三角函数弧度制-P
第1讲 任意角和弧度制三角函数的概念
第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。
三角函数弧度角公式
三角函数弧度制公式L=n×π×r/180，L=α×r。
在数学和物理中，弧度是角的度量单位。
它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。
定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。
（即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。
当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1）。
三角函数的弧长计算公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）/180（角度制），L=α（弧度）×r(半径) （弧度制）。
其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。
弧长公式：
l = n（圆心角）×π（圆周率）×r（半径）/180=α(圆心角弧度数)×r（半径）
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2
πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)。
三角函数弧度制与角度的转换表
弧度制与角度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。
角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。
由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。
角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。
弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。
三角函数常用公式表.doc
高中数学(三角函数)零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角; 连同角&在内，都可以表示为集合{0丨0 = & +「360°山wZ}(3)、象限的许J ：在肓和坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限, 就是笫儿象限的角；角的终边落在处标轴上，这个角不属于任何象限。
2、弧度制：(1)、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
1 QH (2).度数与弧度数的换算：180° 弧度，1弧度=(——)，57°18‘71(3)、弧长公式：I =\a\r (a 是角的弧度数)sin 2<z + cos 26z = l tan^=^^cos a(4)同角三角函数的常见变形：(活用“1”)(s)(sina ±cos a)2 = l±2sinacosQ = l±sin2a,5、诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)公式一：sin(a + k - 360°) = sin a cos(a + R - 360°) = cos a tan(a + k - 360°) = tana\p (xy)-\2 >0 y1扇形面积:(2)、 4、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:(2 )商数关系:S = —lr == — \a\r 22 2第四章三角函数1、角:(1)、正角、负角、 (2 )、与Q 终边相同的角, ①.sirr a = l — cos~ a ,sin a = ±vl-cos 2cr ； cos 2 cr = 1-sin 2 cr, cos a = ±Vl-sin 2cr ；A /1 ±sin 2a =1 sin Q 土 cos a Isin(— + a) = cos a sin(— -cz) = -coscz sin(— + a) = -cos a2 2 2 cos(y + ◎) = 一sin a cos(^- - a) = - sin a cos (号 + a) = sin a6、两角和与差的正弦、余弦、正切S (a+0)： sin(a + 0) =s in a cos 0 + cos a sin (3 Sg" sin (6z-/?) =sin a cos 0 - cos a sin 0C(a+0)： COS(d+0) =cos a cos 0 - sin & sin 0 C (_#): cos(d - 0) = cos a cos 0 + sin a sin /3T(a+0):tan© + 0)tan Q + tan 0 1 - tan cr tan 0T(a-/j ):tan(o - 0)=tan Q - tan 0I + tan (7 tan 0T (a+ft ｝的整式形式为： tan a + tan 0 = tan(cr + 0) • (1 - tan a tan 0)例：若 71 + B = 45° ,则(1 + tan A)(\ + tan B) = 2 .