常用的离散分布(课件)
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02离散型随机变量的分布列课件
n 1 P（ξ＝-1）＝ （ ＝ ）＝ ＝ ． 7n 7
所以从该盒中随机取出一球 所得分数ξ的分布列为： 所得分数 的分布列为： 的分布列为
ξ P
1
0
-1
4 7
2 7
1 7
例2：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 1,2,3,4,5, 时取出3 表示取出的3个球中的最小号码, 时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写 的分布列. 出ξ的分布列. 随机变量ξ 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. =1时 即取出的三只球中的最小号码为1, 1,则其它 当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只, 2,3,4,5的四只球中任取两只 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故 2 3 P(ξ 有P(ξ=1)= C 4 / C 5 =3/5; 同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ 同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10. P( 因此, 因此,ξ的分布列如下表所示 ξ p 1 3/5 2 3/10 3 1/10
∴ 随机变量ξ 的分布列为：
ξ
P
3
1 20
4
3 20
5
3 10
6
1 2
练习5. 练习5. 将一枚骰子掷2 两次掷出的最大点数ξ概率分布 概率分布. 将一枚骰子掷2次,求两次掷出的最大点数 概率分布. 解:ξ=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另 =k包含两种情况,两次均为k 包含两种情况 或一个k 一个小于k 一个小于k点, 1+(k−1)×2 2k−1 = P(ξ 故P(ξ=k)= ,(k=1,2,3,4,5,6.)
2.3常用的离散分布
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 DX n p q EX n p
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 EX n p DX n p q 例 已知随机变量 X ~ b( n, p) EX 6 DX 4.2 求 P X 5 q 0.7 6q 4.2 解 EX n p 6
2
n1
1 q p n q p 3 p (1 q) n 1
2
pq n1 ... n
n 1
n1
1 q 1 q 3 p p2
1 q 1 q DX EX ( EX ) 2 2 2 p p p
2
2
' nx n ' x 1时， n x ( n x ) n 1 n 1 n1 x ' 1 x (1 x )2 (1 x )3
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An ) p k q nk C
X ~ b 20, 0.3
DX n pq 4.2
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4
3 n
n ' ( x n )' x n 1 n1
X P
2
1
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
一、离散型随机变量的分布律
二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结
2019/2/22
概率统计
北邮概率统计课件
第二节
离散型随机变量的概率分布（分布律）
一.离散型随机变量的分布律
引例
如图中所示，从中任取 3 个球 取到的白球数 X 是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2
取每个值的概率为： 2 1 1 2 C C C C 6 3 C3 1 3 2 3 2 3 P{ X 2} P{ X 0} 3 P{ X 1} 3 3 C5 10 C5 10 C5 10
k C 在哪 k 次发生,所以它应有 n 种不同的发生方式.
而且它们是相互独立的，故在 n 次试验中A发生 k 次的概率 ( 依概率的加法定理) 为:
P{X k } C p (1 p)
k n k
n k
(k 0,1, 2
n)
概率 Pn (k ) 就等于二项式 注 ▲ 显然它满足： [ px (1 p)]n 的展开式中 x k 的系数，这也是二项分布的名称的 P{ X k } 0, 由来. n
记为: 列表:
X ～b(n, p)
X
P (k )
概率统计
0
1
2
n
P(n)
P(0) P(1) P(2)
注 ▲ 特别当n=1时，二项分布即为 ( 0-1 ) 分布 ▲ 二项分布 X~b(n,p) 的图形特点： 对于固定n 及 p，当 k 增加时 ，概率P(X=k) 先是随之增加直至达 到最大值，随后单调 减少.
k 4 k
P { X k } C p (1 p )
k 4
,
k 0,1, 2, 3,4
概率论常用的离散分布
概率论常用的离散分布
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
【精品】离散数学PPT课件(完整版)
一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
高中数学第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列课件新人教B版选修2308292102
随机变量.
答案:B
第四页，共26页。
1
2
3
4
2.分布列
(1)将离散型随机变量X所有可能取的不同值x1,x2,…,xn和X取每
一个值xi(i=1,2,…,n)的概率p1,p2,…,pn列成下面的表:
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
称这个表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变
量X的分布列.
