2014年山东省莱芜市中考数学试卷(含答案和解析)

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2014年全国中考数学真题解析--26.梯形(29页)

梯形一选择题1. （2014•柳州，第9题3分）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（）A．长方形B．平行四边形C．菱形D．直角梯形考点：多边形．分析：根据菱形的对角线互相垂直即可判断．解答：解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．故选C．点评：本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方形的对角线互相垂直．1. （2014•广西贺州，第9题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（）A．12B．15C．12 D．15考点：等腰梯形的性质．分析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论．解答：解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴∠AEB=∠BCD=60°，∵CA平分∠BCD，∴∠ACE=∠BCD=30°，∵∠AEB是△ACE的外角，∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，∴∠EAC=30°，∴AE=CE=3，∴四边形ADEC是菱形，∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE=AE=3，∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．故选D．点评：本题考查的是等腰梯形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．2.（2014•襄阳，第10题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°．解答：解：∵DE=DC，∠C=80°，∴∠DEC=80°，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC=80°，∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣80°=100°，故选：C．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．1. (2014年广西钦州，第10题3分)如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．13 B． 26 C． 36 D． 39考点：等腰梯形的性质；中点四边形．分析：首先连接AC，BD，由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH，FG，EF，GH是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案．解答：解：连接AC，BD，∵等腰梯形ABCD的对角线长为13，∴AC=BD=13，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，∴四边形EFGH的周长是：EH+EF+FG+GF=26．故选B．点评：此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2014衡阳，第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，i ，则坝底AD的长度为【】坝高12米，斜坡AB的坡度1:1.5A．26米B．28米C．30米D．46米3．（2014·台湾，第3题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥B C．若AB＝10，BE＝8，DE＝6，则AD的长度为何？()A．8 B．9 C．6 2 D．6 3分析：利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AB＝10，BE＝8，∴AE＝AB2－BE2＝102－82＝6，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°，∴AD＝DE2－AE2＝(63)2－62＝62．故选C．点评：本题考查了梯形，勾股定理，是基础题，熟记定理并确定出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．4．（2014•浙江宁波，第8题4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：考点：相似三角形的判定与性质．分析：先求出△CBA∽△ACD，求出=，COS∠ACB•COS∠DAC=，得出△ABC 与△DCA的面积比=．解答：解：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°，∴△CBA∽△ACD==，AB=2，DC=3，∴===，∴=，∴COS∠ACB==，COS∠DAC==∴•=×=，∴=，∵△ABC与△DCA的面积比=，∴△ABC与△DCA的面积比=，故选：C．点评：本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC 与△DCA的面积比=．5. （2014•湘潭，第3题，3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米．（第1题图）A．7.5 B．15 C．22.5 D．30考点：三角形中位线定理分析：根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案．解答：解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=15米，∴AB=2DE=30米，故选D．点评：本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选B．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．1. （2014•山东烟台，第7题3分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（）A． 1.5 B． 3 C． 3.5 D． 4.5考点：等腰梯形的性质，直角三角形中30°锐角的性质，梯形及三角形的中位线．分析：根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案．解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BD C．∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DB C．∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6．∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC=6=3，故选：B．点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质．2.（2014•湖南怀化，第5题，3分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC 与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（）A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定．分析：由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC；继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO．解答：解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）；故正确；B、∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵BC＞AD，∴△AOD不全等于△COB；故错误；C、∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∵∠ABC=∠DCB，∴∠ABO=∠DCO，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；故正确；D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠BAD=∠CDA，在△ADB和△DAC中，，∴△ADB≌△DAC（SAS），故正确．故选B．点评：此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3. （2014•山东淄博,第7题4分）如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=D C．则cos∠DPC的值是（）A．B．C．D．考点：等腰梯形的性质．分析：先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，∵AB=AD=DC，∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，∵∠BAC=∠CDB=90°，∴3∠ABD=90°，∴∠ABD=30°，在△ABP中，∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，∴∠APB=60°，∴∠DPC=60°，∴cos∠DPC=cos60°=．故选A．点评：本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关键．4.（2014•广东深圳，第12题3分）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A．1 B．3﹣C．﹣1 D．4﹣2考点：等腰梯形的性质．分析：延长AE交BC的延长线于G，根据线段中点的定义可得CE=DE，根据两直线平行，内错角相等可得到∠DAE=∠G=30°，然后利用“角角边”证明△ADE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=AD，AE=EG，然后解直角三角形求出AF、GF，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质可得BM=CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根据BF=BM﹣MF计算即可得解．解答：解：如图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE=DE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG=AD=，AE=EG=2，∴AG=AE+EG=2+2=4，∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=4×=4，GF=AG÷cos30°=4÷=8，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN，∵MG=AG•cos30°=4×=6，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2，∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠F AM=∠G=30°，∴FM=AF•sin30°=4×=2，∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣2．故选D．点评：本题考查了等腰梯形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形，过上底的两个顶点作出梯形的两条高．二填空题2. （2014•柳州，第15题3分）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= 5．考点：等腰梯形的性质．分析：根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB的长．解答：解：∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，∵BC=4，∴AD=4，∵CD=3，等腰梯形ABCD的周长为16，∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5，故答案为5．点评：本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．1. （2014•广西玉林市、防城港市，第17题3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是7+．考点：直角梯形．分析：根据题意得出AB=AD，进而得出BD的长，再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长，即可得出梯形ABCD的周长．解答：解：过点A作AE⊥BD于点E，∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABE=∠ADE=30°，∴AB=AD，∴AE=AD=1，∴DE=，则BD=2，∵∠C=90°，∠DBC=30°，∴DC=BD=，∴BC===3，∴梯形ABCD的周长是：AB+AD+CD+BC=2+2++3=7+．故答案为：7+．点评：此题主要考查了直角梯形的性质以及勾股定理和直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出∠DBC的度数是解题关键．2. （2014•扬州，第13题，3分）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1=67.5°．（第1题图）考点：等腰梯形的性质；多边形内角与外角分析：首先求得正八边形的内角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半．解答：解：正八边形的内角和是：（8﹣2）×180°=1080°，则正八边形的内角是：1080÷8=135°，则∠1=×135°=67.5°．故答案是：67.5°．点评：本题考查了正多边形的内角和的计算，正确求得正八边形的内角的度数是关键．3. （2014•扬州，第14题，3分）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为40cm3．（第2题图）考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理分析：根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．解答：解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC=2DE=10cm；由折叠的性质可得：AF⊥DE，∴AF⊥BC，∴S△ABC=BC×AF=×10×8=40cm2．故答案为：40．点评：本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．3. （2014•青海西宁,第17题，2分）如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以BC为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC两腰中点的线段的长为5．考点：直角梯形；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质和三角形中位线性质进而得出四边形AEFD是平行四边形，进而求出EF的长．解答：解：连接△DBC两腰中点的线段EF，AE，由题意可得出：AD∥BC，∵EF是△DBC的中位线，∴EF BC∴AD∥BC，∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，则∠DEF=∠DFE，∵AD∥EF，∴∠ADE=∠DEF，∵BE=DE，∠BAD=90°，∴AE=DE=BE，∴∠EAD=∠ADE，∴∠AED=∠FDE，∴AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了直角梯形以及等腰三角形和三角形中位线定理等知识，得出四边形AEFD是平行四边形是解题关键．1. （2014•黑龙江龙东,第3题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等条件时，有MB=MC （只填一个即可）．考点：梯形；全等三角形的判定．.专题：开放型．分析：根据题意得出△ABM≌△△DCM，进而得出MB=M C．解答：解：当AB=DC时，∵梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A=∠D，∵点M是AD的中点，∴AM=MD，在△ABM和△△DCM中，，∴△ABM≌△△DCM（SAS），∴MB=MC，同理可得出：∠ABC=∠DCB、∠A=∠D时都可以得出MB=MC，故答案为：AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等．点评：此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABM≌△△DCM是解题关键．2. （2014•青岛，第13题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值为2．考点：轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．分析：要求P A+PB的最小值，P A、PB不能直接求，可考虑转化P A、PB的值，从而找出其最小值求解．解答：解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴B点关于EF的对称点C点，∴AC即为P A+PB的最小值，∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AD=2，∴P A+PB的最小值=AB•tan60°=．故答案为：2．点评：考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．3. （2014•攀枝花，第16题4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD 于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形．分析：首先延长BA，CD交于点F，易证得△BEF≌△BEC，则可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF的面积，继而求得答案．解答：解：延长BA，CD交于点F，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，∵BE⊥CD，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BEF和△BEC中，，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，∵CE：ED=2：1∴DF：FC=1：4，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BCF，∴=（）2=，∴S△ADF=×4=，∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2014•湖北黄石,第14题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长为．考点：等腰梯形的性质．分析：首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形ABED是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到△BCE的周长．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠C=45°，∵EB∥AD，∴∠BEC=45°，∴∠EBC=90°，∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=1，∵CD=3，∴EC=3﹣1=2，∵EB2+CB2=EC2，∴EB=BC=，∴△BCE的周长为：2+2，故答案为：2+2．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等．1．（2014•四川省德阳，第18题3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=A D．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是①③④．（填番号）①AC⊥DE；②=；③CD=2DH；④=．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正确；进而可判定③；因为△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°所以EC=2EH，因为∠ECB=15°，所以EC≠4EB，所以不成立②错误；根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，判定③正确；过H作HM⊥AB于M，所以HM∥BC，所以△AHM∽△ABC，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④正确．解答：解：∵∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BAC=45°，∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，∴∠BAC=∠CAD，∴∴AH⊥ED，即AC⊥ED，故①正确；∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°∴EC=2EH∵∠ECB=15°，∴EC≠4EB，∴EH≠2EB；故②错误．：∵∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BAC=45°，∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，∴∠BAC=∠CAD，在△ACD和△ACE中，，∴△ACD≌△ACE（SAS），∴CD=CE，∵∠BCE=15°，∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠DCH=30°，∴CD=2DH，故③正确；过H作HM⊥AB于M，∴HM∥BC，∴△AHM∽△ABC，∴，∵DH=AH，∴，∵△BEH和△CBE有公共底BE，∴，故④正确，故答案为：①③④．点评：此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定好性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键．2．（2014•江苏省南通市,第15题3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BA C．若BC=4cm，AD=5cm，则AB=8cm．考点：勾股定理；直角梯形．分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，易得四边形BCDE是矩形，则可由勾股定理求得AE的长，易得△ACD是等腰三角形，则可求得CD与BE的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴四边形BCDE是矩形，∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，∴AE==3（cm），∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=AD=5cm，∴BE=5cm，∴AB=AE+BE=8（cm）．故答案为：8．点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．3. （2014•贵港，第16题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥B D．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD的面积是25．考点：等腰梯形的性质．分析：首先过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，可得四边形ACED是平行四边形，又由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，可得△BDE是等腰直角三角形，继而求得答案．解答：解：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE，CE=AD=4，∴BE=BC+CE=6+4=10，∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴BD=DE，∴BD=DE==5，∴S梯形ABCD=×AC×BD=25．故答案为：25．点评：此题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4.（2014•福建厦门，第14题4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD=2，BC=8，梯形的高是3，则∠B的度数是．考点：等腰梯形的性质．.分析：首先过点A作AE⊥BC交BC于E，过点D作DF⊥BC交BC于F，易得四边形AEFD是长方形，易证得△ABE是等腰直角三角形，即可得∠B的度数．解答：过点A作AE⊥BC交BC于E，过点D作DF⊥BC交BC于F，∵AD∥BC，∴四边形AEFD是长方形，∴EF=AD=2，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BE=（8﹣2）÷2=3，∵梯形的高是3，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠B=45°．故答案为：45°．点评：此题考查了等腰梯形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题2. （2014•乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．.分析：利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长．解答：解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，在△ABH中，∠B=30°，AB=2，∴cos30°=，即BH=ABcos30°=2×=3，∴BC=BH+BC=4，∵CE⊥AB，∴CE=BC=2．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键．3. （2014•攀枝花，第19题6分）如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A（2，﹣3），C（0，2）．（1）求过点B的双曲线的解析式；（2）若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C是否落在（1）中的双曲线上？并简述理由．考点：等腰梯形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．分析：（1）过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y=（k≠0），然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答；（2）根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断．解答：解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A（2，﹣3），∴CD=2，BD=3，∵C（0，2），∴点B的坐标为（2，5），设双曲线的解析式为y=（k≠0），则=5，解得k=10，∴双曲线的解析式为y=；（2）平移后的点C落在（1）中的双曲线上．理由如下：点C（0，2）向右平移5个单位后的坐标为（5，2），当x=5时，y==2，∴平移后的点C落在（1）中的双曲线上．点评：本题考查了等腰梯形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键．1. （2014年江苏南京，第19题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？（第1题图）考点：三角形的中位线、菱形的判定分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）解答：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．1. （2014•黑龙江龙东,第26题8分）已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理．.分析：（1）利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可；（2）根据题意得出图2的结论为：ME=（BD+CF），图3的结论为：ME=（CF﹣BD），进而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案．解答：解：（1）如图1，∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，∴ME∥CF，∵M为BC的中点，∴E为BF中点，∴ME是△BFC的中位线，∴EM=CF．（2）图2的结论为：ME=（BD+CF），图3的结论为：ME=（CF﹣BD）．图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K又∵BD⊥m，CF⊥m∴BD∥CF∴∠DBM=∠KCM在△DBM和△KCM中，∴△DBM≌△KCM（ASA），∴DB=CK DM=MK由题意知：EM=FK，∴ME=（CF+CK）=（CF+DB）图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K又∵BD⊥m，CF⊥m∴BD∥CF∴∠MBD=∠KCM在△DBM和△KCM中，∴△DBM≌△KCM（ASA）∴DB=CK，DM=MK，由题意知：EM=FK，∴ME=（CF﹣CK）=（CF﹣DB）．点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DBM≌△KCM（ASA）是解题关键．。