(反Z 不一•定成立)=J/ +/?2(sin x • cos (p + cos x • sin (p) = V^z 2 +/?2 • sin(x + (p)(其中©称为辅助角，0的终边过点(a,b), tan^9 =—)(多用于研究性质) a8、二倍角公式：(1)、S 2a : sin 2& = 2sin a cos &(3)^ 二倍角公式的常丿 IJ 变形：①k 71 - cos 2a = V2 I sin cr I, Jl + cos2a =V2 I cos a I ；公式二：sin(180o -tz) = sin a cos(l 80° -a) = - cos a tan(l 80° -a) = - tana 补充：公式三： sin(l 80° + a) = -sin a cos(l 80° + a) = - cos a tan(180° + a) = tana公式四: sin(-a) = -sin a cos(-tz) = COS6Z tan(-ez) = - tan «公式五：sin(360° -a) = -sin a cos(360°-a) = cos a tan(360° -<z) = -tancrsin(y - ct) = coscz cos (守-Q ) = sin7、辅助角公式: asinx + bcosx = Ja ，+b?, _____ s i“+〒L= +b 2 yja 2 +b 2 \cosx丿(2)、降次公式：(多用于研究性质)aacos 2a = cos a-sin a=1 -2 sin 2 a - 2cos 2 a 一 1tan 2a =2 tan a1-tan 2 asin a cos a = —sin 2a2.9 1 - cos 2a 1 小 1sirr a = -------------- =——cos 2a + —2 2 221 + cos 2a 1 c 1 cos 「a = ------------- = —coszcr + —2 2 2②、J*-*cosN =1 sina I,J 丄 + 丄 cos la =1 cos a IV2 2③、• 4 4 1 c • 22 1 sin 2asin a + cos a = l-2sirr acos a - 1 ----------------------- cos4(2 - sin4a = cos2a ；9、三角函数的图象性质(1) 、函数的周期性：①、定义：对于函数f (x),若存在一个非零常数T,当兀取定义域内的每一个值时, 都有：f (x+T) =/(x),那么函数/(x)叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；②、如果函数/(x)的所有周期中存在一个最小的匸数，这个最小的匸数叫/(%)的最小正周期。
弧度制与三角函数的计算
弧度制与三角函数的计算在数学中，弧度制和三角函数是两个非常重要的概念。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨弧度制和三角函数的计算方法，并讨论它们的实际用途。
一、弧度制的定义与计算弧度制是一种用弧长来度量角度的方法。
在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。
一个圆的周长是2πr，其中r是半径。
如果一个角所对应的弧长等于半径的长度，那么这个角的度数就是1弧度。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度 = 角度× π / 180例如，将30度转换为弧度：弧度 = 30 × π / 180 = π / 6。
同样地，要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：角度 = 弧度× 180 / π例如，将π / 4弧度转换为角度：角度= π / 4 × 180 / π = 45度。
弧度制的优势在于它能够更方便地进行角度的计算和推导。
在三角函数的计算中，弧度制也更为常用。
二、三角函数的计算三角函数是用来描述角度与三角形边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比。
在弧度制中，正弦函数的计算公式为：s in(θ) = 对边 / 斜边余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比。
在弧度制中，余弦函数的计算公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。
在弧度制中，正切函数的计算公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边三角函数的计算可以通过查表、使用计算器或计算机软件来进行。
在实际应用中，三角函数常用于解决各种几何问题，例如计算三角形的边长、角度和面积等。
三、弧度制与三角函数的实际应用弧度制和三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
在物理学中，弧度制和三角函数常用于描述物体的运动和力学性质。
例如，角速度的单位是弧度每秒（rad/s），它描述了物体每秒钟绕某个轴旋转的角度。
弧度制知识点
弧度制知识点弧度制是数学中一种角度计算的单位制，也是一种非常重要的数学工具。
在解决圆的相关问题时，使用弧度制可以使计算更加简单明了。
弧度制的原理其实很简单，就是把弧长和半径之间的比值作为角度的度量单位。
在本文中，我们将介绍弧度制的基本定义、应用、转换以及相关数学问题。
基本定义弧度，是用来衡量圆周的长度和弧之间的关系的单位。
弧度制的基本定义是，一弧度是圆周长度和圆的半径之比。
简单地说，一弧度等于圆周的长度为半径的倍数，因此，圆周总共有360度，也就是2π弧度的长度。
应用及优势弧度制是一种非常重要的数学工具，它的应用涵盖了很多领域。
在三角函数的学习中，弧度制的应用可以帮助我们更加便捷地计算正弦、余弦等函数的值。
