2014届高三高考数学最后一讲

2014届高考数学最后一讲一、主要考点：（一）、填空题1．复数，2．集合（简易逻辑），3．双曲线与抛物线，4．统计，5．概率，6．流程图，7．立体几何，8．导数，9．三角，10．向量，11．数列，12．解析几何，13．不等式，14．杂题（函数）填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等．（二）、解答题15．三角与向量，16．立体几何，17．应用题，18．解析几何，19．数列，20．函数综合二：时间安排（参考意见）填空题（用时40分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2分钟左右。

7—12题防止犯运算错误，平均用时在2.5分钟左右。

13—14防止犯耗时错误，平均用时在5分钟左右。

解答题（用时在85分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。

17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右。

19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在16分钟左右。

三：题型分析（一）填空题：解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等．（二）解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，最后几天时间里，能不断回顾之前做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对，相信你的高考数学一定能取得满意成绩！！！四：特别提醒：(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．考试过程力争做到：１．难易分明，决不耗时； 2．慎于审题，决不懊悔； ３．必求规范，决不失分； ４．细心运算，决不犯错； ５．提防陷阱，决不上当； ６．愿慢求对，决不快错； ７．遇新不慌，决不急躁； ８．奋力拼杀，决不落伍；2014届高三数学老师祝各位同学： 2014年高考成功高考数学取得自己满意的成绩！2014年6月5日2014届高考数学最后一讲-------实战演练（一）、填空题1．设集合A ＝{(x ，y )⎪⎪x 24＋y216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是________． 2．如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于_____．3．某个容量为N 的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间[4,5)上频数为60，则N ＝________.4．若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m ，n ，则方程x 2＋2mx ＋n ＝0无实数根的概率是________．5．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是________．6．若cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限的角，则tan 2β＝________.7．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是8．不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 。

