流体力学第二章 第6节 作用于曲面液体压力
流体力学 第二章 水静力学 (2)
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
流体力学第二章
全微分。 由于
ddxdydz （2-5）
x y z
所以
fx
x
fy
y
fz z
（2-6）
即质量力的分量等于函数 (x, y,z) 的偏导数，因此，(x, y,z) 称为力势函数（若某一坐标函数对个坐标的偏导数分别等于力 场的力在对应坐标轴上的投影，则称该坐标函数为力的势函数）。 存在力势函数的质量力称为有势力，重力、电磁力、惯性力等是 有势力。
(2-1)
因为:
dAn
co s 1dydz
2
则上式变成
p x1 2 d y d z p n1 2 d y d z 1 6d x d y d zx f 0
或
px
pn
1 3
fxdx0
dx趋于0时，第三项为无穷小，可以略去，故得：
px pn
同理可得: py pn pz pn
所以
px py pz pn
因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止
流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，
静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而
流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连
续函数，即
pp(x,y,z)
§2-2 静止流体微分方程
一、流体平衡微分方程式
在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的六面体流体微团，作用
作用在单位面积上的表面力称为应力.有切应力和正应力两 种。 ☆ 质量力作用于流体体积内的每一质点，是远距离作用力， 是空间点和时间的函数。 ☆ 表面力作用于流体周界的表面上，源于分子间的相互作用， 是表面点和时间的函数。 重力、惯性力、电磁力属质量力，压力、粘性力属表面力。 问题：表面张力、浮力属什么类型？
流体力学第2章水静力学--用
流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科 学。 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有 相对运动，达到了相对的平衡。
因此流体处于静止状E态va包lu括at了ion两o种n形ly.式： eated wi一th种A是sp流os体e对.S地lid球es无f相or对.N运E动T，3叫.5绝C对lie静nt止P，ro也fil称e 5.2.0
面积Δω，极限值即为该点的点静水压强，以小写英
文字母p表示 。
P dP
p lim
0 d
静水压强的两种表示法：
eate平d均w压ith强A：spose.pSlEidveaPslufaotrio.NnEoTnl3y..5 Client Profile 5.2.0 点压强：Coppyriglhimt 20P04-2d0P11 Aspose Pty Ltd.
dx
yo
x
由静平衡关系 Fx 0 有：
p 1 p dxdydz p 1 p dxdydz Xdxdydz 0
2 x
2 x
eat同ed理w，i对thyC,zA方osp向py可可or得si得ge：h：.St 2lEYZXi0dv0ea114s1lu-f2ppyzpaxo0tri1o00.01NnEAoTsn流也pl3y体称o..s5静 欧eC平拉Pl衡平itey微衡nLt分微tPd方分r.程方of式程ile，。5.2.0
说明：（1）在连通Ev的a同lua种ti的on静o止nl液y.体中，水平面必定是 eate等d压w面ith。Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
C（o2p）yr静igh止t液20体0的4-自20由11液A面s是po一s个e P水t平y L面tdy. eat命ed题w：it当h A四s面po体sOeA.BSCl无ide限s地fo缩r 小.N到ETO 3.5 Client Profile 5.2.0
流体力学第二章(20151017)
2.8 可压缩气体中的静压强分布规律
压缩气体温度
1、国际标准大气：海平面z=0处的大气参数为 温度������0 = 288������ 密度������0 = 1.225������������/������3 压强������ = 1.013 × 105������������ 2、不同高度的T 当z=0~11km的高度范围称为对流层 T = ������0 − ������(������ − ������0) ������0为海平 面高度。 当z=11~50km的高度范围称平流层。其中z=11~20km为同温层；在 20~50km,随高度增T增，50km时270K；z>50km,随高度下降
������)
������
=பைடு நூலகம்
������0ex������
������(������0 − ������������0
������)
谢谢！
−
������ ������
������������ ������������
=
������
������������
−
������ ������
������������ ������������
