四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷

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四川大学锦城学院期末考试试题 (A卷,开卷)

四川大学锦城学院期末考试试题(A卷，开卷)(2009—2010年第二学期)课程号：120011 课序号：课程名称：形势政策与教育4 任课教师：成绩：注：1试题字迹务必清晰，书写工整。

2题间不留空，一般应题卷分开。

3务必用A4纸打印形势政策与明德教育4（诚信）期末考试3、法律诚信:.法律上的诚信，是指作为法律原则的诚信，可简称为“法律诚信”二、填空题（每题0.5分，共15分）1、依法行政严格执法。

2、道德准则3、学校教学活动的影响、教师的影响、课外活动的影响、学校生活的影响4.诚实守信无形5、4月30日晚发展中国家“城市，让生活更美好”。

6、成灌快铁首条市域城际铁路7、学风建设、校风建设、教风建设。

8、农场劳动、社会公益劳动、工厂劳动。

9、开除学籍留校察看记过处分授予学士学位资格以零分记；留校察看警告零分严重警告。

10、《尚书》。

三、简答题（每题10分，共40分）1、“三追两谋”的锦城精神具体是指什么？他是一种什么样的精神？“三追”即追求事实，追求真理、追求至善；“两谋”即学院谋特色、学生某特长、“三追两谋”的锦城精神是独立思考、自主创新的精神；是实事求是、探索真理的精神；是坚韧不拔、奋斗不息的精神；是追求卓越。

止于至善的精神2、锦城学院应用型人才培养模式的“三大教育”中“三讲三心”明德教育具体指什么？“三讲三心”明德教育：“三讲”即“讲诚信、讲礼仪、讲感恩”；“三心”即“对国家、人民进中心，对父母、长辈尽孝心，对同学、同事尽爱心”。

3、比较中西方诚信观的异同。

中西诚信观的基本含义是相近的，都包含尊重事实、诚实无欺、讲究信用、信守诺言的意思。

中西方诚信观的差异：中国的诚信是儒家伦理的核心理念之一，主要是指的个人的道德品行，是一种精神的状态和境界，同时也是一个修习的过程。

只有修身养性，以诚待人，人才能形成诚信的人格，这是人际交往的必然规律。

可以说中国传统的文化中，诚信主要是被作为对人的基本评价尺度和人们应当遵循的基本生活信条，沿着道德层面，在心性之学的维度中发展。

《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案

3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)

（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（）是一阶微分方程

3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y

xy
ln
x （3
分）；
2z y 2

xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)

1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)

2 （6
5
分）。
4、
z x

y

1 y
,
z y

x

x y2
（4
分）；
dz

(y

1 )dx y

(x

x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）

七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1

微积分(下册)期末试卷和答案[1]

1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6 知dx e xp ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

《微积分》(二)期末试卷 A答案

对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期《微积分二》期末考试试卷A课程课序号：CMP124－0～15学号：姓名：成绩：班级：课序号：任课教师：一、选择题（每小题2分，共14分）：得分 1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。

.()().()().()().()()bbb ba aaabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数，='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则（ A ）。

A.)1(1)(ln 12x f x x f x + B ． )1()(ln xf x f +C.)1(1)(ln 12x f xx f x -D ．)1()(ln x f x f - 3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的（ D ）。

A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件。

4．设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ C ）。

A ．(,).xf x y dy ⎰⎰B.(,).f x y dy ⎰⎰C.(,).yf x y dx ⎰⎰D.(,).f x y dx ⎰⎰5．函数21212(,xx y c e c e c c -=+为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ D ）的通解。

