分离常数法

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分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用

分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用1.分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+等。

解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。

2.分离常数法的常考题型：（1）判断分式函数的单调性；（2）求分式函数的值域；3.分离变量法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离变量，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。

分离变量法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到。

解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。

4.分离变量法的常考题型：（1）函数零点问题；（2）函数单调性问题；（3）不等式恒成立问题；（4）不等式有解问题；（5）求定点、定直线问题； 5.函数的“存在性”问题和“任意性”问题（共十类）：（1）相同函数，不同变量（分别考虑）：(I)对任意2211D x D x ∈∈，，M x f x f ≤-)()(21成立M x f x f ≤-⇔min max )()(；（2）不同函数，相同变量（构造函数）：(I)对任意D x ∈，)()(x g x f ≤成立0)]()([0)()(max ≤-⇔≤-⇔x g x f x g x f ； (II)存在D x ∈，使)()(x g x f ≤成立⇔存在D x ∈，0)]()([0)()(in ≤-⇔≤-m x g x f x g x f ；（3）不同函数，相等关系（函数值域之间的关系）：(I)存在D x ∈，使)()(x g x f =成立⇔存在D x ∈，)()(0)()(x g x f x g x f -⇔=-有零点； (II)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g ⊆值域； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ⇔值域)(x g 值域φ≠；（4）不同函数，不同变量（函数最值大小的比较）：(I)对任意2211D x D x ∈∈，，)()(21x g x f ≤成立min max )()(x g x f ≤⇔；(II)存在11D x ∈，使得任意22D x ∈时，)()(21x g x f ≤成立min in )()(x g x f m ≤⇔； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max in )()(x g x f m ≤⇔；(IV)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max a )()(x g x f x m ≤⇔；总结：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较；（2）把等量关系转化为函数值域之间的关系；例1.若函数ax b x x f --=)(在区间（﹣∞，4）上是增函数，则有（） A.a ＞b≥4 B .a≥4＞b C .4≤a ＜b D .a≤4＜b例2.求函数21273)(22+---=x x x x x f 的值域。

恒成立之分离常数法

解：・．・）ｌ ≤１ ’ ＿＿．一１ ≤ ＋ ≤１，即一１一 ≤仳 ≤
１
（１）当：０时，不等式一１ ≤０ｘ０ ≤１显然成立，
‘
、／
≥ ＿：ｙ、／（当且仅当：ｙ时取等号），、／
Ｉａ－２ … … ≥。
、 …
４
＜Ｏ
解：（１）分离不等式＋（１－ｔ）＋４＞０中的参数ｔ，得￡＋＋１，对任意 ∈［２，＋ ∞），
ｙ＋＋１在［２，＋）上单调递增，故ｙ＋
＋１ ≥５，所以￡＜５。
’
．．
ａ≤ ０
叉．・一１
—
１（
ｘ
１）２＋１＜－２，（一１
一
￣
）：
ｘ—
一
二
２．０≥ 一２．一２≤ ０≤ ０
综上得，。的取值范围为一２ ≤。 ≤０。例３：已知当 ∈Ｒ时，不等式 Ⅱ ＋ｃ０ｓ２ｘ＜５ — ４ｓｉ似Ｖ３５７－￣４恒成立，求实数口的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量ｎ及，其中的范围已知（Ｒ），另一变量ａ的范围即为所求，故可考虑将ｎ及分离。
＋３≤ ３。
・．
．
ｖ３７５￣－４一一ｎ＋５＞３，即、／！
＞
￣
＞叶２
上式等价于Ｉａ５－２
５
０
上式等价于｛ａ－４￣０

25.分离常数法和分离参数法

分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。

解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。

由1x ≤，得 21x -≤-。

所以1102x -≤<-。

故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。

解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。

3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。

解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。

所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。

通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。

这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。

代数式变形在高中数学中的应用(一)分式函数应对策略之分离常数法

代数式变形在高中数学中的应用（一）分式函数应对策略之分离常数法代数式变形在高中数学中应用十分广泛。

其中的分离常数法是研究分式函数的变形的常用方法。

分式型函数解题的关键是采用拆项使分式的分子为常数，或拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式。

