断裂力学第四章
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断裂韧性
。 即将因失稳扩展而断裂，所对应的 平均应力为 σc；对应的裂纹尺寸为 ac GI≥GIC 裂纹失稳扩展条件，即G判据。
GⅠc
(1 −ν )πacσ c = E
2
2
4 GIC与KIC的关系 与 的关系 尽管GI和KI的表达式不同，但它们都是 应力和裂纹尺寸的复合力学参量，其间 互有联系，如具有穿透裂纹的无限大板，
σ y = σ x = τ = 0 xy k1 2πr
2、应力场强度因子KI 、应力场强度因子 由上述裂纹尖端应力场可知，裂纹尖端区域各 点的应力分量除了决定其位置(γ,θ)外,还与强 度因子KⅠ有关, 对于确定的一点,其应力分量 就由KⅠ决定. KI可以反映应力场的强弱，称之 为应力场强度因子。 通式： a—1/2裂纹长度； Y—裂纹形状系数（无量纲量）；一般Y=1~2
此时，物理意义：GI为裂纹扩展单位长 度时系统势能的变化，又称，GI为裂纹 扩展力 裂纹可在恒位移或恒载荷下扩展。 恒位移——应力变化，位移速度不变； 恒载荷——应力不变，位移速度变化 在恒位移条件下导出格雷菲斯公式： 平面应力：
2 2 ∂Ue ∂ πσa2 πσa2 G = =− (− )= Ⅰ E ∂(2a)δ ∂(2a) E
1 ∂U JⅠ = GⅠ = − ( ) B ∂a
这是测定JI的理论基础 这是测定 的理论基础
2. 几何意义 设有两个外形尺寸相同， 设有两个外形尺寸相同， 但裂纹长度不同（ ， 但裂纹长度不同（a， a+△a），分别在作用 ），分别在作用 △ ）， 力（p，p+△p）作用 ， △ ） 下，发生相同的位移 δ。 。 将两条P—δ曲线重在 将两条 曲线重在 一个图上U1=OAC 一个图上 U2=OBC两者之差 两者之差 △U= U1- U2=OAB 则 物理意义为： 积分的形 物理意义为：J积分的形 变功差率
第四章 材料的断裂性能
28பைடு நூலகம்
第四章 材料的断裂韧性
➢对于陶瓷材料和复合材料，目前常利用适当的 第二相提高其断裂韧度，第二相可以是添加的， 也可以是在成型时自蔓延生成的。 ➢如在SiC、SiN陶瓷中添加碳纤维，或加入非晶 碳，烧结时自蔓延生成碳晶须，可以使断裂韧度 提高。
29
第四章 材料的断裂韧性
4．显微组织的影响 ✓显微组织的类型和亚结构将影响材料的断裂韧度。如钢 铁材料中，相同强度条件下，低碳钢中的回火马氏体的断 裂韧度高于贝氏体，而在高碳钢中，回火马氏体的断裂韧 度高于上贝氏体，但低于下贝氏体。 ✓这是由于低碳钢中，回火马氏体呈板条状，而高碳钢中， 回火马氏体呈针状，上贝氏体由贝氏体铁素体和片层间断 续分布的碳化物组成，下贝氏体由贝氏体铁素体和其中弥 散分布的碳化物组成。
3
第四章 材料的断裂韧性
经典的强度理论是在不考虑裂纹的萌生和扩展的条 件下进行强度计算的，认为断裂是瞬时发生的。 实际上无论哪种断裂都有裂纹萌生、扩展直至断裂 的过程，因此，断裂在很大程度上决定于裂纹萌生抗 力和扩展抗力，而不是总决定于用断面尺寸计算的名 义断裂应力和断裂应变。 显然，需要发展新的强度理论，解决低应力脆断的 问题。 断裂力学正是在这种背景下发展起来的一门新兴断 裂强度科学。
33
第四章 材料的断裂韧性
2. 超高温淬火 对于中碳合金结构钢，采用超高温淬火，虽然奥氏
体晶粒显著粗化，塑性和冲击吸收功降低，但断裂韧 度提高。
第四章 材料的断裂韧性
根据应力场强度因子KⅠ和断裂韧度KⅠc的相对大 小，可以建立裂纹失稳扩展脆断的断裂K判据，即
KI≥K1c 裂纹体在受力时，只要满足上述条件，就会发生脆 性断裂。反之，即使存在裂纹，也不会发生断裂，这 种情况称为破损安全。
第四章 材料的断裂韧性
➢对于陶瓷材料和复合材料，目前常利用适当的 第二相提高其断裂韧度，第二相可以是添加的， 也可以是在成型时自蔓延生成的。 ➢如在SiC、SiN陶瓷中添加碳纤维，或加入非晶 碳，烧结时自蔓延生成碳晶须，可以使断裂韧度 提高。
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第四章 材料的断裂韧性
4．显微组织的影响 ✓显微组织的类型和亚结构将影响材料的断裂韧度。如钢 铁材料中，相同强度条件下，低碳钢中的回火马氏体的断 裂韧度高于贝氏体，而在高碳钢中，回火马氏体的断裂韧 度高于上贝氏体，但低于下贝氏体。 ✓这是由于低碳钢中，回火马氏体呈板条状，而高碳钢中， 回火马氏体呈针状，上贝氏体由贝氏体铁素体和片层间断 续分布的碳化物组成，下贝氏体由贝氏体铁素体和其中弥 散分布的碳化物组成。
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第四章 材料的断裂韧性
