高等代数学答案04
高等数学答案_第四册_四川大学编
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i 试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+ 121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+ (0,);(0,);(0,);απβπγπ∈∈∈(0,3);αββπ∴++∈ 0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
高等代数习题答案
《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3， 则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。
高等代数第4章习题解
第四章习题解答习题4.11、计算（1）120313012410152(,,,)(,,,)(,,,)-+（2）15012101112(,,)(,,)(,,)+- 解：（1）15517203130124101532222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)-+=--- （2）195012101110922(,,)(,,)(,,)(,,)+-= 2、验证向量加法满足交换律、结合律。
证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,),n n n a a a b b b c c c αβγ=== 则 12121122(,,,)(,,,)(,,,)n nnn a a a b b b a b a b a b αβ+=+=+++ 11221212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n b a b a b a b b b a a a βα=+++=+=+ 121212()((,,,)(,,,))(,,,)n n n aa ab b bc c c αβγ++=++ 112212((,,,))(,,,)n n n a b a b a b c c c =++++111222(,,,)n n n a b c a b c a b c =++++++111222((),(),,())n n n a b c a b c a b c =++++++121122(,,,)((,,,))n n n a a a b c b c b c =++++121212(,,,)((,,,)(,,,))n n n a a a b b b c c c =++()αβγ=++3、证明性质4.1.5。
性质4.1.5的内容是：对任意n 维向量,αβ及数k ，有()()k k k ααα-=-=-，()k k k αβαβ-=-证明：设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==那么1212()()(,,,)((),(),,())n n k k a a a k a k a k a α-=-=---1212(,,,)((),(),,())n n ka ka ka k a k a k a =---=---1212((),(),,())((,,,))()n n k a a a k a a a k α=---=-=-其次1212()((,,,))(,,,)n n k k a a a k a a a k αα-=-=-=-最后：12121122112212121212()((,,,)(,,,))(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n n n n n k k a a a b b b k a b a b a b ka kb ka kb ka kb ka ka ka kb kb kb k a a a k b b b k k αβαβ-=-=---=---=-=-=-4、设123101010001(,,),(,,),(,,)εεε===，求证：对任意的3F α∈，在F 中都有唯一的一组数123,,a a a 使112233a a a αεεε=++ 解：设α的坐标为123(,,)a a a ，那么123123123000000(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a a a a α==+++=+123123000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a =++++=++ 123112233100010001(,,)(,,)(,,)a a a a a a εεε=++=++由于给定向量的坐标是唯一的，所以上面等式中的数123,,a a a 是唯一的。
04高代答案
博士数学论坛 /
a11 + x1 a12 + x 2 ⋯ a 1n + x n a21 + x1 a 22 + x 2 ⋯ a 2n + xn
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 + x1 an 2 + x2 ⋯ ann + x n
=
a 11 a 12 ⋯ a 1n a 21 a 22 ⋯ a 2n
故 ∑ ( −1)i M i = 0 ⇔ B = 0 ⇔ r ( B ) < n ⇔ r ( A) < n − 1 ⇔ A 的行向量组不是
i −1 n
x1 + x2 + ⋯ + xn = 0 的基础解系.
(2) 若 ∑ ( −1)i M i = 1 , 则 ∑ ( −1)i +1 M i = −1, 进而 B = −1 ≠ 0 (可逆),
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n1 a n2 ⋯ a nn
+ ∑ xi ∑ Aij ,
j =1 i =1
n
n
其中 Aij 为
a11 a12 ⋯ a1 n a21 a22 ⋯ a2n
⋯ an1 ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann
中元素 aij 的代数余子式.
