分离常数法

分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变 形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等 式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围 的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键：
分离变量后，将问题转化为求函数的最值或值域的问题，
定理1 不等式f x ga恒成立 fmin x ga 不等式f x ga恒成立 fmax x ga
分离变量法
分离变量法：
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试 题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本 思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分 类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的 正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都 需要使用该思想方法.
求实数a的取值范围.
1.已知f
x
lg
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a x
2
,
若对任意x
2，
恒有f
x
0，
求实数a的取值范围.
2.已知x ,1时,不等式1 2x a a2 4x 0恒成立，
求实数a的取值范围.
3.设f x lg 1 2x a 4x ，若x ,1时，f x 恒有意义，求实数a的取值范围.
Q h x x2 4x 3 x 1,4
hmax x h1 2
2 2a2 5a 1 2a2 5a 3 0
a 1或a 3
4.若函数f x 4x 2a 2x 1有零点，求实数a的取值范围.
例析：4x
2a
2x
1
0
2a
4x 2x
1
令f
x
4x 2x
1
方程4x 2a 2x 1 0有解 函数f x的图象
例析：令y 4sin x cos2 x sin2 x
则不等式4 sin x cos2 x sin2 x a 5恒成立 ymax a 5
y 4sin x cos2 x sin2 x 2sin2 x 4sin x 1
令sin x t,则t 1,1
y 2t2 4t 1t 1,1
与直线y 2a有交点
令2x t,则y t 1 t 0
t 1 2a ymin t t 2
a 1
y
2
o1
t
例1.已知f x x2 ax 1, x 0,1,且 f x 3,求实数a的取值范围.
例析：f x 3 3 f x 3
即
f x 3 f x 3
3
4.设f x定义在R上的增函数，若不等式f 1 ax x2 f 2 a 对于任意x 0,1恒成立，
求实数a的取值范围.
x2 ax 1 3
x2
ax 1
3
令g x x2 4 , h x x2 2
x
x
x2 4
a a
x x2
x
2
a
a
gmax hmin
x x
g
x
x
4 x
5
hx x 2 1
x
a 5
a
1
例2.已知f x 2ax2 2x a 3, x 1,1,若函数y f x有零点，
定理2 不等式f x ga存在解 fmax x ga 不等式f x ga存在解 fmin x g a
定理3 方程f x =g a有解 g a y y f x
1.已知当x R时，不等式4sin x cos2 x sin2 x a 5恒成立， 求实数a的取值范围.
Q h x x2 4x 3 x 1,4
hmin x 7
7 2a 1 a 3
3.若f x x2 3x 3在1,4上有f x x 2a2 5a 1恒成立，
求实数a的取值范围.
例析：f x x 2a2 5a 1恒成立 f x x 2a2 5a 1恒成立 令h x f x x 则f x x 2a2 5a 1恒成立 hmax x 2a2 5a 1
ymax 3
3 a 5 a 2
2.若f x x2 3x 3在1,4上有f x x 2a 1恒成立，
求实数a的取值范围.
例析：f x x 2a 1恒成立 f x x 2a 1恒成立 令h x f x x则f x x 2a 1恒成立 hmin x 2a 1