经典的强度理论是在不考虑裂纹的萌生和扩展的条 件下进行强度计算的，认为断裂是瞬时发生的。 实际上无论哪种断裂都有裂纹萌生、扩展直至断裂 的过程，因此，断裂在很大程度上决定于裂纹萌生抗 力和扩展抗力，而不是总决定于用断面尺寸计算的名 义断裂应力和断裂应变。 显然，需要发展新的强度理论，解决低应力脆断的 问题。 断裂力学正是在这种背景下发展起来的一门新兴断 裂强度科学。
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第四章 材料的断裂韧性
2. 超高温淬火 对于中碳合金结构钢，采用超高温淬火，虽然奥氏
体晶粒显著粗化，塑性和冲击吸收功降低，但断裂韧 度提高。
第四章 材料的断裂韧性
根据应力场强度因子KⅠ和断裂韧度KⅠc的相对大 小，可以建立裂纹失稳扩展脆断的断裂K判据，即
KI≥K1c 裂纹体在受力时，只要满足上述条件，就会发生脆 性断裂。反之，即使存在裂纹，也不会发生断裂，这 种情况称为破损安全。
工程断裂力学第四章(矿大)new
载荷与位移之间的线性关系不再成立，这时属于弹塑
性断裂力学的范围。
柔度法一般应用于恒载荷时平板的I型裂纹问题， 要求裂纹前沿整齐，有相同的能量释放率。整个应力 强度因子标定的步骤如下∶
(1) 选定一标准试件－长条板单边裂纹试件，用薄刀片加
工，制成长为a1的I型裂纹。然后材料试验机上拉伸， 画出拉力和加载点位移关系线。此时关系应是线性的。
式表示的曲线。
a a 2 a 3 a 4 BEC b0 b1 ( ) b2 ( ) b3 ( ) b4 ( ) h h h h
U P 2 C G 2 B a Ba P
GB 2 Eh 1 a a 2 a 3 [b1 2b2 ( ) 3b3 ( ) 4b4 ( ) ] 2 2 h h h P
(fracture process zone)。
K场区
在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场
时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端 的小区域内，此区域称为K场区。K场区内的应
力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外
则须加上高次项。
关于K场区和断裂过程区
如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算
应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端
dU G dA p
这是恒载荷时的能量释放率表达式。 柔度法一般限制在二维问题，尤其是I型裂纹，柔度法通常用来做应 力强度因子的标定
恒载荷柔度法
一块很长的矩形板，板厚为B，板下边固定，上边某点 有拉力P，载荷点位移为δ。拉力P方向垂直裂纹面。在 裂长为a时，拉力P可产生位移δ(a)，当裂纹增至
1 c P c C 1 c2 C 1 dU 2 G ( ) c ( ) Ba 2 B a 2 B a dA
材料力学性能-第四章-金属的断裂韧度(4)
公式进行判断：
ac
0.25
KIC
2
2021年10月21日 星期四
第四章 金属的断裂韧度
1、高强度钢的脆断倾向 这类钢的强度很高，0.2≥1400MPa，主要用于航 空航天，工作应力较大，但断裂韧度较低，如18Ni马 氏体时效钢，0.2=1700MPa，KIC=78MPa·m1/2，若工 作应力=1250MPa时，利用上述公式可得ac=1mm，这 样小的裂纹在机件焊接过程中很容易产生，用无损检 测方法也容易漏检，所以此类机件脆断几率很大，因 此在选材时在保证不塑性失稳的前提下，尽量选用0.2 较低而KIC较高的材料。
B工艺：/0.2=1400/2100=0.67<0.7，故不必考虑
塑性区修正问题。由公式 KIC YcB a
可得： cB
1 Y
KIC a
Φ 1.1
KIC
a
1.273
47
1.1 3.14 0.001
971MPa
与其工作应力=1400MPa相比， cB< ，即工
作时会产生破裂，说明B工艺是不合格的，这和
2021年10月21日 星期四
第四章 金属的断裂韧度
其0.2=1800MPa，KIC=62MPa·m1/2，焊接后发现焊缝
中有纵向半椭圆裂纹，尺寸为2c=6mm，a=0.9mm，
试问该容器能否在p=6MPa的压力下正常工作？
t
D
解：根据材料力学理 论可以确定该裂纹受 到的垂直拉应力：
pD 61.5 900MPa
趋于缓和，断裂机理不再发生
变化。
2021年10月21日 星期四
第四章 金属的断裂韧度
7.应变速率：应变速率έ具有 KIC
与温度相似的效应。增加έ相 当于降低温度，使KIC下降，
第4章裂尖塑性区
断裂力学电子教案
§4-2 裂纹尖端塑性区尺寸
设材料是弹性理想塑性 体。在裂纹延长线 θ = 0 上 ，
