四年级奥数讲义之：容斥原理(2)
奥数四年级--容斥问题(二)
练 1.有30名运动员，其中18人会三级跳，16人 习 会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高均不
会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？
14名
练 2、操场上的学生排成10路纵队做操，毎路 习 纵队人数同样多，小明站在第四纵队，从排
头数他是第13个，从后往前数他是第8人。 操场上有多少人在做操？
200人
练 3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好 习 语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱
好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人 既爱好美术又爱好数学，有18人三门学科都 爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术 三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少 人？
238人
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3人， 既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有 红球的有4人。已知全队每人手中都至少有 一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都 有的多少人？
3人
练 6、某班50名同学全部参加数学、语文、美 习 术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29
17人
18人
15人
求全班人数。
这道题目条件比较复杂，可以根据 题意画出示意图，以便形象直观地 显示他们之间的关系。 全班人数=至少有一个项目达到优 秀的人数+三个项目上都没有达到 优秀的人数
篮球15人 6人 短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人 游泳 18人
6人
经 典 题 型
运用容斥定理 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到 优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+ 游泳、篮球达到优秀人数+篮球、短跑达到 优秀人数）+短跑、游泳、篮球都达到优秀 的人数
奥数训练专题——容斥原理2
容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（6级）5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）6、新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．8、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？9、在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？9、盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．10、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生？有几个人既会游泳，又会滑冰？11、在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？①有人摘了山莓；②有人同时摘了三种水果；③有人只摘了山莓；④有人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有人只摘了草莓.12、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参最少，只有4人．那么，参加B 组的有多少人？13、五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？图形中的重叠问题1、 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2、把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？3、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4、 如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．5、一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．图32厘米4厘米图36、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？8、如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？容斥原理在数论问题中的应用1、 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？2、 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？3、 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4、 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?5、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．CB A105、以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？7、分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.8、在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．9、在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？10、50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?11、有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3， (2000)然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？12、写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？13、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?14、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．15、一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段．16、一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？容斥原理中的最值问题1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？2、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?3、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？4、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．5、60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？6、图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?8、在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？9、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?。
【小学四年级奥数讲义】 容斥原理
【小学四年级奥数讲义】容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
小学奥数之容斥原理(二)
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
人参加，3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？整理后：全班人数＝39＋x39+x 表示全班人数，当x 取最大值时，全班人数就最多，当x 取最小值时，全班人数就最少。
x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x 中的人数一定不超过两科得满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
四年级奥数_容斥问题
3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉 手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐 器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？
文、数学两科竞赛的有多少 人？
分析 、 要求两科竞赛同时参加的人数, 应先求出至少参加一科竞赛的 人数： 56－25=1人, 再求两科竞赛同时参加的人数： 28＋27－31=24人.
练习三 1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法 语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有 多少人？
2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的 数有多少个？
3,五〔1班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等.小华排的位 置是：从前面数第5个,从后面数第8个.这个班共有多少个学生？