A. 20y y y '''+-= B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--=6．设()1ln(1nn u =-+，则下列结论中正确选项是( B )。

2014-15(2)四川大学微积分期末试卷解答

′ f= lim y (0, 0)
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
ϕ ′( x) = e x − ∫ ϕ (t )dt ，
0
x
ϕ ′′( x) = e x − ϕ ( x) ，即 ϕ ′′( x) + ϕ ( x) = e x ，
r2 +1 = 0，
Φ ( x) = C1 cos x + C 2 sin x ，
特征根为 r1, 2 = ±i ，故对应的齐次方程的通解为易知 Φ * ( x) =
内的部分的上侧. 解：设 S 0 为平面： x + y ≤ 2, z = 0 方向向下， Ω 为 S + S 0 围的立体，
2 2
Ω 在 xOy 上投影 D xy : x 2 + y 2 ≤ 2, z = 0 ，
用极坐标表示： 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 利用高斯公式得
S + S0
2
∫∫ ( y
故
∂2 z 3 = − ∂x∂y (0,0) 25
1
∂2 z = 2. 设 z f (2 x − y, y sin x) ，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 ∂x∂y= x
解：令 u =2 x − y, v =y sin x ，则
π
.
= ,y 2 4
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = 2 fu′ + y cos xf v′ ， ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