2. (20 分)设 A , B 分别为数域 P 上的 m × s 矩阵和 s × n 矩阵, 令矩阵 AB = C . 证 明:如秩 A = r , 则数域 P 上存在一个秩 min{ s − r, n } 的 s × n 矩阵 D , 满足对于 数域 P 上任何 n 阶方阵 Q ,
⎛0 0 ⎞ 若 s − r > n , 则可取 D = R−1 ⎜ ⎟ , A( QD − B) = 0 + AB = C . □ ⎝ 0 I n ⎠ s ×n
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】xt>一、判断题1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.错.2. 如果a2?0,则a?0.错.如a11?2?,a?0,但a?0.1?1?23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.1?1?2?1?3?2?6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且(a*)?1?1a. |a|8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.二、选择题1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a3．以下结论不正确的是（ c ）.(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)6．下列命题正确的是（b ）.(a) 若ab?ac，则b?c(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；(b) 当m?n时，必有行列式ab?0(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.8．以下结论正确的是（ c）(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0(b) a主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?012．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c(d) 若b?c，则必有ab?ac13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；***t**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.aa*?ae?a.*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）234n(a) a (b) a (c) a(d) a16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?ak?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随(d)以上结论都不对18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?0? *?bb?0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)c0?aba*0?? (d) c??ab*??0利用cc*?|c|e验证.19．已知a46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b1?2??246?(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba【篇二：高等代数第4章习题解】题4.11、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?1(1,0,1,5) 2（2）5(0,1,2)?(1,1,0)?(1,1,1) 215517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?（2）5(0,1,2)?(1,19,0)?(1,1,1)?(0,,9) 222、验证向量加法满足交换律、结合律。
高等代数第四章及其习题答案
α b11
A1 0
= B1 0
β a11b11 a11β + α B1
A1 B1
，
为上三角形矩阵， 由归纳法假设知 A1 B1 为上三角形矩阵，故 AB 为上三 角形矩阵。 角形矩阵。
2）设 A = ( aij ) 为一可逆的上三角形矩阵，则 ） 为一可逆的上三角形矩阵， nn
= ε iT A j L 0 L L L 0 L a jn i 行 . L 0 L L L 0
0 M 0 a1i AEij = ( B1 , L , Bn ) ε j = Bi ε j = M ( 0, L , 0,1, 0, L , 0 ) a 0 ni M 0 0 0 = L 0 L L L 0 0 0 a1i a2 i L ani 0 L L 0 . L L L 0 L 0 0 L
T
y1 n T T 2 ( Ax) Ax = y y = ( y1 ,L, yn ) M = ∑ yi = 0, y i =1 n
从而 yi = 0, i = 1, L, n , 即 y = Ax = 0 ，由
x 的任意性知 Aε j = 0, j = 1,L , n ，其中
为数量矩阵. 为数量矩阵 级矩阵可交换， 注：因 A 与所有 n 级矩阵可交换，故 A 一定与 可交换， E i j ( i , j = 1, L , n ) 可交换，于是 AEij = Eij A.
10、已知 A为实对称矩阵 且 A2 = 0 , 不妨设 A = aij 、 为实对称矩阵, 阶矩阵， 为 n 阶矩阵， = x
T
( )
nn
高等代数(北大版)第4章习题参考答案
第四章 矩阵1.设1）311212123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111210101B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2）111a b c A c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111a c B b b c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭计算AB ，AB BA -。
