高三数学必做题--数列放缩法
高中数学课程数列中的放缩法
数列中的放缩法
在全国卷高考中，数列已经远远降低了难度，再也不会出现那种丧心病狂，虐死人不犯罪的压轴题了。
相应的放缩技巧，在数列考查中也几乎绝迹了，就算偶尔出现意外，也不会太难，掌握下面这几类，完全可以搞定。
一·放缩法
1·放缩法的步骤：
【注意】
放缩法在很多时候会保留第一项或前几项不放缩，这样才不至于使得结果过大或者过小。
2·放缩成等比数列模型：
3·放缩成裂项相消模型：
二·放缩法的应用 1·直接可求和放缩：
2·放缩成等比数列：
3·错位相减法放缩：
4·裂项相消放缩：。
全国高考数学复习微专题：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ） （2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和： 若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
数列及函数不等式放缩如何一步到位
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6
2020届高考数学专题汇编：数列放缩方法
数列放缩法常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，基本结构有4种：1.形如∑a i n i=1<k （k 为常数）2.形如∑a i n i=1<f (n )3.形如∏a i n i=1<k （k 为常数）4.形如∏a i ni=1<f (n )例1.求证：12+122+123+⋯+12n<1(n ∈N ∗)变式1求证：12+222+323+⋯+n 2n<2(n ∈N ∗)变式2求证：12+1+122+1+⋯+12n +1<1(n ∈N ∗)变式3求证：12+1+222+2+⋯+n2n+n<2(n∈N∗)例2.求证：11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)<12(n∈N∗)变式1求证：11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)≤13(n∈N∗)变式2求证：12×3+13×5+⋯+1(n+1)(2n+1)<512(n∈N∗)例3.求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<2(n∈N∗)变式1求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<74(n∈N∗)变式2求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<53(n∈N∗)变式3求证：1+132+152+⋯⋅1（2n−1）2<54(n∈N∗)例4.已知数列{a n}，a n=2n2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)ni=1<3变式.已知数列{a n}，a n=2n2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)ni=1<25 9例5. 求证：13−2+132−22+⋯+13n−2n<32(n∈N∗)变式.求证：13−2+132−2+⋯+13n−2<1714(n∈N∗)例6. 求证：2(√n+1−1)<1+√2+√3+⋯+√n<2√n(n∈N∗)变式.求证：1+√2+√3+⋯+√n<√2(√2n+1−1)(n∈N∗)例7. 求证：12×34×56⋯2n−12n<√12n+1(n ∈N ∗)变式.求证：(1+1)(1+14)(1+17)⋯(1+13n−2)>√3n +13(n ∈N ∗)常见放缩公式： 平方型：1n (n+1)<1n 2<1n (n−1) (n ≥2)1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)(n ≥2) 1n 2=44n 2<44n 2−1=2(12n −1−12n +1) 1(2n −1)2<14n (n −1)=14(1n −1−1n)(n ≥2)立方型：1n 3<1n (n 2−1)=12n (1n−1−1n+1)=12[1(n−1)n−1n (n+1)] (n ≥2)根式型：2(√n+1−√n)=2√n+1+√n<1√n=22√n<2√n+√n−1=2(√n−√n−1)1√n =2√22√2n<2√2√2n−1+√2n+1=√2(√2n+1−√2n−1) 1√n+2=22√n+2<2√n+2+√n=√n+2−√n1√n(n+1)<1√n+√n−1=√n−√n−1指数型：1a n−b n ≤1a n−1(a−b)(a>b≥1)证：1a n−b n =1a n−1[a−b⋅(ba)n−1]≤1a n−1[a−b⋅(ba)]=1a n−1(a−b)1a n−b≤1a n−1(a−b)(a>b≥1)证：1a n−b =1a n−1(a−ba n−1)≤1a n−1(a−ba0)=1a n−1(a−b)13n<13n−2≤13n−114n<14n−3≤14n−114n<14n−1≤13⋅4n−1奇偶型：2n−1 2n <2n−1√(2n−1)(2n+1)<√2n−12n+1。
高三数学必做题数列放缩法典型试题
高三数学必做题数列放缩法典型试题Prepared on 22 November 2020数列综合题1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =． （1）求2a ；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。
高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法是一种用于求解数列问题的技巧。
通过适当的方法对数列进行放缩，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
在高中数学中，数列是一个非常重要的概念。
通过研究数列的性质和规律，可以帮助学生培养数学思维和分析问题的能力。
数列放缩法的基本思想是通过一系列变换将原始数列转化为一个更
加简单或者更加易于处理的数列，从而使问题的求解变得更加容易。
下面介绍几种常用的数列放缩方法：
1. 数列的倍数放缩：如果一个数列的每一项都乘以一个相同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有明显倍数关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等比数列，从而更加方便地求解。
2. 数列的平移放缩：如果一个数列的每一项都加上或者减去一个相
同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有明显递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等差数列，从而更加方便地求解。
3. 数列的递推放缩：如果一个数列的每一项都是前一项的某个函数，
那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有复杂递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个递推公式，从而更加方便地求解。
除了以上几种基本的放缩方法，还可以根据具体问题的特点进行其他类型的放缩。
数列放缩法在高中数学中有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种数列问题，提高数学分析和推理能力。
总之，高中数列放缩法是一种重要的解题技巧，通过适当的放缩方法可以简化数列问题的求解过程，提高解题效率。
掌握数列放缩法对于高中数学的学习和应试都具有重要的意义。
高考数学压轴题放缩法技巧全解
放缩技巧全解证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 技巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n(2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n n x x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα例10.n2nn 2132+例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)
1 1 2 ． a1a2 a2 a3 3
1 n (1)n1 ，其中 n 2 ． bn n an
②是否存在实数 ，使得数列 {bn } 为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
9、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S n （1）求数列 an 的通项公式； （2）若 bn
1 n an 1 , n N ，其中 a1 1 ． 2
1 3
an1
2
，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn
1 4
富不贵只能是土豪，你可以一夜暴富， 但是贵气却 需要三代以上的培养。孔子说“富而不骄，莫若富而好礼。” 如今我们不缺
土豪，但是我们缺少贵族。
3、已知 a n 是等差数列， a 2 3 ， a 3 5 ． ⑴求数列 a n 的通项公式； ⑵对一切正整数 n ，设 bn
(1) n n ，求数列 b n 的前 n 项和 S n ． a n a n 1
4、设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a1 2 , an1 2S n 2 n 1,2,3 （1）求 a2 ； （2）数列 a n 的通项公式； （3）设 bn
2、已知数列 an 的前 n 项和 S n
n 1 an ，且 a
21Leabharlann 1．（1）求数列 an 的通项公式； （2）令 bn ln an ，是否存在 k (k 2, k N ) ，使得 bk 、bk 1 、bk 2 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的 k 值；若不存在，请说明理由．