四川大学期末考试试题(闭卷)2017-2018春微积分

四川大学期末考试试题（闭卷）（2017——2018 学年第 2 学期） A 卷课程号：201138040 课序号：课程名称：微积分（I）-2 任课教师：成绩：⎩ 2 2 a b 1 - α 2 - β x 2 y 22 1 - - a 2 b2x 2 y 2⎧ 3 x 2 y 4 ⎪ , ( x , y ) ≠ (0, 0) ∂f ∂f5. f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2, (1)求 ∂x (0, 0) 和 ∂y (0, 0) ;⎪0, ( x , y ) = (0, 0) (2)判断（f x , y ）在点 0, 0）处是否可微; (3)设向量l = ( , -2 2) , 求∂f (0, 0).∂l三、应用题 (每小题 9 分，共 18 分)1. 求圆 x 2 + y 2 = 1 上一点, 使得该点到 A (0, 0) 、 B (3, 0) 、C (0, 4) 的距离的平方之和最小.2. 设函数 y = f ( x ) 处处二阶可导, 其函数图像上任意一点x , y ）处的切线与 y 轴的交点为(0, u ( x )) , 若u - u ' = y + 2 x 2 , 并且 f (1) = f '(1) + 4 = e , 求函数 y = f ( x ) .四、证明题 (每小题 6 分，共 12 分)1. 设可微函数 f ( x , y , z ) 满足: f (t a x , t b y , t c z ) = t a + b + c f ( x , y , z ), ∀t > 0 , 其中 a , b , c 都是正整数. 求证: ax∂f ( x , y , z ) ∂x + by ∂f ( x , y , z ) ∂y + cz ∂f ( x , y , z )∂z= (a + b + c ) f ( x , y , z ).x 2 y 2 z 2c 2 c 22. 设∑ 为曲面 a 2 + b 2 + c2 = 1 (a , b , c > 0) ,I = ⎰⎰ d S , ∑α = 1 - , β = 1 - .a 2b 2(1) 求证: I = 2⎰⎰d x d y , D xy其中 D xy = {( x , y ) ∈ 2| x a2 + y 2b 21}.1 (2) 上述积分很难直接计算, 试用你的想法给出 πI的估算公式, 并给出该公式在a = 1,b = 2,c = 3 时的结果. (保留两位小数, 合理的估值均可得分)2f 1 02018 微积分（1）-2 参考解答一、计算题：（每题褵分，共褳褰分）褱、求曲线x = cos t, y = sin t, z = t cos t 上点(1, 0, 0)处的切线方程褮解褺对曲线方程关于t 求导可得切向量为(− sin t, cos t , cos t − t sin t ) ······························ 3分代入点(1, 0, 0)对应的参数t = 0可得点(1, 0, 0)处的切向量为(0, 1, 1). 于是褬切线方程为x − 1 = y = z ······································· 2分褲、求曲面z = xy 在点(−2, −3, 6)处的切平面方程褮解褺曲面z = xy 的法向量是(−z x , −z y , 1) = (−y, −x, 1), ········································ 3分于是在点(−2, −3, 6)处的法向量为(3, 2, 1). 因此，所求切平面方程为3(x + 2) + 2(y + 3) + z − 6 = 0，即3x + 2y + z + 6 = 0 ································ 2分褳、设D = {(x, y ) ∈ R 2| x + y :( 1, x ;;? 0, y ;;? 0}，求FFx d x d y.解褺ffx d x d y = d x f 11−x 0x d y ······································ 3分1 11 =2 −3 = 6 ·······························2分褱0 = D 011D(x − x 2)d x ff f f f1−( ) =x x2 x Ω褴、设Ω是曲面z = ✓x 2 + y 2与平面z = 1围成的区域褬求FFF(z +x 2y 3 sin z 4)d x d y d z 褮解褺由Ω的对称性褬fffx 2y 3 sin z 4d x d y d z = 0 ····························· 1分由截面法褬注意到 D z = {(x, y ) ∈ R 2| x 2 +y 2 :( z 2} ············· 1分1 ∴ 原式 =d z 0D zf 1z d x d y=πz 3d zπ=4 ······························3分褵、设Γ是起点为(1, 0, 1)、终点为(0, 1, 1)的有向线段褬求F(y 2 + z − x )d y.解褺 Γ的参数方程x = 1−t, y = t, z = 1，t : 0 → 1， ········· 2分原式 = 0 5 (t 2+ t )d t褶、求微分方程初值问题= 6 ······························3分xy Iy = x 2的解褮y (1) = 2018解褺由 y I xy I − y = 1，可得褺 y= x + C ······································· 2分代入初始条件褬可得C = 2017.于是方程的解为y = x 2 + 2017x ······································· 3分褲Γ Ω0 x 3F 0 0F fff ff F ffff1 − 9 x2 + y 2二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）褱、交换二次积分I = F 1 d x F 1 ✓3 y 2e y d y 的积分次序并计算I .解：画出积分区域：褲分y I = F 1d yF √3 y ✓3y 2e y d x=1 ye y d y 3分 = ye y 11 − F 1 e y d yx 2 + y 2 + z 2 = 1褲、设曲线Γ的方程为x + y + z = 0 解褺由Γ的轮换对称性褬可得褬求(x + 1)2d s 褮 Γx 2d s =ΓΓy 2d s =Γz 2d s= 1 (x 2+ y 2 + z 2)d s 3Γ1 2π = d s = .4分33Γ再由Γ关于原点的对称性褬可得x d s = 0.2分 Γ(x + 1)2d s =ΓΓ(x 2+ 2x + 1)d s =Γx 2d s +Γ8πd s = .2分3褳、设平面曲线L 为y I x 2褬起点为褬终点为褬求F x d y − y d x 褮解褺首先褬∂ −y−(x 2+ y 2) + 2y 2y 2 − x 2P y =( ∂y x 2+ y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 , ∂ x (x 2 + y 2) − 2x 2 y 2 − x 2Q x =( ∂x x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 . 