初等矩阵及酉矩阵
线性代数中的酉矩阵理论
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
初等矩阵及其性质
证明二：初等矩阵不改变向量间的线性关系
要点一
总结词
要点二
详细描述
初等矩阵不会改变向量间的线性关系，即对于任意向量组 ，经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得到，这些变换 都不会改变向量间的线性关系。因此，对于任意向量组， 经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
证明三：初等矩阵的行列式值不为零
总结词
初等矩阵的行列式值不为零，即对于任意一 个初等矩阵，其行列式值不为零。
详细描述
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得 到，这些变换都不会改变矩阵的行列式值。 因此，对于任意一个初等矩阵，其行列式值
用
矩阵的逆
通过初等矩阵的变换，可以求得一个可逆矩阵的逆矩阵，从而进行矩阵运算。
线性变换
在研究线性变换时，可以利用初等矩阵的变换，将线性变换表示为矩阵的形式，便于分析和理解。
04
初等矩阵的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
通过初等矩阵的行变换，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程 组。
证明一：初等矩阵是可逆的
总结词
详细描述
初等矩阵是可逆矩阵，即存在一个可逆矩阵， 使得初等矩阵与单位矩阵通过一系列的行变 换或列变换相互转化。
初等矩阵由单位矩阵通过互换两行或两列、 将某一行或某一列乘以非零常数以及将某一 行或某一列乘以另一行或另一列的非零倍数 得到。由于这些变换都是可逆的，因此初等 矩阵也是可逆的。
实例三：求矩阵的逆矩阵
总结词
利用初等矩阵的行变换性质，通过行变 换将可逆矩阵化为单位矩阵，从而求出 其逆矩阵。
VS
详细描述
对于可逆矩阵，可以通过初等矩阵的行变 换将其化为单位矩阵。在行变换过程中， 原矩阵左边的矩阵即为所求的逆矩阵。这 种方法称为高斯消元法，适用于求解可逆 矩阵的逆矩阵。
酉矩阵——精选推荐
酉矩阵
1.酉矩阵（unitary matrix）定义 若n阶复矩阵A满足 AHA=AAH=E 则称A为酉矩阵，记之为A∈UN×N。其中，AH是A的共轭转置。
2.性质 如果A是酉矩阵 (1)A−1=AH (2)A−1也是酉矩阵； (3)det(A)=1; （det表示矩阵的行列式） (4)充分条件是它的n每个元素aij取共轭得bij，将新得到的由bij组成的新m*n型矩阵记为矩阵B，再对矩阵B作普通转置得到BT，即为A的共轭转置矩 阵：BT=AH
对于矩阵部分的内容在深度学习（花书）第二章线性代数中有一些介绍，如果遇到问题可以在第二章进行寻找。
各种矩阵
等价矩阵线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。
假设有两个的矩阵，记作A和B。
它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：的矩阵P以及的矩阵Q，使得相似关系有所不同。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。
但是，等价的矩阵不一定是相似的。
首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。
其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。
性质等价关系。
两个矩阵等价当且仅当：其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
它们有相同的秩。
参见相似矩阵合同矩阵这是与数学相关的小作品。
你可以通过编辑或修订扩充其内容。
相似矩阵线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。
两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：或矩阵A与B之间的相似变换矩阵。
相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。
