第4章 控制系统的频率特性

3. 微分环节
频率特性
G( jω) = jω = ωe
j
π
2
jv
幅频特性 A(ω) = G( jω) = ω
∞ ↑ ω ω=0 u
相频特性
φ(ω) = ∠G( jω) = 90o
0
微分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴上半轴相重合的直线，由原点指向无穷 远点。
4.一阶惯性环节 一阶惯性环节
1 频率特性 G( jω) = 1+ jTω
G ( j ω ) = G1 ( j ω ) ⋅ G 2 ( j ω ) L G n ( j ω )
开环系统幅频特性等于各典型环节幅频特性的乘积
∠G ( jω ) = ∠G1 ( jω ) + ∠G2 ( jω ) L + ∠Gn ( jω )
开环系统相频特性等于各典型环节相频特性代数相加
Nyquist图的一般作图方法 图的一般作图方法
频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性 频域分析法 能在频率域内进行研究的一种方法。 频率特性的定义： 正弦输入时，频率特性就是系统稳态输出量与输入量之 正弦输入时， 复数比。 复数比。 幅相频率特性（Nyquist 图） 幅相频率特性 当频率ω 从0到无穷大变化 时，向量G(j ω )的端点在 复平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转 过的角度为正，顺时针转过的角度为负。
1. 正弦输入时，频率特性就是系统稳态输出量 正弦输入时， 与输入量之复数比； 与输入量之复数比； 2. 非正弦、非周期输入时，频率特性是系统输 非正弦、非周期输入时， 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。
频率特性的求取
1. 已知系统微分方程，把输入信号以正弦函数代入，求 其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比，即得 频率特性。
振荡环节的 Nyquist曲线不 仅与频率ω 有关，而且与 阻尼比ξ也有关。 ξ 越小， 幅频越大。 当ξ 小到一定程度时，幅 频将会出现峰值：
Mr = A(ωr )
ωr为谐振频率
Mr为谐振峰值
ωr = ωn 1− 2ξ
Mr = A(ω) max =
2
(ξ ≤ 0.707)
1 2 ξ ≤ 2
二 开环系统幅相频率特性的绘制
一般开环系统均由典型环节G1(s)、G2(s)、…Gn(s)串联 组成，则其传递函数为
G ( s ) = G1 ( s)G2 ( s ) L Gn ( s )
其频率特性为
G ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω ) L Gn ( jω )
G ( j ω ) e j∠ G ( jω ) = G1 ( j ω ) e j∠ G1 ( jω ) ⋅ G 2 ( j ω ) e j∠ G 2 ( jω ) L G n ( j ω ) e j∠ G n ( jω ) = G1 ( j ω ) L G n ( j ω ) e j ( ∠ G1 ( jω ) +L ∠ G n ( jω ))
系统稳态输出
t − eT
+
A 1+ω2T 2
sin(ωt − arctanωT )
lim x0 (t ) =
t →∞
A 1+ω2T 2
sin (ωt − arctan ωT )
定义：
A/ 1+ω2T 2 1 稳 态输 出幅 值 RC网络幅 A(ω) = = = 频特性 2 2 A 输入 值 幅 1+ω T
A(ω) = G( jω) = U 2 (ω) +V 2 (ω)
U(ω) = A(ω)cosϕ(ω)
V (ω) ϕ(ω) = arctan U(ω)
V (ω) = A(ω)sin ϕ(ω)
4.2 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性 幅相频率特性（Nyquist 图） 当频率ω 从0到无穷大变化 时，向量G(j ω )的端点在复 平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过 的角度为正，顺时针转过的角度为负。 2. 对数频率特性 对数频率特性（Bode图） 由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频 特性。
对数幅频特性曲线的纵坐标是按L(ω)= 20lgA(ω)均 匀分度， L(ω)称为增益，单位是分贝（dB），
幅值A(ω)每增大十倍，增益L(ω)就增加20分贝。纵 坐标是线性刻度。
对数相频纵坐标为相角φ(ω)，单位是度，采用线性刻度。 优点：将低频段展宽后清晰画出， 同时可在一张图上画出频率特性的中、高频段，
4.3 频率响应的Bode图(对数坐标图 对数坐标图) 对数坐标图
幅相频率特性（Nyquist 图）的优点 优点： 优点 在一张图上把频率ω由0到无穷大区间内各个频率 的幅值和相位都表示出来。 缺点： 缺点 在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些典型环节 组成的，并且绘图较麻烦。 对数频率特性能避免上述缺点，因而在工程上得到广泛 的应用。