山东省莱芜2014-2015学年七年级上第二次月考数学试卷含解析

2014-2015学年山东省莱芜七年级（上）第二次月考数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计36分）1．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个3．的算术平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．24．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5 B．C．D．5或5．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD=70°，则∠ABD的度数为（）A．55° B．50° C．45° D．40°8．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）9．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）A．B．C．D．10．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A．7 B．8 C．9 D．1011．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．12．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64二、填空题（每小题4分，共计20分）13．若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为．14．如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD= ．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．16．如图的方格图（每个小方格的边长为1）是某学校平面示意图，若建立适当的平面直角坐标系，花坛的位置可用坐标（3，0）表示，则校门的位置用坐标表示为．17．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．三、解答题（要写出必要的计算过程或推理步骤）18．计算：﹣|1﹣|+（﹣2）0．19．如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．求证：AC=OD．20．有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．22．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．24．如图，在公路l的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？25．如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少？26．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．2014-2015学年山东省莱芜实验中学七年级（上）第二次月考数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计36分）1．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确．故选D．点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：无理数．分析：根据无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）判断即可．解答：解：无理数有﹣π，0.1010010001…，共2个，故选B．点评：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．的算术平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．2考点：算术平方根．分析：首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．解答：解：∵=4，∴4的算术平方根是2，∴的算术平方根是2；故选D．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键先计算出的值，再根据算术平方根的定义进行求解．4．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5 B．C．D．5或考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．解答：解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选：D．点评：题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．5．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：首先根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．解答：解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点为（﹣2，﹣3），（﹣2，﹣3）在第三象限．故选：C．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化特点．6．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：全等三角形的判定．分析：∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．解答：解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．7．如图，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD=70°，则∠ABD的度数为（）A．55° B．50° C．45° D．40°考点：平行线的性质．分析：首先根据平行线的性质可得∠ABC+∠DCB=180°，进而得到∠BCD的度数，再根据角平分线的性质可得答案．解答：解：∵CD∥AB，∴∠ABC+∠DCB=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BCD=70°，∴∠ABC=180°﹣70°=110°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=55°，故选：A．点评：此题主要考查了平行线的性质以及角平分线定义，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．8．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）考点：点的坐标．分析：先根据P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点P的坐标．解答：解：∵点P在第二象限内，∴点的横坐标＜0，纵坐标＞0，又∵P到x轴的距离是4，即纵坐标是4，到y轴的距离是3，横坐标是﹣3，∴点P的坐标为（﹣3，4）．故选：C．点评：解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，及点的坐标的几何意义．9．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）A．B．C．D．考点：剪纸问题．分析：根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现．解答：解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示．故选B．点评：本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．10．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：翻折变换（折叠问题）．专题：探究型．分析：先根据翻折变换的性质得出EF=AE=5，在Rt△BEF中利用勾股定理求出BE的长，再根据AB=AE+BE求出AB的长，再由矩形的性质即可得出结论．解答：解：∵△DEF由△DEA翻折而成，∴EF=AE=5，在Rt△BEF中，∵EF=5，BF=3，∴BE===4，∴AB=AE+BE=5+4=9，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=9．故选C．点评：本题考查的是图形的翻折变换，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．考点：勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB 及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB==15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD===，则点C到AB的距离是．故选A点评：此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．解答：解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．二、填空题（每小题4分，共计20分）13．若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为（2，0）．考点：点的坐标．专题：计算题．分析：根据x轴上的点纵坐标等于0列出方程求解得到m的值，再进行计算即可得解．解答：解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，∴m+1=0，解得m=﹣1，∴m+3=﹣1+3=2，∴点P的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．点评：本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标等于0是解题的关键．14．如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD= 5 ．考点：等腰三角形的性质；解直角三角形．分析：先求出底角等于30°，再根据30°的直角三角形的性质求解．解答：解：如图．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=（180°﹣120°）=30°．∴AD==5．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）即底边上的高AD=5．点评：本题考查了等腰三角形的三线合一性质和含30°角的直角三角形的性质．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49 cm2．考点：勾股定理．分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解答：解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为：49cm2．点评：熟练运用勾股定理进行面积的转换．16．如图的方格图（每个小方格的边长为1）是某学校平面示意图，若建立适当的平面直角坐标系，花坛的位置可用坐标（3，0）表示，则校门的位置用坐标表示为（1，﹣1）．考点：坐标确定位置．专题：数形结合．分析：先根据花坛的坐标画出直角坐标系，然后写出校门的坐标．解答：解：如图，校门的位置用坐标表示为（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）．点评：本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标．17．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．三、解答题（要写出必要的计算过程或推理步骤）18．计算：﹣|1﹣|+（﹣2）0．考点：实数的运算；零指数幂．分析：分别根据0指数幂的运算法则、数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=1﹣+1+1=3﹣．点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、数的开方法则及绝对值的性质是解答此题的关键．19．如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．求证：AC=OD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠A+∠AOC=90°，∴∠A=∠BOD，在△AOC和△OBD中，，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC=OD．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．20．有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）考点：作图—应用与设计作图．分析：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点．（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．解答：解：作图如下：C1，C2就是所求的位置．点评：此题考查了作图﹣应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD 是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．解答：解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．22．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？考点：勾股定理的应用．专题：应用题；压轴题．分析：仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD 中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．解答：解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD中，CD2=132BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=，==36．所以需费用36×200=7200（元）．点评：通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出A B的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△A DB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．24．如图，在公路l的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？考点：轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．分析：作A点关于l的对称点A′，连接A′B，交直线l于M，此时AM+MB的和最小，M 所处的位置即为中转站应建的位置．解答：解：作A点关于l的对称点A′．连接A′B交l于点M，连接AM，此时AM+MB的和最小，M即为所求．点评：本题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，作出其中一点的对称点，并利用两点之间线段最短是解题的关键．25．如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少？考点：平面展开-最短路径问题．分析：先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可．解答：解：如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高16cm，底面周长为24cm，∴SD=12cm，∴AB==20．∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm．点评：本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．26．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20 cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：操作型．分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．解答：解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．故答案为：20．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．。

