第三章 扭转分析
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第三章 扭转
46
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学扭转第三章
在材料受到外力作用发生形变时，会储存弹性势能。在扭转过程中，弹 性势能会转化为动能或热能。
03
能量转换
在材料受到扭矩作用发生扭转变形时，弹性势能与动能之间会发生相互
转换。这种能量转换关系对于分析材料的动态行为和稳定性非常重要。
弹性基础的概念
弹性基础定义
弹性基础是指材料在受到外力作 用时，能够发生弹性形变并保持
扭转变形的特点
描述材料在扭转变形过程中应力和应变的特点，如应力分布、应变 分布等。
扭转变形的能量关系
分析扭转变形过程中的能量转换关系，如弹性势能和动能等。
材料的扭力极限
扭力极限的定义
01
材料在剪切应力作用下所能承受的最大极限值，是衡量材料抗
扭性能的重要指标。
扭力极限的确定方法
02
介绍确定材料扭力极限的实验方法和标准，如扭转实验、弯曲
实验步骤和实验结果分析
02
01
03
实验步骤
1. 准备材料试样，确保其尺寸、形状和质量符合实验 要求。 2. 将试样固定在扭力计上，确保牢固稳定。
实验步骤和实验结果分析
3. 对扭力计施加扭矩， 记录扭力计的读数和 扭矩值。
5. 重复实验，获取多 组数据。
4. 观察并记录材料试 样的变形情况。
实验步骤和实验结果分析
通过学习这一章，学生将掌握 材料在扭转载荷下的应力分布 、变形规律和破坏机制，为工 程实践中的结构设计和安全评 估提供理论基础。
学习目标
掌握扭矩和剪切应力的 计算方法。
了解扭转变形的实验方 法和结果分析。
能够运用所学知识解决 实际工程中的扭转问题 。
理解扭转变形的概念和 基本原理。
02
材料力学扭转的基本概念
03
能量转换
在材料受到扭矩作用发生扭转变形时，弹性势能与动能之间会发生相互
转换。这种能量转换关系对于分析材料的动态行为和稳定性非常重要。
弹性基础的概念
弹性基础定义
弹性基础是指材料在受到外力作 用时，能够发生弹性形变并保持
扭转变形的特点
描述材料在扭转变形过程中应力和应变的特点，如应力分布、应变 分布等。
扭转变形的能量关系
分析扭转变形过程中的能量转换关系，如弹性势能和动能等。
材料的扭力极限
扭力极限的定义
01
材料在剪切应力作用下所能承受的最大极限值，是衡量材料抗
扭性能的重要指标。
扭力极限的确定方法
02
介绍确定材料扭力极限的实验方法和标准，如扭转实验、弯曲
实验步骤和实验结果分析
02
01
03
实验步骤
1. 准备材料试样，确保其尺寸、形状和质量符合实验 要求。 2. 将试样固定在扭力计上，确保牢固稳定。
实验步骤和实验结果分析
3. 对扭力计施加扭矩， 记录扭力计的读数和 扭矩值。
5. 重复实验，获取多 组数据。
4. 观察并记录材料试 样的变形情况。
实验步骤和实验结果分析
通过学习这一章，学生将掌握 材料在扭转载荷下的应力分布 、变形规律和破坏机制，为工 程实践中的结构设计和安全评 估提供理论基础。
学习目标
掌握扭矩和剪切应力的 计算方法。
了解扭转变形的实验方 法和结果分析。
能够运用所学知识解决 实际工程中的扭转问题 。
理解扭转变形的概念和 基本原理。
02
材料力学扭转的基本概念
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
03章1-3扭转
§3-1 扭转的概念
1.扭转变形
受力特点：
外力偶的作用面与 杆件轴线垂直；
变形特点：
横截面之间绕杆件的 轴线产生相对角位移。
受扭杆件的力学模型特征
Tk
Tk
具有上述特征的变形
称为扭转变形。
工程上，把承受扭转
变形的杆件称为“轴
（Shaft）”。
横截面之间的相对角位移Φ，称为扭转角。
2．名词：
Tk
Tk
各自的传动功率为:PA=19kW,PB=
44kW,PC =25kW, 转速n =150rpm
试画传动轴的扭矩图。
TA
问：若交换轮A和轮B的位置，
传动轴的扭矩图有何变化？
TA
TB
TC
TA
Tn
A
B
C
TA
9549 19 150
1210Nm
Tn
同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
练习题
Tn1
R 10
（Байду номын сангаас力容器）
TK
等厚度薄壁筒，平均半径为R ,
厚度为 ，长为 l
TK
Tn
TK
2R R Tn TK
TK
2R 2
二、剪应力互等定理
TK
dy
TK
z
（ dy) 与 ( , dx)
y
, b
a
o cx
dx d
组成一力偶，由力偶平衡得：
(dy)dx ( ,dx)dy 0 ,
试画轴的扭矩图。 解：求外力偶矩
MB T1 x
B
T3
MD
x D
由M 9549 P 解得： MB n
M A 1910N m
1.扭转变形
受力特点：
外力偶的作用面与 杆件轴线垂直；
变形特点：
横截面之间绕杆件的 轴线产生相对角位移。
受扭杆件的力学模型特征
Tk
Tk
具有上述特征的变形
称为扭转变形。
工程上，把承受扭转
变形的杆件称为“轴
（Shaft）”。
横截面之间的相对角位移Φ，称为扭转角。
2．名词：
Tk
Tk
各自的传动功率为:PA=19kW,PB=
44kW,PC =25kW, 转速n =150rpm
试画传动轴的扭矩图。
TA
问：若交换轮A和轮B的位置，
传动轴的扭矩图有何变化？
TA
TB
TC
TA
Tn
A
B
C
TA
9549 19 150
1210Nm
Tn
同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
练习题
