计算机图形学-变换

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3D游戏与计算机图形学中的数学方法-变换

3D游戏与计算机图形学中的数学⽅法-变换1变换在3D游戏的整个开发过程中，通常需要以某种⽅式对⼀系列的向量进⾏变换。

通常⽤到的变换包括平移，缩放和旋转。

1.1通⽤变换通常可将n x n可逆矩阵M看成是⼀个从坐标系到另⼀个坐标系的变换矩阵。

M的列给出了坐标系从原坐标系到新坐标系的映射。

例如M是⼀个n x n可逆矩阵，当M与向量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)相乘时，可以得到类似地，M-1的列给出了坐标轴从新坐标轴系到原坐标轴系的映射。

这样对于任意给定的线性⽆关的向量U,V,W可以构造⼀个变换矩阵，该矩阵将这些向量映射到向量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)。

多个变换可以串联起来，并且可以将多个变换矩阵的乘积⽤⼀个矩阵来表⽰。

假设需要先⽤矩阵M后⽤矩阵G对⼀个对象进⾏变换，由于乘积满⾜结合律，对于任意向量P都有G（MP）=（GM）P，因此只需存储GM的乘积得到的矩阵，将该矩阵作为对象的变换矩阵即可。

这样就可以对定点进⾏多次变换，⽽存储空间不变。

正交矩阵是⼀种其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。

正交矩阵只能⽤于表⽰旋转和反射的组合。

反射指在某⼀⽅向上将点进⾏镜像的⼀种运算。

例如，矩阵以xy平⾯为对称⾯对⼀点的z坐标进⾏反射。

⼿向性在三维空间中，有3D向量V1，V2，V3构成的坐标系的基&具有⼿向性。

对于右⼿基，有（V1*V2）. V3>0。

也就是说，在⼀个右⼿坐标系中，v1，v2的叉积的⽅向与v3的⽅向形成⼀个锐⾓。

如果&是⼀个正交规范的右⼿基，则有v1*v2=v3。

若（v1*v2）.v3<0，那么&是左⼿基。

进⾏奇数次反射操作就会改变⼿向性，偶数次反射相当于⼀次旋转。

通过观察3x3矩阵的⾏列式，就可以判定矩阵是否存在反射。

若M的⾏列式是负的，则存在反射，⽤M对任意基的向量进⾏变换操作后，基的⼿向性都会发⽣改变。

如果⾏列式是正的，那么M不改变⼿向性。

计算机图形学第4章图形变换

反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序和矩阵的乘法顺序，不同的顺序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形顶点坐标相乘来实现，得到变换后的新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和可操作性，是计算机图形学中常用的图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换技术实现动态的缩放、旋转和平移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS

计算机图形学之图形变换

4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几何变换也可以通过对顶点的几何变换来实现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心：旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换，多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边，后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数：旋转中心：旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移：回原位。
使旋转中心移到坐标原点；使旋转中心再移
二维旋转有两个参数：旋转中心：旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式

计算机图形学13投影变换

将x轴反向与U轴保持一致；
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面；最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致；将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影斜平行投影求法因为所以若令
则矩阵式为：

计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_

普通坐标×h→齐次坐标齐次坐标÷h→普通坐标当h = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h），其中h称为哑坐标。普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换（1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示如下式所示的规格化形式：