解 1）622610812AB -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ ，400410434BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭222200442AB BA -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭ 2）22222222223a b c a b c ac b AB a b cac b a b c a b c a b c ⎛⎫+++++⎪=+++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ⎛⎫+++++ ⎪=+++++ ⎪ ⎪+++++⎝⎭33()ij AB BA a ⨯-=， 其中11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =-2.计算22111)310012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭5322)42⎛⎫ ⎪--⎝⎭113)01n⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos sin 4)sin cos nϕϕϕϕ-⎛⎫⎪⎝⎭()15)2,3,111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，()112,3,11⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ()1112132122313132336),,11a a a x x y a a a y a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2111111117)11111111---⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1111111111111111n---⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭108)0100nλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 22117441)310943012334⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||A A A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+- 6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA =(B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
高等代数(第四版)习题答案 王萼芳、石生明
3． 一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因 式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4． 一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根 的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳 本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大
解 1）由带余除法，可得 q(x) = 1 x − 7 , r(x) = − 26 x − 2
39
99
2）同理可得 q(x) = x2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
考研数学-东南大学2004年高等代数试题解答
东南大学二00四年攻读硕士研究生学位入学考试试题高等代数一、 方程系数矩阵行列式为)(11∑=-+n k k n a b b ，由克拉默法则，当0)(11≠+∑=-n k k n a b b 时，方程组仅有零解；0)(11=+∑=-nk k n a b b时，方程组有非零解。
当0=b 时，n n n x a a x a a x a a x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001001131321221 当0)(1=+∑=n k k ab 时，方程系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-1,1,0,0,00,0,1,1,000,0,1,1,),(232 n n a a a a a 秩为,1-n 基础解系只有一个解（1，1，1，1，。
，1） 二、 设二次型的相伴矩阵为A ，经计算特征多项式为)2()1()(2+---=a a f λλλ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=31,21,031,0,2131,21,21Q （2）当2=a 时，二次型的秩为2，三、（1）证明：若),()()(x h x f x g =则1)()()(-==i i i a h a f a g ，则)(),(i i a h a f 必为整数，所以),,2,1(0)()(n i a g a f i i ==+则)()(x g x f +有n 个不同的整数根，又)()(x g x f +的次数小于n ，矛盾。
（2）四、由)(),(x q x p 互素，存在1)()()()(=+x q x v x p x u对任意的=∈αα,V ))](()()()([αf q f v f p f u +))(()())(()(ααf q f v f p f u += 令))(()(),)(()(21ααααf q f v f p f u ==则0))((,0))((21==ααf p f q ，所以S W V W S +=∈∈,,21αα对任意的,S W ⋂∈α0))(())((==ααf p f q ，=α0))](()()()([=+αf q f v f p f u ， 所以是直和。
高等代数智慧树知到课后章节答案2023年下运城学院