既然 P y = Q x 褬于是曲线积分与路径无关褻褳分褳Lx 0 0 0 = e − (e − 1) = 1.3分= 2 (3, 0) (−3, 0)(9 s in 2 θ + 9 c os 2 θ)d θ = π.3分✓ ✓−−Ω f √r cos ϕ · r 2 sin ϕd r4分∂x d x∂y d y取新的路径 L I : y =√9 − x 2褬起点为(3, 0)褬终点为(−3, 0)褮 L I 的参数方程x = 3 c os θ, y = 3 s in θ褬其中θ从褰变化到π褮褲分代入曲线积分可得1f π褴、设曲面Σ是球面z = 2 x 2 y 2与锥面z = x 2 + y 2围成立体的表面褬 Σ的方向指向外侧褬求FF x 2d y d z + y 2d z d x + z 2d x d y 褮解褺由高斯公式褬原式 =fff(2x + 2y + 2z )d x d y d z.2分由Ω的对称性褬可得FFFx d x d y d z =FFFy d x d y d z = 0.∴ 原式 = 2ffff 2πΩz d x d y d z fπ/4Ωf 2= 4ππ/4cos ϕ sin ϕd ϕ = π.2分✓ 3x 2y 4褵、设f (x, y ) =✓x 2 + y2, (x, y ) (0, 0) 褬褨褱褩求∂f (0, 0)和∂f(0, 0)褻0, (x, y ) = (0, 0)∂x ∂y √2 √2 ∂f褨褲褩判断f (x, y )在点(0, 0)处是否可微褻褨褳褩设向量l = ( 2, − )褬求 (0, 0)褮 2 ∂l 解褺褨褱褩因为f (x, 0) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (x, 0)| = 0.同理褬因为f (0, y ) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (0, y )|= 0. 2分褴0 d θ 0= 2 Ω 0 9 Σ原式 =d ϕx =0 y =0t5 5 5 5褨褲褩令∆y = k ∆x 褬通过计算下列极限褬发现其与k 有关褬从而极限不存在褮f (0 + ∆x, 0 + ∆y ) − f (0, 0) − f x (0, 0)∆x − f y (0, 0)∆ylim∆x →0∆y →0✓(∆x )2 + (∆y )2✓ 3(∆x )2(∆y )4✓ 3(∆x )2(k ∆x )4 k 4/3= lim ∆x →0(∆x )2 ∆y →0+ (∆y ) = lim ∆x →0(∆x )2 + (k ∆x )2 = 1 + k 2 .因此褬由定义可知函数 f (x, y )在点(0, 0)处不可微褮褳分褨褳褩因为 l = ( √2 2, − √2 ) = (cos α, cos β)褬由方向导数的定义可得2∂f (0, 0) = limf (0 + t cos α, 0 + t cos β) − f (0, 0)∂l t →0+ 1✓ 3 t 6 cos 2 α cos 4 β1 分= lim t →0+t· ✓t 2cos 2 α +t 2 cos 2= .3β 2三、应用题：（每题褹分，共褱褸分）褱、求圆x 2 + y 2 = 1上一点褬使得该点到A (0, 0)、B (3, 0)、C (0, 4)的距离的平方之和最小褮解褺令f (x, y, λ) = x 2 + y 2 + (x − 3)2 + y 2 + x 2 + (y − 4)2 + λ(x 2 + y 2 − 1)褮褳分由方程组f x = 4x + 2(x − 3) + 2λx = 0f y = 4y + 2(y − 4) + 2λy = 0 3分f λ = x 2 + y 2 − 1 = 0可解得驻点为(x, y ) = (± 3 , ± 4 )褻由题意可知所求的点为( 3 , 4)褮褳分褲、设函数y = f (x )处处二阶可导，并且f (1) = f I (1) + 4 = e ，其函数图像上任意一点(x, y )处的切线与y 轴的交点为(0, u (x ))，若u − u I = y + 2x 2，求函数y = f (x )褮解褺 u (x ) − y = y I (0 − x )褬 u (x ) = y − xy I 褬 u I (x ) = y I − y I − xy II = −xy II 褮褵2∂u ∂v ∂wa 2 +b 2 +c 2= 1 (a, b, c > 0)I =d S α = 1 − a2 I 1 − αa 2 − β b 2因为u − u I = y − xy I + x y II = y + 2x 2，则当x0时褬 y II − y I = 2x.4分解方程y II − y I = 2x ，可得y = C 1e x + C 2 − x 2 − 2x.3分再由 f (1) = f I (1) + 4 = e ，可得y = e x − x 2 − 2x + 3.2分四、证明题：（每题褶分，共褱褲分）褱、设可微函数f (x, y, z )满足褺 f (t a x, t b y, t c z ) = t a +b +c f (x, y, z ), ∀t > 0褬其中 a, b, c 都是正整数褮求证褺∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f (x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).证明褺令u = t a x 褬 v = t b y 褬 w = t c z 褬 k = a + b + c 褮对f (u, v, w ) = t k f (x, y, z )关于t 求导可得褺∂f (u, v, w )·at a −1x + ∂f (u, v, w )·bt b −1y + ∂f(u, v, w )·ct c −1z = k t k −1f (u, v, w ).褴分上述表达式中令t = 1褬即有∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f(x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).褲、设为曲面x 2 y 2 z 2褲分褬FF褬c 2 褬β = 1 − b2 褮褨褱褩求证褺ff「Ix 2 y 2Ux 2 y 2a 2b 2褨褲褩上述积分很难直接计算褬试用你的想法给出1I 的估算公式褬并给出该公π式在a = 1, b = 2, c = 3时的结果褮褨保留两位小数褬合理的估值均可得分褩褶1 − a2 − b 2D xy y 2 + x 2 d x d y, D xy : Σ c 2 Σ I = 2 :( 1.)∂x = − a 2 z 1 − a 2 − b 2 ∂y = − b 2 z , )y 2x 2 y 21 − a2 − b 2 − −2 2 a 1 α β I d x d y, 2分I ππ（ 22 b1 − αa2 − β b 2 I证褺褨褱褩 I x 2y 2 褬 ∂z c 2 x 褬 ∂z c 2 y褱分d S = ！1 +c 2x 2−a 2 zc 2 y 2 + − b 2 zd x d y= 「I U 1 +x 2 c a 4 y 2 c 4 + d x d y「I 1 − (1 − c 2 a 2 ) x 2 a 2− (1 − c 2 y 2 b 2 ) b 2 d x d yU x 2 y 2I 「 x 21 − a2 − b 2 y 2U x 2 y 2 1 − a 2 − b2 由曲面Σ的对称性褬只需要计算上半椭球面积的褲倍褻因此褬ff 「Ix 2 y 2U x 2 y2a 2 b2褨褲褩合理估值范围褺 4min {a 2, b 2, c 2} :( 1I :( 4max {a 2, b 2, c 2}. 参考估值公式褺1 I ≈ 4(a 2 + b 2 + c 2), π 314π I ≈ 3(ab + bc + ac ), 1 p πI ≈ 4a pb p + b pc p + a p c p, p > 0. 3当a = 1, b = 2, c = 3时褬合理范围是 4 :( 1I :( 36 褮事实上I ≈ 15.57褻估值结果在[10, 20]上给褲分褻估值结果在[4, 10) ∪ (20, 36]上给褱分褮褷1 − a2 − b 2D xy x 2 d x d y, D xy : = 1 − a 2 − b 2x 2 z = cI = 2 :( （ = y 21. 1分+。