=
������
欧拉平衡微分方程表明 了处于平衡状态的流体 中压强的变化率与单位 质量力之间的关系，即 对于单位质量来讲，质 量力分量和表面力分量 是对应相等的
2、方向：垂直于平面并指向平面
3、作用点：压力中心点D
������������
=
������������
+
������������ ������������ ������
作用于曲面上的静水总压力(PPT 60张)
静水总压力水平分力
d P P d P P
x x
c
x
d
P P
c
x
o d
s
o
A
d
A d A A
x
d c
x x
P o s
c
o
s
x
s
x
h
A
x
h h
c
d A
P
Ax : 曲面在铅垂面上的投影面（平面）的面积 hc : Ax形心点水深（埋深）
作用点：Px 通过投影面Ax平面压力中心
z
d P
z
d P sin
顶部
z
h d A
sin
体积形心
z
d A P
sin d A
A
侧部
z
h d A h d A
z
z
V P
z
A
z
V
底部 图2.6.10 压力体构成示意
V ：压力体体积
Pz作用线通过压力体的体积形心
21
顶部
侧部 Pz = γV 底部
x
d P cos
cos
A
d P
x
y
x
h d AdPcos d A
A x x
E
h
dP
dPz
d A P
x
α
dPx
α dA dAz
dAx
x
x
流体力学_第二章_5-6节
03:14:16
PyD dP y
dP gy sin dA
2
ydP gsin y dA
7
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第五节 液体作用在平面上的总压力
用 y D表示OY轴上点O到压力中心的距离
ydP gsin y dA
2
则按合力矩定理有
PyD dP y
dP pdA ghdA gy sin dA
03:14:16
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4
第五节 液体作用在平面上的总压力
dP pdA ghdA gy sin dA
积分上式 得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力
P dP gysin dA gsin ydA
2
PyD gsin y dA
2
A
gsin I x
I x y dA 为受压面A对OX的惯性矩。
A
03:14:16
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8
第五节 液体作用在平面上的总压力
y D P gsin I x
总压力
P gsin yC A
两式相除
gsin I x Ix yD gsin yC:14:16
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1
第五节 液体作用在平面上的总压力
p
水平面 平面 垂直面 斜 面
p
静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题： 1.总压力的大小 2.总压力的作用点 3.总压力的方向
两种方法:1 解析法；2 图算法
03:14:16
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压力体的绘制（二）：
03:14:16
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
流体力学第二章 第6节 作用于曲面的液体压力
16
[例题]如图所示：有一圆形滚门，长1m（垂直园面方向）， 直径 D 为4m，两侧有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在 门上的总压力的大小及作用线的位置。
[解]分左右两部分计算
左部：水平分力
Fx1 ghc1 Ax1 9800 2 (4 1) 78400 N
4m 垂直分力 2m
未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可
压缩和不可压缩流体。
26
在推导欧拉平衡微分方程的过程中，对质量力 的性质及方向并未作具体规定，因而本方程既适用于 静止流体，也适用于相对静止的流体。同时，在推导 中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加 限制，所以它不但适用于不可压缩流体，而且也适用 于可压缩流体。另外，流体是处在平衡或相对平衡状 态，各流层间没有相对运动，所以它既适用于理想流 体，也适用于粘性流体。
水平分力
Fx 2 ghc 2 Ax 2 98001 (2 1) 19600 N
1 Fz 2 gV2 Fz1 30750 N 2
合力
垂直分力
F2 Fx22 Fz22
196002 307502
36470 N
18
作用线通过中心与垂线成角度 2 。
水
水
Fz1 gV1
1 98001 4 2 2 4 61500 N
17
合力
F1 Fx2 Fz2 1 1
78400 2 61500 2
99640 N
作用线通过中心与铅垂线成角度 1 。
右部：
Fx1 78400 1 arctg arctg 500 47 Fz1 61500
流体力学第二章 第6节 作用于曲面的液体压力
109400
Fx 58800 arctg arctg 32030 Fz 92250