高等代数智慧树知到课后章节答案2023年下运城学院运城学院第一章测试1.在一元多项式环,是其中的多项式，下列说法不正确的是（）。
答案:只有才有2.在里能整除任意多项式的多项式是（）。
答案:零次多项式3.设是的一个因式，则（）。
答案:24.若且，则 ( )。
答案:5.设多项式, 则在有理数域上 ( )。
答案:不可约6.两个数域的并还是一个数域。
（）答案:错7.如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。
（）答案:错8.在数域上，次非零多项式一定有个根。
(重根重复算) （）答案:错9.任意一个非零有理系数多项式都能表示成一个有理数与一个本原多项式之积。
( )答案:对10.奇数次实系数多项式必有实根。
( )答案:对第二章测试1.全排列2541673的逆序数是（）。
答案:82.关于n阶行列式，下列叙述错误的是（）。
答案:带正号的项比带负号的项多3.的根不包括（）。
答案:-14.设, 则下述正确的是( )。
答案:5.设行列式，则第4行各元素的余子式之和的值是( )。
答案:-286.若8个数码的排列为奇排列, 则。
( )答案:对7.行列式就是一个数表。
答案:错8.阶行列式展开式中含的项共有项。
( )答案:对9.其中A、D为方阵。
( )答案:对10.线性方程组有多个解,则它的系数行列式一定为0。
( )答案:对第三章测试1.向量线性无关的充分必要条件是( )。
答案:中任一个向量均不能由其余个向量线性表示2.若齐次线性方程组只有零解，则应满足 ( )。
答案:3.设为矩阵,且非齐次线性方程组有唯一解,则有（）。
答案:秩()=4.向量组（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，2，1），（3，0，1）的秩为（）。
答案:35.以下结论正确的是（）。
答案:其他均不对6.若为阶矩阵, 且, 则齐次线性方程组必有非零解。
（）对7.线性方程组与同解.。
( )答案:对8.若向量组的秩为r，则其中任意r+1个向量都线性相关。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数习题(北大第四版)答案一到四章
证 由题设知 ( f ( x), g( x)) =1 ，所以存在 u(x),v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g (x) = 1，
从而 u(x) f (x) −v(x) f (x) +v(x) f (x) +v(x)g(x) =1，
高等代数答案第一章第一章第一章第一章多项式多项式多项式多项式时代入2可得1339109
高等代数答案
第一章 多项式
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ：
1） f (x) = x3 − 3x 2 − x −1, g(x) = 3x 2 − 2x +1；
2） f (x) = x 4 − 2x + 5, g( x) = x2 − x + 2 。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
4．把 f (x) 表示成 x − x0 的方幂和，即表成 c0 + c1 (x − x0 ) +c2 (x − x0 )2 + ... +cn (x −x0 )n +⋯的形式： 1） f (x) = x5 , x0 =1； 2） f (x) = x4 − 2x2 + 3, x0 = −2； 3） f (x) = x4 + 2ix3 − (1+ i )x2 − 3x + 7 + i, x0 = −i 。 解 1）由综合除法，可得 f (x) = 1+ 5(x −1) +10(x −1)2 +10(x −1)3 +5(x −1)4 +(x −1)5； 2）由综合除法，可得 x4 − 2x2 + 3 = 11− 24(x + 2) + 22(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4 ； 3） 由综合除法，可得 x4 + 2ix3 − (1+ i )x2 − 3x + (7 +i ) = (7 + 5i) − 5(x + i )+ (− 1− i )(x + i )2 − 2i (x + i )3 + (x + i )4 。 5．求 f (x) 与 g(x) 的最大公因式： 1） f (x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x −1,g (x ) = x3 + x2 − x − 1； 2） f (x) = x4 − 4x3 +1,g (x ) = x3 − 3x2 +1； 3） f (x) = x4 −10x2 +1, g (x) = x4 − 4 2x3 + 6x2 + 4 2x + 1。 解 1） ( f ( x), g( x)) = x +1 ； 2） ( f (x), g( x)) =1； 3） ( f ( x), g( x)) = x2 − 2 2 x −1。 6．求 u(x), v( x) 使 u(x) f (x) + v(x)g (x) = ( f (x), g (x)) 。 1） f (x) = x4 + 2x3 − x2 − 4x − 2, g (x) = x4 + x3 − x2 − 2x − 2； 2） f (x) = 4x4 − 2x3 −16x2 + 5x + 9, g (x) = 2x3 − x2 − 5x + 4 ； 3） f (x) = x4 − x3 − 4x2 + 4x + 1, g (x) = x2 − x − 1。 解 1）因为 ( f ( x), g( x)) = x2 − 2 = r2( x)
中山大学2004年《高等代数》试题及解答