σy =
KI 2πr
离裂纹越近， 值越大， 离裂纹越近， y 值越大， σ
断裂力学电子教案
当 r = r0 从而 σ y =
KI 2πr0
等于屈服应力 σ S 时，
材料就屈服。所以由： 材料就屈服。所以由： KI σy = =σS 2πr0 就可以定出屈服区在裂纹延长线（ 就可以定出屈服区在裂纹延长线（X轴）上的塑性 区尺寸 r0 为：
θ1 = θ = θ 2 = 0 r1 → r , r → r + a, r2 → r + 2a
断裂力学电子教案
σy
KI
a σ πa = = =σ 2r 2πr 2πr KI
σy
EX
=
σr
r1 r2
=
σ (r + a)
r ( r + 2a )
近似解与精确解的相对误差为： 近似解与精确解的相对误差为：
断裂力学电子教案
r 三种试样误差随 变化而变化的情况如图 a
断裂力学电子教案
r 从图可见， 从图可见，当弯曲试样 = 6% ，紧凑拉 伸试样 = 7% 。 工程上就规定 r ≤ 0.02 ，这样能保证紧凑拉伸 和三点弯曲试样用 K 来描述时其精度在93%以上。 来描述时其精度在93%以上。 93%以上 能用单参数 K I 描述的应力应变场区域称为
2
2
由 K 控制区上界不能小于下界的条件有
1 6π KΙ ≤ 0.02a σ s
此即 K 控制条件
a ≥ 2.5(
σS
KI
)2
σ
材料力学性能 (4)
3、KI 裂纹扩展的动力，、a都是加剧应力场的因素
4、 K Y a
2 E a 2 E a
材料本质属性
？
裂纹扩展的抗力 ？
4.4.4 断裂判据
随着应力
或裂纹尺寸a的增大，KI因子不断增大。当KI因子增大到临界
KI = KIC
值KIC时，裂纹开始失稳扩展，用KIC表示材料对裂纹扩展的阻力，称为平 面应变断裂韧度（性）。因此，裂纹体断裂判据可表示为：
/2
0
m sin
dx
m
= 2
m 2 /
a0为平衡状态时原子间距
√
材料在低应力作用下应该是弹性的，在这一条件下sinx≈x ；同时，曲线开始部分近似 为直线，服从虎克定律，有 Ex / a
m sin
2x
=
2x m
Ex a0
2 m
ij
当 r<<a, θ →0 时，
KI f ij ( ) 1/ 2 (2r )
f ij ( ) 1
ij 0
根据弹性力学，裂纹尖端O点的应力
0
= 2
a/
裂纹尖端的曲率
K I 0 2r 2 a
2r Y
a
裂纹形状系数，与裂纹形式、试件几何形状有关
K I a K IC
可用测定的断裂韧性求断裂应力和临界裂纹尺寸：
c
K IC
a
ac
K 2 IC
2
、G、 K
容易理解 容易测量
G1 G1C
K1 K1C
（能量平衡观点讨论断裂） （裂纹尖端应力场讨论断裂） （应力-屈服强度比较讨论断裂）
第四章 材料的断裂韧性
3. KI的修正 裂纹尖端的弹性应力超过 材料屈服强度之后, 便产生应 力松驰，使塑性区增长 ，改变 了裂纹前的应力分布，不适用 于线弹性条件。 裂纹虚拟向前扩展ry,此时 虚拟裂纹尖端0’前端弹性区的 应力分布GEF,基本上与线弹性 条件下的σ y相重合,对应的裂纹长度为a+ry,称为等效裂 纹 长度.根据线弹性理论: KⅠ=Yσ √(a+ry) KⅠ’= Yζ √a/[1-0.16(KⅠ/ζ s)2]1/2(平面应力)
ac= 40-1000mm
五、材料开发
KIC=(2Eγf)1/2 γf: 断裂能，可见，增大断裂能，即增大裂 纹扩展的阻力，手提高KIC。常在基体中 添加韧性相，如碳纤维增韧非晶玻璃材 料等。
第四章 材料的断裂韧性
传统机件强度设计: 塑性材料 σ ≤[σ ]= σ s/n 脆性材料: σ ≤[σ ]= σ b/n 实际上有时σ <<[σ ]时,机件仍断裂—低应力脆断,其原 因是传统设计把机件看成均匀、无缺陷、没有裂纹的理 想体.但实际工程材料在制造加工中会产生宏观缺陷乃 至裂纹,成为材料脆断的裂纹源, 从而引起低应力断裂. §4.1线弹性条件下的断裂韧性 线弹性体：裂纹体各部分的应力和应变符合虎克定律。 但裂纹尖端极小区存在塑性变形，也适用于线弹性条件。
将裂纹前端P (r,θ )的点应力表达式σ x、σ y、τ xy代 入上式,得P点的主应力表达式: σ 1= KⅠ/(2π r)1/2×cosθ /2(1＋sinθ /2) σ 2= KⅠ/(2π r)1/2×cosθ /2(1－sinθ /2) σ 3=0 (平面应力,薄板) σ 3=2γ ×KⅠ/(2π r)1/2 cosθ /2 (厚板：平面应变) 由第四强度理论(Mises)屈服临界条件: 将上式代入 （σ 1-σ 2)2+(σ 2-σ 3)2+(σ 3-σ 1)2=2σ s2 ( σ 1>σ 2>σ 3 主应力)得屈服区大小: r=1/2π ×(KⅠ/ζ s)2[cos2θ /2(1＋3sin2θ /2)] (平面应力) r=1/2π ×(KⅠ/ζ s)2[cos2θ /2(1-2γ )2＋3sin2θ /2] (平面应变)