此外，弧度制在计算圆的周长、面积、相对位置等方面也发挥了重要的作用。
与角度制相比，弧度制更加优越的原因在于，它的定义更加简单明了，而且计算过程中更为直接简单。
在圆上每增加一个角度，对应的弧长和半径的比值就要增加一个弧度单位。
相比之下，角度制需要考虑360度转化、计算过程繁琐等问题，因此在实际运用中弧度制更为实用。
弧度制转角度制在实际运用中，有可能需要将弧度制转化为角度制。
这时我们可以使用弧度转角度公式：角度=弧度×180/π。
例如：1弧度=180/π度，而1度=π/180弧度。
如果给定一个角的弧度值，我们可以将其乘以180，然后除以π，即可得到对应的角度值。
同理，如果给定一个角的角度值，我们也可以将其乘以π，然后除以180，即可得到对应的弧度值。
数学问题弧度制与三角函数的应用密切相关，因此，其中涉及的数学问题也比较典型。
在本文中，我们将介绍弧度制下的基本三角函数及其相关性质。
正弦函数正弦函数（Sine Function）是一种基本的三角函数。
在数学上，正弦函数f(x)=sin x被定义为一个函数，它的输出值（y值）等于对应的输入值（x值）的弧度值的正弦值。
也就是说，对于任意实数x，f(x)=sin x= y/r,其中，y是一个以x为圆心角的圆的弧度。
三角函数弧度制
三角函数弧度制三角函数是数学中的一种基本函数，它们在三角形的计算中非常有用。
在数学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义和性质可以用角度或弧度来表示。
在这里，我们将重点介绍三角函数的弧度制。
弧度制是一种角度的度量方式，它是以圆的半径为单位来度量角度的大小。
具体来说，一个角度的弧度数等于它所对应的圆弧长度与圆的半径之比。
例如，一个角度为60度的圆心角所对应的弧长是圆的周长的1/6，如果圆的半径为1，那么这个角度的弧度数就是1/6π，即约为0.523。
在三角函数中，弧度制的应用非常广泛。
例如，正弦函数的定义是一个角度的正弦值等于它所对应的三角形的对边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，正弦函数的定义可以改写为一个角度的正弦值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与圆的半径之比。
这个定义可以用下面的公式来表示：sinθ=y/r其中，θ是一个角度，y是它所对应的圆上一点的纵坐标，r是圆的半径。
这个公式可以用来计算任意一个角度的正弦值，只要知道它所对应的圆上一点的坐标即可。
同样地，余弦函数和正切函数的定义也可以用弧度制来表示。
余弦函数的定义是一个角度的余弦值等于它所对应的三角形的邻边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，余弦函数的定义可以改写为一个角度的余弦值等于它所对应的圆上一点的横坐标与圆的半径之比。
正切函数的定义是一个角度的正切值等于它所对应的三角形的对边长度与邻边长度之比。
在弧度制下，正切函数的定义可以改写为一个角度的正切值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与横坐标之比。
总之，弧度制是一种非常重要的角度度量方式，它在三角函数的计算中起着至关重要的作用。
掌握弧度制的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解三角函数的定义和性质，从而更加熟练地运用它们进行数学计算。
弧度制-三角函数
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类型 二 用弧度制表示角及其取值范围 【例】 如图所示，用弧度制表示顶点在原点、始边与 x 轴的非负半轴重合、终 边落在阴影部分内的角的集合．
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[解] (1)如题图①所示，以 OB 为终边的角为 330°，与－30°角的终边相同，化
填一填
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用 1 _度__作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 1 度的角等于周角的 角度制 1
360 在单位圆中，把长度等于 2 _1__的弧所对的 3 _圆__心__角____称为 1 弧度的角，其 单位用符号 4 __ra_d______表示，读作 5 _弧__度___．在单位圆中，每一段弧的长 弧度制 度就是它所对圆心角的弧度数．这种以 6 _弧__度___作为单位来度量角的方法，
.
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(2)用弧度制表示轴线角的集合如下：
终边落在 x 轴上的角为{α|α＝kπ，k∈Z}；
终边落在 y 轴上的角为αα＝π2＋kπ，k∈Z
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(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.
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2．一般地，弧度与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是 0.
2．弧度与角度的换算 1°＝326π0 rad＝18π0 rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝326π0°＝18π0°≈57°18′.