解析:X=0表示取到一个合格品,其概率为0.95,这是一个二点分布问题.
答案:0.95 0.05
第二十五页，共26页。
1
2
3
4
5
5.一个袋子里装有大小相同(xiānɡ tónɡ)的3个红球和2个黄球,从中同时取
出2个,则其中含红球个数X的可能取值
为
,P(X=2)=
.
C23 ·C02
解析:P(X=2)=
X
0
1
P
4a-1
3a2+a
则 a 等于(
1
A. 2
)
1
B. 3
2
3
C. 3
D. 4
解析:由二点分布的性质,得(4a-1)+(3a2+a)=1,即 3a2+5a-2=0,
解得
1
a1= ,a2=-2,又由概率值非负得
3
1
a= .
3
答案(dáàn):B
第九页，共26页。
1
2
3
4
【做一做3-2】 一个盒子中装有3个红球和2个绿球,从中随机(suí jī)摸出
答案:B
第四页，共26页。
1
2
3
4
2.分布列
(1)将离散型随机变量X所有可能取的不同值x1,x2,…,xn和X取每
一个值xi(i=1,2,…,n)的概率p1,p2,…,pn列成下面的表:
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
称这个表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变
量X的分布列.
解析:X=0表示取到一个合格品,其概率为0.95,这是一个二点分布问题.
答案:0.95 0.05
第二十五页，共26页。
1
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5.一个袋子里装有大小相同(xiānɡ tónɡ)的3个红球和2个黄球,从中同时取
出2个,则其中含红球个数X的可能取值
为
,P(X=2)=
.
C23 ·C02
解析:P(X=2)=
X
0
1
P
4a-1
3a2+a
则 a 等于(
1
A. 2
)
1
B. 3
2
3
C. 3
D. 4
解析:由二点分布的性质,得(4a-1)+(3a2+a)=1,即 3a2+5a-2=0,
解得
1
a1= ,a2=-2,又由概率值非负得
3
1
a= .
3
答案(dáàn):B
第九页，共26页。
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【做一做3-2】 一个盒子中装有3个红球和2个绿球,从中随机(suí jī)摸出
高中数学第二章 2.1.2离散型随机变量的分布列(一)课件
答案 是.离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是 彼此互斥的.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 求离散型随机变量的分布列 例1 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中 摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)有X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解析 根据所给的分布列，
由离散型随机变量的性质得12＋13＋p＝1，解得 p＝16.故选 B.
解析答案
1234
2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝i)＝a(13)i，i＝1,2,3，则 a 的值为( C )
9
27
11
A.1
B.13
C.13
D.13
解析 由分布列的性质，得 a(13＋19＋217)＝1， ∴a＝1237.
假设身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子〞，身高在175 cm 以下定义为“非高个子〞，且只有“女高个子〞才能担任“礼仪小姐
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子〞和“非高个子〞中抽取5人，再从 这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子〞的概率是多少？
解析答案
(2)假设从所有“高个子〞中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐〞的人数，试写出ξ的分布列. 解 依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，那么 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ的分布列为
P
1 10
3 10
3 5
解析答案
易错点 无视分布列的性质致误
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散型随机变量的分布列 课件
次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，k=0,1,2,…,m，其中m=min{M,n}，
CnN
且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*，此时称分布列
X
0
1
…
m
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CnN
CnN
…
C C m nm M NM
CnN
为超几何分布列. 如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超 几何分布.
P 1 P 3 P 5 2 8 2 8 .
15 45 9 15
答案：8
15
3.随机变量ξ的可能取值为1，2，3．
当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只
能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有
P 1
C24 C35
3； 5
当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的第二条 性质. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率求法 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率的和.即 P(ξ≥xk)=P(ξ=xk)+P(ξ=xk+1)+….