19
作用在浮体和潜体上的总压力
流体力学中将部分沉浸在液 体中的物体称为浮体，全部 沉浸在液体中的物体称为潜 体，沉入液体底部固体表面 上的物体称为沉体
V p Vadbfg Vacbfg
静止液体作用在固体壁面上的总压力
14
侧盖上总压力的水平分力
Fpx 3 ghcx Ax gH
d 2
4
9806 2.5
0.52
4
4814N
侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部 分的压力体的合成，合成后的压力体即为侧盖包 容的半球体，所以侧盖上总压力的垂直分力
d 3 0.53 Fpz 3 g 9806 321N 12 12
静止液体作用在固体壁面上的总压力
15
根据上述水平分力和垂直分力可求得总压力的 大小和作用线的方向角
Fp 3 F F
2 px 3
2 pz 3
4814 321 4825 N
2 2
arctg
Fpx3 Fpz 3
4814 arctg 86.2 321
由于总压力的作用线与球面垂直，所以作用线一 定通过球心
轴，则为
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρ dxdydz则 得
1 p X 0 x
25
同理得
Y
1 p 0 y
（1）水平分力
Fpx dFpx ghdA g hdAx x
流体力学第二章第6节作用于曲面的液体压力
到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的
一块空间体积。它的计算式
Vp hdAz
是一个纯数学体积计算式。作用在曲面A 上的垂直
分力的大小等于压力体内液体的重量，并且与压
力体内是否充满液体无关。表示由两个形状、尺
寸和淹深完全相同的曲面所构成的容器，容器内
盛有某种液体。
7
压力体 曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积
为了便于积分和工程应用，流体平衡微分方程式 可以改写为另一种形式，即全微分形式。
27
把上式两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
流体静压强是空间坐标的连续函数，即 p p(x, y, z) ，它的全
(1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。
(2)水平分力的计算，Px ghc A。x
(3)确定压力体的体积。
(4)垂直分力的计算，Pz
gV
方向由虚、实压力体确定。
p
(5)总压力的计算，P Px2 Pz2 。
(6)总压力方向的确定，tg Px / P。z
(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。
上节课内容复习
A
油
B
水 C
A B C
D
E
A
油
B
水 C
相等
A B C
D
E
A B
C
A B
C
1
§2-6 作用于曲面的液体压力
实际工程中有许多承受液体总压力的曲面， 主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油 罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点 的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压 强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静 止液体的总压力的方法与平面不同。
流体力学课件第二章
2.2.2 平衡微分方程的积分
将式（2-2） 各分式分别乘以dx、dy、dz后相加，得到
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
上式等号左边是压强 p（x，y，z)的全微分
dp ( Xdx Ydy Zdz ) (2 - 7)
由边界条件z=z0，p=p0，定出积分常数 c p0 gz0
代回原式，得
p p0 g ( z0 z) p p0 gh (2 - 9)
或以单位体积液体的重量除式（2-8）各项，得
p c z g g
p z c g (2 - 10)
式中 p——静止液体内某点的压强； p0——液体表面压强，自由液面压强用pa表示； h——该点到液面的距离，称淹没深度；
流体平衡微分方程的全微分式 将式（2-5）代入式（2-7），得到
dp dU p U c 积分，得 不可压缩流体在有势的质量力作用下才能静止。
2.2.3 等 压 面
压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）称为等压 面，例如液体的自由表面。
等压面的一个重要性质是，等压面与质量力正交。
等压面上，p=常数
（2-11）
（3）平衡状态下，液体内（包括边界上）任意点压强的 变化，等值地传递到其它各点。 液体内任意点的压强
pB pA ghAB
在平衡状态下，当A点的压强增加△p，则B点的压强 变为 pB ( pA p) ghAB ( pA ghAB ) p
pB p (2 -12)
A点压强
pA pB ghAB ghAB 1000 9.8 1.5 14700 Pa
C点压强
pC pB ghBC ghBC 1000 9.8 2 19600 Pa
流体力学(流体静力学).