7、已知数列 an 满足 a1 （1）求证：数列 {
1 * ， an1an 2an1 1 0 ， n N ． 2
(完整版)高三数学数列放缩法
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．。
高考难点放缩法
高考专题—放缩法一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ⋅+≥+=--)1()1()(2． 当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴nn a )21(-=． nn n nnn b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． ∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a na n nn ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n n a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,…. 解（1）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n . （2）因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++ .又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n ， 所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-+n n n n . 综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n . 注：常用放缩的结论：（1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k kk k k k k k k k （2）．)2)(111(212112)111(2≥--=-+<<++=+-k k k k k k k k k k已知数列{a n }满足：a 1=1且)2(213221≥=---n a a n n n .（1） 求数列{a n }的通项公式；（2） 设m ∈N +，m ≥n ≥2，证明（a n +n 21）m 1（m-n+1）≤mm 12-分析：这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式由已知有a n =112123--+n n a ,学生对形如1,0(1≠≠+=-A AB B Aa a n n 且, A ，B 是常数）形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设)2)(2(23211≤+=+--n x a x a n n n n 即11223--+=n n n c a a 与112123--+=n n n a a 比较系数得c=1.即n n n a )23(21=+)21(232111--+=+n n n n a a又23211=+a ,故{n n a 21+}是首项为23公比为23的等比数列，故n n n a 21)23(-=(2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证(mm n m m n1)1()232-≤+-，当m=n 时显然成立。
高考数学 压轴题 放缩法技巧全总结(最强大)
高考数学压轴题放缩法技巧全总结（最强大）高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结（最强大）变焦技术（高考数学备考资料）证明级数不等式由于其思维跨度大、建构性强，充满了思考和挑战。
它可以全面全面地测试学生的潜能和后续学习能力。
因此，它已成为高考最后一道题和各级各类竞赛题命题的优秀材料。
这类问题的解决策略往往是：多角度观察给定序列的通项结构，深入分析其特点，把握其规律，适当放大缩小；主要有以下膨胀和收缩技术：一、裂项放缩例1（1）请问？K1n24k2？124n2？11? n2n值；（2）验证：？1.五2k?1k3解析:(1)因为211，那么n212n 1.2（2n？1）（2n？1）2n？12n？12n？12n？1k？14k？14（2）因为n1111?251?,所以?1?1?2??11????2?2?2???k352n?12n?133??k?114n?1?2n?12n?1?n2?41奇巧积累:(1)1441?? 1.2.2.2.2N4N？1.2n？12n？1.R1r？中国？(2)121112cn?1cn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)（3） t1n！11111 （r？2）rrr！（n？r）！nr！r（r？1）r？1rn（4）（1？1）n？1.1.1.1.氮气？13? 215?n(n?1)21?n?2?nn?2?2n?12n?3?211?n?1(2n?1)?2(2n?3)?2n(5)111? Nnnn2（2？1）2？12(6)21?1(7)2(n?1?n)?1?2(n?n?1)(8)n?n（9）111?111?11,????k(n?1?k)?n?1?kk?n?1n(n?1?k)k?1?nn?1?k?n11??(n?1)!n!(n?1)!(10)(11)1n？2（2n？1？2n？1）？222n？1.2n？1.N211? N22(11)(12)(13)(14)2n？111 （n？2）n2nnnnnnnnnn？1n？1n（2？1）（2？1）（2？1）（2？1）（2？2）（2？1）（2？1）2？12? 11n3？1n？n21111 n（n？1）（n？1）？n（n？1）？？n（n？1）？N1.N一1?n?1?n?1?1n?1?2n?n?111N1n？一2n12n?n?32?132n?1?2?2n?(3?1)?2n?3?3(2n?1)?2n?2n?1?k?211??k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1) !(k?2)!1.NN1（n？2）n（n？1）（15）22(15)i?1?j?1?i2?j2(i?j)(i2?1?j2?1)i?j?i?ji2?1?j2?1?1例2（1）验证：1？11171? 2.（n？2）2262（2n？1）35（2n？1）（2）验证：1？1.1.1.1.12416364n24n（3）验证：1？1.3.1.3.5.1.3.5.（2n？1）？2n？1.一22?42?4?62?4?62nn(4)求证：2(n?1?1)?1?1?11?2(2n?1?1)23分析：（1）因为111?11?,所以2(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?(2n?1)?(2i?1)i?1n12111111?1?(?)?1?(?)232n?1232n 1(2)11111(111)1(111)222416364n42n4n（3）首先证明1？3.5.（2n？1）？2.4.6.2n12n？1.重新连接1n?2?n?2?n进行裂项,最后就可以得到答案（4）首先，再次证明1n1n?2(n?1?n)?2n?1?n22,所以容易经过裂项得到2(n?1?1)?1?1?1123n从平均不平等性来看，很明显这是真的，2(2n12n1)2n12n1n211n22所以1?1?11?2(2n?1?1)23n例3.求证:6n1115？1.2.(n?1)(2n?1)49n31?n21??1?2?214n?12n?12n?1?2?n?414解析:一方面:因为,所以kk？1n1211？25? 11? 1.2.1.2n？12n？1.33? 35另一方面：1？1.1.1.1.1.1.249n2？33? 411n1n(n1)n1n1当n?3时,什么时候？2点，总结一下6n111n6n,当n?1时,?12?(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1)6n111?12,（n？1）（2n？1）49n，6n1115?12?（n？1）（2n？1）49n3案例4（2022年国家第一卷）集合函数f（x）？十、xlnx。
高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n(11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13)3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m≥,则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m mm m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n na 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n n x x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα答案例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
高考数学：数列放缩法
⾼考数学：数列放缩法
数列放缩法需要把握两⽅⾯：
⼀、放缩⽅向
数列放缩的⽅向包含两层意思：
1.放缩成什么形式？
2.放⼤呢还是缩⼩呢？
第2个问题看题⽬要求即可.
对于第1个问题，⾼中阶段，数列放缩主要有两个⽅向.
1.朝等⽐数列去放缩，即把数列放缩为等⽐数列.
看这样⼀个例题：
从解答过程能够看出，本题需要放⼤，原数列⽆法求和，放⼤之后为等⽐数列，顺利实现求和.
2.朝裂项相消去放缩，即把数列放缩为能够采⽤裂项相消法求和的形式.
看这个例题：
数列⽆法求和，需要放缩，⽽且需要放⼤.
注意：为保证n-1有意义，n从2开始取值.
⼆、放缩的度
看个例题，体会放缩的“度”：
先分析通项，貌似能够朝裂项相消去放缩.
从上式结论看出，我们没有达到题⽬的要求，放的过⼤了.
为此，我们需要重新放⼤⼀次，这⼀次要往回收⼀些.
⼩结：
