基于小波分析与分形理论的股价预测方法

趣， 其应用领域遍及物理、数学、化学、生 出表 ２ 的四种方法：
物 、医 学 、冶 金 、材 料 、计 算 机 、哲 学 、经 济 ， 甚 至 电 影 、美 术 、音 乐 等 领 域 也 有 它
方法一
高频 零阶加权局域法
低频 零阶加权局域法
的应用。 分形的定量分析可以用分维 （ 又叫
分形维数、分数维） 加以表征。由于自然
图１
（ 二） 分形理论概述
窗口下的波动情况， 低频部分则有效地 提取出了大盘的走势。我国股票市场是
并且将混沌中的重构像空间的理论引入
“分 形 几 何 学 ”是 ２０ 世 纪 下 半 叶 最 混沌的， 所以经过小波分解之后的各部
分形预测中去， 进一步提高了预测的精 伟大的科学成就之一， 一般把分形看作 分， 仍然可能具有混沌特性。根据混沌理
度。
大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度 论 ， 如 果 序 列 的 最 大 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 为 正 ， 则
一 、理 论 与 方 法
的图像和构造以及现象的总称。自相似 处于混沌状态。本文采用小数据量方法，
（ 一） 小波理论简介 设 φ（ｔ）∈Ｌ２（Ｒ）（Ｌ２（Ｒ）表示平 方 可 积 的 函数空间）， 其傅立叶变换为φ＾（ω）。当φ＾（ω） 满足允许条件（Ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ Ｃｏｎｄｔｉｏｎ）C
ＲＭＳＥ ＲＭＳＰＥ ＭＡＰＥ
方法一 １７．７１５９ １．０３３１５ ０．８２５５３
方法二 １４．３５７２４ ０．８３２６０９ ０．７２５５０３
方法三 １３．３９３０３ ０．７７７２１４ ０．６５４２５
方法四 １３．３４４３２ ０．７７３９０２ ０．６５１３３５
方法一 ２６．５２６６ ０．９６７５６ ０．７９２５９
" Ｃφ＝
｜φ＾（ω）｜ ｜ω｜
ｄω＜∞
（ １）
Ｒ
时 ， 我 们 称 φ（ｔ）为 一 个 基 本 小 波 或 母 小
波 （Ｍｏｔｈｅｒ Ｗａｖｅｌｅｔ）， 将 母 小 波 φ（ｔ）经 伸
缩和平移后， 就可以得到一个小波序列。
对于连续的情况， 小波序列为
φａｂ（ｔ）＝
１ #｜ａ｜
φ（ ｔ－ ｂ ａ
）
ａ，ｂ∈ＲCａ≠０
（ ２）
其中 ａ 为伸缩因子， ｂ 为平移因子。
对于离散的情况， 小波序列为
φｊ，ｋ（ｔ）＝２－ ｊ ／２φ（２－ ｊ ／２ｔ－ ｋ） ｊ，ｋ∈Ｚ
（ ３）
由多分辨分析理论， 被处理的信号
ａｉ－１ 可分解为低一级逼近（低频）信号 ａｉ 和 细节（高频）信号 ｄｉ 之和。运用 Ｍａｌｌａｔ［１５］算 法可以将信号一层层进行分解， 每一层
本 文 选 取 ２００１ 年 １ 上证 ０．０１２８０９ ０．０１５４５１ ０．００６６８５ ０．０５６６７７ ０．０７２６７７ － ０．００６３９
月 ２ 日 至 ２００５ 年 １２ 月 深证 ０．０１９７９７ ０．００４０８１ ０．０１３１１ ０．１６５９４４ ０．１４６５５１ － ０．００８２９
方法二 １９．８５６９６ ０．７２５１６３ ０．５９１５９９
方法三 １９．８０４１２ ０．７２５０９６ ０．６０１３４８
方法四 １９．５５３７５ ０．７１６９２４ ０．５８５７７２
的四种预测方法， 分别进行建模预
测， 其中分形方法却效果比较好的 二阶累计模型。
