常用的离散分布(课件)

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四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A
或 A, 重复进行n次独立试验, 每一次试验, A发生 的概率都是 p, A不发生的概率 都是 q 1 p, 这样的n次独立重复试验 称作n重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里概型.
用 X 表示 n重贝努里试验中事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,...,n
§2.3 常用的离散型分布
一、退化分布
如果随机变量X
PX a1
即
X
~
a

1

则称随机变量X 服从 a处的退化分布.*
此时 EX a, DX 0
二、两点分布
如果随机变量X 只取两个值 x1, x2
X
~


x1 p
x2 1 p
其中0 p 1, 则称X服从参数为p的两点分布.
xn

1 n

1 n
x1

x2

...

xn

x
DX E X EX 2 E X x2

( x1

x )2

1 n
( x2

x )2

1 n

...
( xn

x)2

1 n
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 2 3 4 5 6
X
~

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X0 1
P qn
2 ... k ... n
设 Ai 表示 第 i 次发生事件A P( Ai ) p, P( Ai ) 1 p q
P X 0 P( A1 A2 ...An )
P( A1 )P( A2 )...P( An ) qn
X0 1
2 ... k ... n
P
解 EX n p 6

DX n pq 4.2
X ~ b 20, 0.3
6q 4.2
p 1 q 0.3
q 0.7 n 6 20
p
PX 5 1 PX 5 1 PX 4
1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 PX 4
qn
C
1 n
p1q
n1
设 Ai 表示 第 i 次发生事件A
P( Ai ) p, P( Ai ) 1 p q
PX 1
P( A1 A2 A3 ...An A1 A2 A3 ...An ... A1...An1 An )
P( A1 A2 A3 ...An ) P( A1 A2 A3 ...An ) ... P( A1...An1 An ) P( A1 )P( A2 )...P( An ) ... P( A1 )...P( An1 )P( An ) Cn1 p qn1

...

C
k n
pkqnk...
pn
(q p)n 1 (归一性）
X0 1
2
...
k
...
n
P
qn
C
1 n
p qn1
C
2 n
p2qn2
...
C
k n
pk
qnk
...
pn
即
P X k

C
k n
pk qnk
k 0,1,2,...,n
当n=1时, 二项分布 b( 1 , p)
4
4
1 P X i 1 C2i0 0.3i 0.720i
i 0
i0
例
设
X
~
B( 2,
此时 EX x1 p x2(1 p)
当
x1
1,
x2

0 时，X
~

1 p
1
0 p
,
即为0—1分布.
也称X是参数为p的 伯努利随机变量.
三、离散均匀分布
x1 x2 ... xn
X ~
1 n
1 n
...
1 n

EX

x1

1 n

x2

1 n
...
P( A1...Ak Ak1...An ) P( A1...Ak1 Ak Ak1 Ak2 ...An ) ... P( A1...Ank Ank1...An ) Cnk pk qnk
P X n P( A1 A2 ...An ) P( A1 )P( A2 )...P( An ) pn
...
C
k n
pk q nk
...
pn
设 Ai 表示第 i 次发生事件A
P( Ai ) p
PX k
P( Ai ) 1 p q
P( A1...Ak Ak1...An A1 ...Ak1 Ak Ak A 1 k2 ...An ...
A1 ...Ank Ank1...An )
X0 1
2
...
k
...
n
P
qn
C
1 n
p qn1
C
2 n
p2qn2
...
C
k n
pk
qnk
...
pn
即
P X k

C
k n
pk qnk
k 0,1,2,...,n
称随机变量 X 服从参数为n, p 的二项分布,
记为 X ~ b(n, p)
Biblioteka Baiduqn

C
1 n
p1q n1
Cn2 p2qn2
X
~
0
q
1
p
即是参数为p的0—1分布.
可以证明，二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p, DX n pq
可以证明，二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p DX n pq
例 已知随机变量 X ~ b(n, p), EX 6, DX 4.2,
求 PX 5
... P( A1...An2 An1 An )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )...P( An ) ... P( A1 )P( A2 )...P( An1 )P( An )
Cn2 p2qn2
X0 1
2 ... k ... n
P
qn
C
1 n
p1q
n1
Cn2 p2qn2
X0 1
2 ... k ... n
P
qn
C
1 n
p1q
n1
Cn2 p2qn2
设 Ai 表示第 i 次发生事件A
P( Ai ) p
PX 2
P( Ai ) 1 p q
P( A1 A2 A3 ...An A1 A2 A3 ...An ... A1 ...An2 An1 An ) P( A1 A2 A3 ...An ) P( A1 A2 A3 ...An ) ...