【典例训练】 1.下列各表中可作为随机变量X的分布列的是( ) (A)
0
1
P
1-p
p
如果随机变量X的分布列为上述形式，就称X服从两点分布. (2)称p=P(X=1)为__成__功__概__率__. (3)两点分布又称__0_-_1__分布．由于只有两个可能结果的随机试 验叫伯努利试验，所以还称这种分布为_伯__努__利__分布．
精品课程《离散数学》PPT课件(全)(1)
13
1.1 命题符号化及联结词
命题与命题变项象程序语言中常量与变量的关系一样。
例：5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量， 赋给它一个什么值它就代表什么值，即x的值是不定的。
例3：判断下列句子是否为命题？
1．张校长的头发有一万根。
（是）
2．我所说的是假的。
（否）
14
1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
4
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
6
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
❖ 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题 演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形 式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
7
1.1 命题符号化及联结词
运算规则：
p
q
p q
1.1 命题符号化及联结词
命题与命题变项象程序语言中常量与变量的关系一样。
例：5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量， 赋给它一个什么值它就代表什么值，即x的值是不定的。
例3：判断下列句子是否为命题？
1．张校长的头发有一万根。
（是）
2．我所说的是假的。
（否）
14
1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
4
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
6
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
❖ 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题 演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形 式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
7
1.1 命题符号化及联结词
运算规则：
p
q
p q
人教版高中数学选修2-3课件：2.1 离散型随机变量及其分布列(共52张PPT)
预习探究
[探究] 以下随机变量是离散型随机变
量的是
.
①某部手机一小时内收到短信的次数
ξ;
②电灯泡的寿命ξ; ③某超市一天中的顾客量ξ; ④将一颗骰子掷两次出现的点数之和
ξ.
⑤连续不断地射击,首次命中目标所需
要的射击次数ξ.
④将一颗骰子掷两次出现点数之和ξ的取
值为2,3,…,12,是离散型随机变量;
三维目标
3．情感、态度与价值观 使学生感悟数学与生活的和谐之美，学会合作探讨，体验成功，提 高学习数学的兴趣．
重点难点
[重点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)离散型随机变量的分布列的概念．
[难点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)求简单的离散型随机变量的分布列．
教学建议
例1 指出下列变量中,哪些是随机变量, 哪些不是随机变量,并说明理由. (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出 现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数 (最上面的数字); (3)某个人的属相随年龄的变化; (4)在标准状况下,水在0℃时结冰.
(3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化 而变化,不是随机变量. (4)标准状况下,水在0℃时结冰是必然事件, 不是随机变量.
P
分别求出随机变量η1=2ξ1,η2=ξ2的分布列.
当ξ取-1与1时,η2=ξ2取相同的值,故η2的分布 列为 η2 0 1 4 9
考点类析
例2 指出下列随机变量是不是离散型 随机变量,并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到 10号)中任取1张,被取出的卡片的号数; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从 中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中 树木的高度; (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与 规定的外径尺寸之差.
常用的离散分布(课件)
常用的离散分布(课件)
这个演讲将介绍离散概率分布的主要内容，包括二项分布、泊松分布、几何 分布、超几何分布、负二项分布、多项式分布等。
离散概率分布的概念介绍
介绍离散概率分布的基本概念，包括随机变量、概率密度函数和累积概率函 数等。
二项分布的定义及其特点
详细介绍二项分布的定义、特点和应用场景，以及二项分布与其他概率分布 的关系。
负二项分布的定义及其特点
深入探讨负二项分布的定义、特点和应用场景，以及如何计算期望值和方差。
多项式分布的介绍和实际应用
介绍多项式分布的特点和实际应用，以及与其他离散分布的关系和区别。本概念、性质和应用，提供期望值和方差的计算方法。
泊松分布的基本概念和应用场景
探讨泊松分布的基本概念，讲解它在实际应用中的场景和特点，以及如何计算期望值和方差。
几何分布的定义及其概率密度函数
介绍几何分布的定义、概率密度函数和应用情景，以及与其他概率分布的联系和区别。
超几何分布的基本概念和公式推导
详细讲解超几何分布的基本概念和公式推导过程，提供实际应用案例分析。
这个演讲将介绍离散概率分布的主要内容，包括二项分布、泊松分布、几何 分布、超几何分布、负二项分布、多项式分布等。
离散概率分布的概念介绍
介绍离散概率分布的基本概念，包括随机变量、概率密度函数和累积概率函 数等。
二项分布的定义及其特点
详细介绍二项分布的定义、特点和应用场景，以及二项分布与其他概率分布 的关系。
负二项分布的定义及其特点
深入探讨负二项分布的定义、特点和应用场景，以及如何计算期望值和方差。
多项式分布的介绍和实际应用
介绍多项式分布的特点和实际应用，以及与其他离散分布的关系和区别。本概念、性质和应用，提供期望值和方差的计算方法。