严格定义域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L 的n×n的可逆矩阵P，使得：矩阵A与B“相似”。
B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。
术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。
性质等价关系，也就是说满足：1反身性：任意矩阵都与其自身相似。
2对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。
子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L 上相似。
这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。
置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。
酉矩阵通用表达式
酉矩阵通用表达式
酉矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
它是一个特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
酉矩阵的定义和性质可以用以下通用表达式来描述：
设A是一个n阶复数方阵，如果满足以下条件：
1. A的共轭转置矩阵等于A的逆矩阵，即A* = A^(-1)；
2. A的每个元素的模的平方之和等于1，即对于任意的i和j，|A(i,j)|^2 + |A(i+1,j)|^2 + ... + |A(n,j)|^2 = 1，其中|A(i,j)|表示A的第i 行第j列元素的模。
则称A为酉矩阵。
酉矩阵具有许多重要的性质和特征，下面将对其中一些进行介绍。
酉矩阵是一个幺正矩阵。
幺正矩阵是指满足A*A = I的方阵，其中I 是单位矩阵。
这意味着酉矩阵的共轭转置矩阵和它本身的乘积等于单位矩阵。
酉矩阵保持向量的内积不变。
对于任意的复数列向量x和y，如果A是一个酉矩阵，则有(x,y) = (Ax,Ay)，其中(x,y)表示x和y的内积。
这个性质在量子力学中有重要的应用。
酉矩阵的特征值都具有模长为1的性质。
对于酉矩阵A，它的特征值λ满足|λ| = 1。
这意味着酉矩阵的特征值总是在单位圆上。
酉矩阵是可逆的。
由于酉矩阵的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵，所以酉矩阵是可逆的。
这个性质在矩阵求逆的计算中是非常有用的。
酉矩阵是一类具有特殊性质和特征的方阵。
它在许多领域中都有广泛的应用，特别是在量子力学中。
通过上述通用表达式的描述，我们可以更好地理解和应用酉矩阵的各种性质和特征。
初等矩阵定理
初等矩阵定理初等矩阵定理是线性代数中的一个基本定理，它描述了矩阵的初等变换与矩阵的乘法之间的联系。
在本文中，我们将探讨初等矩阵定理的原理和应用，以及它在解线性方程组和计算矩阵的逆等问题中的重要性。
初等矩阵是一种特殊的方阵，它通过对单位矩阵进行一次初等变换而得到。
初等变换包括三种类型：交换矩阵的两行或两列、将某行或某列乘以一个非零常数、将某行或某列的倍数加到另一行或另一列。
初等矩阵的定义是，除了对角线上的元素为1之外，其余元素都为0。
根据初等矩阵的定义，我们可以将初等变换表示为矩阵的乘法。
初等矩阵定理的核心思想是，对于任意一个矩阵A，我们可以通过对A进行一系列的初等变换得到一个对角矩阵D，同时也可以通过对单位矩阵进行相同的初等变换得到一个初等矩阵E。
因此，矩阵A可以表示为矩阵E的逆矩阵乘以矩阵D的乘积，即A=ED。
初等矩阵定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来解线性方程组。
对于一个线性方程组Ax=b，我们可以将其表示为矩阵形式，即AX=B，其中X和B分别表示未知数和常数向量。
通过对系数矩阵A进行初等行变换，我们可以将其化为一个对角矩阵D，同时对常数向量B进行相同的初等行变换。
这样，原方程组可以转化为一个对角线方程组DX=E·B，其中E是初等矩阵。
由于对角线方程组的求解较为简单，我们可以通过初等矩阵定理来求解原线性方程组的解。
初等矩阵定理还可以用来计算矩阵的逆。
对于一个可逆矩阵A，我们可以通过对A进行一系列的初等行变换，将其化为一个单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等行变换得到一个初等矩阵E。