具体的做法是， 将每个时序的前 １２１６ 个 数 据 用 于 确 定 预 测 模 型 和 优 化 参数， 后面 ２０ 个数据用于预测并与实际 数值进行对比。
相对应的股票指数， 借助变维分形的概
念， 分以下两步对股票指数进行预测：
第一步， 构造各阶累计序列 Ａ１、Ａ２、
Ａ３ 等， 其中
Ａ１ｉ＝8Ｎ１，Ｎ１＋Ｎ２，Ｎ１＋Ｎ２＋Ｎ３， … :（ｉ＝１，２，
…，ｎ）
（ ８）
Ａ２２＝8Ａ１１，Ａ１１＋Ａ１２，Ａ１１＋Ａ１２＋Ａ１３， …:
（ｉ＝１，２，…，ｎ）
（ ９）
则
混沌状态， 那么就需要运用下面分形方
Ｄ＝ｌｉｍ ｌｎＮ（ｒ）
（ ６）
ｒ→０ ｌｎ １
ｒ
ｒ 为特征尺度，如时间，长度等； Ｎ 为
与特征尺度有关的物体数量；Ｄ 称为豪
斯道夫（Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ）维数， 当 Ｄ 为分数的时
候， 就可以将其称作分形。
二 、实 证 研 究
法进行预测。 （ 二） 分形建模及预测 分 形 （Ｆｒａｃｔａｌ）是 一 个 崭 新 的 科 学 名
图 ４ 图 ５ 分别表示上证指数和深证 成指数， 运用方法二和方法四的预测结 果。（ｏ 为方法二， ＋为方法四）
表 ３ 表 ４ 分别表示上证指数和深证 成指数在四种预测方法的结果比较， 从 表 中 可 以 清 晰 地 看 出 ， 利 用 分 形 方 法（方 法四） 预测上证指数的平均绝对百分比
运用小波分解的方法提出一种股票 市场建模与预测的方法， 并将其运用到 上证综指和深圳成指的预测上， 横向比 较了混沌零阶加权预测法、一阶加权预 测法和分形预测法的优劣， 结果表明即 使处于混沌状态， 分形预测法在高频和 低频的预测效果都要好于混沌预测法。 本文的结果表明， 分形与小波分解相结 合是预测股票市场的好方法， 具有比混 沌预测法更高的精度， 在股票市场的预 测中具有很好的应用前景。
性、标度不变性是分形理论的基础。对于 分别计算了上证综指和深证成指数的各
任意一个由确定为书的集合体 ， 若用与 个 频 段 的 最 大 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 指 数 ， 结 果 见 表
它 相 同 维 数 的 “尺 ”去 度 量 ， 则 可 得 到 一 １。
个确定的数值 Ｎ； 若用低 于 它 的 维 数 的
ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ
（ １４）
&ｎ
ＭＡＰＥ＝ １ ｎ ｉ＝１
ｘ＾ｉ － ｘｉ ×１００ ｘｉ
（ １Leabharlann Baidu）
其中， ｘ＾ｉ 是模型的预测值， ｘｉ 是实际
图５
值， ｎ 是预测期数。ＭＡＰＥ 评估预测能力
如 下 ： 小 于 或 者 等 于 １０ 则 预 测 能 力 极 佳 ； １０－ ２０ 预 测 能 力 优 良 ； ２０－ ５０ 预 测 合 理； ５０ 以上预测不正确。ＲＭＳＰＥ 由于平 方项的关系容易受离群值的影响， 对于 较大误差给予较大的权重， 但仍然可以 仿照 ＭＡＰＥ 来判断模型优劣。ＲＭＳＰＥ 取 值 范 围 从 零 至 无 穷 大 。 ＭＡＰＥ 和
图４
（ Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ） 维 、相 似 维 数 、信 息 维 数 、关 误差） 。它们的计算公式如下：
联维数等。
在这里我们介绍一种基于豪斯道夫
（ Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ） 维 的 分 形 预 测 方 法 。 对 于 一
个客体， 如果测量其“容积”（ Ｄ＝１、２、３ 时
分别为长度、面积和体积） 的单位的半径
误差为 ０．６５１， 深证成指为 ０．５８６， 而 且 分 形预测方法不受混沌这一条件的限制， 所以无论在方法的普适性还是预测的准 确性上面， 本文提出的分形预测方法都 优于目前比较成熟的混沌预测方法。
三 、结 论
ＲＭＳＰＥ 是相对指标， ＲＭＳＥ 是绝对 指 标 。ＲＭＳＥ 越 小 ， 模 型 预 测 能 力 越强。
（ 四） 预测结果 本文选取 ２００１ 年 １ 月 ２ 日 至 ２００５ 年 １２ 月 ３０ 日 的 上 证 指 数 和 深证成指数数据， 共 １２３６ 个， 利用 Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ５ 小 波 ， 对 上 述 数 据 进 行 ５ 层分解， 然后利用表格 ２ 中
表３
ＲＭＳＥ ＲＭＳＰＥ ＭＡＰＥ
表４
Ａ３ｉ＝8Ａ２１，Ａ２１＋Ａ２２，Ａ２１＋Ａ２２＋Ａ２３， … :
（ｉ＝１，２，…，ｎ）
（ １０）
第二步， 建立各阶累计和的分形模
型。
以 一 阶 累 计 和 为 例，将 数 据 点（Ａ１ｉ，ｒｉ） （ｉ＝１￣ｎ）绘 于 双 对 数 坐 标 上 ，
Ｄ＝ｌｎ（Ａ１ｉ ／Ａ１ｊ） ／ｌｎ（ｒｊ ／ｒｉ）
（ １１）
部分都对应于不同类型投资者， 并且针 第 二 层 到 第 ｎ 层 分 解 的 得 到 的 细 节 （高
对各个部分自身的特点分别进行研究。 频） 信 号 。 图 １ 为 上 证 Ａ 股 指 数 的
图２
近 年 来， 众 多 学 者 都 致 力 于 这 方 面 的 探 Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ４ 小波 ５ 层分解示意图。
３０ 日的上证指数和深证成
基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ ６０５７４０５９） ； 国家 ９７３ 项目（ ２００５ＣＢ３２１８００）
１１０
统计与决策
ＴＪ ＹＪ Ｃ
ＣＡＩＪＩＮＧＬＵ财ＮＴ经 ＡＮ论坛
２００７ 年 第 ３ 期（ 总 第 ２３３ 期 ）
一词激起了各个领域科学家们的极大兴 指 ， 考 虑 到 数 据 的 混 沌 特 性 （见 表 １）， 得
供了全新的视角。
信号 ｆ（ｔ）可表示为：
分形市场假说的核心就是将市场中
Ｎ
的不同类型的投资者针对其自身特点区
& ｆ（ｔ）＝ａＮｆ（ｔ）＋ ｄｉｆ（ｔ） ｉ＝１
（ ４）
别对待， 而小波方法， 就可以将金融时间
（４）式 中 ＡＮ 为 第 ｎ 层 分 解 得 到 的 逼
序列按照不同尺度进行分解， 使得每一 近（低频）信号， ｄ１，ｄ２，…，ｄＮ 分 别 为 第 一 层 、
词， 它最早是由美籍法国科学家曼德布 罗 特 （Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ ＢＢ）于 １９６７ 年 在 美 国 《科 学 》杂 志 上 提 出 这 一 思 想 ， 并 在 １９７５ 年 正 式 提 出 分 形 （Ｆｒａｃｔａｌ）这 一 词 。分 形 这
（ 一） 指数的小波分解 表 １
ｄ１
ｄ２
ｄ３
ｄ４
ｄ５
ａ５
回代预测相应天数的股票价格。
（ 三） 方法之间的横向比较
为了比较预测方法之间的优劣， 我
们将混沌零阶加权预测法、一阶加权预
测法和本文提出的分形预测方法分别用