4第四章材料的韧性和断裂力学
(4-24)
• 是裂纹的临界状态：
• 当δ> δc时，裂纹开裂； • 当δ< δc时，裂纹不开裂。 • 用D-M模型计算的裂纹张开位移如（图4-
11）所示：
{E
其中 E’=
（4-25）
• 则裂纹开裂的临界条件为 :
式中ac为临界裂纹尺寸，σc为屈服应力， σ为工作应力。利用上式也可以计算临界 裂纹尺寸ac，只要事先测得σc。 在小范围屈服条件下，COD值也可以和 应力强因子KI，及断裂韧度KIC建立确定 的关系：
• 2.应力松弛的修正
• 若考虑到因塑性区内塑性变形引起的应 力松弛，则将使得到的塑性区有所扩大。 分析结果，考虑了应力松弛后得到的塑 性区尺寸为：
平面应变
（4-17）
平面应力
（4-18）
• 应力松驰使塑性区尺寸增加了一倍。
• 以上考虑的是无强化材料，对于实际的 强化材 料，裂纹尖端塑性区的形状和尺 寸与上述结果有些出入，但这一结果是 偏于安全的
• （1）裂纹尖端的应力和位移分析及应力强 度因子的概念：
• 设一无限大板，具有长度为2α的中心穿透裂 纹，受双轴拉应力作用，如图1-7示。按弹 性力学的平面问题求解，得出裂纹尖端附近 的应力场为
平面应力
平面应变
位移场为:
w =0
平面应变 （4-4）
平面应力
• 式中r、θ为裂纹尖端附近点的极座标; • σx，σy，σz，τxy，τxz，τyz为应力分量； • u，v， w为位移分量； • G为剪切弹性模量；E为扬氏模; • υ为波松比。
• 假若是厚板，则裂纹前端区域除了靠近板表 面的部位之外，在板的内部，由于z方向受 到严重的形变约束， σz≠0，而w=0。所以， 应力是三维的，处于三向拉伸状态，但应变 是二维的，u≠0，v≠0，即是平面型的。这种 状态称为平面应变状态。
第4章 断裂力学与断裂韧性
2 s A — — 形 成 裂 纹 后 的 表 面 。 能 (U e W ) ( p 2 s )A
阻力
4.3.1 线弹性条件下的断裂韧性
2、裂纹扩展能量释放率GI • U=Ue-W 系统势能 • 定义：裂纹扩展单位面积时系统释放的势 能的数值，称为裂纹扩展能量释放率，简 称能量释放率或能量率。
E s E s
s
s
平面应变
GIC J IC (1 2 ) 2 c K IC nE s n s n s
n为关系因子，1≤n≤1.5~2.0 （平面应力，n=1；平面应变n=2）
4.4 影响断裂韧度KIc的因素
凡是提高断裂强度（对于脆性材料）或增大塑性（对 于韧性材料）的因素都将导致KIc增大。
4.3.1 线弹性条件下的断裂韧性
一．断裂韧度KIC和断裂K判据 1、断裂韧度KIC • 当 K I Y a 增大到临界值时，裂纹失稳扩展 而断裂，这个临界或失稳状态的KI值记作KIc 或Kc，称为断裂韧度。
KC— 平面应力下的断裂韧度 KIC—平面应变下的断裂韧度 KC>KIC
K c Y c a c
U GI A
常用单位为MJ· m-2。
4.3.1 线弹性条件下的断裂韧性
• 当裂纹长度为a，裂纹体的厚度为B时
1 U GI B a
令 B=1
U GI a
物理意义：GI为裂纹扩展单位长度时系统势 能的变化率。又称GI为裂纹扩展力。MN·m-1。
4.3.1 线弹性条件下的断裂韧性
(1 )( 2 a 2 ) Ue E
(1 2 ) 2 a GⅠ E
4.3.1 线弹性条件下的断裂韧性
3、断裂韧度GIC和断裂G判据
第四章材料的断裂韧性
14
材料性能学 三、断裂韧度KⅠc和断裂K判据
已知
K Y
1、平面应变断裂韧度KⅠc (MPa〃m1/2)
σ↑(或，和) ↑→KⅠ↑ σ↑→σc (或) ↑→c 裂纹失稳扩展→断裂 →KⅠ=KⅠc 2、平面应力断裂韧度Kc σ↑(或，和) ↑→KⅠ↑ σ↑→σc (或) ↑→ c 裂纹失稳扩展→断裂 →KⅠ=Kc ***Kc>KⅠc
材料性能学
1
材料性能学
前 言
韧度(韧性)定义： 是材料断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。 包括静力韧度、冲击韧度、断裂韧度。 (1)静力韧度( ) = (Sk2-σ0.22)/2D (2)冲击韧度或冲击值αKU(αKV): αKU(αKV)＝AKU(AKV)/FN 冲击功: GH1-GH2=AK (3)理论断裂强度(理想晶体脆性断裂)： σm=(Eγs/a0)1/2 (4)断裂强度的裂纹理论(格里菲斯裂纹理论)： (实际断裂强度) σc≈(Eγs/a)1/2
无限远处有均匀应力σ的线弹性问题。
AB两点的张开位移为
36
材料性能学
各种断裂韧度关系：
平面应力：
平面应变：
37
材料性能学
§4.3