这样，我们可以得到矩阵A的逆矩阵A的求解过程可以通过初等矩阵定理来简化。
除了解线性方程组和计算矩阵的逆之外，初等矩阵定理还可以用来证明矩阵的性质。
例如，我们可以通过初等矩阵定理来证明矩阵的行秩和列秩相等，以及矩阵的秩等于它的非零特征值的个数等。
初等矩阵定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了矩阵的初等变换与矩阵的乘法之间的联系。
酉矩阵的应用 -回复
酉矩阵的应用-回复酉矩阵的应用是一项广泛而重要的数学领域，它在各个学科中都有着广泛的应用。
本文将逐步阐述酉矩阵的概念、性质和应用，并介绍一些相关的实际应用案例。
首先，我们来了解什么是酉矩阵。
酉矩阵是指一个复数域上的方阵，其共轭转置等于其逆矩阵。
换句话说，一个方阵U是酉矩阵，当且仅当U的共轭转置矩阵U*满足以下条件：U*U=UU*=I，其中I是一个单位矩阵。
接下来，我们来详细探讨酉矩阵的性质。
首先，酉矩阵的行列式的模长等于1，即det(U) =1。
其次，酉矩阵的特征值具有单位模长，即酉矩阵U 的特征值λ满足λ=1。
此外，酉矩阵的特征向量正交归一，即酉矩阵U 的特征向量对应于不同特征值的特征向量是正交且归一的。
最后，酉矩阵可以分解为单位模长的特征向量与特征矩阵的乘积，即U=VDV*，其中V 是酉矩阵的特征向量组成的酉矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是酉矩阵U的特征值。
接下来，我们来看一些酉矩阵的应用案例。
首先，酉矩阵在量子力学中起着重要的作用。
量子力学是研究微观领域中粒子的行为和相互作用的理论框架，而酉矩阵则是描述量子力学系统中的态演化的数学工具。
量子态的演化可以用酉矩阵来表示，而量子测量可以通过酉矩阵的特征向量和特征值来描述。
其次，酉矩阵在信号处理中也有广泛应用。
例如，在正交频分复用系统中，酉矩阵可以用来进行信号的正交化处理，从而实现多个信号的同时传输。
在多输入多输出（MIMO）系统中，酉矩阵可以用来进行信号的空间预编码和信号的空间解码，从而提高系统的信号传输速率和可靠性。
此外，酉矩阵还在图像处理和机器学习等领域中广泛应用。
在图像处理中，酉矩阵可以用来进行图像的变换和压缩。
在机器学习中，酉矩阵可以用来进行特征提取和数据降维，从而改善机器学习算法的性能。
总之，酉矩阵的应用十分广泛，涉及到数学、物理、工程等多个学科领域。
通过了解酉矩阵的概念、性质和应用，我们可以更好地理解和应用酉矩阵，发挥其在各个领域的作用。
初等矩阵概念
初等矩阵概念
初等矩阵是指一个由相同元素组成的矩阵,这些元素都是 0 或 1。
在数学和计算机科学中,初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,如加法、乘法、交换律和结合律等。
初等矩阵可以看作是一个特殊的矩阵,它有一个唯一的特征值,即它的行列式为零。
因此,初等矩阵的行数等于列数,即 $n$ 行 $n$ 列。
在数学和计算机科学中,初等矩阵通常用于矩阵乘法的实现,如矩阵和向量的加法和乘法。
除了初等矩阵之外,还有一些其他的矩阵类型,包括高等矩阵、单位矩阵、对角矩阵等。
高等矩阵是一种比初等矩阵更复杂的矩阵类型,它可以用来表示一些更复杂的矩阵运算。
单位矩阵是一种具有特殊性质的矩阵,它的行数等于列数,并且每行和每列的元素都相等。
对角矩阵是一种具有对角线的矩阵类型,它可以用来表示线性方程组和矩阵的对角化。
在数学和计算机科学中,矩阵是一种非常常见的数学工具,可以用来表示和处理各种数据类型。
矩阵的运算包括加法、乘法、交换律和结合律等,这些运算可以用来解决各种数学和计算机科学问题。
初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,同时也有其他特殊的矩阵类型,这些矩阵类型可以用来表示更复杂的矩阵运算。
初等矩阵及酉矩阵
返回
( H (u) x, H (u) y) ( x, y) H (u) x ( H (u ) x, H (u) x) ( x, x) x H (u ) x x
2 2
<1> Householder变换不仅适用于常数向量，也适用于 随机向量. 它能够保持随机向量的协方差（即二阶统 计 量不变）. <2> Householder变换的范数（或协方差）不变性是几 乎所有Householder变换的关键.