9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．10．已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上任意一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．11．如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P为CD 的中点，则P A →·PB →的值为________． 12．等差数列{a n }的公差d ∈(0,1)，且sin 2a 3－sin 2a 7sin (a 3＋a 7)＝－1，当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围为________．13．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________．14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )(x ∈[－2,2])的最大值等于________．(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法) （二）、解答题细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题15．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50. (1)求cos ∠BAC 的值；(2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．评分细则 (1)没有写cos ∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|直接计算的，扣1分.,(2)不交代∠CAD 的范围的，扣1分；,(3)不交代∠BAC 范围的，扣1分.善于观察，注意转化，做好立体几何不是难事16．如图，四棱椎P -ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F分别为AB ，PC 中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)若平面P AC ⊥平面ABCD ，求证：平面P AC ⊥平面PDE .评分细则 (1)第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分； (2)第二问，不用平面几何知识证明DE ⊥AC ，扣2分.看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题17．经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u (单位：L)与速度v (单位：km/h)，的关系近似地满足u ＝⎩⎨⎧100v ＋23，0＜v ≤50，v 2500＋20，v ＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y (元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式； (2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？评分细则 (1)第一问，有一段求解错误的，扣4分；(2)第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.强化系统，精确计算，解析几何我们不再害怕18．已知半椭圆x 2b 2＋y 2a2＝1(y ≥0)和半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≤0)组成曲线C ，其中a ＞b ＞0；如图，半椭圆x 2b 2＋y2a2＝1(y ≥0)内切于矩形ABCD ，且CD 交y 轴于点G ，点P 是半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≤0)上异于A 、B 的任意一点，当点P 位于点M ⎝⎛⎭⎫63，－33时，△AGP 的面积最大．(1)求曲线C 的方程；(2)连PC ，PD 交AB 分别于点E ，F ，求证：；AE 2＋BF 2为定值．掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＋1＝pS n ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)，a 1＝2，a 2＝1，a 3＝q －3p .(1)求p ，q 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n ，使S n －m S n ＋1－m ＜2m2m ＋1成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m ，n )；若不存在，说明理由．评分细则 (1)列式正确，计算错误的，扣2分.(2)没有验证“a 2＝\f(1,2)a 1”的，扣2分； (3)讨论不全的，少一个扣1分，直到扣完为止.认真审题，精妙转化，解决压轴的函数问题20．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a ＜0时，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A 、B (A 、B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A 、B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1、x 2、x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)、f (x 2)、f (x 3)为三边长的三角形试求正实数a 的取值范围．评分细则 (1)单调区间没有写出区间的，扣1分.,(2)(3)严格按照评分标准评分.2014届高考数学最后一讲 参考答案1．解析 画出椭圆x24＋y216＝1和指数函数y ＝3x 图象，可知其有两个不同交点，记为A1，A2，则A∩B 的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四个． 四2．解析 2－bi 1＋2i ＝－－＋－＝－－＋5，由题意得2－2b ＝b ＋4，解得b ＝－23.3．解析 组距为1，在区间[4,5)上频率为1－0.4－0.15－0.10－0.05＝0.3，在区间[4,5)上频数为60，则60N＝0.3⇒N ＝200.4．解析 共有36种等可能基本事件，其中要求方程x2＋2mx ＋n ＝0无实根，即m2＜n 的事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共7个基本事件，因此所求概率为736.5．解析 p1：∃x ∈R ，sin2x 2＋cos2x 2＝12是假命题；p2是真命题，如x ＝y ＝0时成立；p3是真命题，∵∀x ∈[0，π]，sin x≥0，∴ 1－cos 2x2＝sin2x ＝|sin x|＝sin x ；p4是假命题，如x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y≠π2. 答案 p1，p46．解析 ∵cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝cos(α＋β－α)＝cos β＝－35，且β是第二象限的角，∴sin β＝45，tan β＝－43，所以tan 2β＝2tan β1－tan2β＝247.7．解析 因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F2F1|＝|F2P|，因为∠PF1F2＝30°，所以∠PF2D ＝60°，∠DPF2＝30°，所以|F2D|＝12|PF2|＝12|F1F2|，即3a2－c ＝12×2c ＝c ，所以3a 2＝2c ，即c a ＝34，所以椭圆的离心率为e ＝34.8．解析 由a²+8b²≥λb(a+b) 得a²+8b²-λb(a+b)≥0 变成a²-λba -(λ-8)b²≥0 则Δ=λ²+4(λ-8)=λ²+4λ-32<=0 (λ+8)(λ-4)<=0 所以λ∈[-8,4]9．解析 画出函数图象，利用数形结合的方法求解．若方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，即函数y ＝f(x)与y ＝x ＋a 的图象有两个不同的交点，由图象可知a ＜1. 答案 (－∞，1)10．解析 设M(x ，y)(x ＞0)，因为在M 点处切线的倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2，所以切线的斜率是[1，＋∞)，即y′＝1x ＋x ＋1－a≥1，x ∈(0，＋∞)恒成立，分离参数得a≤1x ＋x ，x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a≤⎝⎛⎭⎫1x ＋x min ，x ∈(0，＋∞)时，由基本不等式得1x＋x≥2，所以a≤2. 11．解析 建立坐标系，应用坐标运算求数量积．以点A 为坐标原点，AD 、AB 所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，4)，C(2,4)，D(4,0)，P(3,2)，所以PA →·PB →＝(－3，－2)·(－3,2)＝5.12．解析 因为{an}是等差数列，所以sin2a3－sin2a7＋＝＋－sisin 2a5＝－sin 2a5＝－sin 4d ＝－1，得d ＝π8＋kπ2，k ∈Z ，又d ∈(0,1)，所以k ＝0，即d ＝π8.又由S10是{Sn}中的最小项，所以⎩⎨⎧a10＝a1＋9π8≤0，a11＝a1＋5π4≥0，解得－54π≤a 1≤－98π.13．解析 点A 在抛物线外部，则a ＜2×32＝18，设过点A 的抛物线的切线方程为y ＝kx －2，代入抛物线方程得2x2－kx ＋2＝0，由Δ＝k2－16＝0，得k ＝±4，结合图形取k ＝4，即要求AB 连线的斜率小于4，即a ＋23＜4，解得a ＜10.14．解析 由定义知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －－，x3－＜，f(x)在区间[－2,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为6.15．解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在△ACD 中，利用余弦定理求cos ∠CAD ，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求∠BAD 的正弦值，代入三角形面积公式求解．解 (1)因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ， 所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝5013×10＝513.(2分)(2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.(4分)因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(6分)(3)由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝ 1－cos 2∠BAC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.(8分) 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.(11分)所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.(14分)16．解题突破 (1)由E ，F 分别为AB ，PC 中点．