【解析版】莱芜实验中学2014-2015年八年级下期中数学试卷

2014-2015学年山东省莱芜实验中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，满分33分）1．方程x+y=6的解有（）A．0个B．2个C．3个D．无数个2．若关于x、y的方程x a﹣b﹣2y a+b+2=11是二元一次方程，那么a、b的值分别是（）A．1、0 B．0、﹣1 C．2、1 D．2、﹣33．如图，a，b，c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b4．函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．5．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（）A．x＜4 B．x＜2 C．2＜x＜4 D．x＞28．与已知二元一次方程5x﹣y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）A．10x+2y=4 B．4x﹣y=7 C．20x﹣4y=3 D．15x﹣3y=69．如果m满足|﹣m|＞m，那么m是（）A．正数B．负数C．非负数D．任何有理数10．在学校举行的秋季田径运动会中，七年级（1）班、（5）班的竞技实力相当．比赛结束后，甲、乙两位同学对这两个班的得分情况进行了比较，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A．B．C．D．11．小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“ⓧ”、“⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出“ⓧ”、“⊕”处的值分别是（）A．ⓧ=1，⊕=1 B．ⓧ=2，⊕=1 C．ⓧ=1，⊕=2 D．ⓧ=2，⊕=2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分23分）12．在x+3y=3中，若用x表示y，则，用y表示x，则．13．不等式2x+1＞0的解集是．14．已知直线y=kx﹣3与y=2x﹣b的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是．15．若x﹣2m＜0，只有三个正整数解，则m的取值范围是．16．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k2x＞k1x+b的解集为．17．已知x，y，t满足方程组，则x和y之间应满足的关系式是．三、解答题（本大题共7小题，满分64分）18．解方程组（1）（2）．19．解不等式组并把其解集在数轴上表示出来：．20．已知|2x+3y+5|+（3x+2y﹣25）2=0，求x﹣y的值．21．A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．22．一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？23．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x，y的值；（2）在备用图中完成此方阵图．3 4 x﹣2 y a2y﹣x c b备用图3 4﹣224．随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：类别甲乙进价（万元/台）10.5 6售价（万元/台）11.2 6.8（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．（注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）2014-2015学年山东省莱芜实验中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，满分33分）1．方程x+y=6的解有（）A．0个B．2个C．3个D．无数个考点：二元一次方程的解．专题：计算题．分析：根据二元一次方程的解有无数对，即可得到结果．解答：解：方程x+y=6的解有无数个，故选D点评：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2．若关于x、y的方程x a﹣b﹣2y a+b+2=11是二元一次方程，那么a、b的值分别是（）A．1、0 B．0、﹣1 C．2、1 D．2、﹣3考点：二元一次方程的定义．分析：由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程组，并求解．解答：解：依题意，得，解这个方程组得a=0，b=﹣1．故选B点评：此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．3．如图，a，b，c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b考点：一元一次不等式的应用．分析：根据图形就可以得到一个相等关系与一个不等关系，就可以判断a，b，c的大小关系．解答：解：依图得3b＜2a，∴a＞b，∵2c=b，∴b＞c，∴a＞b＞c故选C点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．4．函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围．专题：计算题．分析：根据二次根式有意义的条件，计算出（x﹣1）的取值范围，再在数轴上表示即可．解答：解：∵中，x﹣1≥0，∴x≥1，故在数轴上表示为：故选D．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1．5．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（）A．4个B．5个C．6个D．7个考点：二元一次方程的应用．专题：数字问题．分析：设两位数个数上数字为x，则十位数上数字为y，确定出关于x与y的二元一次方程，找出方程的正整数解个数即可．解答：解：设两位数个数上数字为x，则十位数上数字为y，根据题意得：x+y=5，当x=1时，y=4；x=2，y=3；x=3，y=2；x=4，y=1；x=0，y=5；则符合条件的两位数有5个，故选B点评：此题考查了二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．6．不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到正整数解．解答：解：不等式2x﹣7＜5﹣2x的解集为x＜3，正整数解为1，2，共两个．故选：B．点评：解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（）A．x＜4 B．x＜2 C．2＜x＜4 D．x＞2考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公共部分，公共部分是2左边的部分．解答：解：不等式组的解集是指它们的公共部分，公共部分是2左边的部分．因而解集是x＜2．故选B．点评：不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．与已知二元一次方程5x﹣y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）A．10x+2y=4 B．4x﹣y=7 C．20x﹣4y=3 D．15x﹣3y=6考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：找出方程整理后与已知方程相同的方程即可．解答：解：15x﹣3y=6化简得：5x﹣y=2，则15x﹣3y=6与二元一次方程5x﹣y=2组成的方程组有无数多个解．故选D点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值．9．如果m满足|﹣m|＞m，那么m是（）A．正数B．负数C．非负数D．任何有理数考点：绝对值．分析：由|﹣m|＞m，则m|＞m，根据绝对值的意义得到当m＜0，m的绝对值大于它本身．解答：解：∵|﹣m|＞m，∴|m|＞m，∴m＜0．故选B．点评：本题考查了绝对值的意义：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．10．在学校举行的秋季田径运动会中，七年级（1）班、（5）班的竞技实力相当．比赛结束后，甲、乙两位同学对这两个班的得分情况进行了比较，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：设（1）班得x分，（5）班得y分，根据：（1）班与（5）班得分比为6：5；：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．可列出方程组．解答：解：设（1）班得x分，（5）班得y分，．故选：B．点评：本题考查将现实生活中的实际问题转化为方程问题，并根据问题中数量关系列出二元一次方程组，由于数量关系中涉及比例，故属于中等题．11．小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“ⓧ”、“⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出“ⓧ”、“⊕”处的值分别是（）A．ⓧ=1，⊕=1 B．ⓧ=2，⊕=1 C．ⓧ=1，⊕=2 D．ⓧ=2，⊕=2考点：解二元一次方程组．分析：把x，y的值代入原方程组，可得关于“ⓧ”、“⊕”的二元一次方程组，解方程组即可．解答：解：将代入方程组，两方程相加，得x=⊕=1；将x=⊕=1代入方程x+ⓧy=3中，得1+ⓧ=3，ⓧ=2．故选B．点评：要求学生掌握二元一次方程组常见解法，如加减消元法．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分23分）12．在x+3y=3中，若用x表示y，则y=，用y表示x，则x=3﹣3y．考点：解二元一次方程．专题：计算题．分析：把x看做已知数求出y，把y看做已知数求出x即可．解答：解：方程x+3y=3，解得：y=；x=3﹣3y．故答案为：y=；x=3﹣3y．点评：此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．13．不等式2x+1＞0的解集是x＞﹣．考点：解一元一次不等式．专题：计算题．分析：利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去1再除以2，不等号的方向不变；即可得到不等式的解集．解答：解：原不等式移项得，2x＞﹣1，系数化1得，x＞﹣．故本题的解集为x＞﹣．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．14．已知直线y=kx﹣3与y=2x﹣b的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是．考点：一次函数与二元一次方程（组）．分析：一次函数的交点就是两个函数组成的方程组的解．解答：解：∵直线y=kx﹣3与y=2x﹣b的交点为（﹣5，﹣8），∴方程组的解是，故答案为：．点评：此题主要考查了二元一次方程（组）与一次函数的关系，关键是掌握二元一次方程（组）的解就是一次函数图象的交点坐标．15．若x﹣2m＜0，只有三个正整数解，则m的取值范围是 1.5＜m≤2．考点：一元一次不等式的整数解．分析：先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．解答：解：∵x﹣2m＜0，∴x＜2m，∵不等式x﹣2m＜0只有三个正整数解，∴3＜2m≤4，∴1.5＜m≤2，故答案为：1.5＜m≤2．点评：本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解等知识点，关键是能根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式组．16．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．考点：一次函数与一元一次不等式．专题：数形结合．分析：由图象可以知道，当x=﹣1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＞k1x+b解集．解答：解：两个条直线的交点坐标为（﹣1，3），且当x＞﹣1时，直线l1在直线l2的上方，故不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．故本题答案为：x＜﹣1．点评：本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．17．已知x，y，t满足方程组，则x和y之间应满足的关系式是x+3y=3．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：方程组中两方程消去t即可得到x与y的关系式．解答：解：，由①得：5t=3﹣2x③，③代入②得：3y﹣3+2x=x，则x与y的关系式为x+3y=3．故答案为：x+3y=3点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．三、解答题（本大题共7小题，满分64分）18．解方程组（1）（2）．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．解答：解：（1），①×2+②得：5x=10，即x=2，把x=2代入②得：y=﹣3，则方程组的解为；（2），①×3+②×2得：5x=20，即x=4，把x=4代入②得：y=3，则方程组的解为．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19．解不等式组并把其解集在数轴上表示出来：．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解答：解：，由①，得x≤4，由②，得x＞1，把它们的解集在数轴上表示如下：∴原不等式组的解集是1＜x≤4．点评：本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示不等式组的解集，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．20．已知|2x+3y+5|+（3x+2y﹣25）2=0，求x﹣y的值．考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出x﹣y 的值．解答：解：∵|2x+3y+5|+（3x+2y﹣25）2=0，∴，②×3﹣①×2得：5x=85，即x=17，把x=17代入①得：y=﹣13，则x﹣y=17+13=30．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．考点：二元一次方程组的应用．分析：这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：4小时×甲的速度+4小时×乙的速度千米，36千米﹣6小时×甲的速度=2倍的（36千米﹣6小时×乙的速度）．解答：解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时．由题意得：解得：答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时．点评：本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．22．一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？考点：一元一次不等式的应用．分析：根据方式A的费用=0.1×上网时间；方式B的费用=月基费+0.05×上网时间分别求出即可，把两函数解析式联立，利用方程求出缴费一样的时间，即可得出答案，即可得出最省钱方案即可．解答：解：方式A：y=0.1x；方式B：y=0.05x+20；当0.1x=0.05x+20时，解得x=400，故当x=400时，选择方式A与方式B上网两种方式的计费相等，费用为：0.1x=0.1×400=40元；故当x＜400时，即上网时间小于400分钟时，选择方式A上网更合算，当x＞400时，即上网时间大于400分钟时，选择方式B上网更合算．点评：此题主要考查了一次函数的应用；得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．23．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x，y的值；（2）在备用图中完成此方阵图．3 4 x﹣2 y a2y﹣x c b备用图3 4﹣2考点：二元一次方程组的应用．分析：（1）要求x，y的值，根据表格中的数据，即可找到只含有x，y的行或列，列出方程组即可；（2）根据（1）中求得的x，y的值和每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等即可完成表格的填写．解答：解：（1）由题意，得，解得；（2）如图点评：此题中根据要求的是x，y的值，因此要能够列出关于x，y的方程组，不要涉及a，b，c的行或列．24．随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：类别甲乙进价（万元/台）10.5 6售价（万元/台）11.2 6.8（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．（注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．专题：压轴题．分析：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，根据：用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求x的取值范围，再求正整数x的值，确定方案；（2）根据：利润=（售价﹣进价）×辆数，总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出函数关系式，根据x的取值范围求最大利润．解答：解：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，依题意，得228≤10.5x+6（30﹣x）≤240，解得10≤x≤13，∴整数x=11，12，13，有三种进货方案：购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆；购进甲款轿车12辆，购进乙款轿车18辆；购进甲款轿车13辆，购进乙款轿车17辆．（2）设总利润为W（万元），则W=（11.2﹣10.5）x+（6.8﹣6）（30﹣x）=﹣0.1x+24，∵﹣0.1＜0，W随x的减小而增大，∴当x=11时，即购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆，利润最大，最大利润为W=﹣0.1×11+24=22.9万元．点评：本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的关系，利用一次函数的增减性求解．。