2ξ 1−ξ 2
7. 二阶微分环节
ω jv
ω=0 0 1 u
8. 延迟环节
频率特性
G( jω) = e
A(ω) =1
− jωT
jv 1 0
幅频特性 相频特性
ω=0 ω u
φ(ω) = −ωT
延迟环节的幅相频率特性曲线是一个以坐标原点为 圆心，以1为半径的圆。 当频率取正值时，φ (ω ) 总是负值，意即曲线由(1，j0）点开 始，沿顺时针方向周而复始转动。
第4章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图 4.4 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性 时域分析法 能比较直观 准确 直观、准确 直观
缺点是： 1. 当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定， 因而无法分析系统性能。 2. 当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确 定应该如何调整系统来获得预期效果。
频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性 频域分析法 能在频率域内进行研究的一种方法。 特点： 1. 不必求解系统微分方程，而采用作图法 作图法分析，有很强 作图法 的直观性，计算工作量小； 2. 由系统开环特性即可定性分析闭环响应的特点， 定量估算响应性能指标。 3. 对难以用数学模型描述的系统和元件，可用实验方法 求出系统的频率响应，从而对系统和元件进行准确而有 效的分析。 4 能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，并进一 步提出改善系统性能的方法。
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv ω→∞ 0 -45° 0.707 ω=1/T ω ω=0 u
4.2 频率响应的Nyquist 图
典型环节的Nyquist图 一. 典型环节的 图
1. 放大环节
传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性
G (s) = K
jv K 0 u
G( jω) = K
A(ω) = G( jω) = K
4.1 频率特性
4.1频率特性的基本概念 4.1频率特性的基本概念
xi (t) xi (t) t R C xo(t)
RC网络的传递函数为
X0 ( s) 1 G(s) = = (T = RC) Xi ( s) Ts +1
输入信号 输出信号
xi (t ) = Asin ωt
AωT x0 (t ) = 1+ω2T 2
1 分别写出开环系统中各个典型环节的幅频特性和相 频特性。 2 写出开环系统的A(ω)和φ(ω)表达式。 3 分别求出ω=0和ω为无穷时的G(j ω) ω=0 ω G(j ω)。 4 求Nyquist与实轴交点，交点可用Im[G(j ω)]=0求出。 5 求Nyquist与虚轴交点，交点可用Re[G(j ω)]=0求出。 6 必要时再画出中间几点。 7 勾画大致曲线，
2 2 2
1
2
相频特性
2ξωT 1 − arctan 1−ω2T 2 ω ≤ T φ(ω) = ∠G( jω) = −π − arctan 2ξωT ω > 1 2 2 T 1− ω T
jv ω→∞ 0 ωn ωn ωn ξ=1 ξ=0.5 ξ=0.3 ω ω=0 1 u
频率特性的矢量图
jv V (ω) A(ω) φ(ω) 0 U(ω) u G(jω)
频率特性是一个复数，有三种表示： 代数式 极坐标式
G( jω) =U(ω) + jV(ω)
G( jω) = G( jω) ∠G( jω) = A(ω)∠ϕ(ω)
指数式
G( jω) = G( jω) e j∠G( jω) = A(ω)e jϕ(ω)
RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立 RC 虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号 设定输入信号是正弦信号，然而频 设定输入信号是正弦信号 率特性是系统的固有特性，与输入信号无关， 即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
当输入为非正弦周期信号时，其输入可用傅立叶级数展 成正弦波的叠加，其稳态输出为相应的正弦波叠加。 当输入为非周期信号，可将该非周期信号看作周期T趋于 无穷大的周期信号。 频率特性的定义：
φ(ω) = ∠G( jω) = 0o
2. 积分环节
频率特性
1 1 G( jω) = = e jω ω
j (− ) 2
π
jv 0
o
幅频特性 A(ω) = G( jω) = 1 相频特性
ω
u ω→∞ ω=0
φ(ω) = ∠G( jω) = −90
积分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴下半轴相重合的直线，由无穷远点指向 原点。
L(ω) (dB)
40 20 0 0.01 -20 -40 0.1 1 10 100 ω(rad/s)