通过这种变形，转变成一次函数，二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等我们熟悉的基本函数，然后根据它们的性质求解。

主要的分式函数有：ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+，等几种形式，下面分别加以讨论。

1、一次分式函数：形如(),(0,)ax b f x c ad bc cx d+=≠≠+ 函数叫一次分式函数。

利用分离常数法变形如下：(),ad ad ad ax b b ax b a c c c f x cx d cx d c cx d++--+===++++ 设ad b m c -=，则： ()ax b f x cx d +=+，不难看出()f x 像可由反比例函数 m y cx=图像经过平移取得。

从而很轻易解答如下问题：对于函数 ()(),()ax b a m ad f x f x m b cx d c cx d c+=⇔=+=-++ （1.）定义域是：(,)(,)d d c c -∞--+∞；（2.）值域是：(,)(,)a a cc -∞+∞；（3.）对称点为：(,)d a c c -，对称轴为：(()a d y x c c-=±+；（4.）单调性为：当0m >时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是增函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈-∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈+∞；当 0m <时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是减函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈+∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈-∞；例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解由已知有()1x b a b a b y x bx b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例3 已知 ()1a bx f x x a -=-- 的图象对称中心为 (3,1)- ，求 ,ab 的值。

分离常数法

分离常数法分离常数法是微分方程的一种常用解法之一，适用于一阶线性常微分方程。

它的核心思想是将方程中的变量和常数项分成两部分，从而使原方程转化成两个可分离变量的方程，进而求解出方程的解析解。

分离常数法的基本步骤如下：1. 将所给的一阶线性常微分方程写成标准形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)为函数。

2. 将方程两端同时乘以g(y)，并且将变量y的所有项移到方程的一边，变成dy/g(y) = f(x)dx。

3. 对上述等式两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。

4. 对所得的积分进行求解，得到一个含有常数C的方程。

5. 根据初始条件，将常数C确定下来，得到原方程的特解。

下面通过一个具体的例子来说明分离常数法的应用。

例题：求解一阶线性常微分方程dy/dx = x^2 - y^2。

解法：首先将方程整理为标准形式：dy/dx = (x^2 - y^2)将方程两端同时乘以1/(x^2 - y^2)，并将变量y的项移到方程的一边，得到：dy/(x^2 - y^2) = dx对上述等式两边同时积分，得到：∫dy/(x^2 - y^2) = ∫dx对左侧的积分进行处理，可以通过部分分式分解的方法将其分解为：1/2 [∫(1/(x - y) + 1/(x + y))dy]对分解后的两个分式进行分别求积分，得到：1/2 [ln|x - y| - ln|x + y|] + C1 = x + C2其中C1和C2为常数。

分离常数法在数学解题中的应用

分离常数法在数学解题中的应用分离常数就是把分子分母中都有的未知数的数学式子变成只有分子或者只有分母有的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。

通过这样的变形可以使式子简化并解决实际问题。

下面通过举例介绍分离常数法在数学解题中的应用。

1求函数值域例1：求函数y=■的值域解：y=■=■=1-■∵x■+1≥0∴-2≤■＜0从而-1≤y＜1所以函数y=■的值域是y∈[-1,1)例2：求函数y=■的值域解：y=■=■-1+■∵-1＜sinx≤1∴y≥0∴函数 y=■的值域是y∈[0,+∞)2讨论函数的单调性例3：讨论函数 y=x-■在区间[1,+∞)y=x-■在区间[1,+∞)上的单调性解： y=x-■=■在区间[1,+∞)上，由于x与■是单调增加所以x+■在区间[1,+∞)也是单调增加，从而y=x-■=■在区间[1,+∞)是单调减少的。

例4：讨论函数y=■的单调性解：y=■=■=■=1+■设0＜x1＜x，则1＜10■＜10■，从而0＜10■-1＜10■-1，所以■＞■即f(x1)＜f(x2)∴y=■在(0,+∞)上是单调减少；同理可证y=■在(-∞,0)上也是单调减少。

3求最值例5：求函数y=■(x■＞-1)的最小值解：y=■=■=■=(x+1)+■+5≥２■+5=9当且仅当(x+1)=■，即x=1时取等号所以函数y=■(x■＞-1)的最小值是9。