2014年山东省莱芜市中考数学试卷(内含答案和解析)

2014年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）D．3．（3分）（2014•莱芜）2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏，将15004．（3分）（2014•莱芜）如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（）．C D．7．（3分）（2014•莱芜）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方．C D．8．（3分）（2014•莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）DC D．10．（3分）（2014•莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）11．（3分）（2014•莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）12．（3分）（2014•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）二、填空题（本题包括5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）（2014•莱芜）分解因式：a3﹣4ab2=_________．14．（4分）（2014•莱芜）计算：=_________．15．（4分）（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=_________．16．（4分）（2014•莱芜）已知一次函数y=ax+b与反比例函数的图象相交于A（4，2）、B（﹣2，m）两点，则一次函数的表达式为_________．17．（4分）（2014•莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为_________．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）18．（6分）（2014•莱芜）先化简，再求值：，其中a=﹣1．19．（8分）（2014•莱芜）在某市开展的“读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）请将条形统计图补充完整．（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的多少人．20．（9分）（2014•莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）21．（9分）（2014•莱芜）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．22．（10分）（2014•莱芜）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．（1）求平均每年投资增长的百分率；（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？23．（10分）（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF•EC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．24．（12分）（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．2014年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）D．=2是无理数正确；是无限循环小数，是有理数，选项错误．3．（3分）（2014•莱芜）2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏，将15004．（3分）（2014•莱芜）如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（）．C D．7．（3分）（2014•莱芜）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方．C D．由题意得，=8．（3分）（2014•莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）DC D．R=10．（3分）（2014•莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（），然==11．（3分）（2014•莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）=12．（3分）（2014•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）＜＜＜﹣﹣二、填空题（本题包括5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）（2014•莱芜）分解因式：a3﹣4ab2=a（a+2b）（a﹣2b）．14．（4分）（2014•莱芜）计算：=2．3+1+3+1+215．（4分）（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=﹣1．得出，进行求解．16．（4分）（2014•莱芜）已知一次函数y=ax+b与反比例函数的图象相交于A（4，2）、B（﹣2，m）两点，则一次函数的表达式为y=x﹣2．中求出y=得y=得﹣，，17．（4分）（2014•莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为（1342，0）．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）18．（6分）（2014•莱芜）先化简，再求值：，其中a=﹣1．÷19．（8分）（2014•莱芜）在某市开展的“读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）请将条形统计图补充完整．（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的多少人．×=108×=600020．（9分）（2014•莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）=18米，21．（9分）（2014•莱芜）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．22．（10分）（2014•莱芜）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．（1）求平均每年投资增长的百分率；（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？平方米，园林绿化面积为平方米，园林绿化面积为由题意，得23．（10分）（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF•EC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．（=AE=BE=rr r r=AH=EF=r=rr x=rr=r=AH=EF== EC=rEC=24．（12分）（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．MN=|x|x；当．，解得﹣+k=y=x，，﹣xx﹣（﹣x|=||．的横坐标为：或y=+（x t tPG=tOF OE（+•t•（有最大值为．。

2014中考数学真题解析压轴题4(含答案)

页眉内容(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编压轴题4127.（2011山东淄博24，分）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x 交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。