1.根据不等式符号决定放⼤还是放⼩；
2.常⽤的放缩⽅向：朝等⽐放缩和朝裂项相消法放缩；
3.放缩“度”的调节⽅法：不同形式放缩.。
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法1.上凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n>0$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n>a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
2.下凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n<0$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
3.奇偶性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$的奇偶性与$n$的奇偶性相同，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
4.整除性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$能整除$n$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
5.线性递增法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
6.线性递减法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
7.最值法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为一组有界变量，且$a_n$有最大或最小值，则可通过对最大或最小值进行放缩得到不等式。
8. 平均值大小法：如果数列满足$a_1,a_2,\ldots,a_n$的平均值满足一些条件，则可借助平均值大小的不等式进行放缩。
9.乘积法：如果数列满足相邻项的乘积满足一些条件，则可通过对乘积进行放缩得到不等式。
举个例子来说明这些放缩技巧的应用：问题：证明数列$a_n=\frac{1}{2n-1}$是递减的。
解答：我们可以使用上凸性法进行放缩。
由$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2(n+1)-1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=-\frac{2}{(2n+1)(2n-1)}<0$所以$a_n>a_{n+1}$，即数列$a_n$是递减的。
高三数学二轮复习冲刺：解决数列放缩问题的六大技巧
解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+（1）设12n n b a =+，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）证明：12211113nb b b ≤+++< ．解析：（1）∵131n n a a +=+，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即13n n b b +=，又∵111322b a =+=，所以{}n b 是首项为32，公比为3的等比数列，∴32n n b =，故{}n b 的通项公式为32nn b =.（2）由（1）知123n n b =，即1n b ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，∴121221133111222111333313nnnn b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+++==- ⎪⎝⎭- ，又∵数列113n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增，∴11111133n⎛⎫⎛⎫-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12211113nb b b ≤+++< .类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++< na a a ．解析：（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+ n a a a n n 111112(1)2231=-+-++-+ n n 12(1)21=-<+n ．注：111111().n n n n a a d a a ++=-，则：1223111111111......()n n n a a a a a a d a a ++⇒+++=-.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.例3．已知等比数列{}()n a n N*∈为递增数列，且236324,522==+aa a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．解析：（1）由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）知数列{}n b 的前n 项和为：0111322212n n n S -=++-+ ①，112123212122223n n n n n S --=++-++ ②，两式相减可得：1112111112121232212312222211122212n n n n n n n n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝-⎪⎭-- ，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<.类型3.先放缩通项再求和这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：例如：n n n n n )1(11)1(12-<<+或者12112-+<<++n n nn n 等2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 这样的话，可得：1)(-->-n nnab a b a ，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.（2013年广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .解析：（2）当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.例5.（2014全国2卷）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=（2）由（1）知1231nn a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==< （.所以123111132n a a a a ++++< .注：此处13123nn --≥⨯便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132-=<-n n n ，请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.nnn a a a +=+11型：取倒数加配方法.例6．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A．100332S <<B．10034S <<C．100942S <<D．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++⎛⎫==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<++⎪⎪⎭12<根据累加法可得，11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++.一方面：252111)1(41002>⇒+-+>+>S n n n a n .另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A．2.二次递推型：r qa pa a n n n ++=+21.12121211+++++=-⇒+=-⇒++=n n n n n nn n n nn a a r pa a qa r pa qa a r qa pa a ，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.（2015浙江卷）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.分析：=-⇒=-++n n n n n a a a a a 11121211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，累加，则可证得.解析：（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤.由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)...(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤.（2）由题意得21n n n a a a +=-,所以11n n S a a +=-①,由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤得11112n n a a +≤-≤所以11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②由①②得：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++.类型5.数列中的恒成立例8．