四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷

答:
6．
5n x 2 n 的收敛半径 R = ∑ n n =1
1 5
7、下列四个级数中，
∞ 1 n+1 、 ∑ ( −1)n 、 ∑ 5 n n =1 n − 2 n =1 ∞ ∞ 2 2n + 1 、∑ ∑ 4 n=1 n n =1 7 n − 3 ∞
发散的是
n+1 ∞ 5 2n + 1 n+1 答: ∑ ,注 ∑ 5 敛⇒ n −2 →1 1 n =1 7 n − 3 n =1 n − 2 n4
=1
3
六、z=f(xy , x y); 其中 f 具有连续二阶偏导数,求
2
∂2z ∂x 2
解
zx=f1′⋅y2+f2′⋅2xy=y2f1′+2xyf2′, zxx=y2[f11′′⋅y2+f12′′⋅2xy]+2yf2′′+2xy[f21′′⋅y2+f22′′⋅2xy] =y4f11′′+2xy3f12′′+2yf2′′+2xy3f21′′+4x2y2 f22′′ =y4f11′′+4xy3f12′′+2yf2′′+4x2y2 f22′′,
−∫
2
1
t3 15 dt = 4 ln 2 − 4 16
三、判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。说明理由
1.
∑ (−1)n
n= 2
∞
2 (条件收敛) n
2.
∑ (−1)n−1
n =1
∞
|u | 9n (绝对收敛) lim n + 1 = 0 n →∞ | u | n! n
四、计算二重积分
∫∫ ( x + y)dxdy ，其中 D 是由曲线 x = y
得唯一可能的极值点 (3 2k , 3 2k , 1 3 2k ) . 2
法 2：由条件 xyz=k 有 z =
k 代入原函数求无条件极值. xy
∞
∞
⇒ ∫ S ( t )dt =
0
x 2 + x2 ⇒ S ( x ) = ,( − 2 < x < 2) 2 − x2 (2 − x 2 )2
九.
S=xy+2xz+2yz(x>0, y>0, z>0).在 xyz=k 下的最大值. 法 1 作函数 F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+λ(xyz−k). Fx = y + 2 z + λ yz = 0 Fy = x + 2 z + λ xz = 0 解方程组 , = 2 + 2 + = 0 F x y xy λ z xyz = k
∞
Fra Baidu bibliotek
⇒ g ′( x ) = ∑ x n =
n=1
⇒ g ( x ) = x 2 S ′( x ) = − x − ln(1 − x ) ⇒ S ′( x ) = − x − ln(1 − x ) ,x ≠0 x2
− x − ln(1 − x ) ,x ≠0 x2
⇒ S ′( x ) =
2.
∑
2n − 1 2( n −1) ; x 2n n =1
七、
dy + y = ex ; dx
− dx dx x 解 y = e ∫ ( e x ⋅ e ∫ dx + C ) = e − x ( e 2 x dx + C ) = e − x ( + C )
∫
∫
2
八、1.求幂级数
x 的收敛区域及和函数. ∑ n ( n +1) n =1
∞
n
解 幂级数的收敛域为[－1,1]略.设和函数为 S(x), 即 S ( x ) =
四川大学锦城学院期末复习题 一、填空题
−3 x 2 ⋅ cos x 1. = lim = − cos 0 = −1 x→0 x→0 sin x 3 3x2 ∂z _____, ∂z _______ 2. 设 x + 2 y + z − 2 xyz = 0 , 求 ∂y ∂x
x3
∫ lim
0
cos( 3 t )dt
∞
解 收敛域 ( − 2 < x <
2) ,设幂级数的和函数为 S(x), 则 x2 x n x2 2 = ∑( ) = = x2 2 − x2 2 n =1 1− 2
∞ 2
∫
x
x
0
S ( t )dt = ∑
x 1 1 2 n−1 x S ( t )dt = ∑ n x 2 n ⇒ ⋅ x n ∫ 0 n =1 2 n=1 2
∞
二、计算下列定积分 1.
∫
3 2
x x + 2dx
2..
∫
2 1
t 3 ln tdt
3 3 3
解 1 原式=
∫
3 2
( x + 2 − 2) x + 2d ( x + 2) = ∫ ( x + 2) 2 d ( x + 2) − ∫ 2 x + 2d ( x + 2) = L
2 2 2 1
1 2 t 4 ln t 4 解 2.原式= ∫ ln tdt = 4 1 4
3. 4.
∫ ∫
3 −3 1 0
x 7 9 − x 2 dx =
1 x
2
答＝0，(奇函数在对称区间的积分) （交换积分次序）答
dx ∫
f ( x，y )dy = x 2 + y 2 ，则 dz =
∫
1 0
dy ∫
y 0
f ( x，y )dy
5.设 z = ln 答Q z =
∞
1 xdx ydy ln( x 2 + y 2 ) ∴ dz = 2 + 2 2 2 x +y x + y2
解 令 F ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 xyz , 则 Fx′ = 1 − yz xyz , Fy′ = 2 − xz xyz , Fz′ = 1 − xy xyz ,
Fy′ xz − 2 xyz F ′ yz − xyz ∂z ∂z =− = =− x = , ∂x Fz′ Fz′ xyz − xy ∂y xyz − xy
D
2
和直线 x + y = 2 所围成。
解: 曲线交点 (4, −2), (1,1) ⇒
∫
1 −2
dy ∫
2− y y2
( x + y )dx = ∫ (2 −
−2
1
y2 )dy = 3 2
五、1.求曲线 y = 2 x + 3, y = x 围成的面积.
2
解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[−1, 3]. 所求的面积为
A = ∫ (2 x + 3 − x 2 )dx = ( x 2 + 3 x −
−1 2
3
1 3 3 32 x ) |−1 = . 3 3
2. 求曲线 y = 2 x + 3, y = x 围成的几何图形绕 x 轴旋转体积.. 解V = π
2
∫
3
−1
(2 x + 3)2 dx − π ∫ x 4 dx = L
∑ n(n + 1) x
n=1
∞
1
n
⇒ S ′( x ) = ∑
∞
∞ 1 1 x n − 1 ⇒ 令 g ( x ) = x 2 S ′( x ) = ∑ x n+1 n = 1 ( n + 1) n =1 ( n + 1) x t −1+1 x ⇒ g ( x ) − g (0) = ∫ dt = − x − ln(1 − x ) 0 1− x 1− t