专题：计算题。

分析：（1）把C的坐标代入求出c的值，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可求出抛物线的解析式；（2）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，当M在OA上，N在OB 上时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，求出N的横坐标，求出ND、MD，根据勾股定理求出m即可．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），代入得：c=﹣2，∴y=ax2+bx﹣2，把A（﹣2，﹣2），B（2，2）代入得：2422 2422a ba b-=--⎧⎨=+-⎩，解得：121ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y=12x2+x﹣2，答：抛物线的解析式是y=12x2+x﹣2．（2）解：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形．理由如下：∵M、N在直线y=x上，∴OP=PM，OQ=QN，只有M在OA上，N在OB上时，ON=OM时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，过M作MC⊥y轴于C，交NQ的延长线于D ，∵M点的横坐标为m，∴N的横坐标是﹣m，MD=ND=|2m|，由勾股定理得：（2m）2+（2m）22=，∵m＜0，m=12 -．答：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，m的值是12 ．点评：本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能用待定系数法求二次函数的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此题的关键．128.（2011•山西）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11.4），动点P在线段OA上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C﹣B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t ＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为．（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．考点：二次函数综合题。

2014中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)-附详细解答和评分标准

1、（08广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ·························································· 2分由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x1x 2=49b 2－24 ∴49b 2－24=25 解得b =±314···························································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ··························································································· 4分解法二：∵x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根，即方程2x 2－3b x +12=0的两个根．∴x =4969b 32-±b ， ································································· 2分（第25题图）x∴x 2－x 1=2969b 2-=5，解得 b =±314 ·················································································· 3分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ···················································································· 5分又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625····························· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ···················································· 8分∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··············· 9分四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ············································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）解：（1）由5x x 122+=0， ··································································· （1分）得01=x ，5122-=x ． ······································································· （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ································· （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ·························· （4分）分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ············································· （5分）=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ······························· （6分）=5（个单位面积） ······························································ （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ······························································· （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ··········· （9分） ∴)(3123y y y -=． ········································································ （10分） 3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点E 在y 轴上 ············································ 1分理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ······························································· 3分（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=x第26题图∴在Rt DOM △中，12DM =，OM =点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， ············································································· 5分由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ··············································································· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得321312422a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+ ················································ 9分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ······························································ 10分理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边，又3OB =OB ∴边上的高为2 ···················································································· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上28229m ∴--+=解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(2)Q，2Q ；当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ········································ 14分4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁12市26题解析）解：（1）直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ， ············································································· 1分点A C ，都在抛物线上，03a c c⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x x =-················································· 3分x∴顶点1F ⎛ ⎝⎭ ·················································································· 4分（2）存在 ································································································ 5分1(0P ······························································································ 7分2(2P ····························································································· 9分（3）存在 ······························································································ 10分理由：解法一：延长BC 到点B '，使BC B C '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ········································································· 11分过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线233y x x =-(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ········································ 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得6k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=················································································· 13分62y y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭ ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ·· 14分x5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08青海西宁28题解析）解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩····································································· 2分解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- ······································· 3分（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ······················································ 4分OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠为锐角，130O OM ∴∠= ························ 5分1cos3022OM OO ∴==⨯=，在Rt MOF △中，3cos30322OF OM ===．1sin 3032MF OM ===．∴点M 坐标为32⎛ ⎝⎭············································································· 6分图14设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠32k =，k ∴= ····· 7分∴切线OM 的函数解析式为y =··························································· 8分（3）存在． ····························································································· 9分 ①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MO O △∽△（两角对应相等两三角形相似）113tan tan 30P A OA AOP =∠==113P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ····································· 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ．可得21Rt Rt AP O O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似）在2Rt OP A △中，1OA =，23cos30OP OA ∴==在2Rt OP H △中，223cos 4OH OP AOP =∠==，2221sin 2P H OP AOP =∠==2344P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ································· 11分∴符合条件的P 点坐标有13⎛ ⎝⎭，，344⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ·············································· 12分6、（08山东济宁26题）（12分）ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若A M P △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？（08山东济宁26题解析）解：（1）当点P 在AC 上时，A M t =，tg 603PM AM t ∴==．2133(01)2y tt t t ∴==≤≤． ······························································ 2分当点P 在BC 上时，3tan 30(4)3PM BM t ==-．213(4)(13)2363y t t t t t =-=-+≤≤． ··········································· 4分（2）2AC =，4AB ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．3tan 30)QN BN t ∴==-． ······························································ 6分由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)3t =-， 34t ∴=． ∴当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形．························································ 8分（3）由（2）知，当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，PQC ABC ∴△∽△． ··············································································· 9分除此之外，当30CPQ B ∠=∠=时，QPC ABC △∽△，此时3tan 30CQ CP ==． 1cos602AM AP ==，22AP AM t ∴==．22CP t ∴=-． ························ 10分3cos302BN BQ ==，)3BQ t ∴==-．又2BC =)33CQ t ∴=-=． ·································· 11分 322t ∴=-，12t =．∴当12t =s 或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ··············· 12分7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？（08四川巴中30题解析）解：（1）在2334y x =-+中，令0y =23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ········································· 1分又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ··································································· 2分（2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2220x y =⎧⎨=⎩ ············································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，。

山东省济南市2014年中考数学真题试题(含解析)