取PD 的中点M ，再证四边形AEMF 是平行四边形．(2)在矩形ABCD 中，根据AB ＝2BC ，可得DA AE ＝CDDA，从而可证△DAE ∽△CDA .再证明DE⊥AC ，根据面面垂直的性质和判定可得平面P AC ⊥平面PDE .证明 (1)法一 取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以EF ∥AM .(5分)又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(7分) 法二 连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN . 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE .又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ，所以CE ＝NE . 又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP .(5分)又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(7分)法三 取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ . 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ，所以EQ ∥平面P AD .(2分) 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD .(7分) (2)设AC ，DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA . 又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.即DE ⊥AC .(9分) 因为平面P AC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面P AC ，(12分) 又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE .(14分)17．解题突破 由u 是关于v 的分段函数，得y 也是关于v 的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法．解 (1)由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫100v ＋23＋300·400v ＝123 000v ＋690，当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600，所以y ＝⎩⎨⎧123 000v ＋690，0＜v ≤50，3v 250＋120 000v ＋600，v ＞50.(8分)(2)当0＜v ≤50时，y ＝123 000v ＋690是单调减函数，故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝123 00050＋690＝3 150；当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000v ＋600(v ＞50)由y ′＝3v 25－120 0002＝3(v 3－106)25v 2＝0，得v ＝100当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v ＋600单调递减．所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400由于3 150＞2 400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)18．解 (1)已知点M ⎝⎛⎭⎫63，－33在半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≤0)上，所以⎝⎛⎭⎫632＋⎝⎛⎭⎫－332＝b 2，又b ＞0，所以b ＝1，(2分)当半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≤0)在点P 处的切线与直线AG 平行时，点P 到直线AG 的距离最大，此时△AGP 的面积取得最大值，故半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≤0)在点M 处的切线与直线AG 平行，所以OM ⊥AG ，(3分)又k OM ＝y M －0x M －0＝－22，所以k AG ＝2＝ab ，又b ＝1，所以a ＝2，(4分)所以曲线C 的方程为x 2＋y 22＝1(y ≥0)或x 2＋y 2＝1(y ≤0)．(6分)(2)由(1)知点C (1，2)，点D (－1，2)，设P (x 0，y 0)，则有直线PC 的方程为y －2＝y 0－2x 0－1(x －1)，(7分)令y ＝0，得x E ＝1－2(x 0－1)y 0－2，所以AE ＝2－2(x 0－1)y 0－2；(9分)直线PD 的方程为y －2＝y 0－2x 0＋1(x ＋1)，(10分)令y ＝0，得x F ＝－1－2(x 0＋1)y 0－2，所以BF ＝2＋2(x 0＋1)y 0－2；(12分)则AE 2＋BF 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2(x 0－1)y 0－22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2(x 0＋1)y 0－22＝4x 20＋4(y 0－2)2＋82y 0－2＋8，(13分) 又由x 20＋y 20＝1，得x 20＝1－y 20，代入上式得＝8－4y 20(y 0－2)2＋82y 0－2＋8＝8－4y 20＋82(y 0－2)(y 0－2)2＋8＝－4(y 0－2)2(y 0－2)2＋8＝4 所以AE 2＋BF 2为定值(16分)19．解题突破 根据条件建立方程组求解(1)；将前n 项和转化为通项，再利用等比数列的通项公式求解(2)；利用等比数列的前n 项求和公式化简不等式，根据不等式的结构特点利用正整数的条件解不等式．解 (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ S 2＝pa 1＋q ，S 3＝pS 2＋q ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝2p ＋q ，3＋q －3p ＝3p ＋q ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝2.(4分)(2)由(1)知，S n ＋1＝12S n ＋2，① 当n ≥2时，S n ＝12S n －1＋2，②①－②得，a n ＋1＝12a n (n ≥2)，(6分)又a 2＝12a 1，所以a n ＋1＝12a n (n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －2.(8分)(3)由(2)得，S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， 由S n －m S n ＋1－m ＜2m2m ＋1，得4⎝⎛⎭⎫1－12n －m 4⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－m＜2m 2m ＋1，即2n (4－m )－42n (4－m )－2＜2m2m ＋1，(10分)即22n(4－m )－2＞12m ＋1，因为2m ＋1＞0，所以2n (4－m )＞2，所以m ＜4，且2＜2n (4－m )＜2m ＋1＋4，(*)，因为m ∈N *，所以m ＝1或2或3.(12分) 当m ＝1时，由(*)得，2＜2n ×3＜8，所以n ＝1；当m ＝2时，由(*)得，2＜2n ×2＜12，所以n ＝1或2； 当m ＝3时，由(*)得，2＜2n ＜20，所以n ＝2或3或4，综上，存在符合条件的所有有序实数对(m ，n )为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16分)20．解题突破 利用导数求单调区间；根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证；利用导数研究函数单调性、极值情况，根据三角形三边长的关系建立不等式组求解．解 (1)函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝⎛⎭⎫x －a 3. 因为a ＜0，由f ′(x )＜0，解得a3＜x ＜－a .所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，－a .(3分)(2)当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )． 因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21，所以，在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)．因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)，即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0.同理可得x 32－6x 22＋(t －2)＝0.(5分)两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0.即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0.因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0. 即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0.(7分)因为x 1x 2≤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2，所以x 1x 2＜⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)＜0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)＜0. 解得0＜x 1＋x 2＜4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4.(9分)(3)由题设知，f (0)＜f (1)＋f (1)，即2＜2(－a 2＋a ＋3)，解得－1＜a ＜2. 又因为a ＞0，所以0＜a ＜2.(11分)因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝⎛⎫x －a 3， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减、当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－527a 3＋2＞0，①f (0)＜2⎝⎛⎭⎫－527a 3＋2，②f (1)＜2⎝⎛⎭⎫－527a 3＋2.③11 由①得a ＜33235；由②得a ＜335 .再根据0＜a ＜2得0＜a ＜335.(13分) 不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1＜0. 令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1＞0，所以g (a )为增函数． 又g (2)＝－127＜0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，335时，g (a )＜0恒成立，即③成立． 所以所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，335.(16分)。