p1 p2
证明：从静止状态的流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
说明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表示任意方向微元表面。
分析 z 方向的力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元的体积：
)总是同一个常数。
图表示一封闭容器，其中盛有重度为γ的液体，自由液面上的
压力为p0。
在应用中，z——位置水头；
p ——压强水头或测压管高度；
g
z p ——测压管水头。 g
二、相对平衡液体的压力分布
1、容器作等速直线运动
如图所示，若一盛有流体的容器以速度 u 作等速直线运动时， 流体质点之间也不存在着相对运动。
X Fx Fx M V
Y Fy Fy
M V
Z Fz Fz
M V
单位质量力具有与加速度相同的量纲[LT-2]。
如果液体只受到重力的作用，取 z 轴铅直向上，xoy平面为水平
面，则单位质量力在轴上的分量为
X＝0 Y＝0 Z＝-Mg/M＝-g
§2－2 流体静压强及其特性
流体静压强 流体静压强的特性
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)
n
按泰勒级数展开，把M、N点的静压强写成
p 1
1 p
pM
p
流体力学 第2章 流体静力学
流体力学第二章流体静力学第二章流体静力学§2.1 流体静压强及其特征§2.2 欧拉平衡微分方程§2.3 重力场中流体静压强的分布§2.4 作用在平面上液体总压力§2.5 作用在曲面上液体总压力§2.6 液体的相对平衡一、本章学习要点:静止流体的压强特征。
流体平衡的微分方程—欧拉平衡微分方程。
流体静力学基本概念：等压面、绝对压强、相对压强、真空压强、测压管水头等。
静止液体总压力力计算。
液体的相对平衡。
二、本章重点掌握:流体静压强的计算。
静止液体总压力计算。
重要概念:流体静力学流体的静止状态绝对静止相对静止（平衡）特点：流体内部质点之间没有相对运动流体静压强和动压强§2.1 流体静压强及其特性一. 概念静压强：静止流体的压力强度称为流体的静压强， 用单位面积上的压力来表示。
Oxz yA∆M(x,y,z)P∆平均压强：AP p ∆∆=压强（点M ）：APp A ∆∆=→∆0lim 单位：N/m 2，Pa ；1N/m 2＝1Pa 气压：bar,mbar ； 1bar ＝1000mbar换算关系：1bar ＝105 N/m 2二. 流体静压强的特性特征1——方向性:流体静压强p垂直指向受压面。
p 证明要点：Sp p n(1)因静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面；(2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。
证明：在静止流体中取如图所示四面体Oabc ，分析作用在四面体上的力： dx dydz 特征2——大小性：静止流体内任一点的压强大小与作用面的方位无关。
xyz ac o b斜面abc 的法线：nn各面的面积：dA x ,dA y ,dA z ,dA ndA xdA ydA zdA n法线n 与x,y,z 轴的方向余弦：cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)xyz a co bdxdydz 表面力： zy p P x x d d 21⋅=xP zx p P y y d d 21⋅=yP yx p P z z d d 21⋅=zP nn n A p P d ⋅=nP zy x 61ρX F x d d d ⋅=质量力： zy x 61ρY F y d d d ⋅=zy x 61ρZ F z d d d ⋅=xyz a cobdx dydz xP yP zP nP 因四面体在表面力和质量力作用下处于平衡，故由∑Fx ＝0 :),cos(=+-x n x F x n P P 0d d d 61),cos(d d d 21=⋅+⋅-⋅z y x X x n A p z y p n n x ρzy x n An d d 21),cos(d = 0,,→∴dz dy dx nx p p =同理，由∑Fy ＝0： 由∑Fz ＝0：nz p p =当dx ，dy ，dz→0，即四面体Oabc 收缩至O 点时，有nz y x p p p p ===证毕！ny p p =xyz a cobdx dydz xP yP zP nP注意：❑静止流体中同一点在各个方向的压强相等，与方向无关；一般情况p=p(x,y,z)，即静压强是空间坐标的连续函数。
