AR谱估计的方法

达到最小, 可得
(4.5.10)
ˆ a c ( 1 ,p ) c ( 1 , 0 ) p 1 xx xx ˆ a c ( 2 , p ) c ( 2 , 0 ) p 2 xx xx ˆ a c ( p , p ) c ( p , 0 ) p p xx xx
模型. (2) 估计 Rxx (m) (即模型参数)的准则
理论上, 采用预测误差功率最小准则, 表示为
2 E {[ e ( n )] } min
(4.5.1) (4.5.2)
实际上, 采用由时间平均代替集合平均的最小平方准则, 即
e ( n ) m in
2
式中 n 的求和范围暂时未指定, 取决于下面要讨论的算法.
p p [ e ( n )] a x ( n i ) a x ( n j ) pi pj n 0 n 0 i 0 0 j
N p 1 2 N p 1 Tˆ ˆ ( a R ) a N a R a pi xx ij pj xx i,j 0 p
pe
pb N 1 b p n p 2 N 1 p n 0 pk k 1 p
(4.5.14)
1 e ( n )1 x ( n ) a x ( n k ) N p N p
2
(4.5.15)
2 最小预测误差平均功率是模型输入的白噪声的方差, 即 p w .
1 a a p 1 p , p 1a pp
图4.5.2 协方差法计算预测误差e(n)的原理 ( 三个不同时刻的计算状态: 每个参数都对应一个实际的数据值 )
(3) AR系数 a pk 的求解 使用复梯度法使预测误差功率
c ( 1 , 1 ) c ( 1 , 2 ) xx xx c ( 2 , 1 ) c ( 2 , 2 ) xx xx c ( p , 1 ) c ( p , 2 ) xx xx
(4.5.14)利用前向预测公式:
ˆ x ( n ) a x ( n k ) pk
k 1
p
(4.5.15)利用后向预测公式:
ˆ x ( n ) a x ( n k ) pk k 1 p
(4.5.5)
式中的系数N是在定义
.
ˆ (i j) R xx
时引入的, 见式(4.5.6).
T 式中, a —— AR 模型参数的 p 1 维列矢量; [ 1 , a , , a ] p 1 pp ˆ ——由取样自相关函数 R ˆ (m) (其中 m R ij )构成的取样自相关矩 xx xx
ˆ( ˆ( ˆ a R p 1 ) R 1 ) p 1 xx xx ˆ ˆ( ˆ a R p 2 ) R ( 2 ) p 2 xx xx ˆ ˆ ˆ a R ( 0 ) R ( p ) pp xx xx
(4.5.7)
利用矢量及矩阵求导公式:
由式(4.5.5)求导直接可得:
T ( XA Y ) X A Y
min ˆ a R 0 xx p1
此 式 即 为 Yule-Walker 方 程 .( 参见清华胡广书 p311 及p345).
或者写成
ˆ( ˆ( ˆ R m ) a R m k ) , m 1 , 2 , 3 , , p xx pk xx
1 a a p 1 p , p 1a pp
ห้องสมุดไป่ตู้
1 a a p 1 p , p 1a pp
系 数 长 度 p+1 点
1 a a p 1 p , p 1a pp
1 a a p 1 p , p 1a pp
图4.5.1 自相关法计算预测误差e(n)的原理
1时(通常都是满足的), 计算 e ( n )的求和范 由图可见, 当数据长度 N p 围是0 p . (3) AR系数 a pk 的求解 由式(4.5.4), 得
如果已知信号的N个观测数据( x ( n ) , 0 ), 利用Levinson递推法计 n N 1
算功率谱的流程见西电教材图4.5.1. (4) 说明
a)由p 1个自相关函数的估值, 利用Levinson递推法求解Yule-Walker方程
所得的AR模型参数等效于前向预测器的系数, AR模型激励白噪声的方差 ˆ min . ˆ w2 等效于前向预测的最小预测误差功率 b) 自相关法计算相对简单, 但需事先根据已知观测数据估计自相关函数 (采用有偏估计). 在计算预测误差时因作了加窗处理, 结果使得分辨率降 低. 数据越短, 分辨率越低, 可能还会出现谱峰频率偏移与谱线分裂(即在 信号谱峰附近产生虚假谱线).
计算原理如图4.5.2所示.
特点:
x(n) ( 0 n N 1 ) 为回避“加窗处理”而引入的频谱卷积效应, 即避免在数据段
以外补零, 本算法“规定”在第一个数据 x (0) 当 x(N1 ) a p0 ( 1)
最后一个数据 移至
a pp 移至
位置时开始计算; 而
e(n)
时结束计算. 计算 N 时仅使用了已获 1 得的观测数据, 未在数据两端补零, 因此, 实际长度为 .
e ( n ) x ( n ) h x ( n i ) a x ( n i ) pi pi
i 1 i 0
p
p
,
a p0 1
(4.5.3)
上式表明, e ( n )是 x ( n ) 与 a pi 的卷积, 其长度为 N p . 因此,式(4.5.2)可具体 表示为
k 1 p
(4.5.8a)
最小预测误差功率(即白噪声方差)为
ˆ( ˆ( ˆ ˆ ˆ R 0 ) a R k ) min xx pk xx
2 w k 1 p
(4.5.8b)
式(4.5.8)即为Yule-Walker方程. 由此可见, 自相关法 也是基于解Yule-Walker方程的一种方法. Levinson-durbin递推法是求解Yule-Walker方程的高 效算法, 具体方法见§3.3.
使用前向和后向预测误差功率平均值最小准则, 即
0 . 5 ( ) min p pe pb
N 1 f p 2 N 1
(4.5.13)
2
式中,
pe 和 pb 是前向和后向预测误差功率, 分别表示为
p n p n p k 1 pk
1 e ( n ) 1 x ( n ) a x ( n k ) N p N p
协方差矩阵
式中
c ( j , k ) 1 x ( n j ) x ( n k ) xx N p n p
N 1
(4.5.11)
称为协方差函数. 白噪声的方差为
ˆ ˆ ˆ c ( 0 , 0 ) a ( 0 , k ) m in xx pc k xx
2 w k p
n
4.5.1 自相关法——Levinson递推法
(1) 估计准则 假设信号 x ( n ) 的数据区间为 0 n N 1 , 前向预测误差滤波器的冲激响 api ( 应为 hpi , 则预测误差为 i 0 , 1 , , p )
参见§3.4( 最小二 乘自适应滤波器 ) 关于最小二乘准 则四种方法的讨 论.
§4.5 AR谱估计的方法
引言
（1）主要方法 本节要解决的问题是: 如果不知道 x ( n ) 的自相关函数 Rxx (m) , 而只知道它 的N个观测数据 x ( n ) , n , 如何求 AR 模型的参数? 0 , 1 , , N 1 通常有下列两类方法:
ˆ (m) , 再用Levinson算法求模型参数的估计 a) 利用 x ( n ) 求Rxx (m) 的估计R xx
N 1
(4.5.12)
注意: 模型参数包括:
由式(4.5.10) (4.5.12)即可解出AR模型参数估值和功率谱. 2 ˆ ˆ ˆ ˆ { a ,a , ,a ; } p 1 p 2 p p w (4) 说明 式(4.5.10)和(4.5.12)构成协方差方程. 由于式中 cxx ( j, k)不能表示为 ( j k) 的函数, 所以协方差矩阵不是Toeplitz矩阵, 不能采用Levinson递推法求解. b) 协方差函数有两个变量, 故适合于非平稳随机信号. c) 这种方法类似于自相关法, 但其分辨率优于自相关法, 并可有效地估计 正弦信号频率. 2.修正协方差法 (1)估计准则
4.5.2 协方差法与修正协方差法
1.协方差法 (1)估计准则
2