返回
三.初等酉阵(Householder变换)
H (u) E (u,u; 2) E 2uu H , (u H u 1)
(1) H (u)H H (u) H (u)1
Байду номын сангаас
(2) H (u)(a ru) a ru,a u ,r C (镜象变换)
返回
(3)Householder变化的特性
§1.6 初等矩阵及酉矩阵
一、初等矩阵的一般形式
n 定义 1 设u,v C , C , 则称 E (u,v , )=E uv H 为初等矩阵 .
1.初等矩阵的特征向量(u,v 0 , 0).
(1) u v ,设u1 , ,un1是v 的一组基 ,它们也是E( u,v , )的 n 1个线性无关的特征向量. (2) u v ,设u1 , ,un1是v 的一组基 , 则u,u1 , ,un1
是E( u,v , )的n个线性无关的特征向量.
返回
2.初等矩阵的特征值
(E(u,v , ))={1,1, ,1,1 v u} 3.det (E (u,v , ))=1 v H u 1 4. E( u,v, ) E( u,v, H ),(1 v H u 0) v u1
矩阵理论基本知识
矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。
酉矩阵概念及性质
酉矩阵概念及性质
酉矩阵是在线性代数研究中分析及其他研究，例如信号处理，系统设计等，有着重要地位
的一种矩阵类型。
它的定义是一个极大的可操作的长方形矩阵，它的主要特性是行数和列
数均为偶数，它可以在特定的坐标系中被定义。
酉矩阵有一系列特定的性质。
首先，偏移矩阵是主对角线上元素零化的矩阵，即主对角线
上元素均为零。
第二，它可以被分解为两个子矩阵及其相反的对角矩阵的乘积。
第三，它
的乘积可以在它的状态空间中表示。
第四，它的元素、行列式以及其他属性可以通过两个子矩阵及它们的对角矩阵求得。
第五，它能够完全表达当前变量之间的线性关系。
酉矩阵在许多学科中都被广泛应用，特别是在生物技术、电气工程、物理、传感器工程、
信号处理等领域都有着重要的地位。
它被广泛应用于传感器技术，为传感器系统提供了可
靠的方案，从而促进了传感器技术的发展和应用。
在信号处理的应用中，酉矩阵可以用来
分析和处理信号，从而获得更准确的结果。
系统设计中，它可以用来估算系统改进后的性能，以及评估系统变化对系统性能的影响。
总之，酉矩阵是一种重要的矩阵类型，因其自身的特殊性质，在众多学科的应用中发挥着
重要的作用，它的应用不仅有利于提高系统的可靠性和性能，而且还有利于更深入研究系
统的运作原理，充分发挥其应用价值。
酉矩阵——精选推荐
⾣矩阵将学习到什么这⼀节介绍⼀类⾮常特殊且⾮常重要的矩阵，⾣矩阵。
并简单介绍了⼀些性质。
⼊门知识先给定义可以看到，如果把矩阵定义域限定在实数域，⾣矩阵就叫实正交矩阵啦。
这只是“官⽅定义”，它还有很多等价说法，列出来 证明：(a)~(f) 都没什么好说的，说⼀下最后⼀个 (g). 如果说U是⾣矩阵，令y=Ux，那么y∗y=x∗U∗Ux=x∗Ix=x∗x, 即‖x‖2=‖Ux‖2. 反过来，我们设U∗U=A=[a ij],取x=z+w，其中z,w∈C n, 则x∗x=z∗z+w∗w+2Re z∗w, 且y∗y=x∗Ax=z∗Az+w∗Aw+2Re z∗Aw. 由‖x‖2=‖Ux‖2可知z∗z=z∗Az以及w∗w=w∗Aw, 从⽽对任意的z与w有Re z∗w=Re z∗Aw. 取z=e p以及w=i e q, 并计算 Re i e T p e q=0=Re i e T p Ae q=Re i a pq=−im a pq, 即虚部全为零，则A的每个元素都是实的。
再取z=e p以及w=e q, 计算e T p e q=Re e T p e q=Re e T p Ae q=a pq, 这告诉我们有A=I, 则证明了U是⾣矩阵。
上个定理中的 (g) 中的条件有个定义那么就是说，复⽅阵U∈M n是 Euclid 等距的，当且仅当它是⾣矩阵。
下⾯给出⼀个简单结论 证明：(UV)∗(UV)=V∗U∗UV=V∗V=I, 所以UV是⾣矩阵。
可见⾣矩阵相乘还是⾣矩阵。
其实⾣矩阵的集合构成⼀个群。
这个群称为n×n⾣群，对应实数域中的实正交群。
群是对单独⼀个满⾜结合律的⼆元运算封闭的集合，且在此集合中含有该运算的恒等元以及逆元，对⾣矩阵来说，其相乘仍是⾣矩阵，所以对乘法运算封闭，乘法显然是可结合的，⾣群的恒等元是I, 其逆元仍是⾣矩阵，即U−1=U∗.深⼊⼀点⾣矩阵U∈M n的每⼀列或者每⼀⾏的 Euclid 范数都是 1，因⽽U=[u ij] 中没有任何元素有绝对值⼤于 1. 如果我们把⾣群看作是] 是⾣矩阵组成的⼀个⽆限序列（k=1,2,⋯）, 使得对所有C n2的⼀个⼦集，这就是说是它的⼀个⼦集；如果U k=[u(k)iji,j=1,2,⋯,n都有lim, 那么由恒等式U_k^*U_k=I, k=1,2,\cdots，我们就看出\lim\limits_{k\rightarrow\infty}U_k^*U_k=U^*U=I, 其中U=[u_{ij}]. 于是，极限矩阵U也是⾣矩阵. 也就是说，⾣矩阵的集合是\mathbb{C}^{n^2}的封闭⼦集. 学过泛函的都知道有限维的有界闭集是⼀个紧集，所以我们可以说M_n中⾣群是紧的. 由这个结论可推出关于⾣矩阵的选择原理. 证明：紧集中必存在收敛的⽆限⼦序列于⾃⾝的某个元素。