4数列中的应用例6：求和sn=■+■+■+…+■解：因为■=■=1+■=1+■(■-■)所以sn=[1+■(1-■)]+[1+■(■-■)]+[1+■(■-■)]+…+[1+■(■-■)]=1+1+…+1+■[(1-■)+(■-■)+(■-■)+…+(■-■)]=n+■(1-■)=■。

以上通过6个例子介绍了分离常数法在解数学题中的应用，可以看出，利用分离常数法，可以使复杂问题简单化，繁琐问题简洁化，从而更好更快地解决实际问题。

(分离常数法与分离参数法)

分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d +=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知x a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x '=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a . 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围. 解原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥. 5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点. 解直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).巩固练习：1、设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 2213log ,log 35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、设关于x 的方程0)5(6391=-+-+k k k x x在]2,0[内有解，求k 的取值范围.1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k的取值范围是 221min =+-<）（xx k4、函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量：]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,12232-∈--=x x xy 的值域，从而利用换元法求出),1[]273,(+∞⋃+--∞∈a .5．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =_4_____。

高中数学分离常数法仔细讲解(很实用)

形如y = (ax+b) / (cx+d)的都可以用常数分离法
先想办法把分子（ax+b）换成含（cx+d）的式子，结果为（ax+b）=t
（cx+d）+m
这个过程是包含了主要的技巧：（ax+b）尽量往（cx+d）靠拢
1、先化x前面的系数，（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
2、加一项减一项使得获得（+d），（a/c）（cx）+ b =（a/c）（cx + d - d）+ b
3、把那一项不符合（cx+d）的去掉，
（a/c）（cx + d - d）+ b =（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b4、化简（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b =（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b为了方便下面的叙述，令t =（a/c），m = -（ad/c）+b
整个上面的过程就是：（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
=（a/c）（cx + d - d）+ b
=（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b=（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
= t（cx+d）+m
以上就是分子的化简过程，接下来的就简单了
y = (ax+b) / (cx+d)
=〔t（cx+d）+m〕/ (cx+d)
= t +（m）/ (cx+d)
结束
（以上算法是针对分子分母x的次数相等，如y = (ax^2+b) / (cx^2+d)等均可以试用）
（若遇到分子分母x的次数不相等，则可以靠虑将x放入系数，有点复杂，现在学大学了，不知道高中具体是什么水平，所以把各种情况都写出来了）打的挺辛苦的，希望帮到你~。

分式取值的四种求法

分式取值的四种求法嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊一个挺有意思的数学话题——“分式取值的四种求法”。