计算机图形学图形变换

(X0,y0)
绕任意点的旋转
1 0 0
• 用矩阵表示各个过程
T1
0
1 0
x 1y 11 xy1 T 1
x0 y0 1
x 2y 21 x 1y 11 T 2
cos T2 sin
sin cos
0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
0
0 1
1 0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
cos
sin
0
TT1T2T3 sin
cos
0
x0(1co)sx0siny0co sy0 1
复合矩阵可以减少计算量
• 不进行矩阵合并往往在屏幕上划定一个平行于设备坐标轴的矩形区域作为图形显示区。
点P(x,y)在X’轴上的投影可用点乘得到，常用的方法是在图形坐标系中取一个与x轴、y轴平行的矩形窗口，只显示窗口内的图形内容。
计算机图形学图形变换
二维图形平移
• 二维图形平移是将图形上任意一点P(x,y)在x轴方向y轴方向分别平移距离tx,ty，则变换后的新坐标
x’=x+tx
ty
y’=y+ty
• 用矩阵表示
1 [x',y'][x,y]0
1 0tx,ty
P’ p
tx
二维图形旋转
• 二维图形旋转是将图形绕圆
点旋转。图形上任意一点
2. 3次变换需要3×9=27次乘法。这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。
Y’轴的单位方向矢量为（a21,a22) 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。复合矩阵可以减少计算量我们希望将一种变换用一个矩阵来表示，这样就可以用矩阵合并的方法将一系列的简单变换用一个复杂变换来表示。有时采用活动坐标系模式，是为了更好地理解变换前后两个对应物体之间的坐标关系。表示变换前的模型上任意一点仿射变换的特点是变换前的平行线在变换后依然平行。变换图形、变换关系式和变换矩阵合并矩阵与一个点向量相乘得到一个点向量，需要9次乘法。固定坐标系模式：坐标系不变、图形变动。

9-10讲第4章变换-几何变换及投影

Yv = c ⋅ Yw + d
当a≠c时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时， ≠ 时方向的变化与方向的变化不同时，方向的变化不同时视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。当 a=c=1， b=d=0则 Xv=Xw,Yv=Yw, 图形完全相同。，则 = , = , 图形完全相同。
14
4.2.3 窗口区和视图区的坐标变换
2. 变换过程窗口-视图二维变换窗口视图二维变换
从应用程序得到图形的用户坐标对窗口区域进行裁剪窗口至视区的变换显示或绘图
窗口-视图三维变换窗口视图三维变换
从应用程序得到图形的三维用户坐标投影对窗口区域裁剪窗口至视区的变换显示或绘图
16
4.3.1 齐次坐标
齐次坐标表示法: 维向量表示一个n维向量齐次坐标表示法用n+1维向量表示一个维向量维向量表示一个 (x,y)点对应的齐次坐标为其中x 问题1:点对应的齐次坐标为(x 空间中的一点, 非齐次坐标表示方式唯一吗? 问题点对应的齐次坐标为 h,yh,h), 其中 h=hx, yh=hy, 空间中的一点非齐次坐标表示方式唯一吗 h≠0. 因此，普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” ？因此，，(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直问题2: 空间中的一点其齐次坐标表示方式唯一吗问题普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 这样，这样空间中的一点, 其齐次坐标表示方式唯一吗？点对应的齐次坐标为三维空间的一条直
y2 z2
5
4.1 变换的数学基础
4.1.2 矩阵基础知识
矩阵的加法运算数乘矩阵矩阵的乘法运算零矩阵运算单位矩阵矩阵逆运算转置运算矩阵的基本性质

计算机图形学--第八讲图形的三维几何变换

同样，我们用齐次坐标来表示三维几何变换矩阵
3
变换通式
空间点[x y z] 的四维齐次坐标 [X Y Z H]表示
三维空间点的变换为 [x y z 1] T = [x’ y’ z’ 1]
变换前点的坐标三维图形的变换矩阵
变换后点的坐标
三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵
a b c p
T = d
e
5.关于Y轴对称
特点： y 值不变，zx坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y -z 1]
6.关于Z轴对称
特点： z值不变，xy坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x -y z 1]
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(13)
对称变换示意图
17
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(14)
(x’, y’, z’)
x = xcos −ysin
y = xsin +ycos
z = z
矩阵运算的表达式为
z
cos sin 0 0
x
y
z 1 = x
y
z
1
−
sin
0
cos
0
0
0
1 0
0
0 0 1
y
(x, y, z)
x
10
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(7)
绕X轴旋转
与二维图形的组合变换一样, 三维立体图形也可通过三维基本变换矩阵, 按一定顺序依次相乘而得到一个组合矩阵(称级联), 完成组合变换。
三维组合平移、组合旋转和组合比例变换与二维组合平移、组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。
19
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(2)