1 x ( n ) a x ( n k ) pk N p n p k 1
N 1
p
(4.5.9)
注意:
本算法仍采用前向预测误差 e ( n ) , 其求和范围是 p n N 1. (2)预测误差功率 e ( n ) 计算
0

0


数据长度N 点 x ( n 1 p ) x (0) ) x(n) 0x(N1

0


0

0

x(n1 ) x(n p)
最后一个数据刚进 入预测误差滤波器 , 以后将补零进入. 最后一个数据 移出预测误差 滤波器
第一个数据移入预测误差滤波器,前 向补零
阵. 自相关函数估计为
N 1 m 1 x ( n ) x ( n m ), m 0 , 1 , 2 , , p ˆ N R ( m ) 0 n x x ˆ( R m ), m ( p 1 ), ( p 2 ), , ( 1 ) xx
x(N1 )


x (N p 1 ) x(n)




x (np 1 )

x( p)


x (1) x (0)


x(N2 ) x(n p)
结束计 算
x(n1) x(n p)
x(p1)
开始计 算
1 a a a a p 1 p , p 1a pp 1 p 1 p , p 1a pp
2 1 1 |e ( n ) | a x ( n i ) min pi N p 1 N p 1p 2
用时间平均代替集合平 均 ; 用最小平方代替最 小均方.
.
N n 0
N n 0 i 0
(4.5.4)
(2)预测误差 e ( n ) 的计算
式(4.5.3)的计算原理如图4.5.1所示. 由于 e ( n ) 的长度大于 x ( n ) 的长度, 因此计算中需对 x ( n ) 的两端补零. 这 n 相当于长度为 N 点的已知数据 x ( n ), 是由无限长数据 x ( n ) ( )经 加窗后得到的.
值;
b) 利用最小二乘方准则, 直接由信号时间序列 x ( n ) 计算AR 模型参数. 本节介绍以下三种方法:
—自相关法(Levinson法, 或Yule-Walker法);
—协方差法及修正协方差法; —Burg法.
——第二类方法: 先估计反射系数 第一类方法: 由 先估计自相关函数
以上方法都是基于线性预测原理, 根据估计准则建立求解AR系数的数学
(4.5.6)
ˆ (m) 是有偏自相关估计. 可见, R xx
将式(4.5.5)对 a 求导并令其等于零(复梯度法), 可得
ˆ( ˆ( R 0 ) R 1 ) xx xx ˆ ˆ( ( 1 ) R 0 ) xx xx R ˆ( ˆ( R 1 ) R 2 ) xxp xxp