例5 、光明小学举办学生书法 展览.学校的橱窗里展出了每 个年级学生的书法作品,其中 有24幅不是五年级的,有22幅 不是六年级的,五、六年级参 展的书法作品共有10幅,其他
年级参展的书法作品共有多少 幅？
分析 ：
由题意知,24幅作品是一、二、三、 四、六年级参展作品的总数,22幅 是一、二、三、四、五年级参展作 品的总数. 24＋22=46幅, 这是一个五、六年级和两个一、二、 三、四年级参展的作品数,从其中 去掉五、六两个年级共参展的10幅
练习五
1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生 的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不 是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件.其他 年级参展的作品共有多少件？
分析 解答： 完成语文作业的有37人,完 成数学作业的有42人,一共 有： 37＋42=79人, 多于全班人数.这是因为语 文、数学作业都完成的人 数在统计做完语文作业的
小学五年级奥数 容斥原理(二)
一、本讲重点知识回顾 1．基本原理 ⑴二者容斥
⑵三者容斥 A B
A B A B
CA
A BC
BC A BC A B BC AC A BC
2．口诀：奇层加，偶层减 3．解题技巧：画图——文氏图，线段图
方程 列表 高斯记号应用——取整运算 二、本讲经典例题 容斥原理㈠：例1，例2，例5，例6 容斥原理㈡：例１，例３，例６，例7
1
【例6】(★★★★★) 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲 浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人 浇过的花最少有多少盆？
【例7】 (★★★) 中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有 20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训 练长跑的男运动员有多少名？
【例4】(★★★) 六年级⑴班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语 文竞赛，其中参加了数学和英语的有12人，参加了英语和语文的有14 人，参加了数学和语文的有10人，那么六年级⑴班全班至少有多少人？
【例5】(★★★) 甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。已知甲读了 85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。请问：甲、乙、丙三人 共同读过的故事最少有多少个？
【例1】59难 【例2】 ⑴9人 【例3】 21人 【例4】 47人 【例5】 17个 【例6】 15盆 【例7】 3名
答案 ⑵29人
⑶31人
2
【例2】(★★★★) 某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的 有41人，数学及格的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科不及 格的有14人，数学、化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不及 格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则： ⑴三科都不及格的有几人？ ⑵至少有一科不及格的有几人？ ⑶三科都及格的人数有几人？
四年级奥数讲义-容斥原理初步二通用版
【例1】(★★★)在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。
那么只喜欢唱歌的有多少人？容斥原理初步(二)【例2】(★★★)在网校40名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几种。
其中有10人爱喝橙汁，15人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。
请问：只爱喝苹果汁的有几人？【例3】(★★★)网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？【例4】(★★★★)网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？1【例5】(★★★★★)网校共130名老师，其中70人参加了歌唱小组，80人参加了舞蹈小组，60人参加了模特小组，至少参加两个小组的有60人，参加了三个小组的有30人，那么网校老师有多少人没有参加小组？【例6】(★★★★)在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？【例7】(★★★★★)2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为l，2， (2006)将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。
拉完后亮着的灯数为多少盏？本讲总结三者文氏图：奇层加，偶层减重点例题：例3，例4，例7【例5】(★★★★★)2。
容斥原理例题
学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个1000÷5=200 有200个。
能被7整除的自然数有多少个1000÷7=142……6 有142个。
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分.容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次.所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.练 习 一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以，两题都答得不对的有36－33=3人.练习二1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了.那么，有多少人两个小组都没有参加？2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人.练习三1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请算一算，这个班共有多少人？例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数.从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.练习四1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等.小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个.这个班共有多少个学生？例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.练习五1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。
四年级容斥原理
四年级容斥原理我家邻居有个四年级的小朋友叫小明，他呀，最近在数学学习上遇到了一个超级有趣的东西，叫做容斥原理。
这容斥原理啊，就像是一场数学里的魔法游戏。
容斥原理在四年级的数学里，就像一个神秘的宝藏等待着小朋友们去发掘。
你看啊，在他们的数学书上，可能会有这样的题目：学校组织活动，参加跳绳比赛的有20人，参加跑步比赛的有15人，而既参加跳绳又参加跑步比赛的有8人，那参加这两项活动的总共有多少人呢？这时候容斥原理就该登场啦。
我记得有一次，我和小明一起做数学作业，就碰到了这样的题目。
小明一开始就晕头转向的，他皱着眉头，眼睛里满是疑惑，对我说：“这可咋算呀？我感觉好乱。
”我笑着对他说：“嘿，这就是容斥原理的神奇之处啦。
你不能简单地把20和15加起来，因为这里面有一部分人是重复计算的呢。
”我给他举了个特别形象的例子，我说：“你看啊，假如你有一盒子红色的弹珠，又有一盒子蓝色的弹珠，可是呢，有一部分弹珠既是红色又是蓝色（这里假设是染了两种颜色的特殊弹珠）。
那你要是想知道弹珠的总数，你能直接把红弹珠的数量和蓝弹珠的数量加起来吗？肯定不行呀，那样的话，那些双色弹珠就被多算了一次。
”小明眼睛一下子就亮了，他好像有点明白了。
容斥原理的核心其实就是不重复、不遗漏地计算。
在生活里，也有好多这样的例子呢。
比如说班级里评选优秀学生，有擅长学习的，有擅长体育的，还有两者都擅长的。
如果老师想知道在学习或者体育方面有特长的学生一共有多少，就不能单纯地把学习好的人数和体育好的人数相加，得把那些两项都好的同学考虑进去，不然就会算错啦。
再回到小明的作业上，我告诉他：“咱们要先把参加跳绳和跑步的人数加起来，就是20 + 15 = 35人。
可是呢，这里面既参加跳绳又参加跑步的8人被算了两次，所以得把多算的这8人减掉一次，那正确的答案就是35 - 8 = 27人啦。
”小明高兴得跳了起来，他激动地说：“哇，原来这么简单呀，这容斥原理好有趣啊。
”后来，我又给他出了一道类似的题目。
四年级奥数思维训练专题-容斥原理
四年级奥数思维训练专题-容斥原理
专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.
例1：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？
分析：只答对第一题的有25－15=10人.至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.
试一试1：一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？
例2：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析：至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人,两科竞赛都参加：28＋27－31=24人.
试一试2：一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？
例3：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析：从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.