图形变换（转）

图形变换（转）主要内容：图形处理是CAD/CAM中的关键技术，包括图形⽣成、编辑和图形变换。

计算机图形学计算机图形学的概念计算机图形学的研究内容图形变换点的变换⼆维图形的变换⼆维图形的齐次变换⼆维图形的基本变换复合变换三维图形的齐次变换三维图形的基本变换复合变换1、什么是计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是近30年来发展迅速、应⽤⼴泛的新兴学科，是计算机科学最活跃的分⽀之⼀。

计算机图形学是研究在计算机中如何表⽰图形，以及利⽤计算机进⾏图形的计算、处理和显⽰的相关原理与算法的⼀门学科。

随着计算机技术的发展，计算机图形学在CAD/CAM等计算机应⽤领域中占有越来越重要的地位。

计算机图形学的研究内容是⼗分丰富的。

虽然许多研究⼯作已经进⾏了多年，取得了不少成果，但随着计算机技术的进步和图形显⽰技术应⽤领域的扩⼤和深⼊，计算机图形学的研究、开发与应⽤还将得到进⼀步的发展。

2、图形变换的概念根据需要将已定义的图形从屏幕的某⼀位置移动到另⼀位置，或改变图形的⼤⼩和形状或利⽤已有的图形⽣成复杂的图形，这种图形处理的⽅法称为图形的⼏何变换，简称图形变换。

图形变换是计算机图形学的核⼼基础，通过图形变换，能够很⽅便地由简单图形派⽣出所需要的图形。

图形变换主要包括⼆维图形和三维图形的⼏何变换，投影变换等。

图形变换通常采⽤矩阵变换的⽅法，图形变换不同，其变换矩阵也不同，本节将重点介绍图形变换的矩阵⽅法及图形变换的程序设计。

2.1 点的变换在计算机绘图中，常常要进⾏诸如⽐例、对称、旋转、平移、投影等各种变换，图形可以⽤点集来表⽰，也就是点集定了，图形也就确定了。

如果点的位置变了，图形也就随之改变。

因此，要对图形进⾏变换，只要变换点就可以了。

由于点集可以⽤矩阵的⽅法来表达，因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即旧点（集）×变换矩阵矩阵运算新点（集）。

2.2 ⼆维图形变换⼆维图形变换主要包括⽐例，对称、错切、旋转、平移等。

计算机图形学-第三章-变换及裁剪

xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽相同，例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换三维变换裁剪
二维线裁剪二维多边形裁剪文本裁剪三维裁剪关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图

图形变换基本概念

图形变换基本概念图形变换是计算机图形学中的一个重要概念，它通过对图形进行特定操作来改变其形状、大小或位置。

图形变换常用于图像处理、动画制作和计算机图形学等领域，对于实现图像变换效果有着重要的作用。

本文将介绍几种常见的图形变换方法及其基本概念。

一、平移变换（Translation）平移变换是一种基本的图形变换方法，它将图形沿着指定的方向进行移动。

平移变换可以通过改变图形中所有点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），平移变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + dxy' = y + dy其中dx和dy分别是水平和垂直方向上的平移量。

通过改变dx和dy的值，可以实现图形的平移。

二、旋转变换（Rotation）旋转变换是将图形绕着指定点旋转一定角度的操作。

旋转变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），旋转变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中θ表示旋转的角度。

通过改变θ的值，可以实现图形的旋转。

三、缩放变换（Scaling）缩放变换是将图形按比例进行放大或缩小的操作。

缩放变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），缩放变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x * sxy' = y * sy其中sx和sy分别表示在水平和垂直方向上的缩放比例。

通过改变sx和sy的值，可以实现图形的缩放。

四、错切变换（Shearing）错切变换是将图形在水平或垂直方向上斜向延伸的操作。

错切变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），错切变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + myy' = nx + y其中n和m分别表示在水平和垂直方向上的错切系数。