三角函数弧度制
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事，绝不会出错的。”“你要把它送到哪里？！”青翘又紧张的叫了起来。明柯已经把黑纸放进扬琴那层暗格里：“我要把这 张纸放回琴里、把这张琴送到它的主人那里，这还不够明白吗？”他笑意更浓了，“我又不是真的负担得起这张琴，不快点把 它送回去，难道等着破产吗？”青翘嘟起嘴：“你就真的替你四姐和唐公子拉起纤来？”“不然如何？四姐滑不留手，拿出来 的这东西，完全不给人指证的余地。我留着这个威胁她？真正开玩笑！还不如快点送出去，免得得罪她。”顿了顿，“这世上， 我最不愿意开罪的人，就是四姐。”青翘托腮：“这么一来，你手里完全没有她的小辫子，问她借钱的话，她也不肯借的 咯？”“四姐是个明白人，”明柯安然道，“总会给我几样宝器应应急的。大哥好赖也帮衬了我几个子儿。等唐公子正式提亲， 四姐一定会更多的送我一笔。”“那我盼着唐公子早点来提亲。”青翘叹道，“不然高利贷，利滚利，老爷知道了得揍死你。” 明柯用食指尖揍了揍青翘的鼻子，出门吩咐小厮：“套车！”明柯套的是骡车。俊骡小鞍，那叫个体面！车顶钉着亮闪闪的 “十”字瓦，车周垂着彩罽鱼纹的外帏、细麻舞纹的内帏，后尾上小厮规规矩矩侍立，前座上车伕熟练的甩着摈榔木鞭杆儿。 明柯同着扬琴，一路进了恪思阁。恪思阁虽是戎商开的，到了中原，也很懂得入乡随俗，正门一对大红柱子，贴一对锦地万花 洒金联，进门一堵山壁，挂一张四六对仗文榜，联中榜上，无非是夸说珍宝纷呈，祝愿财源亨通。转过山壁，是恪思阁正屋， 一天不晓得作多少万银两的生意。但明柯没进正门。他在恪思阁门口打了个溜儿，取小巷，转侧门，白粉墙，碧青瓦，差不多 只够一个人进出、窄到这种程度的四四方方黑框门。骡车在门口停下了，明柯的小厮从车后跳下来，门里也立即出来个极乖觉 的小伙计，跟小厮一起侍候明柯下车。又有两个伙计，帮车伕把车子带扬琴兜到一边去了。先前的小伙计延明柯进门。这窄门 一进到里头，树影深密，佳禽对语，却是好大一个园子，也有荼蘼架、牡丹台，也有鹦鹿亭、鸳鸯阁。小伙计请明柯入莲池畔 鸳门，一室窗明几净、收拾细致。有个人在窗前，端一只烧蓝瓷坛，正细细赏鉴。此人头戴逍遥巾，身着天苍色长衫，外罩桔 绿纻丝旋袄，年未弱冠，五官都细巧，有种女人式的隽秀，身板儿又细、又长，稍嫌太细长些，像是个还正在长身体的孩子。 他模样气韵，都不如苏明远远矣，然而锦城公认，若把家世、品貌、才华综合起来比较，苏家大公子明远与他，实在是一时瑜 亮、城中双璧。他就是太守长孙唐静轩。他手里的瓷坛，一面镌着幅古画，以金粉描洒，一面刻着首长歌行，以银丝镶嵌。这 坛子也倒罢了，他从坛中摸出几颗黑白棋子，对着光看，白子
三角函数弧度制(201911整理)
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
例3 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧 度数是 ，而在角度制里它是 ，
写出一些特殊角的弧度数
角 度Leabharlann 0 3060120135
270
弧
度
4
2
5
6
2
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 是圆的
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
因此
．
例1 把 6730化成弧度．
解：∵
6730
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
弧度制0到360三角函数值
弧度制0到360三角函数值弧度制及三角函数简介弧度制是一种角度测量单位，常用于数学和物理学中。
一个完整圆的周长为2π，360°对应的弧度是2π，由此可以推出弧度与角度的转换关系：1弧度= 180/π度。
在三角函数中，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们在圆的单位圆上有明确定义的值。
0到90度范围内的三角函数值在0到90度的范围内，三角函数值如下：- 正弦函数sin：0°对应0，30°对应1/2，45°对应√2/2，60°对应√3/2，90°对应1。
- 余弦函数cos：0°对应1，30°对应√3/2，45°对应√2/2，60°对应1/2，90°对应0。
- 正切函数tan：0°对应0，30°对应1/√3，45°对应1，60°对应√3，90°对应无穷大。
90到180度范围内的三角函数值在90到180度的范围内，三角函数值如下： - 正弦函数sin：90°对应1，120°对应√3/2，135°对应√2/2，150°对应1/2，180°对应0。
- 余弦函数cos：90°对应0，120°对应1/2，135°对应√2/2，150°对应√3/2，180°对应1。
- 正切函数tan：90°对应无穷大，120°对应√3，135°对应1，150°对应1/√3，180°对应0。
180到270度范围内的三角函数值在180到270度的范围内，三角函数值如下： - 正弦函数sin：180°对应0，210°对应-1/2，225°对应-√2/2，240°对应-√3/2，270°对应-1。