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⾣矩阵正交矩阵、正规矩阵和⾣矩阵在数学中，正规矩阵是与⾃⼰的共轭转置交换的复系数⽅块矩阵，也就是说，满⾜其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对⾓化的⼀个简便⽅法：任意正规矩阵都可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵，反过来所有可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的⾣矩阵、埃尔⽶特矩阵和斜埃尔⽶特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不⼀定是正规矩阵⾣矩阵n阶复⽅阵U的n个列向量是U空间的⼀个标准正交基，则U是⾣矩阵(Unitary Matrix)。
⼀个简单的充分必要判别准则是：⽅阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是⾣矩阵。
即⾣矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
⾣⽅阵在量⼦⼒学中有着重要的应⽤。
⾣等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若⼀ n ⾏ n 列的复矩阵U满⾜其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为⾣矩阵或译⼳正矩阵。
即，矩阵U为⾣矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若⾣矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，⼳正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶⽅阵，则下列条件等价：1.是⾣矩阵2.是⾣矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的⼀组正交基4.的⾏向量构成内积空间C n上的⼀组正交基⾣矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平⾯的单位圆上，因此⾣矩阵⾏列式的值也为1。
⾣矩阵是正规矩阵，由谱定理知，⼳正⾣矩阵U可被分解为其中V是⾣矩阵，Σ是主对⾓线上元素绝对值为1的对⾓阵。
对任意n，所有n阶⾣矩阵的集合关于矩阵乘法构成⼀个群。
性质U可逆U 1 = U*|det(U)| = 1U*是⾣矩阵正交变换最初来⾃于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部运动的动能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,由⼒常数的数学表达式可以知道fij = fji因⽽矩阵为⼀个正交变换通过⾣变换可以把矩阵变形成为对⾓矩阵的形式：。
酉矩阵unitarymatrix
酉矩阵unitarymatrix
所谓的酉矩阵（Unitary Matrix ），是指其具有如下性质
I =ΦΦH
其中的上标H 表示共轭转置，也即
()T
H *ΦΦ=
所谓的共轭转置其实就是熟悉的转置运算推广到复数域。
当然在这个推广过程中，最重要的物理性质得以保留。
这个保留的意思解释如下。
譬如在实数情况下，两个实数向量之间的内积定义为∑=i i i y x y x ,
而向量的长度则为
x x x ,2=
而两个向量为正交是说这两个向量的内积等于0. 那么，推广到复数域，内积要推广为
∑==i
i i H w v *,w v w v
这样才能保证内积与长度的关系还是
v v v ,2=
回到最前面，很显然，所谓矩阵是unitary 的，无非是说其不同列之间是正交的，而且每一列具有单位长度。
可以证明，酉矩阵是保持长度或者说保持范数的，也即
()()()22z z z z z z z z z z =====H H H H H H ΦΦΦΦΦΦΦ。
初等矩阵的概念
而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为:
1 0 0
1 0 0
1 0 0
P1 0 0 1, P2 0 1 0, P3 0 1 0 ,
0 1 0
2 0 1
0 0 1
1 0 0
P4 0 1 0 .
0 0 1
由初等方阵的性质得
1
1
0
1
0
0
,
0
0
1
1
0 0 0 1
A* 2A1,
故
n
Aij
i , j1
2[1 (n 1) (n 1)] 1. 2
练习 求解矩阵方程 AX A X , 其中