一、化学成分、组织结构对断裂韧度的影响 1、化学成分的影响 2、基体相结构和晶粒尺寸的影响 3、夹杂和第二相的影响 4、显微组织的影响：影响材料的断裂韧度。 二、特殊改性处理对断裂韧度的影响 1、亚温淬火 2、超高温淬火 3、形变热处理 三、外界因素对断裂韧度的影响 1、温度 2、应变速率
22
材料性能学
拉伸的弹性应变能（补充）
对拉杆进行逐步加载（认为无动能变化） 利用能量守恒原理： U（弹性应变能）=W（外力所做的功）
断裂力学-ansys
这里W是应变能密度，T是动能密度，σ 表示应力，u 是位移矢量，Γ 是线积分域。 对于线弹性材料的裂纹来说，J-积分表示能量释放率。而对于非线弹性材料，裂纹尖端的应力 位移幅由J-积分来描述。 4.1.2.3 J-积分作为应力强度因子 Hutchinson、 Rice 和Rosengren分别独立地研究发现J-积分描述了非线弹性材料的裂纹尖端区的 特征。他们每个人都假定了塑性应变和应力之间的关系。如果包含弹性应变，它们的单向变形关系
第四章 断裂力学
4.1 断裂力学的定义
裂纹和缺陷会因为某些原因存在于许多结构和零部件中。可能是材料本身具有缺陷。裂纹可能 是制造过程产生的，也可能是后来由于环境因素产生的。裂纹和缺陷的存在能极大地降低构件在载 荷和环境作用中的完整性。
断裂力学使用应用力学的概念发展了对结构中存在裂纹尖端的应力与变形区的思路。对裂纹尖 端的应力与变形区深入的了解有助于发展结构的失效安全设计和安全寿命设计。基于断裂力学设计 的思想是广泛使用的，不是局限于核工业，航空航天，民用，和机械工程等领域。
PLANE182 PLANE183 SOLID185 PLANE186 PLANE187 J-积分计算支持如下材料属性： 线弹性 塑性 4.3.1.4 J-积分计算过程 ANSYS在求解器中通过子步计算J-积分，然后存储在结果文件中。 CINT命令用来计算J-积分，还用来设置运算所需要的不同的参数。 J-积分计算按如下步骤进行：
对于2-D 问题，在热应变不存在时，积分路径依赖于塑性应变、积分面上的体力和裂纹表面的 压力，域积分表示的J-积分公式为：
这里q是所谓的裂纹扩展矢量。q的方向是在裂纹尖端的局部坐标系的x轴 。q矢量在Γ曲线上为零 ， 并且在Γ曲线内部除中间节点（如果有，它们直接连接在Γ曲线上）的所有节点为单位矢量。ANSYS 引用这些节点单位矢量q作为虚拟裂纹扩展节点。
第四章 断裂力学
4.1 断裂力学的定义
裂纹和缺陷会因为某些原因存在于许多结构和零部件中。可能是材料本身具有缺陷。裂纹可能 是制造过程产生的，也可能是后来由于环境因素产生的。裂纹和缺陷的存在能极大地降低构件在载 荷和环境作用中的完整性。
断裂力学使用应用力学的概念发展了对结构中存在裂纹尖端的应力与变形区的思路。对裂纹尖 端的应力与变形区深入的了解有助于发展结构的失效安全设计和安全寿命设计。基于断裂力学设计 的思想是广泛使用的，不是局限于核工业，航空航天，民用，和机械工程等领域。
PLANE182 PLANE183 SOLID185 PLANE186 PLANE187 J-积分计算支持如下材料属性： 线弹性 塑性 4.3.1.4 J-积分计算过程 ANSYS在求解器中通过子步计算J-积分，然后存储在结果文件中。 CINT命令用来计算J-积分，还用来设置运算所需要的不同的参数。 J-积分计算按如下步骤进行：
对于2-D 问题，在热应变不存在时，积分路径依赖于塑性应变、积分面上的体力和裂纹表面的 压力，域积分表示的J-积分公式为：
这里q是所谓的裂纹扩展矢量。q的方向是在裂纹尖端的局部坐标系的x轴 。q矢量在Γ曲线上为零 ， 并且在Γ曲线内部除中间节点（如果有，它们直接连接在Γ曲线上）的所有节点为单位矢量。ANSYS 引用这些节点单位矢量q作为虚拟裂纹扩展节点。
断裂力学第四章
➢ 固定载荷情况
裂纹扩展A过程中，外载保持不变
U 1 P( ) 1 P 1 P
P
2
22
P
W P 2U U
A A A
ad
b
GI
A
U A
P
U Soad
o
系统释放的能量等于应变能增加
ad f
b
GI
A
U A
P
U A
o
ce
能量释放率仅与裂纹面积变化时系统的力学状态有 关，与边界的加载条件无关
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 恒位移情况，能量释放率即应变能释放率
➢产生断裂面积A应变能释放的能量，等于使
A闭合时外力所作的功
y
v
U 2 A 0 ydSdv
➢ 线弹性、准静态加载
o
x
yv
o
x
a
U
2
A
1
2
yvdS
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 等厚度板：dS = B da
a
U B 0
yvda
1 U (a a) U (a)
GI
x 2a
状态2
状态1与2载荷共同作用下的能量释放率
G 1 d 2B da