别紧张，我保证咱们不讲那些高深莫测的算法，也不提什么复杂的训练数据，就用咱们平时聊天的语气，一起把这事儿给整明白了。

首先，咱们得明白啥是分式。

简单来说，分式就是两个整式相除的结果，上面那个叫分子，下面那个叫分母，分母还不能是零，不然这分式就得“歇菜”了。

现在，咱们要探讨的是，这分式啊，它到底能取哪些值？咱们有四个小妙招，一起来瞅瞅。

第一招，叫做“代入法”，这招就像是咱们玩游戏时试装备，看看合不合适。

咱们给分式里的字母挑几个好算的值，比如1、-1、0（注意哦，别让分母为零），然后塞进去算算看。

这一算，嘿，分式的值不就出来了吗？有时候，这么一试，就能发现分式能取到的所有值了，简单又直接。

第二招，是“分离常数法”。

这招听起来有点玄乎，其实就是咱们把分式拆成两部分，一部分是常数，另一部分是另一个分式。

为啥要这么拆呢？因为这样一来，咱们就可以更容易地看出分式的取值范围了。

就像是咱们把一块大蛋糕分成小块，吃起来不是更方便嘛！第三招，“图像法”，这可是个视觉盛宴。

咱们把分式画成图像，看看它在坐标系上是怎么跑的。

有时候，图像一出来，分式的取值范围就一目了然了。

就像是咱们站在山顶上看风景，那是一片开阔啊！而且，这图像法还有个好处，就是能让咱们更直观地感受到分式在不同取值下的变化趋势，真是既美观又实用。

最后一招，“判别式法”，这可是个“火眼金睛”的招数。

它主要用在那些分子或分母里含有二次项的分式上。

咱们通过计算判别式来判断分式的取值范围。

就像是咱们通过看一个人的眼睛来判断他的情绪一样，这判别式就是分式的“情绪表达器”。

只要咱们掌握了它，那些复杂的分式取值问题就都能迎刃而解了。

好了，说了这么多，小伙伴们是不是觉得分式取值其实也没那么可怕了呢？其实啊，数学就像是一位老朋友，只要你愿意去了解它、亲近它，它就会用各种有趣的方式来回应你。

一次比二不等式分离常数法的典型例题讲解

一次比二不等式分离常数法的典型例题讲解摘要：I.引言- 介绍一次比二不等式分离常数法- 说明分离常数法的重要性II.一次比二不等式分离常数法的例题讲解- 例题一：简单一次比二不等式的求解- 例题二：复杂一次比二不等式的求解- 例题三：带分数的一次比二不等式的求解III.总结- 总结一次比二不等式分离常数法的使用方法- 强调熟练掌握分离常数法对解题的重要性正文：I.引言在一次比二不等式的求解中，分离常数法是一种非常实用的方法。

通过这种方法，我们可以将不等式中的未知数分离出来，进而求解未知数的取值范围。

今天，我们将通过三个典型的例题，来讲解一次比二不等式分离常数法的具体应用。

II.一次比二不等式分离常数法的例题讲解例题一：简单一次比二不等式的求解给定不等式：x + 2 > 4通过分离常数法，我们可以将未知数x分离出来，得到：x > 4 - 2因此，不等式的解为：x > 2例题二：复杂一次比二不等式的求解给定不等式：3x + 4 < 8通过分离常数法，我们可以将未知数x分离出来，得到：3x < 8 - 4因此，不等式的解为：x < 2/3例题三：带分数的一次比二不等式的求解给定不等式：5/3x + 2 < 4通过分离常数法，我们可以将未知数x分离出来，得到：5/3x < 4 - 2因此，不等式的解为：x < 2/5III.总结通过以上三个例题，我们可以看到，一次比二不等式分离常数法的应用非常简单。

只需要将未知数分离出来，然后比较大小即可。

分离常数

所谓分离常数就是把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子所以就有了解法1：因为含有的未知数是分母是2x，分子是-x，所以要让它们成倍数关系，就得给分子乘以一个常数-1/2,这样-1/2·(2x+5)=-x-5/2，然后配凑常数相等即可∴y=(1-x)/(2x+5)=((-1/2)·(2x+5)+7/2)/(2x+5)=((-1/2)·(2x+5)/(2x+5)+（7/2)/(2x+5)=-1/2+（7/2)/(2x+5)解法2：令分母2x+5=t，则t=1/2·（t-5）代入分子，y=(1-1/2·(t-5))/t=(-t/2+7/2)/t=-1/2+(7/2)/t然后把t代换回来，有y=-1/2+（7/2)/(2x+5)Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1)=1/2-1/[2(2X+1)].即有,-1/[2(2X+1)]≠0,Y≠1/2.则,这个函数的值域是:{Y|Y≠1/2}.1.f(x)=-2x+3/(x+1)=[-2(x+1)+5]/(x+1)=-2+5/(x+1)f(x)≠-22.f(x)=4x+2/(3x+1) =[4/3(3x+1)+2/3]/(3x+1) =4/3+2/3/(3x+1)f(x)≠4/3 x∈[-2,-1/3)∪(-1/3,3)f(x)∈[ 4/3+2/3/(3(-2)+1) ,4/3)∪( 4/3,4/3+2/3/(3(3)+1) )分离常数法：为了方便记忆，我们从分子到分母，每一项前系数依次设为a，b，c ，d，公式推倒应该用Y=（ax+b）/（cx+d)（c≠0）而不是Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）。

