2020年广东中考数学压轴题:动点问题
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2020年广东省中考数学压轴题:动点问题
如图1,已知梯形OABC ,抛物线分别过点O (0,0)、A (2,0)、B (6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;
(2)将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1,得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1.设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ,A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1,y 1)、(x 2,y 2).用含S 的代数式表示x 2-x 1,并求出当S =36时点A 1的坐标;
(3)在图1中,设点D 的坐标为(1,3),动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动,动点Q 从点D 出发,以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动.P 、Q 两点同时出发,当点Q 到达点M 时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 、Q 两点的运动时间为t ,是否存在某一时刻t ,使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2
满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线1x =,解析式为21184y x x =
-,顶点为M (1,18-). (2) 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62
x x S x x -+-⨯3==+-,由此得到1223s x x +=+.由于213y y -=,所以22212211111138484
y y x x x x -=--+=.整理,得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦.因此得到2172x x S -=. 当S =36时,212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.
x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为(6,3).
(3)设直线AB 与PQ 交于点G ,直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ,直线PQ 与x 轴交于点F ,那么要探求相似的△GAF 与△GQE ,有一个公共角∠G .
在△GEQ 中,∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值.
在△GAF 中,∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ ≠∠GAF . 因此只存在∠GQE =∠GAF 的可能,△GQE ∽△GAF .这时∠GAF =∠GQE =∠PQD .
由于
3
tan
4
GAF
∠=,tan
5
DQ t
PQD
QP t
∠==
-
,所以
3
45
t
t
=
-
.解得
20
7
t=.
图3 图4