第八章 扭转

二、选择题
1、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ Ａ．扭矩最大截面 Ｃ．单位长度扭转角最大的截面 2、扭转切应力公式 ）。 Ｂ．直径最小的截面 Ｄ．不能确定 ）杆件。
MT 适用于（ Ip
Ａ．任意截面 Ｂ．任意实心截面 Ｃ．任意材料的圆截面 Ｄ．线弹性材料的圆截面 3、单位长度扭转 与（ ）无关。 Ａ．杆的长度 Ｂ．扭矩 Ｃ．材料性质 Ｄ．截面几何性质 解析：长度为 l 的等截面圆杆承受矩Ｍn 时，圆杆两端的相对扭转角为 式中ＧＩＰ称为圆杆的抗扭刚度。单位长度扭转角为
上的最大切应力发生在外表面处， 即 max
（或抗扭截面模量）。 ２．当非圆截面杆扭转时，截面发生翘曲，因而圆杆扭转的应力和变形公式不再适用。 （√） 解析：非圆截面杆在扭转变形后横截面不再是平面，变成一个曲面并发生翘曲，这是非圆截 面杆扭转时的一个重要特性。由于截面的翘曲，平截面假设不再成立，因而圆杆的扭转公式 不能应用于非圆截面杆。这里仅限于讨论自由扭转（即纯扭转）的情况，这时横截面上只有 切应力。 ３．当矩形截面杆扭转时，横截面周边上切应力和周边不平行。（×） 解析：矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特点： (a)截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切)； (b)截面角点处的剪应力等于零； (c)截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处. ４．当杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（×） 解析：矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知横截面周边上的切应力和周边相切，角点 处的切应力为零。横截面上最大切应力发生在长边的中点处。 ５．圆杆扭转变形实质上是剪切变形。 （√） 解析：圆杆扭转时，圆杆各点处于纯剪切应力状态，其最大拉应力、最大压应力数值相等。 ６． 非圆截面杆不能应用圆杆扭转切应力公式， 是因为非圆截面杆扭转时平截面假设不能成 立。（√） ７．内径为 d，外径为 2d 的空心圆轴的抗扭截面系数为。 （×）
71 . 77 10 3 71 . 77 k
150 p M e 9549 n 9549 4774.5 N m 300
Me 4774.5 T max W W 25.94MP 40MP t t 0.13 10.54 16

Mn 2 At
式中 t 为横截面的厚度（等厚度截面 t 为常数），Ａ为截面中线包围的面积。 截面的最大切应力发生在厚度最小处，即
max
Mn 2 At min
等厚度闭口薄壁杆件的扭转角为

M n sl （式中 s 为截面中线的长度） 4GA 2 t
9．当闭口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最小厚度处。 （√） 10．受扭杆件所受的外力偶矩，经常要由杆件所传递的功率及其转速换算而得。（√） 解析：杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已 知轴传递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。

M nl 1 3 ，式中 I n hi t i GI n 3
任一狭长矩形 i 横截面的最大切应力
i max
M nti In
整个横截面上最大切应力发生在厚度最大的矩形长边上，即 （２）闭口薄壁杆件
max
M n t max In
闭口薄壁杆件限于单孔薄壁管形杆件。由于壁厚很小，近似认为切应力沿壁厚均布，横 截面上形成切应力流。在横截面的任意点，切应力与壁厚的乘积（称为剪力流）等于常量。 横截面上任一点的切应力为
Tmax 180 'max GIP
3 0.8 10 4 0 . 05 9 4 80 10 0.06 1 32 0.06

180


0.87 / m ' 1.3 / m
故，刚度满足。 7、如图所示，一两端固支的圆轴，在 B 截面处受转矩 Me 作用。试求固支端处 反力偶。
（2）根据公式
T max W M W
t e t
M
e
9549
p n
P
max W t n 9549

