第5章 图像形态学

二值形态学
✓ 二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集 合，S为结构元为结构元素，数学形态学运算是用 S对A进行操作。
✓ 需要指出，实际上结构元素本身也是一个图像集 合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结 构元素参与形态学运算的参考点。
✓ 应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不 包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。
编程语言： Matlab 语言与VC++语言 工具箱：Image Proccessing Tools 参考书： 数字图像处理 （冈萨雷斯） 数字图像处理学 （阮秋琦） 图像处理与识别 （张洪刚）
第5章 图像形态学
概述
集合论基础知识
膨胀和腐蚀(Dilation & Erosion)：产生滤波器 作用
包含边长为1,3,5,7,9 和15像素正方形的二 值图像
使用13×13像素大小 的结构元素腐蚀原图 像的结果
使用13×13像素大小的结 构元素膨胀图b，恢复原来 15×15尺寸的正方形
（a）集合A， （b）窗口W 和与W有关 的X的局部背景（W-X）， （c）A的补集， （d）用X对A腐蚀，（e） 用（W-X）对A腐蚀， （f）（d）和（e）的交
✓ B在A的边界内转动时，B中的点所能到达的A的 边界的最远点
开运算去掉了凸角
(a) 结构元素S1和S2； (b) X○S1； (c) X○S2
闭操作的几何解释
✓A•B的边界通过B中的点完成
✓B在A的边界外部转动
开操作的3条性质
✓ AoB是A的子集合 ✓ 如果C是D的子集，则CoB是DoB的子集 ✓ (AoB)oB= AoB
集合B称为结构元素 将结构元素B相对于集合A进行平移, 只要平 移后结构元素都包含在集合中, 那么这样的平移 点都是
对一个给定的目标图像X和一个 结构元素 S，将S在图像上移动。 在每一个当前位置x，S+x只有三 种可能的状态
第一种情形说明S+x与X相关最大， 第二种情形说明S+x与X不相关， 而第三种情形说明S+x与X只是部 分相关
应用：使用连通分量检测包装食物中的 外来物
连通分量提取的应用举例
形态学的主要应用
凸壳: 如果连接集合A内任意两个点的直线段都在A的内 部，则A是凸形的 集合S的凸壳H是包含S的最小凸集合H-S称为S的 凸缺 求取集合A的凸壳C(A)的简单形态学算法： 令Bi表示4个结构元素,i=1,2,3,4,
击中
设X是被研究的图像，S是结构元素，而且S由
两个不相交的部分S1和S2构成.即S=S1∪S2,且
S1∩S2=φ.于是，X被S“击中”的结果定义为
X被S击中示意图 (a) 结构元素S=S1∪S2；(b) 图像X；(c) X被S击中
击中或击不中变换
三个相关公式 A中对B进行的匹配表示为：
B=(B1,B2),B1 = X,B2 = (W − X) B1是由与一个对象相联系的B元素构成的集合， B2是与相应背景有关的B元素的集合
表示对A的连续k次
第k次是A被腐蚀为空集合前进行的最后一次迭代：
初始集合 位于左上 角，它的 形态学骨 架在第4 列的底部。 第6列底 部为重构 后的集合
裁剪
实现目的：裁剪方法实际上是对细化和 骨架绘制算法的补充，因为要清除这些 算法产生的一些不必要的附加成分。
应用实例：自动手写字符识别，分析每 种字符的骨架形状。
数字图像技术
(Digital Image Processing Technology）
李鹤喜 2009
本课程的主要内容
1、图像的获取 2、图像变换 3、图像的增强与滤波 4、图像的边缘检测 5、图像的分割 6、图像形态学 7、图像的特征提取与分析 8、图像识别与应用 9、计算机视觉初步
图像处理上机实践
开操作和闭操作应用举例
开操作和闭操作应用举例
✓ a图是受噪声污染的指纹二值图像，噪声 为黑色背景上的亮元素和亮指纹部分的 暗元素
✓ b图是使用的结构元素 ✓ c图是使用结构元素对图a腐蚀的结果：
黑色背景噪声消除了，指纹中的噪声尺 寸增加
✓d图是使用结构元素对图c膨胀的结果：包含于指 纹中的噪声分量的尺寸被减小或被完全消除，带来 的问题是：在指纹纹路间产生了新的间断
集，显示了我们希望得 到的X的原点位置
