮助我们减少损失，今天我们来学习非负数的性质的应用.
回顾
非负数：
定义：正数和零叫做非负数（记为a≥0).
常见非负数：｜a｜,a²,(a≥0).
性质：若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
二、合作探究
（一）探究类型之一算术平方根的被开方数的非负性
生2：我们没有求x和y而是用第二个式子乘2减去第一个式子，这样就得到了关于x+y和m的关系，然后把x+y=199整体代入求出m的值.
答案：
解:∵x-199+y≥0,且199-x-y≥0,即x-199+y≤0,
∴x-199+y=0,∴x+y=199,

数的开方知识点

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。

（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零3a（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b ≥0）。

第七讲非负数的性质及应用

第七讲非负数的性质及应用【知识要点】1、二次根式的基本性质（式子()0≥a a 叫做二次根式）（1）()⎪⎩⎪⎨⎧===a a ，a a a ，22则对于任意实数有对于非负数（2）若a>b>0，则b a >。

2、最简二次根式要满足下列条件的根式是最简二次根式：（1）被开方数的每一个因式的指数是1。

（2）被开方数不含有分母。

3、二次根式运算法则（1）()00*≥≥=，b a b a ab ；（2）()00≥≥=，b a ba b a ；（3）()()0≥=a a a n n ；（4）()04≥=a a a ；4、复合二次根式2b a ±的化简：设法找到两个正数x ，y （x>y ），使x ＋y=a ，x ·y=b ，则 ()y x y x b a ±=±=±22 5、非负数的三种形式：绝对值a 、平方项2a 、算术平方根()0≥a a 。

【典型例题】例1-1 已知c y x y x =-++-+425，求xy 的值。

()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0000a a a a a例2 化简32-+-a a 。

例3-1 设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a 。

试判断△ABC 的形状。

例4-1 已知321--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求 z y x ++的值。

例4-2 已知1511--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求z y x ++的值。

例7 若u ，v 满足23342342++-++-=v u u v v u v u v ，求22v uv u +-的值。

例8-2 化简222323-++。

【课堂练习】一、选择题。

1已知x ，y 是实数，09432=++++y y x ，若y x a x y =-3，则实数a 的值是（）。

初三数学知识点总结

第一章实数★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1．数的分类及概念数系表说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：①定义及表示法②性质：a.a≠1/a（a≠±1）;b.1/a中，a≠0;c.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;d.积为1。

4．相反数：①定义及表示法②性质：a.a≠0时，a≠-a;b.a与-a在数轴上的位置;c.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：a.直观地比较实数的大小;b.明确体现绝对值意义;c.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数）7．绝对值：①定义（两种）：代数定义几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律）3．运算顺序：a.高级运算到低级运算;b.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷³5）;c.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例（略）附：典型例题1．已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。

第二章代数式★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算☆内容提要☆一、重要概念分类1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

八年级数学经典讲解第08讲非负数

八年级数学经典讲解第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则a1＋a2＋…＋an≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，xn的值．解显然，x1=x2=…=xn=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，xn 中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为xi为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习八1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。

冰山一角——非负数的性质教学谈

冰山一角——非负数的性质教学谈发表时间：2019-11-27T13:16:22.913Z 来源：《中小学教育》2019年10月2期作者：杨炳兴[导读] 非负数有一条重要的性质：有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。

对于这条性质，单纯从数的角度看很好理解，但学生很容易遗忘，只能靠机械重复学习去掌握。

非负数性质的题设实际上是一个多元方程，在方程的视角下，非负数的性质与多元方程有唯一解的情形对应起来。

通过这种对应，将非负数的性质纳入到了方程知识体系当中。

教学上，依据学生已有的方程知识基础，通过探究式、随机进入式的教学，能使学生比较容易地理解掌握非杨炳兴岷江东路逸夫学校四川德阳 618000【摘要】非负数有一条重要的性质：有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。

对于这条性质，单纯从数的角度看很好理解，但学生很容易遗忘，只能靠机械重复学习去掌握。

非负数性质的题设实际上是一个多元方程，在方程的视角下，非负数的性质与多元方程有唯一解的情形对应起来。

通过这种对应，将非负数的性质纳入到了方程知识体系当中。

教学上，依据学生已有的方程知识基础，通过探究式、随机进入式的教学，能使学生比较容易地理解掌握非负数的性质。

【关键词】初中数学；非负数性质；方程的解；随机进入式教学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）10-065-02非负数是正数和零的统称。

初中数学重点学习的非负数主要有三类：1.任意实数的绝对值|a|；2.任意实数的平方a2；3.任意非负实数的算木平方根(二次根式) (a≥0）。

非负数常用的性质有两条：1.有限个非负数之和仍是非负数；2.有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0[1]。

对于第一条性质，学生理解与运用的难度都不大，后文将不再探讨。

对于第二条性质，表面看似乎也很好理解与运用，但实际上问题多多，除开学优生不论，一般学生往往到毕业时也只会依葫芦画瓢，远达不到理解掌握的程度。