中山大学2004年《高等代数》试题及解答及评注（本解答由“博士家园”之硕博之路版主hfg1964提供）1．（10分）计算下列n 阶行列式：210001210001200012n D =解 行列式按第1行展开，然后接着对其中一个1n -阶行列式再次展开，得122n n n D D D --=-，因此11223n n n n n n D D D D D D ------=-=-211D D ==-= ，11n n D D -=+1n =+．注 对一般二阶线性递推数列12n n n D aD bD --=+，可考虑特征方程2x ax b =+的两个根,αβ，则递推数列12n n n D aD bD --=+化为12()n n n D D D αβαβ--=+-，就能求出n D 的通项，更一般的结论参考《组合数学》中方法．2．（10分）设12,,,n ααα 是数域P 上线性空间V 中一线性无关向量组，讨论向量组1223,,αααα++1,n αα+ 的线性相关性．解 设1122231()()()0n n k k k αααααα++++++= ，即111221()()()0n n n n k k k k k k ααα-++++++= ，由于12,,,n ααα 线性无关，上式系数必为零，即1121000n n n k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，该线性方程组系数行列式按第一行展开，即得11(1)n A +=+-． 当n 为奇数时0A ≠，齐次线性方程组仅有零解，则向量组1223,,αααα++1,n αα+ 线性无关；当n 为偶数时0A =，齐次线性方程组有非零解，则向量组1223,,αααα++1,n αα+ 线性相关．注1 记112223,,βααβαα=+=+1,n n βαα=+ ，则可以把向量组形式的记为：1212(,,,)(,,,)n n A βββααα= ，则向量组12,,,n βββ 的秩与矩阵A 的秩相等，对矩阵A 作初等变换，求出其秩即得结论；注2 可以先猜后证，通过1,2,3n =这几个常见的结论能猜想其结果．而且当n 为偶数时，可以直接由1230n ββββ-+--= 得到12,,,n βββ 线性相关的结论；注3 由同构的观点，无妨把12,,,n ααα 视为n 维向量空间n P 中的列向量，考察行列式A 12231,,,n αααααα+++ ，把它展开成2n 个行列式后，仅有两个行列式不为0，而且当n 为偶数时，这两个行列式反号，即得0A =；n 为奇数时，122,,,0n A ααα=≠ ．3．（10分）设100101010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）证明：22n n A A A I -=+-； （2）求100A ．解 （1）当3n =可以直接验证，对n 作归纳，用数学归纳法即得（略）；（2）1009829622()A A A I A A I =+-=+-2249()A A I ==+- 10050105001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 注 由于矩阵A 的特征多项式32()1f λλλλ=--+，由凯莱-哈密尔顿定理，得到()0f A =，即320A A A I --+=，故知3n =时成立；另外注意到2()(1)(1)f λλλ=-+，作带余除法：10022(1)(1)()()g a b c λλλλλλ=-++++在上式中分别令1λ=，1λ=-，以及对上式求导并令1λ=，得到 112100a b c a b c a b ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，解之得，50,0,49a b c ===-，故10025049A A I =-．4．（20分）设3R 的线性变换σ在标准基下的矩阵为211121112A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求3R 的一组标准正交基，使σ在此基下的矩阵为对角矩阵．解 2(4)(1)I A λλλ-=--，所以A 的特征值14λ=，231λλ==．对14λ=，齐次线性方程组(4)0I A x -=的基础解系为1(1,1,1)'ξ=，故对应的特征向量1k ξ，（0k R ≠∈）；对231λλ==，齐次线性方程组()0I A x -=的基础解系为2(1,1,0)'ξ=-，3(1,0,1)'ξ=-故对应的特征向量为1223k k ξξ+，（1k 、2k R ∈且不全为0）．（2）用施密特方法将123,,ξξξ标准正交化后即为所求基（略）．5．（20分）设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 的线性变换σ如下：()2(,)σααβαβ=-，V α∀∈．证明：（1）σ为第二类的正交变换（称为镜面反射）；（2）V 的正交变换τ是镜面反射的充要条件为1是τ的特征值，且对应的特征子空间的维数为1n -．证明 （1）由(,)σξση(2(,),2(,))ξβξβηβηβ=--(,)4(,)(,)4(,)(,)(,)ξηβηβξβηβξββ=-+ (,)ξη=此即σ为正交变换．再把β扩充成V 的一组标准正交基2,,,n βεε ，由于2(,)σββββββ=-=-， 2(,)i i i i σεεβεβε=-=，则22(,,,)(,,,)n n A σβσεσεβεε= ，其中1100n A I --⎛⎫=⎪⎝⎭．因1A =-， 故知σ为第二类的正交变换；（2）（必要性）若τ是V 的镜面反射，由（1）所证即知1必是矩阵A 的特征值，也是τ的特征值，且rank()1I A -=，因此齐次线性方程组()0I A x -=的解空间是1n -维的，即得1的特征子空间的维数为1n -；（充分性）τ的特征值有n 个，其中有1n -个为1，设另一个为实数0λ，则存在一组基12,,,nεεε 使0121210(,,,)(,,,)0n n n I λσεεεεεε-⎛⎫=⎪⎝⎭，因为τ为正交变换，21212012(,)(,)(,)εεσεσελεε==，所以201λ=，但1dim 1V n =-，得01λ=-，于是11σεε=-，i i σεε=，且1(,)0i εε=（2,,i n = ）现令111βεε=，则2,,,n βεε 组成一组正交基，对V α∀∈，122n n k k k αβεε=+++ ，不难验证()2(,)σααβαβ=-，即证得τ是镜面反射．注 对（2）中充分性的证明，也可考虑特征子空间1V 及其正交补1V ⊥，各取标准正交基凑成V 的一组基，其余仿上面证明．。
高等代数答案4
1. 判断下列结论的正误： (1) (2) (3) f (x)＝3＋x＋x
－2
即 m( 2 − p − m ) = 0且q − p + 1 − m = 0 . 所以当
2 2
是复数域上的多项式；
{
f (x)＝4＋ − 1 x＋x3 是实数域 R 上的多项式； f (x)＝
m=0 q =1 2 4 2 或{ 时 x + mx + 1整除x + px + q p = q +1 p + m2 = 2
（2） 若 ( f ( x), g ( x)) = 1 ， 则 对 任 意 正 整 数 k , l ， 有
( f k ( x), g l ( x)) = 1.
