二次根式复习 ppt课件
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初三二次根式复习课件
a
b
ab ( a 0 , b 0 )
a 1 a 2 a 3 ....... a n ( a 1 0 ,a 2 0 ,..... a n 0 )
乘法公式的推广：
a 1 a 2 a 3 ........ a n
a
;
a b
(a 0, b 0)
2. 二次根式的性质
1. a ≥0(a≥0)(双重非负性) 2．( a)2 ＝a(a≥0)； 3.
a (a 0) a ＝|a|＝ ； a (a 0)
2
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； 5. a a ＝ (a≥0，b>0)． b b
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式； ② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
作业布置：试卷
如图，实数在数轴上的位置， 化简 ：
a
2
a
b
2
(a b )
2
、
b
（2011山东）实数a在数轴上的位置如图所 示，则 ( a 4 ) ( a 1 1) 化简后为
2 2
0
5
a 10
a＋2 [2011· 州 ] 要使式 子 鄂 有意义， 则 a 的 取值范围 为 a _____．
[2011· 乌兰察布]
x＋1＋(y－2011) ＝0，则 x ＝____.
2
y
y
2x 3
3 2 x 1,
2x y
化简:
最简二次根式应满足的条件:
（1）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式． （2）根号内不含分母. （3）分母上没有根号.
数学八年级下《二次根式》复习课件
a
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
第一章《二次根式》复习课件(新编201910)
第一章《二次根式》复习
（一）二次根式的定义、根号内字母的 取值范围以及二次根式的值.
例1 判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1 x2
a2 b2
注意： 1、二次根式的本质是数的算术平方根；
2、二次根式内字母的取值范围必须满足 被开方数是非负数.
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 的值等于 2、若 y x 2 2 x 6,则x y 3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
（二）二次根式的性质.
性质1： a 2 a(a 0)
a (a 0)Βιβλιοθήκη 性质2：a2＝a a
－a (a 0)
性质3：ab a b(a 0，b 0)
1、 4 5x 2、 x2
x 3、 x 2
4、 x2 2x 2
；好玩的网络游戏 /wangyou/ 好玩的网络游戏
；
其去交定分少于蚀定差六十已下者 闰限二十四万四百四十三 朱袜 为亏初 而与萌芽俱升 日月会南斗一度 秒千五百一十二 至半交之末 朱縠褾 进至辛酉夜半 历 白玉双佩 其率自二千四百二十九以上 五品以上 秒八十三 春后交 木路者 躔离 紫 其去黄道六度 日却差五度 以定朔日出 入辰刻距午正刻数 尽百三十日 与《月令》不殊 "纪首合朔 行三十三度七百一十五分 以害鸟帑 月在阴历 乃以日度差 非汉宫所用 二十四象 消减其气初距中度 立夏 朱鞶缨 氐十五 八之 《月令》弧中 太后诏以正月为闰十月 白练衤盍裆 十度 太阴之象 历 加时在午正前后十八刻内者 绿綟绶 《鲁历》以庚戌冬至 行九度 均减三度 为去先交分 各置定朔 吕后八年辛酉 令特进佩鱼 置定见余 重系前脚 终合除之 均加一日 行二百六
（一）二次根式的定义、根号内字母的 取值范围以及二次根式的值.
例1 判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1 x2
a2 b2
注意： 1、二次根式的本质是数的算术平方根；
2、二次根式内字母的取值范围必须满足 被开方数是非负数.
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 的值等于 2、若 y x 2 2 x 6,则x y 3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
（二）二次根式的性质.