工程流体力学-第二章
三、静压力
工程流体力学---第二章 流体静力学
在静止的流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是
沿受力面法线方向的正压力或法向力。
F p lim
A0 A
法向力 微元面积
静压力定义
上式中p就是垂直作用于流体单位面积上的力，即物理学中 的压强，称为流体的静压力，简称压力，用p表示，单位为牛 顿（N）。作用于整个面上的力称为总压力。
工程流体力学---第二章 流体静力学 四、流体静压力的两个重要特性
1. 流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线 方向。 （利用静止流体性质进行证明）
☆流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向； ☆流体不能承受拉力，只能承受压力。
静压力惟一可能的方向就是内法线方向。
工程流体力学---第二章 流体静力学
微元体内流体所受质量力: dxdydz
说明：
微元体内流体所受质量力在x方向的分力: Xdxdydz （1）在流体力学
2. 静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无
关，即同一点各方向的流体静压强均相等。
z
Pn
Px dz
Py
Px Py Pz Pn P
O
dx
dy
y
x
Pz
表明：静止流体中任意一点上的流体静压力，无论来自何方均相
等，或者说与作用方向无关。流体静压强不是矢量，而是标量，
仅是坐标的连续函数。即：p= p(x,y,z)，由此得静压强的全微分
☆流体静力时，流体质点之间没有相对运动，因此粘滞性在静止 流体中显现不出来。 ☆本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
流体力学第二章流体静力学.
第二章流体静力学流体静力学研究流体在静止状态下的力学规律。
由于静止状态下，流体只存在压应力，简称压强，因此，流体静力学这一章以压强为中心，阐述静压强的特性，静压强的分布规律，以及作用面上总压力的计算。
1静止流体中应力的特性2流体平衡微分方程3重力场中流体静压强的分布规律4流体的相对平衡5液体作用在平面上的总压力6液体作用在曲面上的总压特性一：应力的方向沿作用面的内法线方 向。
特性二：静压强的大小与作用面方位无关。
1 •欧拉方程2.全微分方程自然界常见的质量力是重力，因此，在 流体平衡一般规律的基础上，研究重力作用下流-丄空=()p dx丄丝=0 p Z -丄空二 P dz体静压强的分布规律，更有实用意义。
等压而:压强相等的空间点构成的而性质：Ho基本方程：1卩=Po + pghpg气体压强的分布1・对流层、50256zp = 101 .3 1 --- - KPaI 44300 丿2.同温层<11000 一p = 22 .6 exp ----------6334 丿压强的度量1・绝对压强和相对压强绝对压强以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强。
相对压强是以当地大气压为基准起算的压强。
P = Pabs一P2 •真空度当绝对压强小于当地大气压，相对压强便是负值，又称负压，这种状态用真空度来度量。
［例2・1］立置在水池中的密封罩（如图2・6）所示，求罩内A、B、C三点的压强。
1・测压管高度、测压管水头Z 称为位置高度或位置水头。
称为测压管高度或压强水头。
"嬴称为测压管水头。
2 •真空高度pg［例2・2］密闭容器（图2-9）,侧壁上方装有U形管水银测压计，读值hP=20cm。
试求安装在水面下3.5m处的压力表读值。
［例2・3］用U形管水银压差计测量水管A、B 两点的压强差（图2-10） o已知两测点的高差△ z=0.4m,压差计的读值hP = 0.2 m o 试求A、B两点的压强差和测压管水头差。
流体力学第二章曲面总压力
1
1.06m
d
oh
d
cos 45
b
2
V
V1
V2
V3
(Ω1
Ω 2
Ω 3
)
1.06m
b
225 πr2 ae ao 1 ae Oh 6.57m 3
360
2
pz V 9.86.57 64.4kN ( )
P Px2 Pz2 71.96kN α arctan pz 63.5 px
=45°
O h Od cos hOd
hOd θ 45
d cos45 1.06m
Px
γ
h c
Ax
γ 1 ah ah b
2
2
1
9.8 2.56 2.56 1 32.11kN
2
ae
g a e ae hd
i Of
2 i O3
Od sin 45