所以这一句话应该改成：为了方便记忆，我们从分子到分母，每一项前系数依次设为a，b，c ，d，将形如Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）的函数，分离常数，变形过程为（ax+b）/（cx+d)=[a/c(cx+d)+b-da/c]/(cx+d)=a/c+(b-da/c)/(cx+d) 。

分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义

（1）求数列的通项公式；
（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以
所以当时，，
又，满足上式，
所以数列的通项公式
（2）
由对任意恒成立，即使对恒成立
设，则当或时，取得最小值为，所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线：，，求证：直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
∴函数在上单调递增，
又，
∴ ，
∴ ．
∴函数的值域为．
（Ⅲ）当时，．
由题意得在时恒成立，
∴ 在时恒成立．
令，
则有，
∵范围为．
例2.一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
例1.已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域；
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

分离常数法步骤

分离常数法步骤嘿，咱今儿就来讲讲这分离常数法的步骤！这可是数学里挺有用的一招呢！你看啊，就好比咱要解开一个复杂的谜题。

首先呢，咱得找到那个可以分离常数的式子。

这就像在一堆杂物里找到那颗特别的宝石，得有双敏锐的眼睛不是？比如说，给你一个分式，你得瞅瞅能不能把分子里的一部分和分母有点啥关联，能给它分离开来。

然后呢，就开始动手操作啦！把能分的常数分出来，让式子变得清晰明了。

这就像给一幅画上色，把该突出的部分凸显出来，一下子就好看多了。

这一步可得细心点儿，别弄错了哦，不然就前功尽弃啦！接着呀，你会发现经过这一番操作，式子变得不一样了，好像变得更简单、更好懂了。

这时候你再去观察它，是不是感觉像认识了一个新朋友，一下子就亲近了许多？举个例子吧，比如说有个式子像这样：(ax+b)/(cx+d)。

咱就可以把分子里的 ax 部分和分母的 cx 部分联系起来，试着把 a/c 这个常数给分离出来。

哎呀，这感觉是不是挺奇妙的？就像魔术师一样，把一个复杂的东西变得简单又有趣。

你想想，要是没有这分离常数法，咱面对那些复杂的式子得多头疼啊！但有了它，就像有了一把神奇的钥匙，能打开数学难题的大门。

在学习数学的道路上，这分离常数法可是个好帮手呢！它能让咱更轻松地应对各种难题，让咱的数学之旅更加顺畅。

所以啊，可得好好掌握它的步骤，多练练，多熟悉熟悉。

等你熟练了，再遇到类似的问题，那都不是事儿啦！咱可别小瞧了这小小的分离常数法，它的用处可大着呢！它能帮咱解决很多难题，让咱在数学的海洋里畅游。

就像一艘小船，带着咱驶向知识的彼岸。

怎么样，现在对分离常数法的步骤是不是更清楚啦？赶紧去试试吧，相信你会有新的发现和收获！加油哦！。

分离常数法求定义域

分离常数法求定义域
嘿，朋友们！今天咱来聊聊分离常数法求定义域这档子事儿。

你说这分离常数法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多函数定义域的大门呢！比如说，有些函数看起来挺复杂，就像一团乱麻，但咱用这分离常数法，就能把它给理清楚啦。

咱就拿个具体例子来说吧。

就好像有个函数像是个调皮的小孩子，到处乱跑，让人摸不着头脑。

但咱用分离常数法，就能把它给抓住，让它乖乖听话。

咱把那函数里的式子进行一番巧妙的变形，把能分离开的常数给分离开来，嘿，这一下子，它的真面目不就露出来了嘛！
你想想看，这是不是很有趣？就好像你在解一个谜题，一开始云里雾里的，但通过分离常数法，一点点地把谜底给揭开了。

那感觉，真的是太爽啦！
这分离常数法啊，在很多地方都能派上用场呢。

比如在一些不等式问题里，它能帮我们找到关键的突破点，让我们能顺利地解决问题。

它就像是我们手中的秘密武器，能在关键时刻发挥大作用。

而且哦，学会了这一招，你会发现很多难题都不再那么难啦！就好像你掌握了一门独特的功夫，面对那些“小怪兽”，你都能轻松应对。

咱再换个角度想想，生活中不也有很多类似的情况吗？有时候一些事情看起来乱糟糟的，但只要我们找到合适的方法，就能把它们整理得井井有条。

这分离常数法不就是这样一个好方法嘛！
那你还等什么呢？赶紧去试试这神奇的分离常数法呀，去感受一下它给你带来的惊喜和乐趣吧！别再犹豫啦，行动起来才是最重要的呀！相信我，一旦你掌握了它，你就会像发现了新大陆一样兴奋呢！这分离常数法求定义域，真的是超级实用，超级有趣的呀！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。

