高等数学考研知识点总结1

第一讲 函数、极限与连续

一、考试要求

1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极

限存 在与左、右极限之间的关系。

6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。

7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。

8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷

小量求极限。 9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质

（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。

二、内容提要 1、函数

（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.

（2）复合函数: y=f(u), u=ϕϕ()[()]x y f x ⇒=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.

（3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。

（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。

特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则⎰x

dt t f 0)(为奇函数；

若)(x f 为奇函数，则⎰x

a

dt t f )(为偶函数；

3、可导周期函数的导函数为周期函数。

特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0)(0

=⎰T

dt t f ，则⎰x

dt t f 0

)(仍为以T 为周期的周期函数.

5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则

⎰

⎰

⎰

-+==

2

/2

/0

)()()(T T T

T

a a

dx x f dx x f dx x f ，⎰⎰

=T

nT

dx x f n dx x f 0

)()(

6、 若)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(；

若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=a

a

a

dx x f dx x f 0

)(2)(

7、设)(x f 在),(b a 内连续且)(),(-+b f a f 存在，

则)(x f 在),(b a 内有界。

2、 极限

(1) 数列的极限： lim n n a A →∞

=

(2) 函数在一点的极限的定义：lim (),lim ()x x x f x A f x A →→∞

==0

(3) 单侧极限: 1) 左右极限f x f x (),()0000-+

2) 极限存在的充要条件： lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A →→→=⇔==-+

(4) 极限存在的准则

1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形 2) 单调有界数列必有极限

(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算 *1）极限不等式 )(lim )(lim )()(x g x f x g x f ≤⇒≤

注：)(lim )(lim )()(x g x f x g x f <⇒<不成立 2）局部保号性

,0)(lim 0>=→A x f x x 则在某)(00

x U 内)2

(0)(A

x f > 3）局部有界性 ,)(lim 0

A x f x x =→则在某)(00

x U 内)(x f 有界。

4）)0()()(lim →+=⇔=ααA x f A x f

(6) 两类重要极限

(7) 无穷小量与无穷大量

1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （注意与无界变量的差异） 3) 无穷小量与无穷大量的关系 (8) 无穷小量阶的比较 (9) 罗比达法则

3、连续

1) 连续的定义

2) 区间上的连续函数 3) 间断点及其分类

4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理

三、 * 重要公式与结论

1、常见极限不存在的情形：

1) ,1sin

lim 00x x x x -→,1

cos lim 00x x x x -→limsin ,x x →∞

limcos x x →∞ 方法：用无穷小量乘有界变量

2） 00

01

0lim ,1arctan lim ,arctan lim x x x x x x x a x x x -→→∞→-

方法：分-∞→+∞→x x ,或+

-→→00,x x x x 讨论.

2 、 lim (),,lim ()x x n n n n f x A x x x f x A →→∞

=⇔∀→=0

0有

特别：若lim ()lim ()x n f x A f n A →+∞

→∞

=⇒=

3、 无穷小量的等价代换

若0)(→x α，则有

)(~),(~)](1ln[),(~)(tan ),(~)(sin )(x e x x x x x x x αααααααα+ 特别注意： kx x k ~1)1(-+（x →0) ，

⎰x x tdt 0221~sin （0→x ）， ⎰+x x dt t 02

2

1~)1ln( （0→x ）a e a a ln ~11ln ααα-=-，αα2

1

~11-+

设0)(→x α，0)(→x β且α～α'，β～β' (1) )()(lim )()(lim x f x x f x αα'=

(2) )()

()

(lim )()()(lim

x f x x x f x x βαβα''= (3) ααα~)(o + (4) 若1lim ≠=A βα

，则)()lim()()lim(x f x f βαβα'-'=-

（0712）当+→0x 时，与x 等价的无穷小量是

（A ）x e -1 （B ）x x

-+11ln

（C ）11-+x （D ）x cos 1-

4 、 若 .)(lim )(lim ,0)(lim )(B x g A x f B x g A x f =⇒=>= 由此有 .)]

1)((1[lim )1()

(lim )

()1)((lim )()1)((1

)(1

)

(x g x f x g x f x f x g e

x f x f --⋅-∞

=-+=

5、极限的形式与关系

（1）A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=-+

→→→)(lim )(lim )(lim 0