九年级数学下册二次函数

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九年级下册二次函数知识点

九年级下册二次函数知识点二次函数是中学数学中非常重要的一个概念，它在数学理论和实际应用中都具有广泛的重要性。

在九年级下册的学习中，我们将学习与二次函数相关的知识点，包括函数的定义、图像特性以及与实际问题的联系。

本文将详细介绍九年级下册二次函数的知识点。

一、二次函数的定义二次函数是指函数的自变量的最高次数为2的函数，一般的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c为实数常数。

其中的a 称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

二次函数的定义域是实数集R，值域往往和a有关。

二、二次函数的图像特性1. 开口方向二次函数的开口方向与二次项的系数a有关。

当a>0时，函数的图像开口向上；当a<0时，函数的图像开口向下。

这是因为二次函数的图像实际上是一个抛物线，抛物线的开口方向与二次项系数的正负有关。

2. 对称轴与顶点坐标对称轴是二次函数图像的一条特殊线，对称轴的方程通常为x = -b / (2a)。

对称轴将图像分为两部分，而二次函数的图像在对称轴上具有对称性。

顶点坐标则是二次函数图像的最高点或最低点的坐标，它的x值就是对称轴的x值，y值可由函数表达式计算得出。

3. 零点二次函数的零点即使函数的自变量取值使得函数值为0的点。

计算二次函数的零点需要解二次方程ax^2 + bx + c = 0。

二次方程的解有两个，分别代表着图像与x轴的交点。

三、二次函数与实际问题二次函数在实际问题中的应用非常广泛，例如抛体运动、建模等。

下面以抛体运动为例，说明二次函数在实际问题中的应用。

假设有一个以45度角抛出的物体，那么该物体的运动轨迹可以用一个二次函数来表示。

在这里，自变量x表示时间，函数值f(x)表示物体的高度。

而二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标等特性可以帮助我们分析该物体的抛射轨迹。

通过对二次函数的分析，可以计算物体的最高点、落地点、时间等信息。

除此之外，二次函数还可以用来建立数学模型，以解决实际问题。

苏科版九年级下册数学第5章二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2的图像和性质

由图像知，对于一切x的值，总有y≤2.
解题技巧：
知4－讲
①“左加右减自变量，上加下减常数项”，抛物线左右平移时，
只有h发生变化；上下平移时，只有k发生变化，反之，根据
h的值可以确定左右平移的方向和距离；根据k的值可以确定
上下平移的方向和距离.
②画二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像的关键是先确定顶点坐
要点提醒： a 决定抛物线的开口方向和开口大小，所以 y=ax2(a≠0) 与
y=ax2+k(a≠0)的图像开口方向和开口大小相同，只是位置不同.
(0，k)
知1－讲
a，k 的符 y=ax2+k(a>0) y=ax2+k(a<0)
号
k>0 k<0 k>0 k<0
图像
方法点拨：
知2－讲
平移规律：左加右减，横变纵不变.
①“ 左加 ” 表示当 h ＞ 0 时，函数 y=a(x+h)2 的图像可以由函数
y=ax2的图像向左平移h个单位长度得到.
②“ 右减 ” 表示当 h ＜ 0 时，函数 y=a(x+h)2 的图像可以由函数
知2－讲
方法点拨：当a>0时，抛物线开口向上，图像有最低点，当x=
－h时，y最小值=0；当a<0时，抛物线开口向下，图像有最高点，当x=
－h时，y最大值=0.
知2－讲
解：由y=－3(x－1)2可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0).
知2－讲
例4 在平面直角坐标系中，函数y=－x－1与y=－ (3x

九年级数学二次函数教案(优秀9篇)

九年级数学二次函数教案(优秀9篇)二次函数教学教案参考篇一教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。

(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2.具有初步的创新精神和实践能力。

教学重点1.体会方程与函数之间的联系。

2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程。

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

教学方法讨论探索法。

教具准备投影片二张第一张：(记作§2.8.1A)第二张：(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系。

当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。

第二章二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

ax2+c≥kx+m的解集是____．
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；

B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，

则a值为_____．

【答案】−

【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式

九年级数学下册第三十章二次函数二次函数的图像和性质二次函数ya(x h)

轧东卡州北占业市传业学校二次函数y=a 〔x-h 〕2和y=a 〔x-h 〕2+k 的图像和性质知识点一二次函数y=a 〔x-h 〕2的图像和性质把二次函数2x y =的图像向右平移3个单位长度，得到新的图像的函数表达式是〔〕32+=x y B. 32-=x y C. 2)3(+=x y D. 2)3(-=x y抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是〔〕3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线C.3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线二次函数2)1(3+=x y 的图像上有三点),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，那么321,,y y y 的大小关系为〔〕A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 213y y y >> D. 123y y y >>把抛物线2)1(6+=x y 的图像平移后得到抛物线26x y =的图像，那么平移的方法可以是〔〕沿y 轴向上平移1个单位长度 B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度假设二次函数12+-=mx x y 的图像的顶点在x 轴上，那么m 的值是〔〕 A. 2 B. 2- C.0 D. 2± 对称轴是直线2-=x的抛物线是〔〕A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y对于函数2)2(3-=x y ，以下说法正确的选项是〔〕当0>x时，y 随x 的增大而减小 B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x时，y 随x 的增大而增大 D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图像都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点〔0，0〕；③当>x时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的.其中正确的说法有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=xy的开口向，对称轴是，顶点坐标是。

