高等代数学答案04
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−3 −4 −6 −4 . (2) 1 4 1 1 1 2 4 6 ( ) cos θ − sin θ 3. . sin θ cos θ 4. 4.3.1 训练题填空题 5. 5. 4.3.1 训练题解答题 1. 6. 4.3.1 训练题解答题 6. 7. 例 2.41. 8. 设 P −1 AP = B , Q−1 CQ = D , 则 ( P O )−1 ( )( A O P O C O ) = ( B O O D ) .
O Q
O Q
9. 设 A 只与自己相似, 则对任意非异阵 P 均有 A = P −1 AP , 故 P A = AP , 即 A 与任意非异阵可交换. 由例 2.9, A = k In , 此时 A 显然与自己相似, 故 A = k In .
−1 −1 10. Pij APij = B , 而由推论 2.4.1, Pij = Pij . 故 A 相似于 B , 且 P = Pij .
复旦大学高等代数教材第四章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
4.1
1. (1) 是; (2) 是; (3) 是; (4) 不是; (5) 不是. 2. 充分性: φ(k α + lγ ) = A(k α + lγ ) = k Aα + lAγ = k φ(α) + lφ(γ ). 必要性: φ(k α + lγ ) = A(k α + lγ ) + β = k Aα + β + lAγ + β , k φ(α) + lφ(γ ) = k Aα + β + lAγ + β . 所以 β = 0. 3. 例 4.2. 4. 4.3.1 训练题解答题 2.
0 ··· 0 ··· 3 ··· . . . 0 ··· 0 ···
0 0 ; . . . n − 1 0
0
4 11. 例 4.29. 12. 例 4.30. 13. 例 4.6. 14. 4.3.1 训练题解答题 12. 15. 例 4.4. 16. (1)(2) 例 4.15; (3) 例 4.16. 17. 例 4.12. 18. 例 4.13. 19. 例 4.11. 20. 例 4.35. 21. 例 4.5. 22. 例 4.38. 23. 例 4.22. 24. 例 4.3. 25. 4.3.1 训练题解答题 9. 26. 例 4.31. 27. (1) 例 4.51 (1); (2) 例 4.51 (2); (3) 4.3.1 训练题解答题 10 (1); (4) 4.3.1 训练题解答题 10 (2). 28. 例 4.50. 29. 4.3.1 训练题解答题 7. 30. 4.3.1 训练题解答题 8. 31. 例 3.71. 32. 例 4.27. 33. 例 4.52. 34. 例 4.53. 35. 例 4.32. 36. 例 4.33. 37. 例 4.34. 38. 例 4.24.
11. 例 4.25. 12. 例 4.18.
4.4
1. 例 4.28. 2. 显然 φ = φ. Imφ = V1 , Kerφ = V2 . 表示矩阵为
2
(
Ir O
O O
) .
3. 例 4.39. 4. 4.3.1 训练题填空题 10. 5. 例 4.36.
3 6. 例 4.40. 7. 例 4.41. 8. 见例 4.14.
4.5
1. 例 4.42. 2. 例 4.43. 3. 例 4.44. 4. 由不变子空间的定义显然. 5. 例 4.48. 6. 例 4.47.
复习题四
1. (1) 显然是线性变换，表示矩阵为 0 1 0 0 0 2 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 (2)(3) 例 4.45. 2. 4.3.1 训练题解答题 5. 3. 新基下的表示矩阵为 Pij APij . 4. 例 4.23. 5. 例 4.26. 6. 例 4.19. 7. 易证 φ(U ) 是 V 的子空间. 因为 φ 是线性变换且是满射, 所以 φ 是同构, 它将 U 的一组基映为 φ(U ) 的一组基, 所以 φ(U ) 也是 V 的 r 维子空间. 8. 例 4.46. 9. 例 4.9. 10. 例 4.7.