G 1 d1 1 d2
2B da 2B da
2 d a B da
a
0 p2v1Bdx
G
G1
G21B2dda2
第四章岩体断裂损伤力学
θ — r 矢量与x轴（裂纹长轴）夹角
K I — Ι型应力强度因子, 其定义为 K I = lim [σ y 2πr ]
r ,θ →0
Ⅱ型：
3θ sin 2 + cos cos σx = 2 2 2 2πr KⅡ 3θ θ θ cos sin cos σy = 2 2 2 2πr KⅡ 3θ θ θ cos 1 − sin sin τ xy = 2 2 2 2πr KⅡ 2r 3θ θ u= (2k + 3)sin 2 + sin 2 8µ π K Ⅱ 2r θ 3θ v= − (2k + 3) cos 2 + cos 2 8µ π
τ
x
τ
-a
a
τ
σ
τl
图 含有中心裂纹的无限板在远场应力作用的情况
（四）断裂判断 断裂判断 断裂韧性：裂纹在临界荷载作用下出现不稳定扩展时的应力强度因 子 K ic ，故含裂纹构件断裂条件（在单一荷载作用下）
K Ι = K Ιc , K ΙΙ = K ΙΙc , K ΙΙΙ = K ΙΙΙc
它是材料固有性质的一种度量不依赖于裂纹的形状和载荷的变化而 变化。
可区分以下两种情况来预测裂纹扩展 ①裂纹开始沿着应变能密度因子最小的方向扩展，即在
{
}
∂s ∂2s =0 >0 θ = θ 0处 — 预测θ 0的大小 2 ∂θ ∂θ ②s达到临界值时，裂纹开始扩展，此时
sθ =θ 0 = scr — 预测s的大小
式中
1 [(1 + cosθ )(k − cos θ )] a11 = 16πµ 1 a12 = sin θ (2 cos θ − k + 1) 16πµ 1 [(k + 1)(1 − cosθ ) + (1 + cos θ )(3 cos− 1)] a 22 = 16πµ 1 a33 = 4πµ
4 断裂物理
第四章 断裂物理断裂物理是从材料微观结构角度入手，分析断裂条件和过程，研究断裂微观机制及影响因素，力求掌握宏观断裂规律与微观结构的内在联系，从而为提高材料韧性、失效分析、开发新材料等一系列工作奠定基础。
4.1 概述4.1.1 断裂类型断裂可以从很多角度进行分类，各有其优缺点。
1、按断裂应变分类工程上最常用的是根据材料断裂前塑性变形量的大小进行分类。
断裂前宏观塑性变形（延伸率或断裂应变）或断裂前吸收的能量（断裂功或冲击功）较大时，为韧性断裂，相应的材料称为韧性材料；反之，则为脆性断裂和脆性材料。
这样分类的好处是直观明了，反映了人们对一个材料韧、脆性的总体评价。
譬如，为使用一种韧性材料时，人们往往比较放心；而使用脆性材料或可能发生脆断的低韧性材料时就小心顾虑得多，不仅在强度设计时要将经典强度理论和断裂力学准则结合使用，而且在材料服役过程中还必须经常（定期）检查。
但是，如此的韧、脆划分也有不足。
首先，并没有一个统一的韧、脆性评判标准。
前苏联将断而收缩率%5<k ψ（光滑试样）的断裂称为脆性断裂，%5=k ψ左右的称为准脆性断裂；而德国则将延伸率%10<δ（光滑试样）的断裂称为准脆性断裂。
可见这样的划分完全是人为的，故并末获得一数认同。
其次，材料的韧、脆性与试验条件（如加载方式、试样类型、大小）及环境（如温度高低、环境介质腐蚀性强弱）等诸多因素有关。
因此一个常温下、静态、小试样条件下发生韧性断裂的材料，在或低温、或高速加载、或交变加载、或大构件条件很有可能发生脆性断裂。
也就是说，一个所谓的韧性材料（通常是在室温、静载条件下评判的）并不能保证在使用过程中一事实上发生韧性断裂。
对这一点认识不清往往会造成可怕的后果。
2、按断裂面取向分类图4-1 不同加载方式下宏观断裂方式示意图无论是脆性断裂或韧性断裂，宏观上从相对于外作用的正应力和切应力来看，都可能有两种不同的宏观断裂方式：正断和切断。
（1）正断：宏观断裂面与最大正就力max S 或最大正应变max 垂直的称为正断。
金属的断裂韧度
第四章金属的断裂韧度断裂是工程上最危险的换效形式。
特点：〔a〕突然性或不可预见性；〔b〕低于屈服力，发生断裂；〔c〕由宏观裂扩展引起。
∴工程上，常采用加大安全系数；浪费材料。
但过于加大材料的体积，不一定能防止断裂。
∴发展出断裂力学断裂力学的研究范畴：把材料看成是裂纹体，利用弹塑性理论，研究裂纹尖端的应力、应变，以及应变能力分布；确定裂纹的扩展规律；建立裂纹扩展的新的力学参数〔断裂韧度〕。
主要内容：含裂纹体的断裂判据。
固有性能的指标—断裂韧性：用来比较材料拉断能力，K IC ,G IC , J IC,δC。
用于设计中：K IC已知，σ，求a maxK IC已知 , a c已知，求σ构件承受最大承载能力。
K IC已知，a已知，求σ。
讨论：K IC的意义，测试原理，影响因素及应用。