泊松分布的基本概念和应用场景
探讨泊松分布的基本概念，讲解它在实际应用中的场景和特点，以及如何计算期望值和方差。
几何分布的定义及其概率密度函数
介绍几何分布的定义、概率密度函数和应用情景，以及与其他概率分布的联系和区别。
超几何分布的基本概念和公式推导
详细讲解超几何分布的基本概念和公式推导过程，提供实际应用案例分析。
第五节离散型随机变量及其分布列课件共44张PPT
解：(1)P(A)＝1－CC31340·123＝223490， 所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率 为223490. (2)由题可知X可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝CC34C13006＝310，P(X＝1)＝CC24C13016＝130， P(X＝2)＝CC14C13026＝12，P(X＝3)＝CC04C13036＝16. 所以随机变量X的分布列为
故X的分布列为
X 200
300
400
P
1 10
3 10
3 5
求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2， 3，…，n)． (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi. (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或 某事件的概率是否正确． 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机 变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数 原理、古典概型等知识．
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的， 从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球 个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P(X＝4)＝CC23C13219＝22270.
答案：22270
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
1 3
k
，k＝1，
2，3，则a的值为( )
A．1
B．193
C．1113
D．2173
解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a
1 3
k
(k＝
1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，
所以a13＋19＋217＝a×1237＝1.所以a＝2173. 答案：D
2.4常用的离散分布
(p是事件A发生的概率)
•n重伯努利试验：将伯努利试验，独立 重复进行了n 次。
• 以X表示n重贝伯努利试验中事件A发生的次 数，则称X服从参数为n,p的二项分布。 • 记作X ～ B（n,p) [p+(1-p)] 分布律为： 展开式的第k+1项
n
P{X = k} = Cn pk (1− p)n−k , (k = 0,1,..., n)
k n C M C N− kM − P( X = k ) = n CN
k = 0,1, L
当抽取个数n《 产品总量N时，每次抽取完，不合 格品率p=M/N改变甚微，不放回抽样可以看做为 放回抽样，因此超几何分布可以看做二项分布。
离散型 b(n,p) p(λ) λ Ge(p) Nb(p)
期望 np λ 1/p r/p
方差 np(1-p) λ 1-p/p2 r(1-p)/p2
范围 n重伯努利试验 事件A发生的次数 单位时间(体积) 的计数 事件A首次发生(伯努利) A ( ) 事件A第r次发生（伯努 利） 不放回抽样
h(n,N,M) nM/N
Var(X)=np(1-p)
例3 已知X～ b(2,p) Y～b(3,p)；若p(X≥1)=5/9 求 ～ ～ p(Y≥1) • 解： p(X≥1)=1-p(X=0)=5/9
• 得 • 即
5 1 − C P (1 − P) = 9
0 2 0 2
4 (1 − P) = 9
2
0 3 0 3
2 3 19 p (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − C P (1 − P) = 1 − ( ) = 3 27
• X：投保人中的一年死亡人数; np=10 • 项目收入2000 000 支付 X*100 000 • 1）p(X>20)=1-p(X≤20) • =1-0.998=0.002
•n重伯努利试验：将伯努利试验，独立 重复进行了n 次。
• 以X表示n重贝伯努利试验中事件A发生的次 数，则称X服从参数为n,p的二项分布。 • 记作X ～ B（n,p) [p+(1-p)] 分布律为： 展开式的第k+1项
n
P{X = k} = Cn pk (1− p)n−k , (k = 0,1,..., n)
k n C M C N− kM − P( X = k ) = n CN
k = 0,1, L
当抽取个数n《 产品总量N时，每次抽取完，不合 格品率p=M/N改变甚微，不放回抽样可以看做为 放回抽样，因此超几何分布可以看做二项分布。
离散型 b(n,p) p(λ) λ Ge(p) Nb(p)
期望 np λ 1/p r/p
方差 np(1-p) λ 1-p/p2 r(1-p)/p2
范围 n重伯努利试验 事件A发生的次数 单位时间(体积) 的计数 事件A首次发生(伯努利) A ( ) 事件A第r次发生（伯努 利） 不放回抽样
h(n,N,M) nM/N
Var(X)=np(1-p)
例3 已知X～ b(2,p) Y～b(3,p)；若p(X≥1)=5/9 求 ～ ～ p(Y≥1) • 解： p(X≥1)=1-p(X=0)=5/9
• 得 • 即
5 1 − C P (1 − P) = 9
0 2 0 2
4 (1 − P) = 9
2
0 3 0 3
2 3 19 p (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − C P (1 − P) = 1 − ( ) = 3 27
• X：投保人中的一年死亡人数; np=10 • 项目收入2000 000 支付 X*100 000 • 1）p(X>20)=1-p(X≤20) • =1-0.998=0.002
教育12.2离散型随机变量及其分布列均值和方差ppt课件
解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,1 1的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. (4分) 所以X的分布列为
解法一:∵E(ξ1)=0×(1-p1)+1×p1=p1, 同理,E(ξ2)=p2,又0<p1<p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).