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +⨯+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n -+++=⨯=，所以1221n n a n +=--.(2)()()()231122325221n n n S a a a n +⎡⎤=+++=-+-++-+⎣⎦()()23122235721n n +=+++-+++++ ()()222212321122242n n n n n n +-++=--=---，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+---+>，可得22222nn n n λ+⋅>+-即2242nn n λ+>-对于任意正整数n 恒成立，所以2max242n n n λ⎡⎤+>-⎢⎥⎣⎦，令()242n nn n b +=-，则21132n n n n b b ++--=，所以1234b b b b <>>>⋯，可得()222max222422n b b +⨯==-=-，所以2λ>-，所以λ的取值范围为()2,-+∞.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例9.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例10．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例12．已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。
高考数学二轮复习专题05 数列放缩(精讲精练)(解析版)
专题05数列放缩【命题规律】数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．【核心考点目录】核心考点一：先求和后放缩核心考点二：裂项放缩核心考点三：等比放缩核心考点四：1()()ni i a f n =<>∑型不等式的证明核心考点五：1()()n i i a f n =<>∏型不等式的证明核心考点六：1()ni i a b =<>∑型不等式的证明核心考点七：1()ni i a b =<>∏型不等式的证明【真题回归】1、（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n +>+ ．【解析】（1）当1a =时，()()1e xf x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax xh x ax '=+-，设()()1e e ax x g x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.综上，12a ≤.（3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10xx x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N，有<整理得到：()ln 1ln n n +-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n+>-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.2、（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【解析】（1）∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3、（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<∈【解析】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22n n c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n nn n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n -⋅，所以112nnk k k k-==∑，设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nnk n k k kn --==+⎫-<⎪⎭∑4、（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【解析】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++ ，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ，230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++ n n n ，⑧则1231111012112222Γ33333-----=++++ n n n ．⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ132********--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭- n n n n n n n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(112313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++ ，①231112133333n n n n nT +-=++++ ，②①-②得23121111333333n n n nT +=++++- 1111(1)1133(11323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(14323n n nn T =--⋅，所以2n n S T -=3131(1(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭nn b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=- n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='- n nn nx n x f x x x nx x ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.【方法技巧与总结】常见放缩公式：（1）()()21111211<=-≥--n n n n n n ；（2）()2111111>=-++n n n n n ；（3）2221441124412121⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭n n n n n ；（4）()()()11!111112!!!11+=⋅=⋅<<=-≥---rr n r r n T C r n r n r n r r r r r；（5）()1111111312231⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭nn n n ；（6(()22=<≥n ；（7(2=>；（8=<==；（9）()()()()()()()1211222211212121212122212121---=<==----------nn n n n n n n n n n n n ()2≥n ；（10=2⎡⎤==()22<-≥n；（11=()22n-=≥；（12）()()01211122221111111nnn n nC C C n n n n=<==--++-+++-；（13）()()()111121122121212121nn n nn nn---<=-≥-----．（14）=<=．（15）二项式定理①由于()0112(1)21(11)11(3)2n n nn n n n nn nC C C C C n+-=+-=+++->+=≥，于是12112(3)21(1)1nnn n n n⎛⎫<=-≥⎪-++⎝⎭②221(3)n n n>+≥，011012(11)221n n n nn n n n n nC C C C C C n=+=++++>+=+；222(5)n n n n≥++≥，012210122 2(11)2222n n n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C C n n--=+=++++++≥++=++（16）糖水不等式若>>>0,0b a m，则+>+a m ab m b；若>>>0b a m，则-<-a m ab m b．【核心考点】核心考点一：先求和后放缩例1．（2022·全国·模拟预测）己知n S为等比数列{}n a的前n项和，若24a，32a，4a成等差数列，且4282S a=-.(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若()()122n n n n a b a a +=++，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11124n T ≤<.【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由24a ，32a ，4a 成等差数列可得24344a a a +=，故244q q +=，解得2q =，由4282S a =-可得()4111216212a a -=--，解得12a =，故2n n a =，即数列{}n a 的通项公式为2,N n n a n *=∈.（2）由（1）可得()()()()1112112222222222n n n n n n n n n a b a a +++===-++++++，故1111111111114661010182222422n n n n T ++=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++.当1n =时，1122n ++取得最大值16，当n →+∞时，11022n +→+1110226n +∴<≤+，故11124n T ≤<.