开操作和闭操作
✓ 开操作：使图像的轮廓变得光滑，断开狭窄的间 断和消除细的突出物 ➢ 使用结构元素B对集合A进行开操作，定义为： Ao B = (AΘB)⊕ B ➢含义：先用B对A腐蚀，然后用B对结果膨胀 ➢另一个定义 Ao B = ∪{(B)z | (B)z ⊆ A}
（与接下来的两个结构 元素没有区别），(k)收 敛后的结果，(l)转换为 具有m连通度的结果
形态学的主要应用
粗化
粗化和细化在形态学上是对偶过程，定义为
用结构元素序列定义粗化为
即连续使用
对A粗化
粗化可以通过细化算法求补集实现：
先对所讨论集合的背景进行细化，然后对结果求补集，即
粗化可以通过细化算法求补集实现：
形态学图像处理的应用可以简化图 像数据，保持它们基本的形状特性， 并除去不相干的结构
形态学图像处理的基本运算有4个： 膨胀、腐蚀、开操作和闭操作
集合论基础知识
复习集合的并、交、补、差
集合论基础知识
✓ 集合B的反射 ，定义为 ={w|w= −b,b∈B}即关 于原集合原点对称
✓ 集合A平移到点z=(z1,z2),表示为(A)z，定义为 (A)z ={c| c = a+ z, a∈A}
区域填充形态学的主要应用
定义:设所有非边界(背景)点标记为0，则将1赋给p点开 始，
实现目的：从边界内的一个点开始，用1填充整个区域 X0=p，如果Xk=Xk-1，则算法在迭代的第k步结束。Xk 和A的并集包含被填充的集合和它的边界 条件膨胀：如果对上述公式的左部不加限制，则上述 公式的膨胀将填充整个区域。利用Ac的交集将结果限 制在感兴趣区域内，实现条件膨胀
凸壳
先对A用B1运用击中或击不中变换，反复使用， 当不再发生变化时，执行与A的并集运算，用D1 表示结果 上述过程用B2重复，直到不发生变化。 最后得到的4个D的并集组成了A的凸壳
计算凸壳举例
计算凸壳举例（续）
上述过程的一个明显缺点是：凸壳可能超出 确保凸性所需的最小尺寸 解决办法：限制水平和垂直方向上的尺寸大 小，如下图所示。 也可限制水平、垂直和对角线方向上的最大 尺寸。缺点是增加了算法的复杂性
应用：形态学区域填充因为球内部的暗 点不是真实的，而是反射所产生的效果， 我们的目的就是通过区域填充消除反射。
区域填充举例
通过区域填充消除白色圆圈内的黑点
形态学的主要应用
连通分量的提取
实现目的：在二值图像中提取连通分量
令Y表示一个包含于集合A中的连通分量， 并假设Y中的一个点p是已知的。用下列迭 代式生成Y的所有元素： Xk =(Xk−1 ⊕B)∩A k =1,2,3,... x0=p,如果Xk=Xk-1，算法收敛，令Y=Xk
如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足 够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。
腐蚀运算的示例
图(a)中的阴影部分为集合X，图(b)中的中的阴影 部分为结构元素S，而图(c)中黑色部分给出了结 果。
由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。
腐蚀应用举例
使用腐蚀消除图像的细节部分，产生滤波器的作用
✓ 二值形态学中两个最基本的运算是腐蚀与膨涨
膨胀和腐蚀
膨胀：使图像扩大 A和B是两个集合，A被B膨胀定义为：
➢上式表示：B的反射进行平移与A的交集不为空 ➢ B的反射：相对于自身原点的映象 ➢ B的平移：对B的反射进行位移
膨胀和腐蚀
膨胀的另一个定义
上式表示：B的反射进行平移与A的交集是A的 子集
闭操作的3条性质
✓ A是A•B的子集合 ✓ 如果C是D的子集，则C•B是D•B的子集 ✓ (A•B)•B= A•B
开闭运算的代数性质
由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定 义的， 根据腐蚀和膨胀运算的代数性质，可得到 下面的性质。 对偶性
扩展性（收缩性）
即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像 扩大
为了对集合A进行粗化，先令C=Ac，然后对C进行细 化，最后形成Cc
形态学的主要应用
骨架 概念：骨架S(A)可以从 下图中直观看出，推断 结果 (1) 圆盘Dz叫做最大盘； (2) 圆盘Dz在两个或更多 的不同位置上与A的边 界接触。
定义：A的骨架可用腐蚀和开操作表达。表示为：