1.5 0.707
h d
b
=45°
将Px 、Pz的作用线延长相交得交点-----压力中心。
通过交点作与水平线成角的直线，直线与曲 面相交的交点------作用点。
Pz
A Px
m P
n
B
有 一 薄 壁 钢 管 ， 直 径 为d， 承 受 压 力 水 头 H,
因为 H比 d 大 得 多 ， 可 以 认 为 钢 管受 均 匀 水 压
强 p＝ γ H(大 管 径 除外 )作 用 ， 当 钢 管 允 许抗 拉 强 度 为
[σ ]时 ， 求 管 壁 厚 度δ 为 多 少 ？ (不 考 虑 由 于 管 道 自
重 和 水 重 而 产 生 应 力)
z
T/2
p= h
p
d
§2-6作用于曲面的液体压力和§2-7流体平衡微分方程
§2-6作用于曲面的液体压力作用于曲面任一点处的流体静压强沿作用面内法线方向，其大小与该点的深度成正比。
与平面相似，也可以由此画出压强分布图，由于曲面的方向不断变化，压强的方向也随之改变，压强分布不是直线而是曲线。
曲面受压与平面受压的区别在于:压强的大小和方向都在变化，是非平行力系，就不能象求平面总压力那样直接积分求其代数和。
为此需建立坐标,将各微元曲面的总压力向各坐标投影，把非平行力系变成各坐标方向的平行力系，按各坐标方向积分求和，再根据的总的各坐标分力确定流体对曲面的总压力。
以二向曲面（柱体曲面）为例（pp31图2-29）在曲面上任取一微元面dA，在xoz平面上的投影为曲线ab，它在液面下的深度为h，液体作用在微元面上的压力为dP，dP=YhdA，液体作用在微元面上的压力为dP，将其分解为：作用点：垂直分力Pz 通过压力体的重心m；水平分力Px 通过曲面投影面Ax的压力中心D。
总压力的作用线位于对称面上，通过两个分力作用线的交点O，且与曲面的交点D就是曲面压力P的压力中心。
4）压力体概念与垂直分力的方向压力体是一个体积，它是曲同与其在自由面上（或虚设自由面）上投影面之间的柱体体积，是一个纯数概念，与这个体积内是否充满液体无关。
相同的曲面，不同侧面有液体作用，压力体相等，作用在这两曲面上压力的垂直分力大小相等，但方向不同。
直接作用在曲面上的液体包含在压力体内，垂直分力方向向下，压力体称为实压力体（正压力体）；反之直接作用在曲面上的液体不包含在压力体内，垂直分力方向向上，此压力体为虚压力体。
5）空间曲面总压力曲二向曲面推导出总压力在水平和铅直方向上的分力计算公式，也可用于任意空间曲面。
多了另一个水平力P y ，其计算方法与P x 相同。
曲面总压力的y 方向分力P y 等于液体作用在曲面在该方向（y ）投影面A y 上的压力，即投影面积与投影面积形心压强的乘积。
为此，静止液体作用在任意曲面上的压力在水平面内某一方向的分力等于液体作用在曲面在该方向上投影面积上的压力，即投影面积与该投影面形处的静压强乘积。
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A 油 水 B B C A D E B C A
C
相等
A 油 水 B B C A D E B C A
C
1
§2-6 作用于曲面的液体压力
实际工程中有许多承受液体总压力的曲面， 主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油 罐和弧形阀门等。由于静止液体作用在曲面上各点 的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压 强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静 止液体的总压力的方法与平面不同。
7
A
压力体
曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积
实压力体
压力体充满液体
pa
O A B a
pa O A B b
pa O A B c
虚压力体
压力体中没有液体
静止液体作用在固体壁面上的总压力
这三个压力体的大小均为 VOAB.所以，对于同一曲面， 当液体深度不变，只是液体的相对位置不同时，压力 体与曲面的相对位置不同 ,但压力体的大小并不改变， 曲面所承受的垂直分力的大小也不变化，只是方向改 变而已。 8
A A A
hdA V
z A
p
为曲面a－b和自由液面或者其延 长面所包容的体积，称为用点
将上述总压力的两个分力合成，即得到液体作用在曲面上的总压力
Fp F F
2 px
2 pz
＝arctg
Fpx Fpz
6
压力体