微积分II期末(A)卷答案

《微积分II 》期末考试题（A ）答案一、填空题（每小题2分，共16分）1、{(,)0,0}x y y x x y ≤≥+>2、=)1,1(dz 2211(ln 2)22e dx e dy ++ 3、 04、235、sin ()x y x c e-=+ 二、选择题（每小题2分，共16分）1、 D2、D3、C4、B5、D6、C三、解答题（每小题5分，共40分）1、解：令xz e yz xy z y x F --=),,(则 xzz y xz x xe y F z x F ze y F --=-=-=,, 所以 xz xz z x xey ze y F F x z +-=-=∂∂ xzz y xe y z x F F y z +-=-=∂∂ 2、两边求全微分02)(=+---dz e dz xy d ez xy 02)(=+-+--dz e dz xdy ydx e z xy2)(-+=-z xy e xdy ydx e dz3、解：e e x dx e dx e dy xe dx dxdy xe x x xy xy D xy 1)()1()(101001011010=+=-===----⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4、解：因为 11)1(5lim 22=++∞→nn n n n ，又 ∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=++12)1(5n n n n 收敛. 5、 313)1(3lim lim 11→+⋅=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，故收敛半径为3.又3=x 时，级数∑∑∞=∞==⋅11133n n n n n n 发散， 3-=x 时，级数()∑∑∞=∞=-=⋅-11)1(33n n n n n n n 收敛，故收敛域为)3,3[- 6、解 1110<=-∑∞=x x x x n∑∑∞=++∞=-=-=-⋅-=-=∴012022233331133)(x n n x n n x x x x x x x x f 收敛域为13<x 即3<x 因此)3,3(330122--=-∑∞=++x n n x x x7、微分方程的特征方程为0522=+-r r特征根i r 211+=，i r 212-=，故方程通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x+=。

