数字信号处理ch7_5两通道滤波器组

0.8
0.9
1
无混叠滤波器组(Alias无混叠滤波器组(Alias-free filter bank)
(a) 幅度保持 (magnitude preserving) QMF组 QMF组
如果T(z)是一个全通系统，|T(ejΩ)|=d≠0
Y ( e jΩ ) = d X ( e j Ω )
(b) 相位保持 (phase preserving) QMF组 QMF组
H 0 (e ) + H 1 (e ) = d
Vaidyanathan证明了满足上述功率互补的 证明了满足上述功率互补的 线性相位系统不存在(trivial解除外 解除外) 线性相位系统不存在 解除外
jΩ
2
jΩ
2
线性相位FIR QMF组 线性相位FIR QMF组
工程的方案： 工程的方案： 确定一个目标函数寻找近似解。 确定一个目标函数寻找近似解。(Johnston,1980)
如果 arg{T arg{T(z)}=αΩ+β
(c) 理想重建(PR) QMF组 理想重建(PR) QMF组
Y ( z ) = dz − n X ( z ) 时域等价表示为:
y[ k ] = dx[k − n]
QMF滤波器组 QMF滤波器组
G0 ( z ) = H1 (− z ) G1 ( z ) = − H 0 (− z ) H1 ( z ) = H 0 (− z )
1 / z1
H0(z)的设计步骤
1. 设计满足下列指标的零相位半带滤波器 设计满足下列指标的零相位半带滤波器Q(z)
δs=δp=δ1
Ωp+Ωs=π π
半带滤波器的阶数为4J+2。 。 半带滤波器的阶数为 2. 为了保证 jΩ)≥0，定义 为了保证F(e ≥ ，定义F(z)为 为
F (z) = Q(z) + δ1
是实系数时， 当h[k]是实系数时，有 是实系数时
H 1 ( e jΩ ) = H 0 ( e j ( π − Ω )
|H1(ejΩ)|和 |H0(ejΩ)|关于Ω=π/2对称。
1 2 T ( z ) = H 0 ( z ) − H 02 (− z ) 2 H0(z)的多相表示为 的多相表示为
{
}
2 1 2 −1 T ( z) = E0 ( z ) + z E1 (− z ) − E0 ( z 2 ) − z −1 E1 (− z ) 2 = 2 z −1 E0 ( z 2 ) E1 ( z 2 )
则有
T ( z ) = 0 .5 {( − 1) M +1 H 0 ( z ) H 0 ( z − 1 ) + H 0 ( − z −1 ) H 0 ( − z ) }z − M
当M为偶数时 为偶数时 T(ej0.5π)=0 当M为奇数时 为奇数时
T ( z ) = 0.5{H 0 ( z ) H 0 ( z −1 ) + H 0 ( − z −1 ) H 0 ( − z )}z − M
F (z)是一半带滤波器。 是一半带滤波器。 是一半带滤波器 先设计半带滤波器，再由谱分解确定 先设计半带滤波器，再由谱分解确定H0(z)。 。
两通道滤波器组
谱分解(spectral 谱分解(spectral factorization)
是零相位半带滤波器， 设F(z)是零相位半带滤波器，且F(ejΩ)≥0，则 是零相位半带滤波器 ≥ ， F(z)可表示为 可表示为
无混叠滤波器组(Alias无混叠滤波器组(Alias-free filter bank)
组是一LTI系统，这时有 系统， 当A(z)=0时，QMF组是一 时 组是一 系统
H 0 (− z )G0 ( z ) + H1 (− z )G1 ( z ) = 0
G0 ( z) = C( z) H1 (− z)
G1 ( z) = −C( z) H 0 (− z)
C(z)为一有理多项式。如果C(z)=1，则有 为一有理多项式。如果 为一有理多项式 ，
G0 ( z ) = H1 (− z )
G1 ( z ) = − H 0 (− z )
Y ( z) = T ( z) X ( z)
1 T ( z ) = {H 0 ( z )G0 ( z ) + H1 ( z )G1 ( z )} 2
{(
H 0 ( z ) = E0 ( z 2 ) + z −1 E1 ( z 2 )
) (
)}
2
两通道滤波器组
例：Harr离散系统 Harr离散系统
H 0 ( z) =
(1 + z −1 ) 2
, H1 ( z) =
(1 − z −1 ) 2
E0 ( z 2 ) = E1 ( z 2 ) = 1 / 2
*