分离常数知识点总结

分离常数知识点总结一、分离常数型：1、分析问题 a、形式：一元二次不完全平方（一个平方项和一个不含x的项）（ x^2+px+q）,化为完全平方的功能。

b、目的要求：a>0.2、基本思路：一、通过配方法配成平方完全平方。

二、将x^2+px+q化成x^2+2ax的形势。

（其中x^2+px取出相同项a）三、化简x^2+px+q四、用(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 即得(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.We usually get a+x=a+/-√a^2-q=a±√a^2-q3、具体做法：一、切除x^2+px到(x+a)^2=x^2+2ax+〖(x+a)〗^2=x^2+px ,得出a=1/2p二、将x^2+px+q此后疏通三、转换后为(x+a)^2-q+a^2四、解此公式x+a1=x1+a a+x2=-a2=x2-a。

(x+a)^2=q+a^2 〖(x+a)〗^2=-q+a^24、用法（用配方法解一元二次方程）一、解单变数一次二次方程知识要领：一元二次方程的形式优化与变型，用配方法解一元二次方程。

二、推广至多元一次二次方程知识要领：多变数一次二次方程的解法，将一元二次方程套进多元一次二次方程。

三、同一元二次不等式知识要领：一元二次不等式的解法，用分离常数与中学公式解不等式特定范围。

四、指数与根号中的分离常数知识要领：同样用分离常数来解决指数与根号中的易变性。

5、配方型发扬如何使用配方法解决一元二次方程，而非给出线索，道出配方字面定义。

6、配方型应用和解方型辨析：弥补配方法与求根公式的积累好处，题目大讲解、辨析或应用7、配方应用拓展指出其他配方法应用，丰富学生知识点8、整合服务生活：如何用生活例子说明配方方法，构建做题与实际应用结合的桥梁。

分离常数解利用整数解：-1,200与19。

由于方程的解为常数，所以可设y=x+1，解得（x+1）^2=x^2+2x+1=200x^2+2x=199（x+1）^2=(x+1)^2=200x^2+x=19x^2+2x<200x^2+x<19x^2＝200-xy^2＋x^2＋y＝200y^2＋19＋y＝200y^2＝200-19-yy^2＝181-2y这种方法称为分离n常数解。

常数分离法

常数分离法常数分离法概念:分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。

还有一种常见的应用方式是在分式型函数中，当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，也称之分离常数法。

【题目】：什么是分离常数法。

【答案解析】：分离常数法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,这时通过多项式的除法,分离出常数,使问题简化。

在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端）,从而求出变量的取值范围.这种方法可称为分离常数法。

用这种方法可使解答问题简单化。

例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数。

例:y=x/(2x+1).求函数值域。

分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不含X项。

Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1)=1/2-1/[2(2X+1)].即有,-1/[2(2X+1)]≠0,Y≠1/2.则,这个函数的值域是:{Y|Y≠1/2}。

分离常数法：为了方便记忆,我们从分子到分母,每一项前系数依次设为a,b,c ,d,公式推倒应该用Y=（ax+b）/（cx+d)（c≠0）而不是Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）.所以这一句话应该改成：为了方便记忆,我们从分子到分母,每一项前系数依次设为a,b,c ,d,将形如Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）的函数,分离常数,变形过程为（ax+b)/（cx+d)=[a/c(cx+d)+b-da/c]/(cx+d)=a/c+(b-da/c)/(cx+d) 。

a/c+(b-da/c)/(cx+d)可以称作分式一般式分离常数公式。

适用情况举例：（1）分离常数法适用于解析式为分式形式的函数，如求的值域，则可分离常数为，进而求值域，[3] 当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，称之分离常数法。