《微积分(二)》期末复习试题a

《微积分（二）》期末复习试题aD区大一《微积分》（二）期末复习题A一、填空题1、复合函数yin45某可分解为______________________;2、若y=f （某）的定义域是[0，1]，则f(某2)的定义域是__________;某12某24某25某6____5、lim____6、lim_______;3、lim(3某1)___4、lim某1某1某2某某2某23某2in5某tan某in某3某22in某limlim______;limlim37、___8、_9._____10、某0某0某0某某2某23某某某tan某81某2某_____12．lim（）=____13．lim（1)某=__；（1某)某=___14、lim11、lim某0某某某0某某某23（1)3某4=______；16lim（1)2某=______；15、lim某某某某117、函数y1的间断点是______；是第______类间断点；2(某2)某218、函数f(某)2某1某19、函数f(某)3某1某2某2，当某2时的左极限是______；右极限是______；在某2处______；（填是否连续）某3，当某3时的左极限是______；某3右极限是______；极限是______；在某3处______；（填是否连续）20、函数y1当______时，是无穷大量；当______时，是无穷小量；(某1)211的间断点是______和______；(某2)某121、函数y22、函数yf(某)在点某处的导数f(某)表示曲线yf(某)在点（某，y）处的______和______；23、曲线yln某在点M（e，1）处的切线方程是____________；24、若函数yf(某)在点某0处可导，则yf(某)在点某0处必______，且limf(某)______；某某025、函数f(某)某312某1在定义域内是单调______的；26、函数f(某)(某1)6的凹区间为________；27、已知函数yf(某)在点某0处可导，且f(某0)是极小值，则f(某0)___；28、若点（1，4）是曲线ya某3b某2的拐点，则a=_____，b___；29、已知函数F（某）和G（某）都是函数f（某）的原函数，且G （某）=e某，F（0）=0，则F（某）=________；30、已知不定积分f(某)d某F(某)C,则f(某)F(某)d某________；231、根据定积分的几何意义可知：32、已知(2某b)d某0，则b=________；1某d某____；0121033、已知连续函数f(某)是奇函数，且f(某)d某1，则f(某)d某________；010134、曲线y=某3在点A(2,8)处的切线斜率为_________；二、选择题1、lime（）A0；B－∞；C+∞；D不存在。

四川大学高数微积分I(下)考前复习用2017年期末真题试卷(含答案)

L
7．微分方程 xy′ + y = x2 满足 y(3) = 4 的特解为
．
二、解答题 (每小题 9 分，共 36 分)
1．设曲面Σ 为 z =
，求． ∫∫ x2 + y2 (x2 + y2 1)
(20 xy + 17 y2 )dS
Σ
2．设曲面Σ 为 z = 1 − x2 − y2 ，方向为上侧，求 ∫∫ x2dydz + y2dzdx + ． 5z3dxdy Σ 第 1 页，共 2 页
.
解：原式=
´ 2π
0
dθ
´π
0
dϕ
´1
0
r2
·
Ω
r2 sin ϕdr
=
2π
·
2
·
1 5
=
4 π.
´5
Ｔ、设L是y = x2 − 1上从(0, −1)到(2, 3)的有向曲线，则 ydx + xdy = Ｎ
L
解´ y：dx曲+线x积dy分=与−路´02径d无x +关´，−31选2d择y 折=线−2l
2．在椭圆抛物面 z = x2 + y2 与平面 z = 20围成的空间区域中内置一个长方体，假设该长方
20
4
体的一个面位于z = 20上，长方体的其它面都与某个坐标平面平行，求长方体的体积的最大值．
五、证明题 (7 分)
设区域 D 为 x2 + y2 1， I = ∫∫ sin( x2 + y2 )5/2dxdy ，求证： D
三、综合题 (每小题 9 分，共 18 分)
1．讨论函数
f
( x,
y)
=

微积分——期末考试模拟试卷以及答案

《微积分II 》练习题一、填空题1．函数()y x z +=ln 1的定义域是_______________ 。

2．函数(,)f x y =，则定义域为。

3．。

4.设(,)(1)arcsin f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。

5.设222lny x e z x +=，则=)1,1(dz 。

6．函数yx z =在（2，1）点处的全微分为_______________。

7.22()Dxyf x y dxdy +=⎰⎰。

（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。

8. 改变积分次序210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰= _________ 。

9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是。

10.微分方程0=+'y y 满足初始条件10==x y的特解。

11.计算_________________sin 21231=⎰⎰-dy y dx x12．微分方程02'"=+-y y 的通解是。

13．差分方程02312=+-++t t t y y y 的通解是。

14.计算极限.______________________)sin(42lim 00=+-→→xy xy y x二、选择题),(,),( 22=-=-y x f y x yxy x f 则1．极限).(2lim22)0,0(),(=+→yx xyy x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。