在此，B是一个结构元素 腐蚀：
（a）B击中A； （b）B击不中A
一般来说，一个物体的结构可以由物体内部各 种成分之间的关系来确定。为了研究物体（在 这里指图像）的结构，可以逐个地利用其各种 成分 (例如各种结构元素)对其进行检验，判定 哪些成分包括在图像内，哪些在图像外，从而 最终确定图像的结构。
击中/击不中变换就是在这个意义上提出的。
✓ e图是对图d膨胀的结果，图d的大部分间断被恢 复，但指纹的线路变粗了
✓ f图是对图e腐蚀的结果，即对图d中开操作的闭操 作。最后结果消除了噪声斑点
缺点：指纹线路还是有缺点，可以通 过加入限制性条件解决
击中或击不中变换
设有两幅图像A和B，如果A∩B≠φ，那么称B 击中A，其中φ是空集合的符号；否则，如果 A∩B=φ，那么称B击不中A
开操作和闭操作(Opening & Closing)：产生滤 波器作用
击中或击不中变换(Hit-or-Miss Transform) 形态学的主要应用：
边界提取、区域填充、连通分量的提取、 凸壳、细化、粗化等
概述
形态学:一般指生物学中研究动物和植物结构的 一个分支 数学形态学（也称图像代数）表示以形态为基 础对图像进行分析的数学工具 基本思想：是用具有一定形态的结构元素去度 量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和 识别的目的 形态学图像处理的数学基础和所用语言是集合 论
适合算法实现. 其过程如下: ➢ 将结构元素B的原点移至集合A的某一点, ➢ 将结构元素中点的坐标与集合A中该点坐标相
加,得到对集合中一点的膨胀运算结果. ➢ 对集合对集合中所有元素重复该过程
膨胀应用举例
桥接文字裂缝
优点：在一幅二值图像中直接得到结果，对 比低通滤波方法
膨胀和腐蚀
腐蚀：使图像缩小 A和B是两个集合，A被B腐蚀定义为：
A被B击中的结果相当于A被B1腐蚀的结 果与X 被B2的反射集膨胀的结果之差
击中运算也可以借助于腐蚀、膨胀两基 本运算来实现.
击中或击不中变换举例
形态学的主要应用
边界提取 定义
β (A)= A−(AΘB) 上式表示：先用B对A腐蚀，然后用A减去腐蚀得 到，B是结构元素
边界提取举例
1表示为白色，0表示为黑色
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在 后仍在X中的x的集合。换句话说，用S来 腐蚀来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X 中时S的原点位置的集合。
腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。
如果结构元素取3×3的像素块，腐蚀将使物体的边界 沿周边减少一个像素。
腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除， 这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去 掉不同大小的物体。
形态学的主要应用
细化 细化过程根据击中或击不中变换定义
定义结构元素序列为
是 旋转后的形式，如在 中旋转90 用结构元素序列定义细化为
即连续使用
对A细化
细化过程举例
(a)用于细化的经旋转的 结构元素序列，(b)集合 A，(c)使用第1个结构元 素进行细化的结果， (d)~(i)使用接下来的7个 结构元素进行细化得到 的结果（第7个和第8个 结构元素之间没有区 别），(j)再次使用第1个 结构元素得到的结果
开操作和闭操作
闭操作：同样使图像的轮廓变得光滑，但与开操作 相反，它能消除狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小 的孔洞，并填补轮廓线中的裂痕
使用结构元素B对集合A进行闭操作，定义为： A• B = (A⊕ B)ΘB
含义：先用B对A膨胀，然后用B对结果腐蚀
开操作的几何解释
✓ AoB的边界通过B中的点完成
由于在字符骨架中经常有各种“毛刺”存在， 毛刺是在腐蚀过程中由于构成字符的笔画不 均匀造成的。图示如下：我们要消除字符 “a”左边的寄生部分。假定寄生成分的长度 都小于三个象素。
过程：(1) 用一系列被设计用来检测终点的 结构元素对A进行细化；
百度文库
{B}为结构元素序列， 每种结构元素都全部8 个象素进行90度的旋 转。