压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分） 到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的 Vp hdAz 一块空间体积。它的计算式 是一个纯数学体积计算式。作用在曲面上的垂直 分力的大小等于压力体内液体的重量，并且与压 力体内是否充满液体无关。表示由两个形状、尺 寸和淹深完全相同的曲面所构成的容器，容器内 盛有某种液体。
(1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。 (2)水平分力的计算， P (3)确定压力体的体积。 (4)垂直分力的计算， Pz gVp方向由虚、实压力体确定。 (5)总压力的计算， P
x
。 ghc A x
Px2 Pz2 。
(6)总压力方向的确定，tg Px / P 。 z (7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。
静水总压力的作用点：ZD R sin 2 sin 29.68 1m
1.414
答：略。
13
例题：
对于底盖，由于在水平方向上压强分布对称， 所以流体静压强作用在底盖上的总压力的水平 分力为零。底盖上总压力的垂直分力
解
d 2 h d 3 Fpz1 gVp1 g H 4 2 12 0.52 0.53 9806 2.5 0.75 6579N 12 4
顶盖上的总压力的水平分 力也为零，垂直分力为
d 2 h d 3 Fpz 2 gVp 2 g H 2 12 4 0.52 0.53 9806 2.5 0.75 3049N 4 12
2
§2-6 作用于曲面的液体压力
静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序
(1)将总压力分解为水平分力Fx和垂直分力Fz。 (2)水平分力的计算。
(3)确定压力体的体积。
(4)垂直分力的计算，方向由虚、实压力体确定。 (5)总压力的计算。 (6)总压力方向的确定。 (7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。
复杂曲面的压力体，可以采用分段叠加的方法画出
g b c d
9
实压力体？ 虚压力体？
静止液体作用在固体壁面上的总压力
压力体应由下列周界面所围成：
（1）受压曲面本身 （2）自由液面或液面的延长面 （3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面 所作的铅垂平面
A
A
A
C
B
B
B 10
11
静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序：
静止液体作用在固体壁面上的总压力
14
侧盖上总压力的水平分力
Fpx 3 ghcx Ax gH
d 2
4
9806 2.5
0.52
4
4814N
侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部 分的压力体的合成，合成后的压力体即为侧盖包 容的半球体，所以侧盖上总压力的垂直分力
d 3 0.53 Fpz 3 g 9806 321N 12 12
（1）水平分力
Fpx dFpx ghdA x g hdA x
A A A
hdAx hcx Ax
A
曲面A在垂直于x轴的坐标平面内 的投影面积 Ax 对y的面积矩
hcx 为投影面积 Ax 的形心的淹深
5
Fpx ghcx Ax
（2）垂直分力
Fpz dFpz ghdA z g hdA z
静止液体作用在固体壁面上的总压力
15
根据上述水平分力和垂直分力可求得总压力的 大小和作用线的方向角
3
§2-6 作用于曲面的液体压力
有一承受液体压强的二维曲面，坐标系的z轴垂直向下
总压力 dFP ghdA
FP ghAc
4
总压力
dFP ghdA
dFpx dFp cos ghdAcos ghdA x
dFpz dFp sin ghdAsin ghdA z
12
【例题】一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角
φ=45°，半径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水 对闸门的静水总压力。
A
O φ ZD
解：闸门前水深为
h R sin 2 sin 45 1.414m
h D
α
B
R
水平分力： FPx pc Ax ghc Ax 9.8 1.414 4 39.19kN 2 1 1 2 铅直分力： FPz gV g ( R h h)b 22.34kN 8 2 2 2 静水总压力的大小： FP FPx FPz 45.11kN FPz arctan 29.68 静水总压力与水平方向的夹角： FPx