人教版九年级数学课件-二次函数

1 ④ y x2
不是，右邊是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最高次數是3.
⑥ y=(x+3)²-x² y=6x+9
方法歸納
判斷一個函數是不是二次函數，先看原函數和整理化簡後的形式再作判斷.除此之外，二次函數除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，還有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
填空：每個球隊n要與其他 n-1 個球隊各比賽一場，甲隊
對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽時同一場比賽，所以比賽
的場次數
.
答： m 1 nn 1
2
m 1 n2 1 n 22
此式表示了比賽的場次數m與球隊數n之間的關係，對於
n的每一個值，m都有唯一的一個對應值，即m是n的函數.
問題3 某工廠一種產品現在的年產量是20件，計畫今後兩年增加產量.如果每年都比上一年的產量增加x倍，那麼兩年後這種產品的產量y將隨計畫所定的x的值而確定，y與x之間的關係怎樣表示？
填空：這種產品的原產量是20件, 一年後的產量是 20(1+x)件, 再經過一年後的產量是 20(1+x)2 件,即兩年後的產量 y=__2_0_(1_+__x_)2. 答： y=20x2+40x+20；此式表示了兩年後的產量y與計畫增產的倍數x之間的關係，對於x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數.
且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就說x是引數，y是x的函數.
2.什麼是一次函數？正比例函數？一般地，形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0）的函數叫做一次函數.當b=0 時，一次函數y=kx就叫做正比例函數.

华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2

湘教版九年级数学下册 1.2：二次函数的图像和性质课件(考场对接)(30张PPT)

题型六二次函数图像与a, b, c之间的关系
例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列
说法：①a>0；②2a+b>0；③a+b+c>0；④当-1<x<3时, y>0.
其中正确的个数为( B ).
A．1
B．2
C．3
D．4
1.2 二次函数的图像与性质
分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误；
1.2 二次函数的图像与性质
题型三利用二次函数的性质比较函数值的大小
例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(－2, y3 )都在二次函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 __y_2 _＜__y_1_＜__y_3_ (用“＜”连接).
1.2 二次函数的图像与性质
解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3. (2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).
1.2 二次函数的图像与性质
解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2, ∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时, y最小值 =-2.
1.2 二次函数的图像与性质
锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快速求解.

九年级数学下第五章二次函数5.2二次函数的图象与性质5.2.3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

知2－讲
例2 [期末·南通] 关于抛物线y＝－x2－2x－3，下列说法中错误的是( C ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝－1 C. 当x＞－1 时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标为(－1，－2)
知2－讲
解题秘方：紧扣函数表达式中的系数和二次函数的性质逐一判断各个选项中的说法是否正确
当x= －2ba 时，
4ac－b2
y最小值= 4a
当x= －2ba 时， y最大值= 4ac－b2
4a
活学巧记：
知2－讲
曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值.
如果要画抛物线，描点平移两条路.
提取配方定顶点，平移描点皆成图.
列表描点后连线，五点大致定全图.
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小都不变
a>0
a<0
开后方向
对称轴
向上
向下
对称轴顶点坐标
增减性
最值
知2－讲
直线 x=－2ba
(－2ba，4ac4－a b2)
当x< －2ba 时，y 当x< －2ba 时，y 随随x的增大而减小；x 的增大而增大；当x> －2ba 时，y随当x> －2ba 时，y 随 x的增大而增大 x的增大而减小
又∵
4ac－b2 4×(－1)×(－3)－(－2)2
4a =
4×(－1)
=－2，∴顶点坐
标是(－1，－2)，故选项D 正确.
方法总结：
知2－讲
若不画图像直接得出函数图像的特征，则必须根据
函数图像的特征与二次函数表达式中系数之间的
关系来确定.对于抛物线y=ax2+bx+c，其中a决定

北师大数学九年级下册第二章-确定二次函数的表达式(含解析)

第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】（1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）．【解析】（1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）．例题3、已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】（1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】暂无解析随练1、已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-．例题2、二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38，所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。

2024年九年级下册数学《二次函数》课件

2024年九年级下册数学《二次函数》课件一、教学内容本节课选自2024年九年级下册数学教材第十章《二次函数》。

具体内容包括：10.1二次函数的定义与图像，10.2二次函数的性质，10.3二次函数的顶点式及其应用，10.4二次函数与一元二次方程的关系。

二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的标准式、顶点式及其互化方法。

2. 能够根据二次函数的定义和性质，分析二次函数的图像特点。

3. 学会运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、性质、图像及其应用。

难点：二次函数顶点式的推导及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个抛物线的运动轨迹，引导学生观察、分析，进而引出二次函数的概念。

2. 教学新课（1）二次函数的定义与图像通过实例让学生理解二次函数的定义，展示二次函数的图像，引导学生观察、分析图像特点。

（2）二次函数的性质利用实例和图像，引导学生探究二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等。

（3）二次函数的顶点式及其应用通过顶点式的推导，让学生掌握顶点式与标准式的互化方法，并能运用顶点式解决实际问题。

（4）二次函数与一元二次方程的关系介绍二次函数与一元二次方程之间的联系，让学生了解它们在实际问题中的应用。

3. 例题讲解结合本节课的内容，讲解典型例题，引导学生运用所学知识解决问题。

4. 随堂练习设计适量练习题，让学生当堂巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的性质3. 二次函数的顶点式及其应用4. 二次函数与一元二次方程的关系七、作业设计1. 作业题目：（1）已知二次函数f(x)=x²4x+3，求其顶点坐标和对称轴。

（2）求二次函数y=2(x3)²+4的顶点坐标、开口方向和最值。

2. 答案：（1）顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2。