Tn1
R 10
（Байду номын сангаас力容器）
TK
等厚度薄壁筒，平均半径为R ,
厚度为 ，长为 l
TK
Tn
TK
2R R Tn TK
TK
2R 2
二、剪应力互等定理
TK
dy
TK
z
（ dy) 与 ( , dx)
y
, b
a
o cx
dx d
组成一力偶，由力偶平衡得：
(dy)dx ( ,dx)dy 0 ,
试画轴的扭矩图。 解：求外力偶矩
MB T1 x
B
T3
MD
x D
由M 9549 P 解得： MB n
M A 1910N m
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学第3章扭转部分课件详解
Me
Me
扭转(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
已知:轴转速－n 转/分钟；输出功率－P 千瓦，计算：力偶矩Me
电机每秒输入功：W P1000(N.m)
E
O1 ρ
a
的一个角度.
ρ
b
D
G
T
d
D' G' O2
b
dx
经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度
r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变
r
tan r
GG' EG
rd
dx
扭转(Torsion)
二、物理关系(Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
扭转(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
Me
9
549
p kw
n r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
扭转(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
dy
τ
τx
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
dx
其矩为( dy dz) dx
扭转(Torsion)
工程力学材料力学(3)
§3-1 工程实际中的扭转问题
在工程实际中，尤其是在机械传动中的许多构件，其主要变形是 扭转。例如丝锥攻丝和转动轴的工作情况。
受力特点： 受力特点 ： 在垂直于扭转构件轴线的平面内作用有两个大小相等， 转向相反的力偶。 变形特点： 变形特点 ： 在上述两力偶的作用下，各横截面绕轴线发生相对转 动。这时任意两横截面间将有相对的角位移，这种角位移称为扭转 扭转 角。图中的φAB就是截面B相对于截面A的转角
∑M
x
= 0, T = M A
取右段为研究对象，可得相同的结果 由此可见，杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内 的力偶，其力偶矩称为扭矩 扭矩。 扭矩 左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小相等、转 向相反。为了使轴的同一截面上的扭矩的正负号相同，可采用右手螺 右手螺 旋法则规定其正负号。 旋法则
工程力学课件
2、静力学关系 、 圆轴扭转时，平衡外力偶矩的扭矩，是由横截面上无数的微剪力 组成的。如图所示，设距圆心ρ处的切应力为τp，如在此处取一微面 积dA，则此微面积上的微剪力为τρdA 。各微剪力对轴线之矩的总和， 即为该截面上的扭矩，即
T = ∫ ρτ ρ dA
dφ τ ρ = Gρ dx 因此 T = Gρ 2 dφ dA = G dφ ∫A dx dx
(a)
(b)
(c)
工程力学课件
由图可知：当切应力不超过材料的 剪切比例极限 (τp)时，切应力与切应变 之间成正比关系，这个关系称为剪切 剪切 胡克定律，可用下式表示： 胡克定律
τ = G ⋅γ
式中，G为材料的剪切弹性模量 剪切弹性模量，单位与弹性模量E相同，其 剪切弹性模量 数值可通过试验确定，钢材的G值约为80 GPa。 理论与试验表明：剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在如 下关系：
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
第三章 扭转
三、剪切胡克定律
d a
p
d c a b
q
Me
c d’ b
Me
q q
γ
a’ d’ c’
p p
c’ b’
Me
a’ b’
Me
p
q
:直角的改变量 切应变 γ :直角的改变量
φ
圆筒两端面的相对扭转角
p
d’ c’ a’ b’
q
γ
r ϕ = l
对于线弹性材料, 对于线弹性材料, 或者对于
φ
τ
≤τ p 时,有
d’
§3-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力 二、切应力互等定理 三、剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
1、变形观察 2、横截面上扭转应力分布规律的分析 3、扭转应力的大小
1、变形观察
p q
a b
（1）圆周线不变 大小、 （大小、间距都 Me 不变）。 不变）。 纵向线倾斜， （2）纵向线倾斜， 倾斜角相同。 倾斜角相同。 （3）表面矩形变 成平行四边形。 成平行四边形。 Me
T =−M −M +M 3 2 3 1 = 6.37kN⋅ m
4.78
6.37
9.56
M =15.9 kN⋅m 1
M =4.78 kN⋅m 2
M1 2
B
1
2 M 3
M 1
A
3
M 4
D
M =4.78 kN⋅m 3