山东省济南市2014年中考数学真题试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为45分；第Ⅱ卷共6页，满分为75分．本试卷共8页，满分为120分．考试时间为120分钟．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．4的算术平方根是A ．2B ．－2C ．±2D ．16 【解析】4算术平方根为非负数，且平方后等于4，故选A ．2．如图，点Ｏ在直线AB 上，若401=∠，则2∠的度数是 A ． 50 B ． 60 C ． 140 D ．150 【解析】因为 18021=∠+∠，所以1402=∠，故选C ． 3．下列运算中，结果是5a 的是A ．23a a ⋅B ．210a a ÷ C ．32)(a D ．5)(a -【解析】由同底的幂的运算性质，可知A 正确．4．我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家．嫦娥三号探测器的发射总质量约3700千克，3700用科学计数法表示为A ．2107.3⨯B ．3107.3⨯C ．21037⨯D ．41037.0⨯ 【解析】3700用科学计数法表示为3107.3⨯，可知B 正确． 5．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是AB O 2 1第2题图A ．B ．C ．D ．【解析】图A 为轴对称图但不是中心对称图形；图B 为中心对称图但不是轴对称图形；图C 既不是轴对称图也不是中心对称图形；图D 既是轴对称图形又是中心对称图形．6．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是A ．主视图的面积为5B ．左视图的面积为3C ．俯视图的面积为3D ．三种视图的面积都是4【解析】主题图、俯视图均为4个正方形，其面积为4，左视图为3个正方形，其面积为3，故选B ． 7．化简211mm m m -÷- 的结果是 A ．m B ．m 1 C ．1-m D ．11-m【解析】m m m m m m m m m =-⨯-=-÷-111122，故选 A ． 8．下列命题中，真命题是A ．两对角线相等的四边形是矩形B ．两对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．两对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两对角线相等的四边形是等腰梯形【解析】两对角线相等的四边形不一定是矩形，也不一定是等腰梯形，所以A ，D 都不是真命题．又两对角线互相垂直如果不平分，此时的四边形不是菱形，故选B ． 9．若一次函数5)3(+-=x m y 的函数值y 随x 的增大而增大，则A ．0>mB ．0<mC ．3>mD ．3<m【解析】由函数值y 随x 的增大而增大，可知一次函数的斜率03>-m ，所以3>m ，故选C ． 10．在□ABCD 中，延长AB 到E ，使BE ＝AB ，连接DE 交BC 于F ，则下列结论不一定成立的是A ．CDF E ∠=∠B ．DF EF =C ．BF AD 2= D ．CF BE 2=【解析】由题意可得FBE FCD ∆≅∆，于是A ，B 都一定成立；又由BE ＝AB ，可知BF AD 2=，所以C 所给结论一定成立，于是不一定成立的应选D ． 11．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为正面第6题ABCDEF第10题图A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 【解析】用H ，C ，N 分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团，用数组（X ，Y ）中的X 表示征征选择的社团，Y 表示舟舟选择的社团．于是可得到（H ，H ），（H ，C ），（H ，N ），（C ，H ），（C ，C ），（C ，N ），（N ，H ），（N ，C ），（N ，N ），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（H ，H ），（C ，C ），（N ，N ）三种，所以，所求概率为3193=，故选C ． 12．如图，直线233+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于B A ,两点，把AOB ∆沿着直线AB 翻折后得到B O A '∆，则点O '的坐标是A ．)3,3(B ．)3,3(C ．)32,2(D ．)4,32(【解析】连接OO '，由直线233+-=x y 可知223OB=,OA=,故30BAO ∠=︒,点O '为点O 关于直线AB 的对称点,故60O AO '∠=︒，AOO ∆'是等边三角形，O '点的横坐标是OA 长度的一半3，纵坐标则是AOO ∆'的高3，故选A ．13．如图，O ⊙的半径为1，ABC ∆是O ⊙的内接等边三角形，点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是A ．2B ．3C ．23D ．23【解析】1=OA ，知3,1==BC CD ，所以矩形的面积是3．14．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S ，将其中的每个数换成该数在0S 中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列0S ：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列1S ：（2，2，1，2，2）．若0S 可以为任意序列，则下面的序列可以作为1S 的是A ．（1，2，1，2，2）B ．（2，2，2，3，3）ＡＢＯＯ＇xyABCDE．O第13题图C ．（1，1，2，2，3）D ．（1，2，1，1，2）【解析】由于序列0S 含5个数，于是新序列中不能有3个2，所以A ，B 中所给序列不能作为1S ；又如果1S 中有3，则1S 中应有3个3，所以C 中所给序列也不能作为1S ，故选D ． 15．二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （t 为实数）在41<<-x 的范围内有解，则t 的取值范围是A ．1-≥tB ．31<≤-tC ．81<≤-tD ．83<<t 【解析】由对称轴为1=x ，得2-=b ，再由一元二次方程022=--t x x 在41<<-x 的范围内有解，得)4()1(y t y <≤，即81<≤-t ，故选C ．第Ⅱ卷（非选择题共75分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上） 16．=--37________．【解析】101037=-=--，应填10． 17．分解因式：=++122x x ________．【解析】22)1(12+=++x x x ，应填2)1(+x ．18．在一个不透明的口袋中，装有若干个出颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有３个红球且摸到红球的概率为51，那么口袋中球的总个数为____________. 【解析】设口袋中球的总个数为N ，则摸到红球的概率为513=N ，所以15=N ，应填15． 19．若代数式21-x 和123+x 的值相等，则=x ．【解析】解方程12321+=-x x ，的7=x ，应填7．20．如图，将边长为12的正方形ABCD 是沿其对角线AC 剪开，再把ABC ∆沿着AD 方向平移，得到C B A '''∆，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离A A '等于________. 【解析】设m A A ='，则222121264m (m )+-=-，解之m =4或8，应填4或8．1 ＢＯxy4A DADA ’DAyB21．如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90=∠=∠ADB ACO ,反比例函数xk y =在第一象限的图象经过点B ，若1222=-AB OA ，则k 的值为________.【解析】设点B 的坐标为),(00y x B ，则DB OC AD AC y DB OC x -=-=+=00,, 于是62121222200=-=-=-⋅+=⋅=AB OA DB OC DB OC DB OC y x k )()(，所以应填6．三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．（本小题满分7分）（1）化简：)4()3)(3(a a a a -+-+．【解析】9449)4()3)(3(22-=-+-=-+-+a a a a a a a a（2）解不等式组：⎩⎨⎧+≥-<-24413x x x ．【解析】由13<-x 得4<x ；由244+≥-x x 得2≥x ．所以原不等式组的解为42<≤x ．23．（本小题满分7分）（1）如图，在四边形ABCD 是矩形，点E 是AD 的中点，求证：EC EB =．【解析】在ABE ∆和DCE ∆中，EDC EAB DE AE DC AB ∠=∠==,,,于是有 DCE ABE ∆≅∆，所以EC EB =．A BCDE第23题（1）图（2）如图，AB 与O ⊙相切于C ，B A ∠=∠，O ⊙的半径为6，AB ＝16，求OA 的长.【解析】在OAB ∆中，OB OA B A =∴∠=∠, ，连接OC ，则有8,6,===⊥BC AC OC AB OC ，所以10862222=+=+=AC OC OA ．24．（本小题满分8分）2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？【解析】设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票y 张，由题意有 ⎩⎨⎧=+=+580070055010y x y x ，解之⎩⎨⎧==28y x ．所以，小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张．25．（本小题满分8分）在济南市开展的“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如下图所示：劳动时间（时）频数（人数）频率 0.5 12 0.121 30 0.3 1.5 x 0.42 18y 合计 m 1（1）统计表中的=m ，=x ，=y ；（2）被调查同学劳动时间的中位数是时；ABCO第23题（2）图0 时间（时）人数102030 40 123018 0.5 1 2（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．【解析】（1）由于频率为0.12时，频数为12，所以频率为0.4时，频数为40，即40=x ；频数为18，频率应为0.18时，即18.0=y ；10018403012=+++=m ．（2）被调查同学劳动时间的中位数为1.5时；（3）略（4）所有被调查同学的平均劳动时间为32.118.024.05.13.0112.05.0=⨯+⨯+⨯+⨯时．26．（本小题满分9分）如图1，反比例函数)0(>=x xky 的图象经过点A （32，1），射线AB 与反比例函数图象交与另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，y AD BAC ⊥=∠,75轴，垂足为D ．（1）求k 的值；（2）求DAC ∠tan 的值及直线AC 的解析式；（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线x l ⊥轴，与AC 相交于N ，连接CM ，求CMN ∆面积的最大值．【解析】（1）由反比例函数)0(>=x xky 的图象经过点A （32，1），得32132=⨯=k ；（2）由反比例函数)0(32>=x xy 得第26题图1ABCDO xy点B 的坐标为（1，32），于是有30,45=∠∴=∠DAC BAD ，33tan =∠DAC ， AD =32，则由33tan =∠DAC 可得CD =2，C 点纵坐标是-1，直线AC 的截距是-1，而且过点A （32，1）则直线解析式为133-=x y ．（3）设点M 的坐标为)1)(,32(>m m m，则点N 的坐标为)12,32(-mm ，于是CMN ∆面积为 )12(3221+-⨯⨯=∆mm m S CMN ])422(89[3)112(322--=++-⨯=m m m ，所以，当4=m 时，CMN ∆面积取得最大值839．27．（本小题满分9分）如图1，有一组平行线4321l l l l ∥∥∥，正方形ABCD 的四个顶点分别在4321,,,l l l l 上，EG 过点Ｄ且垂直于1l 于点Ｅ，分别交42,l l 于点Ｆ，Ｇ，2,1===DF DG EF ．（1）=AE ，正方形ABCD 的边长＝；（2）如图2，将AEG ∠绕点A 顺时针旋转得到D E A ''∠，旋转角为)900(<<αα，点D '在直线3l 上，以D A '为边在的D E ''左侧作菱形B C D A '''，使点C B '',分别在直线42,l l 上． ①写出D A B ''∠与α的函数关系并给出证明； ②若30=α，求菱形B C D A '''的边长．第26题图2AB CDOxyMNl 1l 2l 3lABDEF 1l 2l 3lAE ’D ’B ’【解析】（1）在R T R T A E D G D C∆∆，中，AD=DC,又有ADE ∠和DAE ∠互余，ADE ∠和CDG∠互余，故DAE ∠和CDG ∠相等，GDC AED ∆≅∆，知1==GD AE , 又321=+=AD ，所以正方形ABCD 的边长为103122=+．（2）①过点B '作B M '垂直于1l 于点M ，在R TR T ’A E D AB M ∆∆''，中, =’B M AE ',=AD AB '',故RT RT ’AE D AB M ∆∆''≅，所以A ,’D E B AM ''∠∠互余，D A B ''∠与α之和为90︒，故D A B ''∠=90︒－α.②过E 点作ON 垂直于1l 分别交12l ,l 于点O ，N ，若30=α,60E D N ''∠=︒，=1AE ',故1=2E O ', 5=2E N ', 533E D ''=，由勾股定理可知菱形边长为2584133+=.28．（本小题满分9分）如图1，抛物线2163x y -=平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积阴影S ；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N ，设t OM =，试探求：①t 为何值时MAN ∆为等腰三角形；②t 为何值时线段PN 的长度最小，最小长度是多少．【解析】（1）设平移后抛物线的解析式2316y x bx =-+，将点A （8，,0）代入，得233162y x x =-+.顶点B （4,3），阴影S =OC ×CB ＝12.AＢＣＤｘyO第28题图1PAB CM Nxy O第28题图2（2）直线AB 的解析式为364y x =-+，作NQ 垂直于x 轴于点Q ， ①当MN ＝AN 时， N 点的横坐标为82t +，纵坐标为2438t-，由三角形NQM 和三角形MOP 相似可知NQ MQ OM OP =,得2438826t tt --=，解得982t ,=（舍去）. 当AM ＝AN 时，AN ＝8t -,由三角形ANQ 和三角形APO 相似可知()385NQ t =-()485AQ t =-,MQ ＝85t -，由三角形NQM 和三角形MOP 相似可知NQ MQOM OP =得：()388556t t t --=，解得：t ＝12（舍去）.当MN ＝MA 时，45MNA MAN ∠=∠<︒故AMN ∠是钝角，显然不成立.故92t =.②方法一：作PN 的中点C ，连接CM ，则CM ＝PC ＝21P Ｎ，当CM 垂直于x 轴且M 为OQ 中点时PN 最小，此时t ＝3，证明如下：假设t ＝3时M 记为0M ，C 记为0C 若M 不在0M 处，即M 在0M 左侧或右侧，若C 在0C 左侧或者C 在0C 处，则CM 一定大于00C M ,而PC 却小于0PC ，这与CM ＝PC 矛盾，故C 在0C 右侧，则PC 大于0PC ,相应PN 也会增大，故若M 不在0M 处时 PN 大于0M 处的PN 的值，故当t ＝3时，MQ ＝3, 3=2NQ ,根据勾股定理可求出PM ＝35与MN ＝352,15=2PN ．故当t ＝3时，PN 取最小值为152．方法二：由MN 所在直线方程为662t x t y -=，与直线AB 的解析式364y x =-+联立，得点N 的横坐标为t t x N 292722++=，即029362=-+-N N x t x t ，由判别式0)2936(42≥--=∆N N x x ，得6≥N x 或14-≤N x ，又80<<N x ，所以N x 的最小值为6，此时t ＝3，当t ＝3时，N 的坐标为（6，23），此时PN 取最小值为152．。