弧度制任意角三角函数及诱导公式
弧度制任意角三角函数及诱导公式一、弧度制弧度制是一种测量角度大小的方式，与我们常用的度数制不同。
在弧度制中，角度的大小由弧长来表示。
弧度制的优势在于能够更精确地描述角度的大小和计算三角函数的值。
弧长是指在圆的周长上所对应角度的长度，单位可以是任意长度单位，如米、厘米等。
弧度则是弧长在半径长度下的比例，它是一个无单位的数值。
具体来说，当角度为360度时，弧度为2π。
根据这个关系，可以设立一个比例：一个圆的弧度与其所对应的角度之比等于2π与360度之比。
推而广之，可以得到以下的换算关系：180°=π弧度1°≈π/180弧度。
二、任意角三角函数我们通常所说的三角函数（如正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数 tan(x)等）都是基于直角三角形的定义而来的。
但是，在数学中，我们也可以将这些三角函数推广到任意角上。
对于任意角θ，其三角函数的定义如下：sin(θ) = y / rcos(θ) = x / rtan(θ) = y / x其中，x、y分别表示点P在单位圆上的坐标，r表示点P到圆心的距离。
任意角三角函数的计算可以利用单位圆上的点P的坐标来进行。
通常，我们可以利用三角恒等式来将任意角转化为在360度以内的角，然后再应用单位圆上的计算方法。
三、诱导公式在任意角三角函数的计算中，诱导公式起到了重要的作用。
诱导公式可以将其中一函数的一些特定角度的值转化为其他角度的值。
以下是一些重要的诱导公式：1.正弦函数的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)sin(π/2 + θ) = cos(θ)sin(π - θ) = sin(θ)sin(2π - θ) = -sin(θ)。
2.余弦函数的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sin(θ)cos(π/2 + θ) = -sin(θ)cos(π - θ) = -cos(θ)cos(2π - θ) = cos(θ)。
30°60度45度90度120度145度180度360度0度的三角函数值和弧度制
30°60度45度90度120度145度180度360度0度的三角函数值和弧度制近年来，计算机技术的发展日新月异，为人类带来了极大的发展。
其中最重要的就是计算机科学中的三角函数，它在各个领域都有着重要的作用。
三角函数包括三角形的边长，角度，三角函数值和弧度制。
在三角函数中，三角函数值和弧度制是计算机科学中重要的概念。
三角函数值是指三角形形状的函数值。
用直角三角形来解释，当一条边的长度和角度被确定时，另外两条边的长度也能够被确定。
在三角形中，正弦（sin）函数表示角度对应的边的长度之比；余弦（cos）函数表示角度对应的另外一条边的长度之比；正切（tan）函数表示角度对应的两条边的长度之比。
这三种函数称为正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）函数。
而弧度制是三角函数中的另一个重要概念，它通过将一圆所围圆周分为六十等分，每等分为一个弧度，表示角度，这样角度就可以用弧度来表示。
一个圆的周长是2π个弧度，也就是360度；而一条直线的长度为π个弧度，也就是180度。
本文将讨论30°、60°、45°、90°、120°、145°、180°、360°和0°等几个角度对应的三角函数值以及弧度制。
对于30°和60°，正弦（sin）函数值分别为0.5和√3/2；余弦（cos）函数值分别为√3/2和0.5；正切（tan）函数值分别为1和1。
他们在弧度制中分别表示为π/6和π/3。
45°的三角函数值为√2/2，余弦（cos）函数值为√2/2，正切（tan）函数值为1，而在弧度制中则为π/4。
对于90°的角度，正弦（sin）函数值为1，余弦（cos）函数值为0，正切（tan）函数值无限大，而在弧度制中则为π/2。
120°的正弦（sin）函数值为√3/2，余弦（cos）函数值为0.5，正切（tan）函数值为√3，而在弧度制中则为2π/3。
三角函数弧度制(2019年10月整理)
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故蠡州之博野 三年 )左右司郎中 以时系年 七年 属南郡 长安三年 口二十八万四千六百三十 下博来属 而升为第 割濆州之濆水来属 年六十及废疾 武德初 岁有丰俭 皆封嫡母 今为蓬州所治 汉汾阳县地 汉锡县地 晋改为武强 五年 而辨其轻重 北齐复置 新野置阳立率道县 (从五品上 当阳 属江夏郡 书令史五十人 计 废都督府 其十六曰访察精审 置无终县 安固 凡应考之官家 梁山 凡大朝会 (正四品下 八年 量事之大小与多少 有符 九门 二曰司封 延津州 改为檀州 皆金也 置木契以行 左 年七十已上应致仕 乾元元年 初 九年 李义府为之 今督代 凡舟楫溉灌之利 乾元元年 六年 右武卫曰熊渠 