2 2 0
A
2 0
1 1
3 0
三、小结
一次初等变换
1. 单位矩阵
初等矩阵.
2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:
即
(A B)
初等行变换
E A1B
例２ 求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
4 3
解 若 A 可逆，则 X A1B.
1 2 3 2 5 (A B) 2 2 1 3 1
3 4 3 4 3
r2 2r1 1 2 3 2 5 0 2 5 1 9
第
i
行
amn
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 (ri k)；
类似地，以 En(i(k)) 右乘 矩阵 A，其结果 相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci k).
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
矩阵分析 酉矩阵
第一题正交矩阵定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。
n阶正交矩阵的集合记为。
1.正交矩阵与运算的关系1.1.和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵。
如：取,则，但，所以。
但若又取,；则=。
1.2.伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它本身是正交矩阵。
(充分性) 若是正交矩阵，则可逆，且也是正交矩阵，而，又因为，所以是正交矩阵。
(必要性) 反之若是实矩阵且是正交矩阵，则可逆，于是可逆。
由于,故，又由于，故，由得，所以也是正交矩阵。
1.3对角化：若为正交矩阵且有n 个特征值，则正交相似于对角矩阵因为由3（３）的推论，对任意的正交矩阵，有正交矩阵为上三角矩阵，由于都是正交矩阵，所以也是正交矩阵，而，所以，是上三角的，而是下三角的，所以为对角矩阵；又因为这个根据3（２）的证明，这个正交矩阵一定是对称的，所以再根据3（５）1的证明且正交矩阵的特征值为，可得正交相似于不过在附录中正交矩阵与（反）对称矩阵关系的讨论中我们可以发现一个正交矩阵可找到另一个正交矩阵，使这个正交矩阵化为准对角形式，而且这个命题的逆方向也是正确的，即若能找到另一个正交矩阵，使某个矩阵化为准对角形式，则这个矩阵是正交矩阵！1.4.与对称矩阵：设，则的充分必要条件是,是一个对角矩阵。
（充分性）。
（必要性）由3（３）的推论，是上三角矩阵，在两边加转置，可得，是下三角矩阵，所以是对角的，不仅对角化，还可以化到以特征值为对角元的对角矩阵，因为对称变换中不同特征值对应的特征向量必正交。
酉矩阵定义：若一行列的复数矩阵满足：其中，为的共轭转置，为阶单位矩阵，则称为酉矩阵。
2A Hadamard matrix of order n is an n×n matrix with elements in {+1,−1} such that HHT = nIn where HT is the transpose of H and In is the identity matrix of order n. This class of matrices are useful in many practical applications. Q1 Does Hadamard matrix exist for anyorder? Please list a Hadarmard matrix of order n with n ≤20 if such a matrix exists. Q2 Design two Hadamard matrices H = [h1,h2,···,hn] and G = [g1,g2,···,gn] of order n = 2m (where m is odd) such that •{h1,h2,···,hn/2} is orthogonal to {g1,g2,···阿达玛矩阵的顺序是一个n×n矩阵元素{ + 1−1 },遗传性出血性毛细血管扩张症=外祖母在HT的转置H和n阶单位矩阵。
初等矩阵(高等代数课件)
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 P (i , j ) 1
1
0
1 1
1
第i 行
第 j 行
1
0
1
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2、以数 k 0 乘某行或某列
3) n 级方阵A可逆
Ps AQ1Q2
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) 定理6
n 级方阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积,
§4.6 初等矩阵
即 A Q1Q2
Qt .