（3） 若 ( f i ( x), g i ( x)) = 1 ，i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, r ， j = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, s ，则 定 理 4.2.5
x n − a n = ( x − a)( x n −1 + ax n − 2 + a 2 x n −3 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n − 2 x + a n −1 )
因此 x − a 在 F上整除x − a ．
n n
(3) f(x)= x4＋3x3－x2－4x－3, g(x)= 3x3＋10x2＋2x－3. 解
因此 ( f ( x), g ( x)h( x)) = 1. 推广该结论，我们有以下结论： （1） 若 ( f ( x), g i ( x)) = 1 ， i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, s ，则
u1 ( x), u 2 ( x),⋅ ⋅ ⋅, u s ( x) ∈ F [ x], 使1 = u1 ( x)h1 ( x) + u 2 ( x)h2 ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ + u s ( x)hs ( x). 两端同乘以 d ( x) 得 d ( x) = u1 ( x) g1 ( x) + u 2 ( x) g 2 ( x) + ⋅ ⋅ ⋅u s ( x) g s ( x)
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】xt>一、判断题1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.错.2. 如果a2?0,则a?0.错.如a11?2?,a?0,但a?0.1?1?23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.1?1?2?1?3?2?6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且(a*)?1?1a. |a|8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.二、选择题1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a3．以下结论不正确的是（ c ）.(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)6．下列命题正确的是（b ）.(a) 若ab?ac，则b?c(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；(b) 当m?n时，必有行列式ab?0(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.8．以下结论正确的是（ c）(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0(b) a主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?012．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c(d) 若b?c，则必有ab?ac13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；***t**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.aa*?ae?a.*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）234n(a) a (b) a (c) a(d) a16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?ak?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随(d)以上结论都不对18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?0? *?bb?0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)c0?aba*0?? (d) c??ab*??0利用cc*?|c|e验证.19．已知a46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b1?2??246?(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba【篇二：高等代数第4章习题解】题4.11、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?1(1,0,1,5) 2（2）5(0,1,2)?(1,1,0)?(1,1,1) 215517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?（2）5(0,1,2)?(1,19,0)?(1,1,1)?(0,,9) 222、验证向量加法满足交换律、结合律。
高等代数智慧树知到课后章节答案2023年下太原理工大学
高等代数智慧树知到课后章节答案2023年下太原理工大学太原理工大学第一章测试1.若p(x)是f’(x)的k重因式,则p(x)是f(x)的k+1重因式。
（）A:错 B:对答案:对2.对有理多项式f(x),若不存在素数p满足艾森斯坦判别法，则f(x)在有理数域上不可约。
（）A:错 B:对答案:错3.三次有理系数多项式在有理数域上不可约当且仅当它没有有理根。
（）A:对 B:错答案:对4.如下多项式在实数域上可约的是( )。
A:B:C:D:答案:;;5.设是数域P上的多项式，，则以下命题中正确的是（）。
A: B:≠1C: D:答案:;;6.下列说法不正确的是( )A:有理数域上的不可约多项式只有三次的 B:复数域上的不可约多项式只有一次的 C:实数域上的不可约多项式只有一次或二次的 D:有理数域上有任意次的不可约多项式答案:有理数域上的不可约多项式只有三次的7.多项式满足,则除的余式为（）。
A:B:C:D:答案:8.当n=（）时，多项式有重因式。
A:5 B:3 C:4 D:其它都不正确答案:其它都不正确9.设多项式且, 则未必成立的是( )。
A: B: C:D:答案:10.常数项为0的多项式的偶次项系数之和为( )。
A: B: C:D:答案:第二章测试1.设A是奇阶方阵，则下列结论错误的是（）。
A:与的行列式的值相等 B:与行向量相同C:与列向量相同 D:若，则的行列式为零答案:与行向量相同;与列向量相同2.设A与B均为三阶矩阵，k>0则下式不成立的是( )。
A:B:C:D:答案:;;3.A:B:- C:D:+答案:4.A:B: C: D:答案:5.A:B:C:D:答案:6.A:B: C:D:答案:7.A:1,-1,2 B:1,2,-2 C:0,1,2 D:1,2,3答案:1,2,-28.A:对 B:错答案:对9.若阶行列式中每行元素之和均为零，则等于零。
A:错 B:对答案:对10.阶行列式的展开式中含有的项数为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
−3 −4 −6 −4 . (2) 1 4 1 1 1 2 4 6 ( ) cos θ − sin θ 3. . sin θ cos θ 4. 4.3.1 训练题填空题 5. 5. 4.3.1 训练题解答题 1. 6. 4.3.1 训练题解答题 6. 7. 例 2.41. 8. 设 P −1 AP = B , Q−1 CQ = D , 则 ( P O )−1 ( )( A O P O C O ) = ( B O O D ) .