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2014年山东省莱芜市中考数学试卷、选择题（本题共 12小题，每小题选对得 3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）1. （3 分）（2014?莱芜）下列四个实数中，是无理数的为（)A .0 B . — 3C. .：■： D .:112. （3 分）（2014?莱芜）下面计算正确的是（)A .3a — 2a=1 B . 3a 2+2a=5a 333 3C . (2ab ) 3=6a 3b 3D . - a 4?a 4 = — a 85. （ 3分）（2014?莱芜）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表:年龄 13 14 15 16 17 18人数4 56 672则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ )A . 17, 15.5B . 17, 16C . 15, 15.5D .16, 166. （ 3 分）（2014?莱芜）若一个正 n 边形的每个内角为 156 °则这个正 n 边形的边数是（) A . 13 B . 14C . 15D .167. （ 3分）（2014?莱芜）已知 A、 C 两地相距 40千米， B 、C 两地相距 50千米，甲乙两车分别从 A 、B 两地同时出发到C 地.若乙车每小时比甲车多行驶 12千米，则两车同时到达 C 地.设乙车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是（）A . 4050 B .40 50C. 40 50D.40 50X12 x _ 12 Ki+12 x3.（ 3 分）（2014?莱芜） 2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待万用科学记数法表示为（） A . 15XI05B . 1.5XI06C . 1.5X 071500万人前来观赏，将 1500 8D . 0.15X 0如图是由 4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（&（ 3分）（2014?莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且则图中阴影部分的面积为（）AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°点A 旋转到A 的位置,4. （3 分）（2014?莱芜）A .11. （ 3分）（2014?莱芜）如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC 、AD 、CE , CE 交AD 于点F ,连接BF ，下列说法不正确的是（）2 2 2C . AC 2+BF 2=4CD212. （3分）（2014?莱芜）已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示.下列结论:2 2① abc > 0;② 2a - b v 0;③ 4a -2b+c v 0;④ （a+c ） < bA . nB . 2nC . IT2D . 4 n9. （3 分）（2014 ?莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为 R 的半圆，则该圆锥的高是（） A .R B . 1 C . V3RD . kf?10. （3分）（2014?莱芜）如图，在 △ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且 4,贝U S A BDE : S A ACD =（）DE // AC ，若 S A BDE : S A CDE =1 :C . 1: 20D . 1: 24A . △ CDF 的周长等于AD+CDB . FC 平分 / BFD2D . DE =EF?CEB . 1: 18二、填空题（本题包括5小题，每小题4分，共20分）13. ___________________________________________________ （4 分）（2014?莱芜）分解因式：a3- 4ab2= .14. _____________________________________________________________________________ （4 分）（2014?莱芜）计算：|3- 2血|+ （兀 - 2014 ）呻（.寺）7= _______________________________________ .15. _____________________________________________________________________________________ （4分）（2014 ?莱芜）若关于x的方程x2+ （k- 2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= __________________________ .16. ____________________________ （4分）（2014?莱芜）已知一次函数y=ax+b与反比例函数的图象相交于A （4, 2）、B （- 2, m）两点，则一次函数的表达式为.17. （4分）（2014?莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知/ ABC=60 ° OA=1 .先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°连续翻转2014次，点B的落点依次为B1, B2, B3,…，贝B2014的坐标为_三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）4 a ~5 1 n18. （6分）（2014?莱芜）先化简，再求值：（a+1 ---------- ）亍（------- - ------ ），其中a=- 1.□_ 1 a ~ 1 /一只19. （8分）（2014?莱芜）在某市开展的读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查.如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）请将条形统计图补充完整.（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1〜1.5小时对应的圆心角度数.（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5〜1.5小时的多少人.20. （9分）（2014?莱芜）如图，一堤坝的坡角 / ABC=62 °坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角/ ADB=50 °则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01答下列问题:⑷二闔45过15米）（参考数据：sin62° 出88, cos62° M7, tan50° 核0）21. （9分）（2014?莱芜）如图，已知△ ABC是等腰三角形，顶角 / BAC= a（aV 60°, D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转a到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF .（1）求证：BE=CD ;（2）若AD丄BC,试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.22. （10分）（2014?莱芜）某市为打造绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知投资1000万元，预计2015年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.（1）求平均每年投资增长的百分率；（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的23. （10分）（2014?莱芜）如图1,在O O中，E是弧AB的中点,9接EC交AB于点F, EB=_ +3（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与O O相切;（2）求EF?EC的值；（3）如图2,当F是AB的四等分点时，求EC的值.24. （12分）（2014?莱芜）如图，过A （1, 0）、B （3, 0）作x轴的垂线，分别交直线y=4 - x于C、D两点.抛物线y=ax +bx+c经过0、C、D三点.（1）求抛物线的表达式；）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M ,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若厶AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△ AOC与厶OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.2013 年200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？C为O O上的一动点（C与E在AB异侧），连（r是O O的半径）.2014年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）1.（3分）（2014?莱芜）下列四个实数中，是无理数的为（）A . 0B. - 3 C . :: D . ■:IT考点：无理数.分析：无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要冋时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.解答：解：A、0是整数，是有理数，选项错误；B、- 3是整数，是有理数，选项错误；C、「=2 .：是无理数正确；D、一是无限循环小数，是有理数，选项错误.故选：C .点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：n 2 n等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.2. （3分）（2014?莱芜）下面计算正确的是（）A . 3a- 2a=1B . 3a2+2a=5a3C. （2ab）3=6a3b3 D . - a4?a4 = - a8考点：幕的乘方与积的乘方；合并冋类项；冋底数幕的乘法.分析：分别进行合并冋类项、积的乘方和幕的乘方等运算，然后选择正确答案.解答：解：A、3a- 2a=a,原式计算错误，故本选项错误；B、3a2和2a不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、（2ab）3=8a3b3,原式计算错误，故本选项错误；D、- a4?a4= - a8,计算正确，故本选项正确.故选D .点评：本题考查了合并冋类项、积的乘方和幕的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键.3. （3分）（2014?莱芜）2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏，将1500万用科学记数法表示为（）A . 15XI05B . 1.5XI06C . 1.5X107D . 0.15X10*考点：科学记数法一表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为a X0n的形式，其中1书|v 10, n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值〉1时，n是正数；当原数的绝对值v 1时，n是负数.解答：解：将1500万用科学记数法表示为：1.5 X07.故选：C .点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a X0n的形式，其中1弓a|v 10, n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4. （3分）（2014?莱芜）如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（C .D .考点：分析：解答: 点评: 简单组合体的三视图. 根据俯视图是从上面看到的图形判定即可. 解：从上面可看到从左往右有三个正方形，故选A . 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.5. （ 3分）（2014?莱芜）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表: 年龄 13 14 15 16 人数 4566 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ A . 17, 15.5 B . 17, 16 17 182 C . 15, 15.5 D . 16, 16 考点：分析：解答: 点评: 众数；中位数. 出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 解：17出现的次数最多，17是众数. 第15和第16个数分别是15、16,所以中位数为16.5 .故选A . 本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键. 6. （3分）（2014?莱芜）若一个正n 边形的每个内角为156°则这个正n 边形的边数是（ A . 13 B . 14 C . 15 ) D . 16 考点：分析：解答: 点评: 多边形内角与外角. 由一个正多边形的每个内角都为 156°可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案. 解：•••一个正多边形的每个内角都为 156° •••这个正多边形的每个外角都为： 180°- 156°=24°, •••这个多边形的边数为：360°^24°=15, 故选C .此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键. 7. （ 3分）（2014?莱芜）已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从 A 、B 两地同时出发到C 地.