人教版高中数学必修五教案：数列求和
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课题
数列求和
课型复习课课时： 1 授课时间：
教学目标知识与技能：
数列求和方法．
过程与方法：
求和方法及其获取思路．
情感态度与价值观：
通过学生对数列的观察能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学
重点
数列求和方法及其获取思路．
教学
难点
数列求和方法及其获取思路．
教学
手段
多媒体辅助教学
教学
方法
先学后教，讲练结合
教学过程1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：
（1）)
(
2
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n a
a
n
S
a
a
a
S
a
a
a
S+
=
⇒
⎩
⎨
⎧
+
+
+
=
+
+
+
=
-
例1．求和：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
10
10
8
3
3
9
2
2
10
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加
法．
小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其
前n项和.
2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：
（2）
1
1
1
3
2
3
2
1)
1(
+
+
-
=
-
⇒
⎩
⎨
⎧
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n a
a
S
q
a
a
a
a
qS
a
a
a
a
S
例2．求和：)0
(
)1
2(
5
33
2≠
-
+
+
+
+x
x
n
x
x
x n
3．分组法求和
二次备课
例3求数列 16
1
4
,8
13,412,211的前n 项和； 例4．设正项等比数列{}n a 的首项2
1
1=a ，前n 项和为n S ，且
0)12(21020103010=++-S S S
（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。 例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 1
2
2
-+++++++n a a a a a a 的前n 项
和S n .
)1(11 111,1 ;2
)
1(21 ,111,1:1
n n n n n n a a
a a a
a a a n n n S n a a --=--=++=≠+=+++==+++==- 则若于是则若解]
1)1([11)]([11 11111122a
a a n a a a a n a a a a a a a S n n
n n ----=+++--=--++--+--= 于是4．裂项法求和 例6．求和：n
++++
++++++
211
32112111 解：设数列的通项为a n ，则)11
1(2)1(2+-=+=
n n n n a n ,
1
2)111(2)]111()3121()211[(221+=
+-=+-++-+-=+++=∴n n
n n n a a a S n n 例7．求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,321,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
11
1
（裂项）
则
1
13
212
11+++
⋅⋅⋅+++
+=
n n S n
（裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n
三、课堂小结
1．常用数列求和方法有：
(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;
(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；
(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和； (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和； (5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；
(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.
四、作业
（.16
1
6814412
).1项的和前求数列：n +++ （2）．在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
（3）．在各项均为正数的等比数列中，若
103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+