第三章 扭转分析

Me3
Me1
n
Me4
B
C
解:计算外力偶矩
A
D
Me
9549
P n
Me1 15900 N m
Me2 Me3 4780 N m
Me4 6379 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 .
假设 T 2为正值 由平衡方程:
Me2
Me3 2
Me1
Me4
Mx 0
B
Me2 Me3 T2 0
Me
A
D
g
B
C
g
t dx
4、推导公式
AdA r r AdA r(2π r t) T
Hale Waihona Puke Baidu
T 2πr 2
t
Me
此式为薄壁筒扭转时横截 面上切应力的计算公式.
x
Me dx
薄壁筒扭转时横截面上的切
τ
T
应力均匀分布，与半径垂直，
指向与扭矩的转向一致.
τ
二、切应力互等定理
m A'
g
A
m B j B'
M 应力
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何关系
1、变形现象
1) 轴向线仍为直线，且长度不变；
在单元体左、右面（杆的横截面） 上只有切应力，其方向于 y 轴平行.
要满足平衡, 在单元体的上、下
两平面上必有大小相等，指向相
反的一对内力元素组成力偶.
z
dy
y
τ
τx
d x
切应力互等定理
单元体两个相互垂直平面 上的切应力同时存在，且 大小相等，都指相（或背 离）该两平面的交线.
y
dy
τ
τx
z
dx
N dW d(mj) m dj m m n
dt dt
dt
30
m 30 N 103 9549 N (N m)
n
n
M e Nm
P
9549
kW
n
r /min
M e Nm
7024 P马力 n
r /min
例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，
从动轮B、C、D输出功率分PB=PC=15kW，PD=20kW， 轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
第一章 绪论 第二章 拉伸、压缩与剪切 第三章 扭转 第四章 弯曲内力 第五章 弯曲应力 第六章 弯曲变形 第七章 应力和应变分析、强度
理论 第八章 组合变形 第九章 压杆失稳
第三章 扭转
第一节 扭转的概念和实例 第二节 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图 第三节 纯剪切 第四节 圆轴扭转时的应力 第五节 圆轴扭转时的变形
T1 4780 N m
T2 9560 N m
注意：若假设扭矩为正值，则
扭矩的实际符号与计算符号相同.
从图可见，最大扭矩
在 CA段内.
4780 N·m
Tmax 9560 N m
Me4 T3
6370 N·m
+ _
9560 N·m
例 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB
MC
MA
MD
B
C
A
Me 主动力偶
mA
阻抗力偶
me
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于 杆件轴线的力偶. 主要发生扭转变形的杆——轴。
m A'
g
A
g：剪切角
g
(剪应变)
m B j B'
j：相对扭转角
§3-2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
已知：轴的转速 n 转／分 (r／min) ，主动轮传输的功率 为： N 千瓦（ KW ）。则使轴发生扭转 的外力偶矩m为：
MA
MB
MC
MD
B
C
D A
解：计算外力偶矩
MA
9550 PA n
1592N m
MB
MC
9550 PB n
477.5N m
MD
9550 PD n
637N m
二、扭矩及扭矩图
1、求内力--扭矩(T)
Me
Me
截面法:
在n – n 截面处假想将轴截开
取左侧为研究对象:
Mx 0 T Me
D
955N·m
477.5N·m +
-
637N·m
解：已知
M A 1592N • m
T
M B M C 477.5N • m M D 637N • m
作扭矩图如左图示。
§3-3 纯剪切
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析
1.实验前 1）画纵向线，圆周线； 2）施加一对外力偶.
切应变 剪切胡克定律
j为相对扭转角 j r0 g l
T
T
g r0 j 即j g
l
T——
T
2r02t
j
r0 j g
l
做薄壁圆筒的 扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系：
p, g Gg
G E
2(1 )
试问：下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？
2A
M
M
A
圆轴扭
转时的
M
+
T
-
例 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮 A输入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功 率，三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
Me2
T2 (Me2 Me3 9560 N m
C2 A D
Me2
Me3 T2 x
负号说明T 2 应是负值扭矩 同理，在 BC 段内
T1 M e2 4780 N m
BC Me2 T1 x
同理，在 AD 段内
T3 Me4 6370 N m
作出扭矩图
Me2
Me3
BC
Me1 3 Me4 A 3D
§3-1 扭转的概念和实例 一、扭转的工程实例
东汉-杜诗发 明的水排，水 力鼓风机，用 于炼铁！
钻床的转杆
机器中的传动轴
直升飞机旋转轴 汽车转向轴
螺丝刀杆工作时受扭。
阻抗力偶
Me 主动力偶
二、扭转的概念 受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
2.实验后
① 圆筒表面的各圆周线的形状、大
小和间距均未改变，只是绕轴线作了
x
相对转动；
Me
dx
Me
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 g ；
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3、推论
Me
1) 横截面上无正应力， 只有切应力；
2) 切应力方向垂直半径 或与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于 圆周相切，且数值相等，近 似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化.
Me
T
2. 扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。 扭矩大小可利用截面法来确定： ①截开 ②代替 ③平衡
Me
A Me
A
1
Me
1 1
T
1 1
T
1
B
x
T Me
Me
B
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。