高中数学函数的极值与最值

( a, b ) 内只有有限个导数为0或不存在的点. 求 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上的最值.
f ( x )在[a, b]上连续 M 和最小值 m. f ( x)在[a, b]上一定有最大值
求法: f ' ( x ) 0及导数不存在的点 , (1) 在(a, b)内, 求出使 x1 , x2 , .... , xk 记为: (2) 计算f ( x)在上述各点处的函数值 及f (a), f (b) (3) M max{f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xk ), f (a), f (b)}
0
按定义, 存在去心邻域 U ( x0 , ) 使得 0 对于任意 x U ( x0 , ), 都有 f ( x ) f ( x0 )
即：对于任意 x U ( x0 , ), 都有 f ( x ) f ( x0 ) 又 f ( x )在x0处可导 由费马引理得: f ' ( x0 ) 0
证 (1) 按定义
f ' ( x ) f ' ( x0 ) f '( x) f '' ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x x x0 0
( f ' ( x0 ) 0)
f ' ( x ) f '' ( x0 ) 0 lim 0 x x0 x x 0
令V '
0
解得
a x 6
x
x
a ( 0x ) 2
x
解
x
a
x
x
a a V 在 ( 0, ) 内可导, 且只有一个驻点 x 6 2 a
a x 就是最大值点, 6
又由实际问题知: V 在 ( 0, ) 内必有最大值 2
a 2 3 a 最大值 V ( ) 6 27
小 结：
极值的定义 极值点的必要条件 极值的判定法：第一判定法
)
x
f ( x0 ) 是极大值
x0
( 2) f ' ( x )
(
-
x0
+
x0
)
x
f ( x0 ) 是极小值
f ( x)
x0
( 3) f ' ( x )
f ( x)
(
+
x0
+
x0
)
x
f ( x0 ) 不是极值
x0
f '( x)
(
-
x0
-
x0
(2) 若当 x 由小到大经过 x0 时, f ' ( x ) 的符号由负变正 则 f ( x0 ) 是极小值. (3) 若当 x 由小到大经过 x0 时, f ' ( x ) 的符号不改变 则 f ( x0 ) 不是极值.
f ( x)
x0
(1) f ' ( x )
f ( x)
(
+
x0
-
x0
记 f ( x) 2 x 3 3 x 2 12x 14
f ' ( x ) 6 x 2 6 x 12 6( x 2)( x 1) 令 f ' ( x ) 0 解得 x 2 , 1
计算
f ( 2) 34, f ( 3) 23,
f (1) 7,
由函数极限的局部保号性得:
0,
当0 | x x0 | 时, 就有
f '( x) 0 . 于是, x x0
f '( x) 0 从而 f ' ( x ) 0 当x0 x x0 时, x x0 f '( x) 0 从而 f ' ( x ) 0 当x0 x x0 时, x x0 f ( x0 )是极大值 (第一判别法)
截去同样的小正方形, 作成一个无盖的方盒, 截去多少才能使得作成的盒子容积最大?
问:
设截去的小正方形的边长
为 x , 则作成盒子的容积
a
x x
V x( a 2 x )
2
V ' (a 2 x )2 x 2(a 2 x )(2)
(a 2 x )(a 6 x )
x( 4 x )

x

( 6 x ) (4 x ) 4 x

3
x 3 (6 x )2
令 f ' ( x ) 0 解得 x 4
x 0, x 6 时, f ' ( x ) 不存在
(3)讨论单调性
f '( x)
4 x
3
x
f '( x)
( ,0 ) 0 ( 0,4 ) 4
第二判定法
最大值，最小值的求法
作业
x
a x1 x4
o x2
x5
x3
b
f ( x ) 的极小值点: x1 x2 x3 f ( x ) 的极大值点: x4 x5
2.极值点的必要条件 定理1 若 f ( x ) 在 x0 处取得极值, 且
f ( x ) 在 x0 处可导, 则 f ' ( x0 ) 0
证 不妨设 f ( x0 )是极大值.
一、函数的极值
1.定义 如果存在 x0 的一个去心邻域, 对于该去心邻域 内的任一点 x, 都有
f ( x ) f ( x0 ) ()
成立, 则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的极大值,
称 x0 为函数 f ( x ) 的极大值点. (极小值点) (极小值)
y
y f ( x)
g ( x ) x , g' (0)不存在 , 但 x 0不是 g ( x ) 的极值点.
1 3
3.极值的判别法
定理2(第一判别法) 设 f ( x ) 在 x0 的一个去心邻域 内可导, 且在 x0 处连续. (1) 若当 x 由小到大经过 x0 时, f ' ( x ) 的符号由正变负 则 f ( x0 ) 是极大值.
m min{f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xk ), f (a), f (b)}
3 2 求函数 y 2 x 3 x 12x 14 例3
在 [3,4] 上的最大值和最小值。 解
[3,4]上一定有最大值 M 和最小值 m. 它在
y 2 x 3 3 x 2 12x 14 在[3,4]上连续
)
x
f ( x0 ) 不是极值
例1 解 (1)定义域: ( ,)
求 f ( x ) 3 6 x 2 x 3 的极值.
2 3
4 1 (2) f ' ( x ) (6 x 2 x 3 ) (12x 3 x 2 ) 3 4 2

x

3 2 3
极值了. 但是,这时若函数 f ( x ) 在驻点处的 二阶导数存在且不为零,则可用下面的定理来求极值. 定理3(第二判别法) 设 f ( x ) 在 x0 处二阶可导,
且 f ' ( x0 ) 0, f '' ( x0 ) 0, 则 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, f ( x0 )是极大值 (2)当 f '' ( x0 ) 0 时, f ( x0 )是极小值
(2) 类似可证. 例2 解 求函数 f ( x ) sinx cos x 的极值. f ( x ) 是周期函数， T 2 只需考虑 f ( x ) 在区间 [0,2 ] 上的情况. f ' ( x ) cos x sin x 5 令 f '( x) 0 解得 x , 4 4 f ' ' ( x ) sin x cos x f ' ' ( ) sin cos 2 0 4 4 4 极大值 f ( ) 2 4 5 5 5 f ' ' ( ) sin cos 2 0 4 4 5 4 极小值 f ( 4 ) 2
二、 函数的最大值和最小值 在实际中，经常遇到这样的问题：
怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？
怎样使生产的效益最高？利润最大？
这类问题称为“最优化问题”
在数学上，这类问题可归结为：
求某个函数的最大值或最小值的问题
（简称最值问题）
这里，我们只研究一些较简单的最值问题。
1. 设函数 f ( x ) 是闭区间 [a, b] 上的连续函数, 且在
x 3 (6 x )2 ( 4,6 ) 6 ( 6, )
-
不 存 在 极 小 值
+
0
-
不 存 在 非 极 值
-
f ( x)
极 大 值
(4)
极小值: f ( 0) 0 极大值: f ( 4) 23 4
说明
如果由 f ' ( x ) 的表达式不易确定它在驻点 附近的符号, 那么, 用极值的第一判别法就不好求
定义 若 f ' ( x0 ) 0 , 则称 x0 是函数 f ( x ) 的驻点.
注: 由定理1得: 若 x0 是函数 f ( x ) 的极值点, 则
f ' ( x0 ) 0 或 f ' ( x0 ) 不存在.
反之不然.
反例:
f ( x ) x 3 , f ' (0) 0 但 x 0 不是 f ( x ) 的极值点.
当 f ( x0 ) 是极小值时，f ( x0 ) 就是区间 I 上的最小值。
f ( x0 )
y