例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =-，()1122n n n S S +++=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n T ，证明：3n n n S T S ≤<.【解析】（1）由()1122n n n S S ++=-+-，两边同时除以()12n +-可得：()()11122n nn nS S ++=+--，故数列()2n n S ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为以1为公差的等差数列，则()()()111111222n n S S a n n n =+-⨯=+-=---，即()2nn S n =⋅-，当2n ≥时，()()()()()111212231n n n n n n a S S n n n ---=-=⋅----=--+，将1n =代入上式，可得()()1112312a -=--+=-，则1a 满足上式，故数列{}n a 的通项公式()()1231n n a n -=--+.（2）由*N n ∈，则310n -+<，即()()()11231231n n n a n n --=--+=-，()0121222528231n n T n -=⨯+⨯+⨯++- ，()1232222528231n n T n =⨯+⨯+⨯++- ，两式相减可得，()1212232323231n nn T n --=+⨯+⨯++⨯-- ()()231232222231n n n -=+⨯++++-- ()()12122323112n n n -⨯-=+⨯---()()12621231n n n -=+⨯---()2326231n n n =+⨯---()4243n n =-+-，则()4234nn T n =+-，由（1）可得()22nnn S n n =⋅-=⋅，()()423424224n n n n n T S n n n -=+--⋅=+-，令()4224nn b n =+-，()()11142224422420n n n n n b b n n n +++-=++----=⋅>，则数列{}n b 为递增数列，()1142240b =+⨯-=，则0n b ≥，即n n T S ≥；()2342343242n n n n n T S n n +-=+--⋅=-，令242n n c +=-，易知数列{}n c 为递减数列，1214240c +=-=-<，则0n c <，即3n n S T >.综上，不等式3n n n S T S ≤<恒成立.例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且()*122n n a S n +=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设4n n nb a =⋅，记12n n T b b b =+++ ，证明：1n T <.【解析】（1）依题意()*122n n a S n +=-∈N ，()1122,22n n n n n S S S S S ++-=-=+，()11111,2222n n n n S S S S ++=+-=-，所以数列{}2n S -是首项为11221S a -=-=-，公比为12的等比数列，所以11112,222n n n n S S ---=-=-，当2n ≥时，由1122n n S -=-得12122n n S --=-，两式相减并化简得()2111111211222222n n n n n n a n -----=-=-=≥，1a 也符合上式，所以112n n a -=.（2）111242n n n n n b -+==⋅，23112222n n n T +=+++ ，3421122222n n n T +=+++ ，两式相减得2312111122222n n n n T ++=+++- ，所以1211112222n n n n T +=+++- 111111122*********12n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=-<-.例4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列{}n a 中，13a =，且()2116n n n n a a a a ++=+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()()121111n n n n n a b a a +--=++，数列{}n b 的前n 项和为nT，证明：14n T <．【解析】（1）因为{}n a 各项为正数，()2116n n n n a a a a ++=+，所以上式两边同时除以2na ，得1126n n n n a aa a ++⎛⎫= ⎝⎭+⎪，令()10n na x a x +=>，则26x x =+，即260x x --=，解得3x =（负值舍去），所以13n na a +=，又13a =，所以{}n a 是以13a =，3q =的等比数列，故1333n nn a -=⨯=.（2）由（1）得()()()()()()112112111111333n n n nnn n n a n b a a ++----==++++()()()()()11111133331111313n n n n nn n n n n ++++-+++==-++++，所以223111111111223131313133343n n n n T n n n ++++-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ，因为*N n ∈，则11031n n ++>+，所以14nT <.例5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，11a =，3a ，22S ，4a 成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()2log 1n n b S =+，数列122n n n n b b b a ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3182n T ≤<．【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意知2344S a a =+，即()()2321244(1)1a a q q q q q +=+=+=+，因为*n ∀∈N ，0n a >，所以0q >，所以2q =，所以12n n a -=．（2）证明：由（1）得122112n n n S -==--，所以2log 2nn b n ==，所以()()1112221112212n n n n n n n b n b b a n n n n ++++++==-+⋅⋅+⋅，所以()()1223111111111112222232212212n n n n T n n n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯．显然{}n T 单调递增，所以138n T T ≥=，因为()11012n n +>+⨯，所以12nT <，所以3182n T ≤<．例6．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23123452n S S S S n n n ++++=++ ，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：123111138n S S S S ++++< .【解析】（1）当2n ≥时，23123452n S S S S n n n ++++=++ ()()23112113451n S S S S n n n -++++=-+-+ 相减得()()22222nn S n S n n n n =⇒=+≥+当1n =时，16=S 符合上式所以()()*22N n S n n n =+∈.当2n ≥时，()()()12221142n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+当1n =时，116a S ==符合上式.故()*42Nn a n n =+∈（2）由（1）知：()111112242n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以1231111nS S S S ++++ 111111111111143243546112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111113113111314212421284128n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=-+< ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭核心考点二：裂项放缩例7．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且(1)2n n n S +=，数列{}n b 前n 项和为n T ，且12b =，12n n b T +=+.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设2(1)n n n c a =-，设数列{}n c 的前n 项和为n P ，求2n P ；(3)证明：()22211121ni i i i a a b =++<-∑.