计算机图形学-第五章-图形变换

第五章图形变换重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

齐次坐标系齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。

点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。

所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。

例如齐次空间点P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。

将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。

5.1 二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。

5.1.1 二维平移变换如图所示，它使图形移动位置。

新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。

从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例和旋转变换则是矩阵乘法。

计算机图形学第讲图形变换详解演示文稿

图形的拓扑关系不变
3
第3页，共46页。
本讲内容
齐次坐标表示法
常见的二维图形几何变换
平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换
变换矩阵的功能分区图形的复合变换
4
第4页，共46页。
齐次坐标表示法
将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量表示
(x1, x2 ,..., xn )
a
1
0
y
y
ax
1 0 0 1 1 1
➢ 简写为： p = Tp
x
26
第26页，共46页。
本讲内容
齐次坐标表示法常见的二维图形几何变换
平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换
变换矩阵的功能分区
图形的复合变换
27
第27页，共46页。
变换矩阵的功能分区
变换矩阵可用3×3矩阵来描述
连续平移变换
得到连续平移变换的复合矩阵T为：
1 0 tx2 1 0 tx1 1 0 tx2 tx1
T T2T1 0
1
t
y
2
0
1
t
y1
0
1
tx
2
t
y1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
即连续的平移变换是平移量的相加
37
第37页，共46页。
连续比例变换
设点P(x,y)经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比例变换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为P'' (x'',y'')
y
'
y
Ty
0
1
Ty
y
1 1 0 0 1 1

计算机图形学三维图形变换

主视图变换矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
0
பைடு நூலகம்
0
0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0 0 1
俯视图变换矩阵
1 0 0 0 1
0
0 0 1 0 0 0
TH
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
cos(90) sin(90)
三维图形变换
基本几何变换
基本几何变换都是相对于原点和坐标
轴进行的几何变换，有平移、缩放和旋转等。在以下的讲述中，均假设用
p(x, y, z) 表示三维空间上一个未被变换的点，而该点经过某种变换后得到的新点用 p'(x', y', z') 表示。
平移变换
平移是指将点沿直线路径从一个坐标位置移动到另一个坐标位置的一个重定位过程。
0 1
0
0
0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0
Rx ( )
0
c
d b
b
d c
0
0
dd
0 0 0 1
Ry ( )
d 0 a 0
Ry
(
)
0
a
1 0
0 d

第七章图形变换

窗口和视区两者关系
窗口和视区可以是多个不一定非要矩形，但通常是矩形区域若要指定一个窗口或视区，只要给出矩形两顶点的坐标值观察变换（窗口-视区的坐标变换窗视变换）视区的坐标变换，观察变换（窗口视区的坐标变换，窗视变换）窗口（WC）和视区（DC）分别处在不同的坐标系内，所用的长度单位及大小、位置等均不同将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过将窗口到视区的坐标变换处理（视见变换）（观察变换：世界坐标系=>设备坐标系）
本章基本内容
图形变换的数学基础窗口视图变换图形的几何变换形体的投影变换三维线段的裁剪
7.1 图形变换的数学基础
点可以用位置向量（矢量矢量）表示矢量二维空间点的坐标可以用行向量[X，Y]或列向量[X，Y]T 表示三维空间点的坐标可以用行向量[X，Y，Z] 或列向量表示用具有一定关系的点的集合（点集点集）来表示一点集个平面图形学基础窗口视图变换图形的几何变换形体的投影变换三维线段的裁剪
7.2 窗口视图变换
• 世界坐标系世界坐标系(WC : World Coordinates) • 设备坐标系 • 规格化设备坐标系
1、世界坐标系(WC : World Coordinates) 、世界坐标系
用户定义的图形从窗口到视区的输出过程
从应用程序得到的图形的世界坐标 ↓WC 对窗口进行裁减 ↓NDC 窗口到视区的规格化变换 ↓DC 视区从规格化坐标系到设备坐标系的变换 ↓ 在图形设备上输出图形
从应用程序得到图形的用户坐标
对窗口区进行裁剪
窗口区到视图区的规格化变换
视图区从规格化坐标系到设备坐标系的变换
1 i i 0 1
视区 viewport