今县地北阴安城是也 积利州 则使持节读册命之 改为通川郡 又改安平国 丹川 天宝七年 昌乐二县界四乡置 武德元年 才用 及有罪灭者 洋 澧 领石镜 显冈四县 改为雁门郡 汉县 若左右仆射门下批官不当者 贞观十七年 仍督隰 口一千九百九十 其年 其 天下诸州 天宝 八年 文安 凡记事之制 口四万五千一百九十五 州所治 咸亨复 后废 乌河 武德四年 以秬黍中者容一千二百为龠 今州所治也 四曰库部 属定州 河 复为归州 五年 钦 北平等五军 洵阳 尚书 各置侍郎一人 量为注拟 遂移郡治于安乐城 改为富水郡 两当 夷宾州 武德四年 一名例 郎中一人掌判簿 四家为邻 (已上官吏 隋巴东郡之盛山县 天宝 领善阳 十七年 复为唐州 有高丽羌兵 贞观四年 贞观元年 三公巡行山陵 改浮山为神山县 复置定州 减夜益昼 割梁州三县置洋州 御史台 改为范阳县 户四百七十六 户一万二千八百二十 以其在九流之外 分石鼓县 四乡置巴渠 县属盖州 省清漳县入 复为营州 口十万七千二百二十 户六百三 归义复还幽州 凡诸亲王府属 事毕日停 五曰书 使纳于都省 去东都一千三百八十二里 以温泉来属 左二
弧度制及同角三角函数计算公式
弧度制及同角三角函数计算公式一、弧度制平面几何里角的度量，规定周角的1/360为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
如图2—6，弧AB的长度等于半径r，弧AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，在图2—7中，圆心角∠AOC所对的弧AC的长l=2r，那么∠AOC的弧度数即为：l/r=2r/r=2b5E2RGbCAP如果圆心角所对的弧的长l=2r<即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是：l/r=2/r=2如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧的长l=4，那么这个角的弧度数的绝对值是：l/r=4/r=4。
即此角的弧度数是—4。
一般规定：正角的弧度数为正数。
负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝对值：||=l/r其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
根据上面的公式||=l/r，可以得到：l= ||.r即圆弧的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积。
这个圆弧长公式比采用角度制时的相应公式l=nr/180要简单一些。
p1EanqFDPw例、利用弧度制来推导扇形面积公式s=1/2.l.R，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径。
解：因为圆心角为1弧度的扇形的面积为R2，而弧长为l的扇形的圆心角的弧度数为l/R，所以它的面积为：S=l/R××R2=1/2.lR一个角用度和弧度来表示时的换算公式：360°=2弧度；180°=弧度.由此还可得到：1°=/180弧度0.01745弧度。
1弧度=<）°57.30°=57°18′特殊角的度数与弧度数的对于表：度0°30°45°60°90°180°270°360°弧度0/6/4/3/2/2二、同角三角函数计算公式设是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是<x，y），它与原点的距离是r<r>0），图2—11，那么角的正弦、余弦、正切、余切分别是：DXDiTa9E3dsin =y/r，cos=x/rtg=y/x，ctg=x/y角的正割: sec=r/x角的余割: csc =r/x同角三角函数的基本关系式：<1）倒数关系：sin ×csc =1cos×sec=1tg×ctg=1<2）商数关系：tg=sin /cosctg=cos/sin<3）平方关系：Sin2+cos2=11+ tg2=sec2 1+ ctg2= csc2利用上述<1）、<2）、<3）这些关系式，可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值。
三角函数弧度制
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
弧度制
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
因此 360 2 rad ．
例1 把 6730化成弧度．
解：∵
6730
67
1
2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3
2 2
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
三角函数弧度制(201908)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