【解析】（1）由(1)2n n n S +=，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()1+11===22n n n n n n n a S S n ----，检验1n =时，111a S ==，所以=n a n ；因为12n n b T +=+，1=+2n n b T -（2n ≥），所以+11==n n n n n b b T T b ---，即12n nb b +=（2n ≥），而12112,224b b T b ==+=+=，故212b b =满足上式，所以{}n b 是以12b =，公比等于2的等比数列，即2nn b =；（2）因为22=(1)=(1)n n n n c a n --，所以()()22212+=21+2=41n n c c n n n ----，所以21234212=++++++n n n P c c c c c c - ()23+41=3+7++41==2+2n n n n n --⋅⋅⋅；（3）因为()()2222+12+1+1+1+1+1=<(1)1212n n n n n a n n a b n n n ---，()()()()22+1+1+1+1+1+1+1++11+1111==+=+12122122122n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ---⋅-⋅-⋅-⋅⋅.所以()22222+1111<(1)1nni i i i i i i i i a a a a b a b -==+++-∑∑，()2+1+122+11111+(1)2122nn i i i i i i i i i a a a b i i ---⋅⋅==⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()34+12334+1111111111=++++++2222222232122n n n n n ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-⨯⨯⨯-⋅⋅1+1+1+11111111182=+=14222212n n n n n n -----⋅⋅-⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为1102n +>，+11>02n n ⋅，所以+1+11111<2222n n n --⋅，即22+111<(1)2ni i i i i a a a b -=+∑，即证：()22211121ni i i i a a b =++<-∑；综上，=n a n ，2n n b =，222n P n n =+.例8．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且()14211n n S n a +=-+，a 1＝1．(1)求数列{an }的通项公式；(2)设n b ={bn }的前n 项和为Tn ，证明32n T <．【解析】（1）因为()14211n n S n a +=-+，所以()()142312n n S n a n -=-+≥.两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥，即()()12121n n n a n a ++=-所以当2n ≥时，12121n na n a n ++=-，在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553121(2)23252731n n n n n n n a a a a a n n n a a n n a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-≥--- ，又11a =满足，所以21n a n =-所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{an }是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，所以()()()12211=21221222222n b n n n n n n n n =<=-----，当1n =时，1312T ==<，当2n ≥时，11111131312446222222n T n n n ⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭，所以32n T <.例9．（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列{}n a 满足111,2,22,n n n a n a a a n +-⎧==⎨+⎩为奇数为偶数记21n n b a -=.(1)证明：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(3)设()2111log n n c n b +=+，记数列{n c 的前n 项和为n T ，求证：34n T <.【解析】（1）证明：因为21n n b a -=，所以()121221212221222n n n n n n b a a a a b ++--==+=-+==，又112b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn b =.（2）()()21321242n n n S a a a a a a -=++⋯++++⋯+()()()()1321132111n n a a a a a a -⎡⎤=++⋯++-+-+⋯+-⎣⎦()13212n a a a n-=++⋯+-()122n b b b n=++⋯+-()221222412n n n n +-=⋅-=---（3）222111111(1)21222n c n n n n n n n ⎛⎫==<- ⎪+++++⎝⎭1111111112324352n T n n ⎛⎫∴<-+--++- ⎪+⎝⎭11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭例10．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列{}n a 前n 项和为n S ，222n n S n na n +=+.(1)证明：{}n a 为等差数列；(2)若11a =，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，证明：112nk kT =∑<.【解析】（1）由题意，得222n n S na n n =+-.则()()21122111n n S n a n n --=-+---.两式相减，得()()*12222222n n n a n a n n n ----=-≥∈N ，，，即*112n n a a n n --=≥∈N ，，，{}n a ∴是等差数列.（2）因为11a =，由（1）知*112n n a a n n --=≥∈N ，，（11a =也符合此式）故数列{}n a 的通项公式为n a n =则123!n n T a a a a n =⋅⋅=L 所以1111111!2!3!!nk k T n =∑=++++L ()111112231n n ≤++++⨯⨯-L 11111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 122n=-<故112nk kT =∑<，得证.例11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【解析】（1）因为12n n a a n +-=，11a =，所以()()()1122112(1)2(2)21n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++ 2222(1)112n n n n -+⋅-+=-+=，故21n a n n =-+；（2）证明：当n ＝1时，1112a =<；当2n ≥时，2111111(1)1n a n n n n n n=<=--+--，则12231111111111111112231n n a a a a a a n n ⎛⎫+++=++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭ 122n =-<，故121112na a a +++< ；综上，21n a n n =-+.核心考点三：等比放缩例12．（2022·重庆八中高三阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1=2a ，{}32n n a S -是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121111na a a ++⋅⋅⋅+<.【解析】（1）111322a S a -== ()322212n n a S n n ∴-=+-=，即32n n S a n =-；当2n ≥且n *∈N 时，()1133122n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，即132n n a a -=+，()1131n n a a -∴+=+，又113a +=，∴数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，13n n a ∴+=，则31n n a =-.（2）由（1）得：1131nn a =-，()()212323320331331331n n n n n n n n n ⋅----==>--- ，123n n a ∴<，2121111112221332111333313n n n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=⨯=-<-.例13．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0,q n N *>∈．(1)若2322,,2a a a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b满足n b =，且253b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()1433n nn n T n N *-->∈．【解析】（1）由11n n S qS +=+得211n n S qS ++=+，两式相减得21(1)n n a qa n ++=≥，由211S qS =+可得21a qa =，故1n n a qa +=对所有n N *∈都成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，从而1n n a q -=，由2322,,2a a a +成等差数列可得32232a a =+，化简得22320q q --=，又0q >，解得12,2q q ==-（舍去），所以()12n n a n -*=∈N ．