2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）无关条件（D ）充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim 0（）(A) 0 (B) ),2(b a f x ' (C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处x z ∂∂，yz ∂∂都存在，则下列结论正确的是（）。

四川大学期末考试试卷A卷

四川大学期末考试试卷（A 卷）（2014—2015年第二学期）科目：微积分（I ）-2 课程号：考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。

一、填空题(每小题3分，共18分)1．函数22ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标是3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++⎰⎰的值等于4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +⎰的值等于5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑++⎰⎰的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x=的通解是二、计算题 (每小题8分，共48分)1．设 5431z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ∂∂∂． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x yπ==∂∂∂． 3．计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球2222xy z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭区域．4．利用格林公式计算积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰Ñ，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．5．计算222()()()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．6．求微分方程tan sec dy y x x dx-=满足初始条件00x y ==的特解．三、应用题 (每小题10分，共20分)1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．2．设函数()x ϕ连续，且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ϕϕϕ=+-⎰⎰，求()x ϕ．四、分析证明题 (每小题7分，共14分)1．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()bb a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰．。

常微分方程期末考试试题与答案

[解](1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+t0texp(a(t-s) f(s)ds.[10分]
(2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。
设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),
从而得到特解x(t)= exp(at)exp(-as) f(s)ds和通解
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c) f连续且对x可微，(d) f连续且对x连续可微。
(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c)连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。
(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。
[解](1)特征方程为2+1=0,=i, -i。通解为x(t)=C1exp(it)+C2exp(-it).
实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t).[5分]
(2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而
z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1
=(x/y) d(xy3)+ 4x2d(xy)
=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }
=(x/y) d{xy3+ 2(xy)2}，[4分]
从而得到xy3+ 2(xy)2=C。[1分]

微积分II期末模拟试卷三套及答案

微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟）一、填空题（3X5=15）1、幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为__________2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变⎰⎰--21222x x xfdy dx 的积分次序_______________________4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y5、设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分()dx ex x x⎰-+22的值是（）。

（A ） 0 ；（B ） 2 ；（C ） 2e 2+2；（D ） 26e7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于yx2-，这曲线是（） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （）（A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点10、设级数10nn na∞==∑，且()11n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1n n a ∞=∑（）（A ）收敛（B ）发散（C ）不定（D ）与n a 有关三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分 (1)⎰-2234dx x x ；(2)求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。

四川大学锦江学院期末考试试题A(标准答案)

四川大学锦江学院期末考试试题A （标准答案)
课程代码：课程名称: 任课教师：成绩：
院系：班级：学号：姓
名：专业: 学生人数：印题份数： (开卷，闭卷，）
2、一个体积为V的容器中，盛有压力为2.0×105Pa的某气体，现在从容器内放出部分气体,请问原容器的体积有多少立方米？(整个过程温度不变)
3、0。

1mol/L的HAc溶液50ml和0.10。

1mol/L的NaAc溶液25ml混合，求混合溶液的PH值。

（HAc的Ka为1。

8×10—5）
4、已知K sp（CaSO4)=9.1×10-6，K sp（BaSO4)=1。

1×10-10，在含有CaCl2和BaCl2的混合溶液中,Ca2+和Ba2+的浓度均为0。

20mol·L-1,逐滴加入Na2SO4溶液。

（8分）（1）通过计算说明哪一种硫酸盐先沉淀析出；
（2）当第二种沉淀开始析出时，第一种被沉淀的离子浓度是多少？
（）12．今有一种含有Cl—，Br—，I-三种离子的混合溶液,欲使I—氧化为I2,又不使Br-，Cl—氧化，在常用氧化剂Fe2(SO4）3和KMnO4中进行选择,正确的是:
已知:E(Cl
2/Cl‐）=1.36V；E(Fe3+/Fe2+）= +0.77V；E（Br
2
/Br‐）=1.07V;
E(MnO/Mn2+)=1.51V；E(I2/I‐）=0.54V。

（A)Fe
2（SO
4
）
3
(B）KMnO
4
（C)两者均可 (D）两者都不行。

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答案 Prepared on 22 November 2020一单项选择题(每小题3分,共15分)1.设lim ()x af x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)limh f a h f a h h→+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ).①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+. 31lim(1)x x x+→∞+=.3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________.三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1x x x →-- 2.t t x e y te ⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x→+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续. 答案一单项选择题(每小题3分,共15分)1.④2.①3.④4.③5.②二填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+ . 2.31lim(1)x x x+→∞+= __e_.3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__.三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)2.t t x e y te⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx. 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.。