于预测小波分解后的上证综指和深证成
ｎ
# " ＲＭＳＥ＝
１ ｎ
（ｘ＾ｉ－ ｘｉ）２
ｉ＝１
（ １３）
# $ %２
"ｎ
ＲＭＳＰＥ＝１００× １
ｘ＾ｉ － ｘｉ
索。国内也有类似的研究， 但是这些方法
都运用均方误差或者均方根误差这些绝
对指标来度量预测误差， 很难针对这些
方法作横向比较， 本文运用比较权威的
ＲＭＳＰＥ （ 均方根 百 分 比 误 差 ） 和 ＭＡＰＥ （ 平均绝对百分比误差） ， 系统地比较了
图３
高频部分表现出了指数在不同度量
零阶加权局域法、一阶加权局域法和更 能体现分形市场理论的分形预测方法，
Ｍａｒｋｅｔ Ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ， ＦＭＨ）， ， 在 非 线 形 系 （低 频 ）信 号 再 分 解 成 逼 近 （低 频 ）和 细 节 上述数据进行 ５ 层分解， 分别得到高频
统理论的框架中讨论金融市场的有效性 （高频）两部分。这样可将信号用一些列不 部 分 ｄ１、ｄ２、ｄ３、ｄ４、ｄ５ 和 低 频 部 分 ａ５， 如 图 和波动特性， 为金融时间序列的预测提 同分辨率的细节信号分层表示， 即原始 ２ 图 ３ 所示：
方法二 方法三 方法四
一阶加权局域法 一阶加权局域法
分形
一阶加权局域法 分形 分形
界的分形是多种多样的， 因此可以用多
同时引入三个度量预测准确性的指
种形式的分维来描述它们的特征。这些 标： ＲＭＳＥ（ 均方根误差） 、ＲＭＳＰＥ（ 均方根
维数包括经典维数、拓扑维、豪斯道夫 百分比 误 差 ） 和 ＭＡＰＥ（ 平 均 绝 对 百 分 比
ｃ＝ＮｉｒｉＤ
（ １２）
根 据 公 式 （１１）和（１２）得 出 离 散 分 维 序
列8Ｄｉ:，ｉ＝１，２，…，ｎ－ １， 计 算8Ｄｉ:的 最 大 Ｌｙａ－ ｐｕｎｏｖ 指数， 结果上证指数和深证综合指
数 的 最 大 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 指 数 均 为 正 ， 运 用 混
沌一阶加权局域法预测， 根据（１１）式进行
（ Ｄ＝１、２、３ 时分别为半线段长、单 位 圆 半
径和单位球半径） 为 ｒ， 用该单 位 测 量 客
体的个数 Ｎ（ｒ）满足如下标度关系
Ｎ（ｒ）＝ｃｒ－ Ｄ∝ｒ－ Ｄ
（ ７）
（式中 ｃ 是不随 ｒ 而变的结构因子） ，
则 该 客 体 的 维 数 为 Ｄ， 并 称 这 一 维 数 为
豪斯道夫维数。
在本文中 ｒ 取为时间编号， Ｎ 为与 ｒ
ＴＪ ＹＪ Ｃ
财经Ｃ论ＡＩ坛 ＪＩＮＧＬＵＮＴＡＮ
２００７ 年 第 ３ 期（ 总 第 ２３３ 期 ）
基于小波分析与分形理论的股价预测方法
■刘海波 易东云
近年来兴起的分形市场假说（Ｆｒａｃｔａｌ 分 解 的 结 果 是 将 上 次 分 解 得 到 的 逼 近 指进行研究。利用 Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ５ 小波， 对
由表 １ 可以看出， 上证综合指数和
“尺 ”去 衡 量 ， 其 结 果 为 无 穷 大 ； 反 之 ， 则 深 证 综 合 指 数 的 高 频 均 处 于 混 沌 状 态 ，
为零。数学表达式为：
可以用混沌预测方法进行预测， 但是低
Ｎ（ｒ）￣ｒ－ Ｄ
（ ５） 频 部 分 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 最 大 指 数 为 负 ， 不 处 于