若乙车每小时比甲车多行驶 12千米，则两车同时到达 C 地.设乙车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是（）A. 40 50 ~=K- 12 x-12 C .__ ! IT =X +12r+12_考点：分析：解答: 由实际问题抽象出分式方程. 设乙车的速度为x 千米/小时，则甲车的速度为（ 50千米，列出方程. 解：设乙车的速度为 x 千米/小时，则甲车的速度为（x - 12）千米/小时, X - 12）千米/小时，根据用相同的时间甲走 40千米，乙走由题意得，_1二’川•x x - 12故选B •点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系, 列出方程.&（ 3分）（2014?莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°点A旋转到A的位置, 则图中阴影部分的面积为（）A . nB . 2 nC .兀D . 4 n考点：扇形面积的计算；旋转的性质.分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA 的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积即可.解答：解：T S阴影=S扇形ABA '+S半圆—S半圆45X 7T X 42=S扇形ABA ==2 n,故选B .点评：本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，是基础知识，难度不大.9. （3分）（2014?莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A . RB . 1C . D. ■:2K考点：圆锥的计算.分析：根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长，然后表示出圆锥的高即可.解答：解：圆锥的底面周长是：K R;设圆锥的底面半径是r,则2 n= K R .解得：r= R.[2由勾股定理得到圆锥的高为故选D.点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.10. （3 分）（2014?莱芜）如图，在△ ABC 中，D、E 分别是AB、BC 上的点，且DE // AC ,若S^BDE：S^CDE=1 : 4,贝U S A BDE : S^ACD=（）D. 1: 24考点：相似三角形的判定与性质.分析：设厶BDE的面积为a,表示出△ CDE的面积为4a,根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出翌，然CE后求出△ DBE和厶ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ ABC的面积，然后表示出厶ACD的面积，再求出比值即可.解答：解：T S^BDE : S A CDE=1 : 4,•••设厶BDE的面积为玄，则厶CDE的面积为4a, ••• △ BDE和厶CDE的点D到BC的距离相等，1 =1::4L-=11 -si•/ DE // AC，••• △ DBE ABC，•S A DBE : S A ABC=1 : 25，•-S A ACD =25a — a _4a=20a，•- S A BDE : S A ACD=a：20a=1: 20.故选C.点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方用△ BDE的面积表示出△ ABC的面积是解题的关键.11. （3分）（2014?莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A . △ CDF的周长等于AD+CDB . FC平分/ BFDC . AC2+BF2=4CD2D . DE2=EF?CE考点：正多边形和圆.分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE ，BA // CE，AD // BC，AC // DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即厶CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出AC2+BF2=4CD2，可证明△ CDEDFE，即可得出DE2=EF?CE .解答：解：•••五边形ABCDE是正五边形，• AB=BC=CD=DE=AE ，BA // CE，AD // BC，AC // DE，AC=AD=CE，•四边形ABCF是菱形，••• CF=AF ,••• △ CDF 的周长等于CF+DF+CD ,即厶CDF的周长等于AD+CD ,故A说法正确；B. 1: 18由勾股定理得OB2+OC2=BC2，2 2 2 2 2 2 2• AC +BF = (20C) + (2OB ) =40C +40B =4BC ,• AC2+BF2=4CD2.故C说法正确；由正五边形的性质得，△ ADE也△ CDE ,•/ DCE= / EDF ,•△ CDEDFE ,•二—…I =1，2•DE2=EF?CE,故C说法正确；点评：本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，难度中等，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用.12. （3分）（2014?莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.下列结论:2 2①abc> 0;②2a- b v 0;③4a-2b+c v0;④（a+c） < b其中正确的个数有考点：二次函数图象与系数的关系.专题：数形结合.分析：由抛物线开口方向得a< 0,由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b< 0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c> 0，所以abc> 0;根据抛物线对称轴的位置得到- 1 <- — < 0,则根据不等式性质即可得2a到2a- b<0;由于x= - 2时，对应的函数值小于0,则4a- 2b+c< 0;同样当x= - 1时，a- b+c>0, x=1 时，a+b+c< 0,则（a- b+c）（a+b+c）< 0，利用平方差公式展开得到（a+c）2- b2< 0，即（a+c）2< b2.解答：解：•••抛物线开口向下,••• av 0,•/抛物线的对称轴在y轴的左侧,•- x= ——v 0,• b v 0,•••抛物线与y轴的交点在x轴上方，• c> 0,• abc>0,所以①正确；•/ - i v-丄v0,2a• 2a- b v 0,所以②正确；•••当x= - 2 时，y v 0,• 4a- 2b+c v 0，所以③ 正确；•••当x= - 1 时，y> 0,• a- b+c>0,■/ 当x=1 时，y v 0,• a+b+c v 0,•(a- b+c) (a+b+c) v 0，即(a+c- b) (a+c+b)v 0,•(a+c) 2- b2v 0，所以④正确.故选D.点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c (a用)的图象为抛物线，当a> 0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=-上；抛物线与y轴的交点坐标为(0, c);当b2- 4ac>0，抛物线与x轴有2a两个交点；当b2- 4ac=0,抛物线与x轴有一个交点；当b2- 4ac v 0,抛物线与x轴没有交点.二、填空题(本题包括5小题，每小题4分，共20分)3 213. (4 分)(2014?莱芜)分解因式：a - 4ab = a (a+2b) (a- 2b) .考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：观察原式a3-4ab2，找到公因式a,提出公因式后发现a2- 4b2符合平方差公式的形式，再利用平方差公式继续分解因式.解答：解：a3- 4ab2=a (a2- 4b2)=a (a+2b) (a- 2b).故答案为：a (a+2b) (a- 2b).点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止.14. (4 分) (2014?莱芜)计算：|3-2亦|+ (兀一2014 ) 7=一^怎_.考点：实数的运算；零指数幕；负整数指数幕.分析：本题涉及零指数幕、绝对值、负指数幕等考点.针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.解答:2=2 :■- 3+1+2 =2 :;. 故答案为2 :点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型•解决此类题目的关键是掌握零指数幕、绝对值、负指数幕等考点的运算.15. (4分)(2014?莱芜)若关于x 的方程x 2+ (k - 2) x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= - 1 • 考点：根与系数的关系.分析：分析：根据已知和根与系数的关系X 1x 2=—得出k 2=1，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符所以一次函数解析式为 y=x - 2. 故答案为y=x - 2.点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解答: k 的值.解：I X 1x 2=k 2，两根互为倒数, ••• k =1, 解得k=1或-1;•••方程有两个实数根， △> 0, •当k=1时，△< 0,舍去, 故k 的值为-1.点评：本题考查了根与系数的关系，根据 X 1, X 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a 老，a , b , 两个实数根，则 X 1+x 2= - —, x 1x 2=^进行求解.c 为常数)的16. (4分)(2014?莱芜)已知一次函数 y=ax+b 与反比例函数的图象相交于 A (4, 2)、B (- 2, 一次函数的表达式为 y=x - 2 .考点：反比例函数与一次函数的交点问题. 专题：计算题.分析：先把A 点坐标代入尸上中求出k ,得到反比例函数解析式为 y 昌,再利用反比例函数解析式确定然后利用待定系数法求一次函数解析式.解答：解：把A (4, 2)代入尸上得k=4X2=8 ,I所以反比例函数解析式为沪丄,把 B (- 2, m )代入 y=—得-2m=8，解得 m= - 4, m )两点，则 B 定坐标,解得把 A (4, 2)、B (- 2,17. （4分）（2014?莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知/ ABC=60 ° OA=1 .先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°连续翻转2014次，点B的落点依次为B i，B2,B3,…，则B2014的坐标为（1342,考点：规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质.专题：规律型.分析：连接AC,根据条件可以求出AC,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转 6 次，图形向右平移4.由于2014=335 >6+4，因此点B4向右平移1340 （即335总）即可到达点B2014,根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标.解答：解：连接AC,如图所示.•/四边形OABC是菱形，••• OA=AB=BC=OC .•/ / ABC=90 °•△ ABC是等边三角形.• AC=AB .• AC=OA .•/ OA=1 ,• AC=1 .画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示.由图可知：每翻转6次，图形向右平移4.•/ 2014=335 >6+4,•点B4向右平移1340 （即335 >）到点B2014.•/ B4的坐标为（2, 0）,• B2014 的坐标为（2+1340 , 0）,点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力.发现每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键.三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）4 已一5 1 □18. （6分）（2014?莱芜）先化简，再求值：（a+1 --------- ）亡（---------- 一------- ），其中a=- 1.□ _1 a ~ 1 J 一乂考点：分式的化简求值.专题：计算题.分析：原式括号中两项通分并利用冋分母分式的减法法则计算，冋时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a 的值代入计算即可求出值.解答：解：原式=-1; I ・-） --4十 ■ 」、|a _ 1 a （a _ 1）_ （且一 2 ）（且-1） a - 1 ? a-2=a (a - 2),当 a= - 1 时，原式=-1 x (- 3) =3.点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.19. ( 8分)(2014?莱芜)在某市开展的读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查.如图是根据调查结果绘制成的统计图(不完整)，请你根据图中提供的信息解(1) 本次抽样调查的样本容量是多少？ (2) 请将条形统计图补充完整. (3) 在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在 1〜1.5小时对应的圆心角度数. (4) 根据本次抽样调查，试估计该市 12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5〜1.5小时的多少人.考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.分析：(1)根据第一组的人数是 30,占20%，即可求得总数，即样本容量；(2)禾U 用总数减去另外两段的人数，即可求得 0.5〜1小时的人数，从而作出直方图;(3) 利用360。