0 . 1 1 0 . 05 46 . 54 10 6 16 0 .1 9549 3

4 80
5．某空心轴外径 D=100mm，内外径之比α=d/D=0.5，轴的转速 n=300r/min，轴所传递功率 P=150kW， 材料的剪模量 G=80GPa， 许用剪应力[τ]=40MPa， 单位长度许可扭转角[φ']=0.5º/m， 试校核轴的强度和刚度。 解：（1）强度校核。
第八章
一、判断题
扭转
１． 当圆杆扭转时， 横截面上切应力沿半径线性分布， 并垂直于半径， 最大切应力在外表面。 （√） 解析：圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为 处的 切应力为
Mn 式中Ｍn 为横截面的扭矩，ＩＰ为截面的极惯性矩。圆杆扭转时横截面 Ip Mn 式中ＷＰ＝ＩＰ／Ｒ， 称为圆杆抗扭截面系数 Wp
M nl （rad） GI P
Mn （rad/m）。 l GI P
4、在圆轴扭转横截面的应力分析中，当材料力学研究横截面变形几何关系时作出的假设是 （ ）。 Ａ．材料均匀假设 Ｂ．应力与应变成线性关系假设 Ｃ．平面假设 Ｄ．各向同性假设 5、扭转切应力公式τρ=MTρ/IP 的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的（ ）。
max = AB ， max = AB C. max = BC ， max = AB
A.
B.
max = AB ， max = BC D. max = BC ， max = BC
三、计算题
１．画出图示各轴的扭矩图
2.如图所示，已知变截面钢轴上的外力偶矩 MeB=1.8kN·m，MeC=1.2kN·m，试求最大剪应力 和最大相对扭转角。已知 G=80GPa。
由于截面上内力的大小（扭转）为 1550.2Nm,有内力的截面为 d3，d4，d5。由于内力相同时， 截面尺寸越小的位置，应力越大。可得,
max
M T 1550.2 e3 23.02MPa 30MPa 3 Wt min 16 d5 16 0.07
4.空心钢轴的外径 D=100mm，内径 d=50mm。已知间距 l=2.7mm 之间两截面的相对扭转角 1.80，材料的剪切模量 G=80GPa。试计算： （1）轴内最大剪应力； （2）当轴以 n=80r/min 的 速度旋转时，求轴传递的功率 P（单位为 kW）。 （1）
3、图示电机轴，转速 n=924r/min，传送功率 P=150 KW，材料的许用剪应力[ ]= 30 Mpa。 轴各段直径为 d1 =65 mm，d2 =90mm， d3 =135mm(安装转子处)，d4 =75mm，d5 =70mm(安装 胶带轮处)。试对电机轴进行强度校核。
Me
P 150 M e 9549 9549 1550.2N m n 924
D 3 (1 4 ) 16 解析： D 4 Ip (1 4 ) 32
Wp
８．当开口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最薄的矩形长边上。（×） 解析：杆件横截面的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸时，称为薄壁杆件。若杆件横截 面中线是一条不封闭的折线或曲线， 称其为开口薄壁杆件； 若横截面中线是一条封闭的折线 或曲线，称其为闭口薄壁杆件。 （１）开口薄壁杆件 开口薄壁杆件的横截面可以可看作由若干狭长矩形截面组成。 设扭转时各狭长矩形之间 的夹角不变，即整个横截面和组成截面的各部分的扭转角相同，都为；横截面的扭矩Ｗn 等于各组成部分扭矩的总合。 相矩为 l 的两横截面间的扭转角

（1）受力分析，A、C 截面约束力偶与外力偶 Me 平衡：
MA MC Me 0
解：（1）计算内力得到内力图：
计算τmax：
AB BC
T AB Wt TBC Wt

310 3 0 .0075 3 16 1.210 3 0 .05 3 16
36 .2 MPa
48 .9 MPa
由此得到：τmax=48.9MPa。 计算φmax。最大相对扭转角发生在 A 端。



故，强度满足。 （2）刚度校核。 180 4774 .5 180 T ' max GI P 80109 0.14 10.54 32

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0.37
故，刚度满足。
m
' 0.5

m
6、如图所示的空心轴，外径 D=69mm，内径 d=50mm，受均布力偶 m=0.2KN.m/m 的作用。 轴的许用应力[ ]=40MPa，[ ]=1.3o/m，G=80GPa。轴的长度 l=4m。试校核轴的强度和刚 度。
解： A.强度校核：
Tmax ml 0.2 4 0.8kN m
max
Tmax Wt

3 0.8 10 0.05 3 0.06 1 16 0.06



4

36.43MPa 40MPa

故，强度满足。 B.刚度校核：
Ａ．等截面圆轴，弹性范围内加载 Ｂ．等截面圆轴 Ｃ．等截面圆轴和椭圆轴 Ｄ．等截面圆轴和椭圆轴，弹性范围内加载。 6、与如图所示扭转图对应的轴的承受载荷情况是（C）
7、下列论述中正确的是（ ）。 Ａ、切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。 适用于：单元体上两个相互垂直平面上的剪应力分析，空间任意应力状态。 Ｂ、已经 A3 钢的τs=120MPa，G=80GPa，则由剪切胡克定律，其切应变γs=τs/G=1.5×10-3Rad 当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力和切应变成线性关系，即＝Ｇ Ｇ称为切变模量（或剪切弹性模量），常用单位为Ｐa 或ＧＰa。 Ｃ、传动轴的转速越高，则其横截面上的扭矩越大。 杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已知轴传 递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。 Ｄ、受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料及横截面的形状、大小 无关。 8、当对钢制圆轴作扭转校核时，发现强度和刚度均比规定的要求低了 20%，若安全系数不 变，改用屈服极限提高了 30%的钢材，则圆轴的（ ） Ａ.强度足够，刚度不够 Ｂ.强度不够，刚度足够 Ｃ.强度、刚度均足够 Ｄ.强度、刚度均不够 屈服极限提高了，在安全系数不变的条件下，材料的许用应力提高，而构件的最大工 作应力没有改变，故强度得到了提高；由于杆件的受力不变，横截面的尺寸不变，而材料的 剪变模量也几乎没有变化，故刚度没有提高。 9、如图所示阶梯轴，AB，BC 两段材料相同，直径不等。设 AB 段、BC 段横截面上的最大 剪应力为 AB ， BC 单位长度扭转角分别为 AB ， BC 。则该轴的强度条件 max 和度 ， 件 max 中的 max 和 max 分别为（ ）
max AB BC

310 3 0 .75 0 .0075 4 80 10 9 32
T AB l AB GI P
l BC TBC GI P
3
1 .210 0 .5 80 10 9 0 .05 4
32
2.128 10 2 rad 1.22