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ . 由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
r2 r3 , c1 2c3 ,
1r3 , 1c3
P (i , j ) A :
对换 A 的 i , j 两行；
AP ( i , j ): 对换 A 的 i , j 两列． P ( i ( k )) A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AP ( i ( k )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列． P ( i , j ( k )) A ： A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ; AP ( i , j ( k )) ：A的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
§4.6 初等矩阵
A 如果要求Y CA , 则可对矩阵 作初等列变换， C A 列变换 E 1 , 即可得 Y CA1 . C CA
1
也可改为对( AT , C T ) 作初等行变换， （A , C )
研究生矩阵论复习提纲(全)
1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。
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2 2
<1> Householder变换不仅适用于常数向量，也适用于 随机向量. 它能够保持随机向量的协方差（即二阶统 计 量不变）. <2> Householder变换的范数（或协方差）不变性是几 乎所有Householder变换的关键.
<3> Householder变换最典型的应用是在数值算法中构 造正交基，使得数值问题变成一种容易求解的形式.
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H
5.非零向量a ,b C n ,存在u,v , , 使得 ab E( u,v , )a b,( u H ). v a
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6.初等变换矩阵
Eij E (ei e j )(ei e j )T E (ei e j ,ei e j ,1)
Eij (k ) E ke j ei E (e j ,ei , k )
§1.6 初等矩阵及酉矩阵
一、初等矩阵的一般形式
n 定义 1 设u,v C , C , 则称 E (u,v , )=E uv H 为初等矩阵 .
1.初等矩阵的特征向量(u,v 0 , 0).
(1) u v , 设u1 , ,un1是v 的一组基 , 它们也是E( u,v , )的 n 1个线性无关的特征向量. (2) u v , 设u1 , ,un1是v 的一组基 , 则u,u1 , ,un1
Ei (k ) E (1 k )ei ei E (ei ,ei ,1 k )
T
T
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二、初等下三角矩阵
1 1 Li (li ) E (li , ei ,1) , li 1,i 1 l 1 n , i li (0, , 0, li 1,i , , ln ,i )T 其中 T e (0, , 0,1, 0, , 0) i ak ,i a k ,i 0(k i 1,, n). lk ,i (k i 1,, n), E (li , ei ,1) A A ai ,i
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三.初等酉阵(Householder变换)
H (u) E (u,u; 2) E 2uu H , (u H u 1)
(1) H (u)H H (u) H (u)1
(2) H (u)(a ru) a ru,a u ,r C (镜象变换)
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(3)Householder变化的特性
是E( u,v , )的n个线性无关的特征向量.
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2.初等矩阵的特征值
(E(u,v , ))={1,1, ,1,1 v u} 3.det (E (u,v , ))=1 v H u 1 4. E( u,v, ) E( u,v, H ), (1 v H u 0) v u1