待定系数法求二次函数解析式(讲义)

⎧⎪⎨

⎪⎩

待定系数法求二次函数解析式（讲义）

一、【基础知识精讲】

(一）、中考导航图

1.二次函数的意义;

2.二次函数的图象;

3.二次函数的性质⎧⎪

⎪⎨⎪⎪⎩

顶点

对称轴

开口方向增减性

顶点式：y=a(x-h)

2

+k(a ≠0) 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5.二次函数与一元二次方程的关系。 6.抛物线y=ax 2

+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。 （二）、中考知识梳理 1.二次函数的图象

在画二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a

)2+

4a 2

4ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a

,4a 2

4ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求

得顶点坐标.

2.理解二次函数的性质

抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在

对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a 2

4ac-b ;反之

当a<•0时,简记左增右减,当x=-b 2a

时y 最大值=4a 2

4ac-b .

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为

y=ax 2

+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大

值时,可设解析式为y=a(x-h)2

+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2

+bx+c=0,即抛物线与x 轴

有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴有一个交点,

方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,•方程ax 2

+bx+c=0无实根.

5.抛物线y=ax 2

+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定

a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,•抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;

b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;•简记左同右异.

6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,•应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.

二、【典型例题精析】

一般式：

例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 解得1,0,2.a b c =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

∴解析式为y=x 2

+2.

变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。

解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 解得1,0,2.a b c =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

∴解析式为y=x 2

+2.

顶点式：

例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a(x ＋h)2

＋k 的形式称为顶点式，(－h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函

数关系式为： y ＝a(x －8)2

＋9

由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。 请同学们完成本例的解答。

变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。 解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).•

设解析式为y=a(x-h)2

+k,

即y=a(x-1)2

-8.

把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2

-8,∴a=2.

即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2

-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,

把x=1,y=-8•代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,

∴解析式为y=2x 2

-4x-6.