4.2
1. 例 4.14. 2. 显然. 3. 请读者自行验证. 4. 显然. 5. 例 4.10. 1
2
4.3
1. 4.3.1 训练题填空题 3, n = 4. 2. −1 5 1 2 ; (1) 1 3 0 −1 2 2 3 2 4 4 1 5 2 2 1 1
−3 −4 −6 −4 . (2) 1 4 1 1 1 2 4 6 ( ) cos θ − sin θ 3. . sin θ cos θ 4. 4.3.1 训练题填空题 5. 5. 4.3.1 训练题解答题 1. 6. 4.3.1 训练题解答题 6. 7. 例 2.41. 8. 设 P −1 AP = B , Q−1 CQ = D , 则 ( P O )−1 ( )( A O P O C O ) = ( B O O D ) .
O Q
O Q
9. 设 A 只与自己相似, 则对任意非异阵 P 均有 A = P −1 AP , 故 P A = AP , 即 A 与任意非异阵可交换. 由例 2.9, A = k In , 此时 A 显然与自己相似, 故 A = k In .
−1 −1 10. Pij APij = B , 而由推论 2.4.1, Pij = Pij . 故 A 相似于 B , 且 P = Pij .
复旦大学高等代数教材第四章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
4.1
1. (1) 是; (2) 是; (3) 是; (4) 不是; (5) 不是. 2. 充分性: φ(k α + lγ ) = A(k α + lγ ) = k Aα + lAγ = k φ(α) + lφ(γ ). 必要性: φ(k α + lγ ) = A(k α + lγ ) + β = k Aα + β + lAγ + β , k φ(α) + lφ(γ ) = k Aα + β + lAγ + β . 所以 β = 0. 3. 例 4.2. 4. 4.3.1 训练题解答题 2.
0 ··· 0 ··· 3 ··· . . . 0 ··· 0 ···
0 0 ; . . . n − 1 0
0
4 11. 例 4.29. 12. 例 4.30. 13. 例 4.6. 14. 4.3.1 训练题解答题 12. 15. 例 4.4. 16. (1)(2) 例 4.15; (3) 例 4.16. 17. 例 4.12. 18. 例 4.13. 19. 例 4.11. 20. 例 4.35. 21. 例 4.5. 22. 例 4.38. 23. 例 4.22. 24. 例 4.3. 25. 4.3.1 训练题解答题 9. 26. 例 4.31. 27. (1) 例 4.51 (1); (2) 例 4.51 (2); (3) 4.3.1 训练题解答题 10 (1); (4) 4.3.1 训练题解答题 10 (2). 28. 例 4.50. 29. 4.3.1 训练题解答题 7. 30. 4.3.1 训练题解答题 8. 31. 例 3.71. 32. 例 4.27. 33. 例 4.52. 34. 例 4.53. 35. 例 4.32. 36. 例 4.33. 37. 例 4.34. 38. 例 4.24.
11. 例 4.25. 12. 例 4.18.
4.4
1. 例 4.28. 2. 显然 φ = φ. Imφ = V1 , Kerφ = V2 . 表示矩阵为
2
(
Ir O
O O
) .
3. 例 4.39. 4. 4.3.1 训练题填空题 10. 5. 例 4.36.
3 6. 例 4.40. 7. 例 4.41. 8. 见例 4.14.
4.5
1. 例 4.42. 2. 例 4.43. 3. 例 4.44. 4. 由不变子空间的定义显然. 5. 例 4.48. 6. 例 4.47.
复习题四
1. (1) 显然是线性变换，表示矩阵为 0 1 0 0 0 2 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 (2)(3) 例 4.45. 2. 4.3.1 训练题解答题 5. 3. 新基下的表示矩阵为 Pij APij . 4. 例 4.23. 5. 例 4.26. 6. 例 4.19. 7. 易证 φ(U ) 是 V 的子空间. 因为 φ 是线性变换且是满射, 所以 φ 是同构, 它将 U 的一组基映为 φ(U ) 的一组基, 所以 φ(U ) 也是 V 的 r 维子空间. 8. 例 4.46. 9. 例 4.9. 10. 例 4.7.
4.2
1. 例 4.14. 2. 显然. 3. 请读者自行验证. 4. 显然. 5. 例 4.10. 1
2
4.3
1. 4.3.1 训练题填空题 3, n = 4. 2. −1 5 1 2 ; (1) 1 3 0 −1 2 2 3 2 4 4 1 5 2 2 1 1