§4-1线弹性条件下的断裂韧度一、裂纹扩展的基本形式1、张开型〔I型〕2、滑开型〔II型〕3〕撕开型〔III型〕裂纹的扩展常常是组合型，I型的危险性最大二、应力场强度因子KI和断裂韧度K IC。
1、裂纹尖端应力场，应力分析①应力场离裂纹尖端为(，)的一点的应力：〔应力分量，极座标〕平面应力 σx =0平面应变 σx =υ〔σx +σy 〕对于某点的位移则有平面应力情况下位移平面应变情况时，上式为平面应变状态，位移分量。
越接近裂纹尖端〔即r 越小〕精度越高；最适合于r<<a 情况。
②应力分析在裂纹延长线上，〔即v 的方向〕θ=0⎪⎩⎪⎨⎧===021xy x y rk τπσσ拉应力分量最大；切应力分量为0；∴裂纹最易沿X 轴方向扩展。
2、应力场强度因子K I r K I πσ2=K I 可以反映应力场的强弱。
∴称之为应力强度因子。
通式：a Y K Ⅰσ= a —裂纹长度/2；Y —裂纹形状系数 一般Y=1~2宽板中心贯穿裂纹 π=Y长板中心穿透裂纹 〔见表4-1，P84-85〕Y 是无量纲的量而K I 有量纲 MPa ·m 1/2或MN ·m -3/2a Y K aY K III II ττ==3、断裂韧度K IC 和断裂判据①断裂韧度 当应力到达断裂强度，裂纹失稳，并开始扩展。
细观断裂力学4-2006
各向同性双材料界面裂纹问题
（5）裂纹表面的张开位移为：
1 4 Kr i 2 i 1 (1 2i ) cosh E * 2r
3
2 K III
2r
*
2 1 1 E * E '(1) E '( 2 ) 2 1 1 * (1) ( 2)
式中
界面裂纹行为: • 把界面作为数学界面（无厚度）； • 把界面作为过渡材料层(物理界面)。
界面对断裂路径的影响
（材料的界面设计和界面层设计）
21 ˆ tan 22 r L' , 0 23 cos 2 2 2 21 22 23 r 0, 0
可记为
ˆ arg(KL 'i ) tan cos K III K K III
0
Kr i 2r
32
0
K III 2r
则裂纹尖端的应力奇异场具有下列形式：
Re{Kr i } I Im{Kr i } II K III III ij ij ( , ) ij ( , ) ij ( ) 2r 2r 2r
角分布函数
各向异性双材料界面裂纹问题
• 裂纹尖端的应力奇异场具有下列形式：
Re{Kr i } I Im{Kr i } II K III III ij ij ( , ) ij ( , ) ij ( ) 2r 2r 2r
但角分布函数的表达式较为复杂。 • 对共排正交各向异性双材料，其界面裂纹能量释放率的表达式为：
tip
1 E1 E1 tip 2 H 22 2 [( E1E2 ) 2 2 12 E2 12 对各向同性双材料的界面层断裂问题，
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v0
y
h
x
h
GI
lim
A0
U A
W
2h
E
1 2
v02 h
v0
KI
EGI
E
1 2
v0 h
§4.4 能量释放率的柔度表示
Irwin & Kies(1952)
➢ 裂纹体加载点位移与载荷成线性变化
CP
C为裂纹体的柔度
➢ 弹性边界
外载P通过弹簧作用于裂纹体
➢ 固定位移情况
裂纹扩展A过程中，加载点位移保持不变
W 0
GI
A
U A
P
A A A
P
a
b
U Soab o
弹性位能释放率等于应变能释放率
c
裂纹扩展消耗了存储在弹性体内的弹性应变能
§4.2 能量释放率
能量释放率G的计算
➢ 取整体（固定位移情况）
1
11
2
PT
P 2
2
P(T
)
1 2 1 (T )2 2 C 2 CM
A
柔度C
a
B P
P T
柔度CM
§4.4 能量释放率的柔度表示
Irwin & Kies(1952)
➢ 裂纹扩展时，CM 不变，T 不变
GI
A
A闭合时外力所作的功
y
v
U 2 A 0 ydSdv
➢ 线弹性、准静态加载
o
x
yv
o
x
a
U
2
A
1
2
yvdS
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 等厚度板：dS = B da
a
U B 0
yvda
1 U (a a) U (a)
GI
GI
1 2
P2
dC dA
➢ 单边裂纹
GI
1 2B
P2
dC da
A
a
柔度C
➢ 实验测定能量释放率的基础
B
➢ 只依赖于裂纹扩展引起的裂纹体柔度变P 化
➢ 能量释放率与加载条件无关 P T
柔度CM
§4.4 能量释放率的柔度表示
例：计算双悬臂梁试样的能量释放率和应
力强度因子
P
2v
2
Pa 3 3EI
例：无限长板条，高2h，无应力状态下，
使上下边界产生位移v=v0，然后予以固定， 设x方向位移不受约束，平面应变状态，求
能量释放率和应力强度因子
➢ 右侧远离裂纹尖端处
应变能密度
W
1
2
y y
1 2
E