（2）由题意可知n b =由253b =53=，解得44,33q q ==-（舍去），又222(1)1144411333n n n ---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦143n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()143n n b n N -*⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，则11241443143313nn n b b b -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++>+++= ⎪⎝⎭-，即()1433n nn n T n N *-->∈．例14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3453a a S +=，154a a S =，数列{}n b 满足()11322n n n b b n --=+≥，且111b a =-.(1)求{}n a 的通项公式，并证明数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)若数列{}n c 满足()()()114111n n n n nc a a -+=---，求{}n c 的前n 项和的最大值、最小值.(3)求证：对于任意正整数n ，1211132n b b b +++< .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由3451543a a S a a S +=⎧⎨=⎩，可得1111115423(3)5243(4)42a d a d a d a a d a d ⨯⎧+++=+⎪⎪⎨⨯⎪+=+⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩或100a d =⎧⎨=⎩（舍去），22(1)2n a n n =+-=∴．又1111b a =-=，则113122b +=，由()11322n n n b b n --=+≥，可得11312222n n n n b b --=⋅+，∴11311222n n n n b b --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，32为公比的等比数列；（2）由（1）可得()()()()()()()()()111144411111212212121n n n n n n n n nc a a n n n n ---+=-=-=----+--+()()()()()()112121122111121121n n n n n n n n --⎛⎫=-+ ⎪++-=+-⎝-+-⎭，设{}n c 的前n 项和为n W ，则()11231111111111335572121n n n W c c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=+-++++⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(1)21n n -=+-+，当n 为奇数时，1121n W n =++随着n 的增大而减小，可得413n W <≤，当n 为偶数时，1121n W n =-+随着n 的增大而增大，可得415n W ≤<，n W ∴的最大值为43，最小值为45．（3）证明：因为数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，32为公比的等比数列，∴3122nn nb ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴32n nn b =-．所以1111323n n n n b -=≤-，所以1231111n b b b b ++++ 211111333n -≤++++11133131123213n n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以1211132n b b b +++< ．例15．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，{}32n n a S -是公差为2的等差数列.(1)求证{}1n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121111na a a +++< .【解析】（1）因为{}32n n a S -是公差为2的等差数列，1111123232a S a a a --===，所以()232122n n n n a S =-⨯-+=，当2n ≥时，112322n n a n S --=--，两式相减得，12332n n n a a a ---=，即132n n a a -=+，故()1131n n a a -+=+，又113a +=，所以{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列，故11333n n n a -+=⨯=，则31n n a =-.（2）因为*N n ∈，所以()2313323323n n n n n->+->+->，则211331n n n a >=-，即123nn a <，所以2121113311122212111333313nnnn a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++<+++=⨯=-< ⎪⎝⎭- .例16．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<【解析】（1）当2n ≥时，22121n n a a n --=-累加可得22,0,,n n n a n a a n =>\= 且当1n =时，11a =符合，n a n ∴=.由等差数列前n 项和的公式可得：(1)2n n n S +=（2）由（1）得213n n n c +=，对于左边，123c =，又120,3n n k k c c =>>å ，对于右边，212(1)12132213122121122,(1)(11)313133n nn n n ncn n n n c n n ++++++++³==×+£+=++,1211213255252257527239939339333313n n n n k k c ---=轾骣犏-琪琪犏骣骣桫臌琪琪\£++´++´=+´=-´<琪琪桫桫-å .综上：122733n c c c £+++< 成立.例17．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，12n n S a +=+．(1)证明：数列{}2n S -为等比数列；(2)记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：2n T <．【解析】（1）因为()1122n n n n S a S S ++=+=+-，所以122n n S S +=+，所以()1222n n S S +-=-，因为120S -≠，所以10n S -≠，1222n n S S +-=，故数列{}2n S -为等比数列，首项为121S -=，公比为2；（2）由（1）可知122n n S --=，所以11111222n n n S --=<+，所以21111111212121222212n n n nT -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++⋅⋅⋅+==-< ⎪⎝⎭-．核心考点四：1()()ni i a f n =<>∑型不等式的证明例18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数1ln ()xf x x+=．(1)求函数()y f x =的最大值；(2)若关于x 的方程2ln e e 1x x x x kx =-+-有实数根，求实数k 的取值范围；(3)证明：()2*222ln 2ln 3ln 21N ,2234(1)n n n n n n n --+++<∈≥+ ．【解析】（1）2ln ()xf x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减所以max ()(1)1f x f ==，即当1x =时，()f x 取最大值1．（2）依题意，21ln ln e e 1(e e )x x x x x x kx k x x +=-+-⇔=+-，令1ln ()(e e )x xg x x x +=+-，2ln ()(e e )xx g x x -'=+-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即max ()(1)1g x g ==，因此()g x 的值域是(,1]-∞，方程1ln )(e e x xk x x+=+-有解，有1k ≤，所以实数k 的取值范围是1k ≤.（3）由（1）知()1f x ≤，当且仅当1x =时取等号，因此当1x >时，ln 1x x <-，即当2n ≥时，22ln 1n n <-，222222ln 1ln 111111()(1)[1]2222(1)n n n n n n n n n -=⋅<=-<-+111[1()]21n n =--+，所以222ln 2ln 3ln 1111111[1()1(1()]23223341n n n n +++<--+--++--+ 211121[(1)()]2214(1)n n n n n --=---=++例19．（2022·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()222*330,n n S n n S n n n N -+--+=∈.(1)求1a 的值：(2)求数列{}n a 的通项公式：(3)证明：对一切正整数n，有+≤ .【解析】（1）令1n =，()()1121133101-+--+=S S ，则13a =-舍去，所以12a =.