( π−Ω )
) e jM ( π − Ω )
2
= ( −1) e
M
− jMΩ
H 0 (e
j ( π −Ω )
)
2
T (e
jΩ
)=
1 2
{H
=
e
− jM Ω
2
{H
2 0
( e jΩ ) − H
0
2 0
( − e jΩ ) }
M
(e
jΩ
) − ( −1)
2
H 0 (e
j ( π −Ω )
)
2
}
线性相位FIR QMF组 线性相位FIR QMF组
T ( z ) = 2 z −1 E 0 ( z 2 ) E1 ( z 2 ) = z − 1
满足PR条件。 满足 条件。 条件
线性相位FIR QMF组 线性相位FIR QMF组
H 0 ( z ) = ∑ h[ k ] z − k ,
k =0 M
h0 [ k ] = h0 [ M − k ]
H 0 ( e jΩ ) = e − jΩM / 2 A0 ( Ω )
两通道滤波器组
两通道滤波器组的z 两通道滤波器组的z域分析
x0[k] H0(z) x[k] x1[k] H1(z)
↓2
u0[k]
↑2
y0[k] G0(z) y[k] y1[k] G1(z)
↓2
u1[k]
↑2
分解滤波器组
X l ( z) = H l ( z) X ( x)
U l ( z ) = 0.5{X l ( z 1 / 2 ) + X l ( − z 1 / 2 )}
合成滤波器组
Yl ( z ) = U l ( z 2 ) = 0.5{X l ( z ) + X l ( − z )}
Y ( z ) = G 0 ( z )Y0 ( z ) + G1 ( z )Y1 ( z )
Y ( z ) = T ( z ) X ( z ) + A( z ) X (− z )
1 T ( z ) = {H 0 ( z )G0 ( z ) + H1 ( z )G1 ( z )} distortion transfer function 2 1 A( z ) = {H 0 (− z )G0 ( z ) + H1 (− z )G1 ( z )} aliasing transfer function 2 两通道滤波器组
例：用Parks-McClellan算法设计两通道 算法设计两通道FIR PR滤波 算法设计两通道 滤波 器组中的H 其指标为： 器组中的 0(z) , 其指标为：Ωs=0.6π, δs=0.01。 π 。
0
-5
-10 Gain,dB
-15
-20
-25
-30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
3．由F(z)的谱因子确定。 ． 的谱因子确定。 的谱因子确定
例：用Parks-McClellan算法设计两通道 算法设计两通道FIR PR滤波 算法设计两通道 滤波 器组中的H 其指标为： 器组中的 0(z) , 其指标为：Ωs=0.6π, δs=0.01。 π 。
Fs=0.6;ds=0.1^2/2;Fp=1-Fs; [N,fo,mo,w] = remezord([Fp,Fs],[1 0],[ds ds]); n=mod(N+1,4);N=N+3-n； ； h= remez(N,fo,mo,w); f=zeros(1,N+1);f(1:2:N+1)=h(1:2:N+1); f(N/2+1)=1/2;f(N/2+1)=f(N/2+1)+ds; z=roots(f); n=find(abs(z)<1); z1=z(n); h0=real(poly(z1)); c=sqrt(0.5/(h0*h0')); h0=c*h0
数字信号处理
(Digital Signal Processing) Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
多速率信号处理基础
多速率系统中的基本单元 抽取滤波器和内插滤波器 多相分解 半带滤波器 两通道滤波器组
两通道滤波器组
两通道滤波器组的z 两通道滤波器组的z域分析 两通道QMF滤波器组 两通道QMF滤波器组 两通道FIR PR滤波器组 两通道FIR PR滤波器组
两通道滤波器组
两通道FIR PR滤波器组 两通道FIR PR滤波器组
当 H 0 ( z ) H 0 ( z −1 ) + H 0 ( − z −1 ) H 0 ( − z ) = 1
T ( z ) = 0 .5 z − N
记： F ( z ) = H 0 ( z ) H 0 ( z −1 )
则有
F ( z ) + F (− z) = 1