0 ··· 0 ··· 3 ··· . . . 0 ··· 0 ···
0 0 ; . . . n − 1 0
0
4 11. 例 4.29. 12. 例 4.30. 13. 例 4.6. 14. 4.3.1 训练题解答题 12. 15. 例 4.4. 16. (1)(2) 例 4.15; (3) 例 4.16. 17. 例 4.12. 18. 例 4.13. 19. 例 4.11. 20. 例 4.35. 21. 例 4.5. 22. 例 4.38. 23. 例 4.22. 24. 例 4.3. 25. 4.3.1 训练题解答题 9. 26. 例 4.31. 27. (1) 例 4.51 (1); (2) 例 4.51 (2); (3) 4.3.1 训练题解答题 10 (1); (4) 4.3.1 训练题解答题 10 (2). 28. 例 4.50. 29. 4.3.1 训练题解答题 7. 30. 4.3.1 训练题解答题 8. 31. 例 3.71. 32. 例 4.27. 33. 例 4.52. 34. 例 4.53. 35. 例 4.32. 36. 例 4.33. 37. 例 4.34. 38. 例 4.24.
复旦大学高等代数教材第四章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
4.1
1. (1) 是; (2) 是; (3) 是; (4) 不是; (5) 不是. 2. 充分性: φ(k α + lγ ) = A(k α + lγ ) = k Aα + lAγ = k φ(α) + lφ(γ ). 必要性: φ(k α + lγ ) = A(k α + lγ ) + β = k Aα + β + lAγ + β , k φ(α) + lφ(γ ) = k Aα + β + lAγ + β . 所以 β = 0. 3. 例 4.2. 4. 4.3.1 训练题解答题 2.
4.2
1. 例 4.14. 2. 显然. 3. 请读者自行验证. 4. 显然. 5. 例 4.10. 1
2
4.3
1. 4.3.1 训练题填空题 3, n = 4. 2. −1 5 1 2 ; (1) 1 3 0 −1 2 2 3 2 4 4 1 5 2 2 1 1
4.5
1. 例 4.42. 2. 例 4.43. 3. 例 4.44. 4. 由不变子空间的定义显然. 5. 例 4.48. 6. 例 4.47.
复习题四
1. (1) 显然是线性变换，表示矩阵为 0 1 0 0 0 2 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 (2)(3) 例 4.45. 2. 4.3.1 训练题解答题 5. 3. 新基下的表示矩阵为 Pij APij . 4. 例 4.23. 5. 例 4.26. 6. 例 4.19. 7. 易证 φ(U ) 是 V 的子空间. 因为 φ 是线性变换且是满射, 所以 φ 是同构, 它将 U 的一组基映为 φ(U ) 的一组基, 所以 φ(U ) 也是 V 的 r 维子空间. 8. 例 4.46. 9. 例 4.9. 10. 例 4.7.
O Q
O Q
9. 设 A 只与自己相似, 则对任意非异阵 P 均有 A = P −1 AP , 故 P A = AP , 即 A 与任意非异阵可交换. 由例 2.9, A = k In , 此时 A 显然与自己相似, 故 A = k In .
−1 −1 10. Pij APij = B , 而由推论 2.4.1, Pij = Pij . 故 A 相似于 B , 且 P = Pij .
11. 例 4.25. 12. 例 4.18.
4.4
1. 例 4.28. 2. 显然 φ = φ. Imφ = V1 , Kerφ = V2 . 表示矩阵为
2
(
Ir O
O O
) .
3. 例 4.39. 4. 4.3.1 训练题填空题 10. 5. 例 4.36.
3 6. 例 4.40. 7. 例 பைடு நூலகம்.41. 8. 见例 4.14.