C
2 2
3 3
M4 =6.37 kN⋅m
M 2
B
1
M 3
C
M 4
A
M 1
D
3
1
2
若将主动轮A和从动轮 调换 若将主动轮 和从动轮D调换， 和从动轮 调换， 求轴的扭矩图。 求轴的扭矩图。
材料力学-扭转问题解读
P (kW ) Me 9549 Nm n( r pm )
Me2=T2=557 N.m
Me3=T3=185.7 N.m
由
max
T Wt
Wt
D 3
16
T1 16.54 MPa Wt 1
max E
T2 max H 22.69 MPa Wt 2
Me
Me
Me （ +） T n Me
右手螺旋法则 , 确定内力正负
（ +） n T
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
例 已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图.
MA
MB
MC
解: 1. 求外力偶 MA= 9549 19 =1210Nm
4 4
d 2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
4580 N m 7640 N m
d1
受力合理
C
M e2
A
M e1
d2
B M e3
4580 N m
3060 N m
一 变形几何关系
dx d
d
dx
T
二 物理条件： G G d dx 三 平衡条件：dT dA
d
T
T dT dA
A
Me2=T2=557 N.m
Me3=T3=185.7 N.m
由
max
T Wt
Wt
D 3
16
T1 16.54 MPa Wt 1
max E
T2 max H 22.69 MPa Wt 2
Me
Me
Me （ +） T n Me
右手螺旋法则 , 确定内力正负
（ +） n T
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
例 已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图.
MA
MB
MC
解: 1. 求外力偶 MA= 9549 19 =1210Nm
4 4
d 2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
4580 N m 7640 N m
d1
受力合理
C
M e2
A
M e1
d2
B M e3
4580 N m
3060 N m
一 变形几何关系
dx d
d
dx
T
二 物理条件： G G d dx 三 平衡条件：dT dA
d
T
T dT dA
A
第三章 扭转
例
传动轴,已知转速 n=300r/min，主动轮A输入功 率PA=45kW，三个从动轮输出功率分别为PB=10kW, PC=15kW，PD=20kW。试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩
由公式 M 9549P / n e
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
MB
MC
MD
MA
B
C
D
A
T3 M A 1432N m
M e Nm
PkW 103 60 PkW 9549 nrpm 2πnrpm
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me T:截面上的扭矩
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手大拇指指向横截面外法线方向为正,反之为负
2、应力分析 取微单元体abcd
A、存在剪（切）应力 有剪切变形，单元体的两 恻必然有剪应力。
a d
B、不存在正应力 扭转过程中，圆筒的周边 线形状、大小、相邻周边线的距 离都不变， →无线应变 无轴相或周相变形 →无正应力
b c
a
b
d
c
C、剪（切）应力大小
（1）由于沿圆周线方向各点的
变形相同，同一圆周线上各点
max
注意：计算 max 应综合考虑T和WP。
5
Tmax [ ] WP
极惯性矩和抗扭截面系数的计算 实心圆轴
D Ip , 32
4
Ip d A
2 A
3
空心圆轴
其中:
D 4 (1 ) Ip (1 ), WP 16 32
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Me
T
2. 扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。 扭矩大小可利用截面法来确定： ①截开 ②代替 ③平衡
Me
A Me
A
1
Me
1 1
T
1 1
T
1
B
x
T Me
Me
B
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
§3-1 扭转的概念和实例 一、扭转的工程实例
东汉-杜诗发 明的水排，水 力鼓风机，用 于炼铁！
钻床的转杆
机器中的传动轴
直升飞机旋转轴 汽车转向轴
螺丝刀杆工作时受扭。
阻抗力偶
Me 主动力偶
二、扭转的概念 受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
D
955N·m
477.5N·m +
-
637N·m
解：已知
M A 1592N • m
T
M B M C 477.5N • m M D 637N • m
作扭矩图如左图示。
§3-3 纯剪切
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析
1.实验前 1）画纵向线，圆周线； 2）施加一对外力偶.