1
2
2 y
W
E
2(1
2
)
v0 h
2
U W A 2h
对于同一结构，只要已知一种载荷状态下的应力强
度求因得子任意KI对1与称该载状荷态状下态的裂p2 纹(x)表下面的位应移力v强1(度x,因a)子，即KI可2
➢ 例：计算裂纹表面受对称四个集中
y
PP
载荷P无限大板应力强度因子
E KI2 KI1 P a v1(b, a)
P
KIa2
➢ 物理意义：结构断裂单位面积时总位能释放出来的能
量
临界能量释放率Gc
GIC
U p A
2
➢ 对于脆性材料， Gc=2，为材料常数
➢ 又称裂纹扩展阻力（R表示）
➢ 物理意义：裂纹扩展单位面积时所需要消耗的能量
§4.2 能量释放率
若板的厚度为B
➢ 单边裂纹： dA = B da
GI
KI EGI
§4.5 能量法计算应力强度因子
应变能释放率结合有限元方法
o
y
r
v
x
o
x
a
上式仅代表裂纹沿延长线
方向扩展的能量释放率
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 含裂纹线弹性体能量释放率的一般公式 ➢ Bueckner(1958)
G
lim
A0
1 A
1 A 2
TiuidS
➢ 裂纹沿着不同方向扩展，其能量释放率不同
§4.3 G 与K 的关系
ce
外载作功一半增加弹性体的弹性应变能，一半被形 成新断裂面所消耗
§4.2 能量释放率
能量释放率G的计算
➢ 任意边界情况
裂纹扩展A过程中，边界载荷与位移均发生变化
Soaf
P
P
A 0 时 Soab Soad Soaf
A A A
1lim
aE0
1 KIa
20(aa yvxd) a2(1 )
y
o
y
r
v
x
o
x
a
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 可得GI与KI关系
GI
K
2 I
E
E
E
E
1 2
平面应力 平面应变
➢ II型
GII
K
2 II
E
➢ III型
GIII
1
U—弹性应变能 Up—塑性应变能 —表面能
§4.2 能量释放率
绝热条件下准静态加载
dW dU dU p 2 dA
dt dt dt
dt
W、U、Up均为外载与裂纹面积A的函数
W A
dA dt
WddWtddt ddQUAt
ddAt ddKtUddddtUt
断裂力学
第四章 裂纹尖端的能量释放率
§4.1 概 述
应力判据
➢ 应力强度因子判据 ➢ 局部参量K 作为判据
能量判据
➢ 系统的总体能量变化作为判据 ➢ 以能量守恒与转化的观点分析裂纹扩展 ➢ Griffith(1921)最先基于能量守恒原理研究脆性
材料的断裂
Griffith提出：如果裂纹扩展释放的能量，足以提供 其扩展所需要的全部能量，则裂纹就将扩展
aE
Ka
I1
ba
b0p2
aa( x)bbv1( xa,
a)
P
dx
2b 2a
P
x
§4.5 能量法计算应力强度因子
能量差率法
l1
➢ 非对称情况
p1, v1
K 状态1： I1 G1 1
K K 状态2：
左 I2
右 I2
2
推导过程略
l2 2a
状态1
➢例
K 右 I2
能量差率法
➢ 对称情况
G
G1
G2
2 E
KI1 KI2
y p1, v1
x 2a
状态1
y p2 , v2
x 2a
状态2
两式比较可得 p2 p2 (x)
KI2
E K I1
d da
a
0 p2v1dx
v1 v1(x, a)
d da
a
0 p2v1dx
a 0
p2
v1 a
E
K
2 III
前提：假设裂纹沿延长线方向扩展
y
o
y
r
v
x
o
x
a
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
➢ 对于复合型裂纹
G lim 1
a0 a
a
0 ( yv xyu yz w)da
y
G
K
2 I
K
2 II
(1 )KI2II
E
E
G GI GII GIII
x 2a
K 状态2： I2 G2 2
状态1
状态1与2载荷共同作用下的应力强度因子
y p2 , v2
x 2a
状态2
KI KI1 KI2
G
K
2 I
E
1 E (KI1
KI2 )2
K2 I1
E
K2 I2
E
2 E KI1 KI2
G
G1
G2
2 E
K I1
KI2
§4.5 能量法计算应力强度因子
UAdpdUddtAtp
dUdtp
d
dt
2
dA dt
W U U p 2
A A A
§4.2 能量释放率
系统位能=U-W
U p 2
A A
令 G W U
A A A
Gc
U p A
2
A
1 B
a
1 lim (a a) (a)
B a0
a
➢ 对称中心裂纹： dA = 2B da
GI
A
1 2B a
1 lim (a a) (a)
2B a0
a
§4.2 能量释放率
能量释放率G的计算
2
a 0
p2v2 Bdx