试一试3：在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？。
容斥问题讲解方法
容斥问题讲解方法一、容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要原理，主要用于解决包含与排斥的问题。
当两个或多个集合存在重叠时，我们不能简单地将这些集合的元素数目相加，因为重叠部分的元素被重复计算了。
容斥原理提供了解决这类问题的方法，通过将各个集合的元素数目两两相减，得到不重叠部分的元素数目。
二、基本形式两个集合的容斥问题：设A和B是两个集合，则A和B 的并集的元素数目可以通过|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| 来计算。
三个集合的容斥问题：设A、B和C是三个集合，则A、B和C的并集的元素数目可以通过|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 来计算。
三、复杂形式当集合的数量增加时，容斥原理可以扩展到更复杂的形式。
通过递归或归纳的方法，可以将多个集合的并集的元素数目表示为各个集合元素数目的函数。
四、解题技巧明确问题的条件和目标：首先需要明确问题的条件和目标，确定涉及的集合以及它们之间的关系。
画出文氏图：在理解问题时，可以通过画出文氏图来直观地表示各个集合以及它们的重叠部分。
文氏图是一种用封闭曲线表示集合及其关系的图形。
应用容斥原理：根据问题的具体情况，选择适当的容斥原理公式来解决问题。
如果涉及多个集合，需要仔细分析它们的重叠关系。
简化计算：在应用容斥原理时，需要注意简化计算，避免出现大量的重复计算和复杂运算。
可以采取提取公因式、使用对称性等方法来简化计算。
检查答案：在解决问题后，需要检查答案是否符合实际情况和逻辑，确保答案的正确性。
五、注意事项理解问题的背景和要求：在解决容斥问题时，需要注意理解问题的背景和要求，弄清各个集合的含义和关系。
避免重复计数：在应用容斥原理时，需要注意避免重复计数。
特别是当集合之间存在多重重叠时，需要仔细分析重叠部分的关系。
分情况讨论：当问题涉及多种情况时，需要注意分情况讨论。
不同情况下的集合关系可能会有所不同，需要分别进行分析和计算。
小学奥数计数原理解析：容斥原理
小学奥数计数原理解析：容斥原理
这篇《小学奥数计数原理解析：容斥原理》，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！
1. 有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积?
2. 某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。
只懂日语的有多少名?
3. 某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。
全班有多少人?
4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人?
5. 在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个?。
小学五年级奥数 容斥原理(二)
容斥原理（二）【例2】(★★★★)【例1】(★★★)唐僧西天取经共经历了81难，其中单独度过了3难，与孙悟空一起度过了77难，与猪八戒一起度过了65难，与沙和尚一起度过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起度过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起度过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起度过了60难。
请问：师徒四人共同度过的有多少难？某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的有41人，数学及格的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科不及格的有14人，数学、化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不及格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则：⑴三科都不及格的有几人？⑵至少有一科不及格的有几人？⑶三科都及格的人数有几人？【例3】(★★★★)五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。
其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺.，，也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数。
【例4】(★★★)六年级⑴班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中参加了数学和英语的有12人，参加了英语和语文的有14 人，参加了数学和语文的有10人，那么六年级⑴班全班至少有多少人？【例5】(★★★)甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。
已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。
请问：甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？1【例6】(★★★★★)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？一、本讲重点知识回顾1．基本原理⑴二者容斥⑵三者容斥【例7】(★★★)中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少名？C A BCA B C A B B C A CA B C2．口诀：奇层加，偶层减3．解题技巧：画图——文氏图，线段图方程列表高斯记号应用——取整运算答案【例1】59难【例3】21人【例2】⑴9人⑵29人⑶31人【例4】47人二、本讲经典例题容斥原理㈠：例1，例2，例5，例6 【例5】17个【例6】15盆容斥原理㈡：例１，例３，例６，例7【例7】3名2。
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四年级数学讲义
奥数：容斥原理(2)
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？
2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?
3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？
二、教学内容
例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：
短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球
17人18人15人6人6人6人2人
求全班人数。
例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。
已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？
例3．一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。
结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。
既参加篮球队又参加足球队的有多少人？
三、教学练习
1．第三小队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有红球的有4人。
已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少人？
2．某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。
三个小组都参加的有多少人？
3．有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为14人、12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组都参加的有1人。
这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？
4．某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。
结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。
既学习英语又学习德语的有多少人？
四、教学小结
今天我们学习了什么？你都能掌握吗？让我们一起动笔归纳一下吧！
五、教学拓展
例4．松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。
有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。
（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）只参加作文竞赛的有多少人？
（3）只参加美术竞赛的有多少人？
练习：四（1）班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。
有22人参加美术组，有21人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组，3人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加体育组。
（1）只参加美术组的有多少人？（2）只参加音乐组的有多少人？
六、课后练习
1．有30名运动员、其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。
既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？
2．操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。
操场上有多少人在做操？
3．一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三个学科都爱好。
请问：这个年级中数学、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？
4．某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表：
数学语文英语数学、语文语文、英语英语、数学数学、语文、英语
20 16 16 4 4 5 3
全班一共有多少名学生？。