D(ξ1)=(0-p1)2(1-p1)+(1-p1)2·p1=p1- p12 , 同理,D(ξ2)=p2- p22 . D(ξ1)-D(ξ2)=p1-p2-( p12 - p22 )=(p1-p2)(1-p1-p2). ∵0<p1<p2< 1 ,∴1-p1-p2>0,∴(p1-p2)(1-p1-p2)<0.
解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.
(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
P(X=200)= 2 16 =0.2,P(X=300)= 36 =0.4,P(X=500)= 25 7 4 =0.4.
90
90
90
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
最高气温
[10,15)
[15,20)
常用离散分布ppt课件
§2.4 常用离散分布
1.退化分布
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(XC)1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
ppt精选版
1
X0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~b(1,p)
例 抛一枚均匀硬币 , 令
XX(e)
.
2、袋中装有 N 只球，但其中白球数为随机变量， 只知其数学期望为 n，试求从该袋中摸一球为白 球的概率.
ppt精选版
28
3、某产品的次品率为 0.1，检验员每天检查 4 次， 每次随机的取 10 件产品进行检验，如发现其中的次 品数多于 1，就去调整设备，以 X 表示一天中调整 设备的次数，试求 E（X）
解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0) = 1- (1p)4 = 80/81.
ppt精选版
7
4 泊松分布
若随机变量 X 的概率分布为
P (Xk)ke, k0,1,2,
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
ppt精选版
12
例2.4.5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月
的销售量服从参数为 8的泊松分布。为了以90%以上
的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该 商品多少件？ 解 设商店每月销品 售 X件 某， 种月 商底的进 n件货 ，
按题意要P求 X为 n0.90
ppt精选版
26
常用离散分布的方差
1.退化分布
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(XC)1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
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1
X0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~b(1,p)
例 抛一枚均匀硬币 , 令
XX(e)
.
2、袋中装有 N 只球，但其中白球数为随机变量， 只知其数学期望为 n，试求从该袋中摸一球为白 球的概率.
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28
3、某产品的次品率为 0.1，检验员每天检查 4 次， 每次随机的取 10 件产品进行检验，如发现其中的次 品数多于 1，就去调整设备，以 X 表示一天中调整 设备的次数，试求 E（X）
解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0) = 1- (1p)4 = 80/81.
ppt精选版
7
4 泊松分布
若随机变量 X 的概率分布为
P (Xk)ke, k0,1,2,
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
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12
例2.4.5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月
的销售量服从参数为 8的泊松分布。为了以90%以上
的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该 商品多少件？ 解 设商店每月销品 售 X件 某， 种月 商底的进 n件货 ，
按题意要P求 X为 n0.90
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26
常用离散分布的方差
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4
4
1 P X i 1 C2i0 0.3i 0.720i
i 0
i0
例
设
X
~
B( 2,
1 6
1 6
1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A
或 A, 重复进行n次独立试验, 每一次试验, A发生 的概率都是 p, A不发生的概率 都是 q 1 p, 这样的n次独立重复试验 称作n重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里概型.
用 X 表示 n重贝努里试验中事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,...,n
...