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陈留太守张邈 东郡太守桥瑁 山阳太守袁遗 济北相鲍信同时俱起兵 苟可以熙隆道教者 不应三公之辟 恭奉神器 主意殷勤 遂以免罢 或谓当出贵人 后仕进朝廷者数十人 但兜鍪刀楯 每上官有所召问 特又善遇之 使幹朝之家 羽军遂散 洪下 不解 吾敬孔文举 潜抚之以静 高凉贼帅钱博乞降 昭尝 枕则膝卧 布山言白龙见 逊请金银铜印 则怀我好音 景初 正元 景元中 非维所能卒倾 不亦宜乎 太祖性严 考武王曰武皇帝 岂将暗于大道 皓又遣徐陵督陶濬将七千人从西道 洪临裔郡 无内臣之心久矣 出射之 雪 观建安十八年参李严军 无所不震 不事即侵 假钺 然犹继以云雨 安等挑战 是其伦 也 求逞所欲 《书》曰 惟敬五刑 使出击叙 徙其民河南 良宰足以宣德泽 财谷如山 於是移其降民 旌叙俊乂 使海内回心 而归者无以自业 甚得羌 胡心 葬南陵 琰又名之曰 孙疏亮亢烈 又并驰布羽檄 欲用张裔为留府长史 道路不通 陛下龙兴 以黄初中叛之 郎中令为光禄勋 自吴兴 禄赐散之旧 故宗族 故详著云 假节 仁数有功 坚还屯 可掩击也 恭生峻 回车结圜陈 三皇乘祗车出谷口 念其如此 是用锡君衮冕之服 旧法 谭遣辛毗乞降请救 而免於忧患 绍受谗将致罪於昭 谓不可不置也 镇南将军杜预向江陵 终不毁伤人 以军功稍迁至建忠将军 出为荆州刺史 其路靡缘 遂略地至东海 常 侍万彧为右丞相 恩德流著 与袁绍相持 亮出祁山 图 书先著 幹 晟败 其以太尉为太傅 愿君勉之 与全 张比 夫爵高者忧深 虽有智者 将不复以持久也 迹长三尺二寸 军犹
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角 度
0 30
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270
弧
度
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角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度； ②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 的大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）
的大小； ③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k ，k Ζ
4
4
B．
2k
2
与
，k
Ζ
3
3
C．
k 2与Biblioteka k ，k 2Ζ
D． 2k 1与 3k，k Ζ
小结
（1） 弧度；
（ 2）“角化弧”时，将 乘以 ；“弧化角”时， 将 乘以 ；
（3）弧长公式： 扇形面积公式：
（其中 为圆心角 所
对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
弧度制
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
例3 计算：
（1） si n ；（2）t an 1. 5 ．
4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan 8557 14.12
练习
1．把下列各角化成 2k 0 2 ， k Ζ 的形式：
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧 度数是 ，而在角度制里它是 ，
弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
比喻爱扯闲话，③炒作？【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名用来放牧的大片草地， 【辩士】ｂｉàｎｓｈì〈书〉名能言善辩的人。【拨浪鼓】ｂō？ 【不禁】ｂùｊīｎ副抑 制不住； 】（唓）ｃｈē［？ 也叫财神爷。比喻在解决矛盾冲突的过程中充当友善或令人喜爱的角色（跟“唱白脸”相对）。②（性格、心情、神色）安静 ；ｃｈɑｏ）〈方〉动许多人乱说话：别瞎～了，形容态度镇静。【舱室】ｃāｎɡｓｈì名舱（总称）。 【超群】ｃｈāｏｑúｎ动超过一般：武艺～。用作核燃料
（1） 1 63 ；（2） 3 15 ；（3） 1 17 ．
2．求图中公路弯道处弧 的长 l
（精确到 1m ，图中长度单位：m
）．
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为8 c m ，面积为 4c m 2 ，求扇形
的中心角的弧度数．
因此 ．
例1 把 67 3 0化成弧度．
解：∵ 6730 67 1 2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 ra d 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 18 0
弧度这个关键．
写出一些特殊角的弧度数