《微积分(II)》试卷A答案

2016-2017学年第2学期期末集中考试《微积分（II ）》试卷A 答案一、填空题（共5题，每小题3分，共15分）1) xe x 2). 0 3). 发散 4). 224y x xye + 5). x x e c e c 321+- 二、单项选择题（共5题，每小题3分，共15分）1、A2、C3、B4、B5、D三、计算题（共7题，每小题7分，共49分）1.设⎩⎨⎧≤<≤≤-=-31101)(3x e x x x f x 求⎰30)(dx x f解: ⎰30)(dx x f ⎰-=103)1(dx x ⎰-+31dx e x 3分 31134)43(x e x x ---= 3分 e e 11413+--= 1分 2. 判断∑∞=-1212n nn 的敛散性解: 由nn n n n 21221)1(2lim 1--++∞→5分 121121221lim <=-+=∞→n n n所以原收敛 2分 3.将x x f -=31)(展成1-x 的幂级数解: 211121)1(2131)(--=--=-=x x x x f 3分 n n x )21(210∑∞=-= ∑∞=+-=012)1(n n nx 3分由1211<-<-x 得 31<<-x即级数∑∞=+-012)1(n n nx 的收敛区间为31<<-x 1分 4. 求32sin y y x z +=的全微分解: y x xz sin 2=∂∂ 3分 223cos y y x yz +=∂∂ 3分 =dz ydx x sin 2dy y y x )3cos (22++ 1分5.设),(v u f z =可微，求),(22xy e y x f z -=的偏导数解记 xy e v y x u =-=,22 ，则()v u f z ,= 1分则 v xy u f ye f x xz '+'=∂∂2 3分 v xy u f xe f y yz '+'-=∂∂2 3分 6. 求积分⎰⎰+Dd y x σ)(22其中D 是由122=+y x 所围成的区域解 ⎰⎰+D d y xσ)(22dr r d ⎰⎰=πθ20103 3分 104412r π= 3分 2π= 1分 7.求微分方程x e x y xy 33=-'的通解解其通解为⎰+⎰⎰=---)(33)3(c dx e e x e y dx x x dx x 4分⎰+=-)(ln 33ln 3c dx e e x e x x x)(3c e x x += 3分四、应用与证明题（共3题，每小题7分，共21分）1. 求由曲线223),0(1x y x x y =≥-=以及x 轴所围图形的面积x1解由⎩⎨⎧=-=2231xy x y 得曲线交点为)43,21( 1分 dy y y s )311(430--=⎰ 3分 31]332)1(32[4302323=---=y y 3分2. 设商品A 的需求量为x ，价格为p ，需求函数x p -=26；商品B 的需求量为y ，价格为q ，需求函数y q 440-=.生产两种产品的总成本.222y xy x C ++=问两种商品各生产多少,才能获得最大利润？解总收入2244026y y x x yq xp R -+-=+= 1分总利润xy y y x x C R l 254022622--+-=-= 1分由⎩⎨⎧=--='=--='021********x y L y x L yx 得唯一驻点（5，3） 4分根据实际情况可知生产商品A5单位，B3单位时，可获得最大利润。

微积分II真题含答案

微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________.5、若.6、微分方程的通解是____.7、级数的敛散性为.8、已知边际收益R/(某)=3某2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(某)=____________.9、交换的积分次序=.10、微分方程的阶数为_____阶.二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A,B,C,D，04、若A,B,C,D,5、=（）A,0B,1C,2D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2.求，其中D是由，某=1和某轴围成的区域。

3.已知z=f(某,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）： 1.求由和某轴围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。

2.已知某表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定某和y，使产量达到最大？。

五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1,2，3，发散4，05，6，y=c某7，收敛8，R(某)=某3+1000某9，10，2二、单选题（每小题3分，共15分）1，B2，B3，C4，C5，D三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。

(交错法不行就用比较法)（8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200某+400y-100000=0（2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的某为40，y为230.（9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。