C
k n
pk q nk
...
pn
设 Ai 表示第 i 次发生事件A
P( Ai ) p
PX k
P( Ai ) 1 p q
P( A1...Ak Ak1...An A1 ...Ak1 Ak Ak A 1 k2 ...An ...
A1 ...Ank Ank1...An )
X0 1
2
...
k
...
n
P
qn
C
1 n
p qn1
C
2 n
p2qn2
...
C
k n
pk
qnk
...
pn
即
P X k
C
k n
pk qnk
k 0,1,2,...,n
称随机变量 X 服从参数为n, p 的二项分布,
记为 X ~ b(n, p)
qn
C
1 n
p1q n1
Cn2 p2qn2
P( A1...Ak Ak1...An ) P( A1...Ak1 Ak Ak1 Ak2 ...An ) ... P( A1...Ank Ank1...An ) Cnk pk qnk
P X n P( A1 A2 ...An ) P( A1 )P( A2 )...P( An ) pn
... P( A1...An2 An1 An )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )...P( An ) ... P( A1 )P( A2 )...P( An1 )P( An )
Cn2 p2qn2
X0 1
2 ... k ... n
P
qn
C
1 n
p1q
n1
Cn2 p2qn2
xn
1 n
1 n
x1
x2
...
xn
x
DX E X EX 2 E X x2
( x1
x )2
1 n
( x2
x )2
1 n
...
( xn
x)2
1 n
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 2 3 4 5 6
X
~
1 6
1 6
1 6
解 EX n p 6
DX n pq 4.2
X ~ b 20, 0.3
6q 4.2
p 1 q 0.3
q 0.7 n 6 20
p
PX 5 1 PX 5 1 PX 4
1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 PX 4
X
~
0
q
1
p
即是参数为p的0—1分布.
可以证明，二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p, DX n pq
可以证明，二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p DX n pq
例 已知随机变量 X ~ b(n, p), EX 6, DX 4.2,
求 PX 5
qn
C
1 n
p1q
n1
设 Ai 表示 第 i 次发生事件A
P( Ai ) p, P( Ai ) 1 p q
PX 1
P( A1 A2 A3 ...An A1 A2 A3 ...An ... A1...An1 An )
P( A1 A2 A3 ...An ) P( A1 A2 A3 ...An ) ... P( A1...An1 An ) P( A1 )P( A2 )...P( An ) ... P( A1 )...P( An1 )P( An ) Cn1 p qn1
...
C
k n
pkqnk...
pn
(q p)n 1 (归一性）
X0 1
2
...
k
...1 n
p qn1
C
2 n
p2qn2
...
C
k n
pk
qnk
...
pn
即
P X k
C
k n
pk qnk
k 0,1,2,...,n
当n=1时, 二项分布 b( 1 , p)
此时 EX x1 p x2(1 p)
当
x1
1,
x2
0 时，X
~
1 p
1
0 p
,
即为0—1分布.
也称X是参数为p的 伯努利随机变量.
三、离散均匀分布
x1 x2 ... xn
X ~
1 n
1 n
...
1 n
EX
x1
1 n
x2
1 n
...
§2.3 常用的离散型分布
一、退化分布
如果随机变量X
PX a1
即
X
~
a
1
则称随机变量X 服从 a处的退化分布.*
此时 EX a, DX 0
二、两点分布
如果随机变量X 只取两个值 x1, x2
X
~
x1 p
x2 1 p
其中0 p 1, 则称X服从参数为p的两点分布.
X0 1
2 ... k ... n
P
qn
C
1 n
p1q
n1
Cn2 p2qn2
设 Ai 表示第 i 次发生事件A
P( Ai ) p
PX 2
P( Ai ) 1 p q
P( A1 A2 A3 ...An A1 A2 A3 ...An ... A1 ...An2 An1 An ) P( A1 A2 A3 ...An ) P( A1 A2 A3 ...An ) ...
X0 1
P qn
2 ... k ... n
设 Ai 表示 第 i 次发生事件A P( Ai ) p, P( Ai ) 1 p q
P X 0 P( A1 A2 ...An )
P( A1 )P( A2 )...P( An ) qn
X0 1
2 ... k ... n
P