（2）()()()()2222330,30n n n n S n n S n n S S n n -+--+=∴+--= ，因为数列{}n a 各项均为正数，3≠-n S 舍去，2∴=+n S n n ，当2n ≥时，()()21111,2--∴===-+-∴-n n n n S n n a S S n ，12,12.2,2-=⎧∴=∴=⎨-=≥⎩n n nn n a a n S S n n（3）令n b =≤()2n ==≥，所以12114n n S b b b b =+++≤+⎝ 12144244⎛⎫=++=- ⎝例20．（2022·上海·模拟预测）在数列{}n a 中，115,342n n a a a n +==-+，其中N n *∈．(1)设2n n b a n =-，证明数列{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与22022n +的大小．【解析】（1）N n *∈，由2n n b a n =-得：2n n a b n =+，而1342+=-+n n a a n ，则12(1)3(2)42n n b n b n n +++=+-+，整理得13n n b b +=，而1123b a =-=，所以数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）知，1333n nn b -=⨯=，于是得32nn a n =+，123(13)223313222n n n n n n n S +-+=+⋅=++--，因此，2112233324047(202022222)22n n n n n n n S n +++--++--=+=，令1324047n n c n +=+-，显然数列{}n c 是递增数列，而671848,2528c c =-=，即{1,2,3,4,5,6}n ∈时，0n c <，2202)(20n S n -+<，当7,N n n *≥∈时，2202)(20n S n -+>，所以，当6,N n n *≤∈时，22022n S n +<，当7,N n n *≥∈时，22022n S n +>.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n +>+ ．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.综上，12a ≤.（3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10xx x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N ，有<整理得到：()ln 1ln n n +-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n+>-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.例22．（2022·湖南·周南中学高三阶段练习）已知函数()1ln xf x x+=．(1)求函数()y f x =的最大值；(2)证明：()()2222ln 2ln 3ln 21N ,22341n n n n n n n *--+++<∈≥+ 【解析】（1）因为()1ln x f x x +=定义域为()0,∞+，所以()2ln xf x x -'=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max 1)1(f x f ==，即当1x =时，()f x 取最大值1．（2）证明：由（1）知()1f x ≤，当且仅当1x =时取等号，因此当1x >时，ln 1x x <-，即当2n ≥时，22ln 1n n <-，所以()222222ln 1ln 1111111111112222121n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅<=-<-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以222ln 2ln 3ln 111111111123223341n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()211121122141n n n n n ⎡⎤--⎛⎫=---= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦．例23．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递减的正项数列{}n a ，2n ≥时满足()()()22111111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----+++-++=．112n a S =，为{}n a 前n 项和．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：1n S >【解析】（1）由()()()22111111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----+++-++=，得()2221111()20n n n n n n n n a a a a a a a a --------=，即()()111120n n n n n n n n a a a a a a a a -----+--=，由{}n a 是单调递减的正项数列，得1120n n n n a a a a ----<，则110n n n n a a a a ---+=，即1111n n a a --=，故1n a ⎧⎫⎨⎩⎭是以112a =为首项，1为公差的等差数列，则11n n a =+，即11n a n =+.（2）要证：1n S >只需证：11n a n =>+即证：2111(1)1n n n >+++21111(1)n n n >+-++，22221(1)n n n n ++>+，即证：3224(1)(221)n n n n +>++，即证：324410n n +->，而此不等式显然成立，所以1n S >.例24．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1n S n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为1的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当2n ≥时，231111112n n n a S S S a -+++<-+ .【解析】（1）∵1n S n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为1的等差数列，∴3()11n n n S =+--，∴2221(1)n S n n n ++=+=.∴当2n ≥时，12n S n -=，121n n n a S S n -=-=+.又114S a ==不满足21n a n =+，∴{}n a 的通项公式*41212N n n a n n n =⎧=⎨+≥∈⎩，，且.（2）当2n ≥时，21111(1)1(1)1n S n n n n n =<=-+++，112111222212n n a n n a n n --=-=-+++，∴23111111111111233412112nn S S S n n n n +++<-+-++-=-=-+++ ，。
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(1) 求数列 4的通项公式；
1 a a 1
(2) 若a ，设b n n 丄，且数列b n 的前n 项和为「，求证：人
3 1 a n 1 a n i 3
n 1 a
2、已知数列 q 的前n 项和s n -，且a 1 1.
2
(1) 求数列耳的通项公式；
(2) 令b n ln a n ，是否存在k (k 2,k N)，使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值；若不存在，请说明理由.
3、已知a n 是等差数列，a 2 3, a 3 5.
⑴求数列a n 的通项公式;
4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ，设b n n (1) n a n a n 1
，求数列 b n 的前n 项和S n .
求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L
(1)求 a 2 ；
(2)数列a n 的通项公式;
5、对于任意的n € N*，数列｛a n ｝满足 (I )求数列｛a n ｝的通项公式；
(n )求证：对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n
-1
.2 L n
1 2 1 2 1 2 1
L 2 1 J
a n 1
2n
2
6、已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n •(3)设 b n a
n 1
S n i S n
,求证: b i b 2 b n
(1)求a i 的值;
(2)求｛a .｝的通项公式;
1
(1)求证：数列｛」｝是等差数列;
a n 1
2
(2)求证：丄色更鱼L
n 1 a 2 a 3 a °
(3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2
a 2 a n
^,n N 2
7、已知数列耳满足a 1
2，a n 1a n 细1
1 0，" N 8已知首项大于0的等差数列 a n ｝的公差d 1，且二 a n a n 1
(1) 求数列a n｝的通项公式；
1 n ( 1)n 1
(2) 若数列b n｝满足：bi 1, b2 ,幕b n，其中n 2.
n a n
①求数列b n｝的通项b n ；
②是否存在实数，使得数列｛b n｝为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
1
9、已知数列耳的前n项和为S n，且S n n a n 1, n N ，其中a1 1 .
2
(1)求数列a n的通项公式；
(2)若b n ，数列b n的前n项和为「，求证：「
3 n1 2 4。