2.实验后
① 圆筒表面的各圆周线的形状、大
小和间距均未改变，只是绕轴线作了
x
相对转动；
Me
dx
Me
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 g ；
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3、推论
Me
1) 横截面上无正应力， 只有切应力；
2) 切应力方向垂直半径 或与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于 圆周相切，且数值相等，近 似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化.
Me
A
D
g
B
C
g
t dx
4、推导公式
AdA r r AdA r(2π r t) T
T 2πr 2
t
Me
此式为薄壁筒扭转时横截 面上切应力的计算公式.
x
Me dx
薄壁筒扭转时横截面上的切
τ
T
应力均匀分布，与半径垂直，
指向与扭矩的转向一致.
τ
二、切应力互等定理
m A'
g
A
m B j B'
+
T
-
例 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮 A输入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功 率，三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
Me2
Me 主动力偶
mA
阻抗力偶
me
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于 杆件轴线的力偶. 主要发生扭转变形的杆——轴。
m A'
g
A
g：剪切角
g
(剪应变)
m B j B'
j：相对扭转角
§3-2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
已知：轴的转速 n 转／分 (r／min) ，主动轮传输的功率 为： N 千瓦（ KW ）。则使轴发生扭转 的外力偶矩m为：
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解:计算外力偶矩
A
D
Me
9549
P n
Me1 15900 N m
Me2 Me3 4780 N m
Me4 6379 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 .
假设 T 2为正值 由平衡方程:
Me2
Me3 2
Me1
Me4
Mx 0
B
Me2 Me3 T2 0
第一章 绪论 第二章 拉伸、压缩与剪切 第三章 扭转 第四章 弯曲内力 第五章 弯曲应力 第六章 弯曲变形 第七章 应力和应变分析、强度
理论 第八章 组合变形 第九章 压杆失稳
第三章 扭转
第一节 扭转的概念和实例 第二节 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图 第三节 纯剪切 第四节 圆轴扭转时的应力 第五节 圆轴扭转时的变形
M 应力
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何关系
1、变形现象
1) 轴向线仍为直线，且长度不变；
MA
MB
MC
MD
B
C
D A
解：计算外力偶矩
MA
9550 PA n
1592N m
MB
MC
9550 PB n
477.5N m
MD
9550 PD n
637N m
二、扭矩及扭矩图
1、求内力--扭矩(T)
Me
Me
截面法:
在n – n 截面处假想将轴截开
取左侧为研究对象:
Mx 0 T Me
N dW d(mj) m dj m m n
dt dt
dt
30
m 30 N 103 9549 N (N m)
n
n
M e Nm
P
9549
kW
n
r /min
M e Nm
7024 P马力 n
r /min
例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，
从动轮B、C、D输出功率分PB=PC=15kW，PD=20kW， 轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
切应变 剪切胡克定律
j为相对扭转角 j r0 g l
T
T
g r0 j 即j g
l
T——
T
2r02t
j
r0 j g
l
做薄壁圆筒的 扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系：
p, g Gg
G E
2(1 )
试问：下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？
2A
M
M
A
圆轴扭
转时的
M
T1 4780 N m
T2 9560 N m
注意：若假设扭矩为正值，则
扭矩的实际符号与计算符号相同.
从图可见，最大扭矩
在 CA段内.
4780 N·m
Tmax 9560 N m
Me4 T3
6370 N·m
+ _
9560 N·m
例 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB
MC
MA
MD
B
C
A
在单元体左、右面（杆的横截面） 上只有切应力，其方向于 y 轴平行.
要满足平衡, 在单元体的上、下
两平面上必有大小相等，指向相
反的一对内力元素组成力偶.
z
dy
y
τ
τx
d x
切应力互等定理
单元体两个相互垂直平面 上的切应力同时存在，且 大小相等，都指相（或背 离）该两平面的交线.
y
dy
τ
τx
z
dx
T2 (Me2 Me3 9560 N m
C2 A D
Me2
Me3 T2 x
ห้องสมุดไป่ตู้
负号说明T 2 应是负值扭矩 同理，在 BC 段内
T1 M e2 4780 N m
BC Me2 T1 x
同理，在 AD 段内
T3 Me4 6370 N m
作出扭矩图
Me2
Me3
BC
Me1 3 Me4 A 3D