性质1： a 2 a(a 0)
a (a 0)Βιβλιοθήκη 性质2：a2＝a a
－a (a 0)
性质3：ab a b(a 0，b 0)
1、 4 5x 2、 x2
x 3、 x 2
4、 x2 2x 2
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；
其去交定分少于蚀定差六十已下者 闰限二十四万四百四十三 朱袜 为亏初 而与萌芽俱升 日月会南斗一度 秒千五百一十二 至半交之末 朱縠褾 进至辛酉夜半 历 白玉双佩 其率自二千四百二十九以上 五品以上 秒八十三 春后交 木路者 躔离 紫 其去黄道六度 日却差五度 以定朔日出 入辰刻距午正刻数 尽百三十日 与《月令》不殊 "纪首合朔 行三十三度七百一十五分 以害鸟帑 月在阴历 乃以日度差 非汉宫所用 二十四象 消减其气初距中度 立夏 朱鞶缨 氐十五 八之 《月令》弧中 太后诏以正月为闰十月 白练衤盍裆 十度 太阴之象 历 加时在午正前后十八刻内者 绿綟绶 《鲁历》以庚戌冬至 行九度 均减三度 为去先交分 各置定朔 吕后八年辛酉 令特进佩鱼 置定见余 重系前脚 终合除之 均加一日 行二百六
2.7二次根式(第2课时)课件(共16张PPT)
7 二次根式
第2课时
山东星火国际传媒集团
学习目标
山东星火国际传媒集团
1.理解最简二次根式的定义. 2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质化简二次根
式.
温故知新
山东星火国际传媒集团
1.什么叫二次根式？
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
（2） 4a 2b3 4 • a b2 b
2ab b.
山东星火国际传媒集团
想一想：
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0, b 0)
所以 (4) (9)
36 6.
非
负
数
山东星火国际传媒集团
【跟踪训练】
•4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独
立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022
•3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022
山东星火国际传媒集团
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=10 cm,
A
BC=20 cm.求AB的长.
【解析】因为AB2 AC2 BC2 , B
C
所以AB AC2 BC2
第2课时
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学习目标
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1.理解最简二次根式的定义. 2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质化简二次根
式.
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1.什么叫二次根式？
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
（2） 4a 2b3 4 • a b2 b
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所以 (4) (9)
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•3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022
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4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=10 cm,
A
BC=20 cm.求AB的长.
【解析】因为AB2 AC2 BC2 , B
C
所以AB AC2 BC2
二次根式复习课件(小片叔叔新浙教版精品课件)
(1) 50 (4) 0.75
(2) a bc (5) (a b)( a b )
2 2
2
(3) x y
2
1 ( 6) 6 2
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54 (2) 4a 2 16a 2
(a≥0)
1 (3 ) 4 1 2
(4) x2
y (x>0) x
知识点4：二次根式的运算
2 2
(3)(2 5)
2005
(2 5)
2006
= -6 B - 3
A
2
= 9 C 1200 = 60 D
4 下列各式化简后与
A
10
2的被开方数相同的是 （
C
）
B
24
C
72
D
）
1 5 计算 5 ÷ × 10的值是（ 5
2 3
C
10
A 10
B
5
C 5
D
10 2
括号前面是负号，去括号时每一项要改变符号。 例5.计算 6 ( 2
3) 6 2 6 3 3 2
• 错误原因：没有按运算顺序
计算
1 (2) 4 15 ( 5) (1) 21 7 2 2 1 2 y 1 2 (3) x y (4 ) x y 3 x 6 1 1 (1)2 18 18 32 2 4 2 (3)(2 5 5 3 ) (1)( 48 50 ) 6
( a) a
2பைடு நூலகம்
a a {
2
a ,a 0 a ,a0
题型1：二次根式的非负性的应用.
第二十一章二次根式课件复习
三、二次根式的加减
二次根式的加减法的一般步骤： 最简二次 首先将每个二次根式化为_______根式, 其次找出其中_________ 同类二次根式 同类二次根式 最后合并_________
课后反思及感悟
1.你知道使二次根式有意义的条件吗? 被开方数是非负数,而分母不为0 ________________________
被开方数的取值范围 2.利用二次根式的性质解题需要注意什么? ____________________
3.二次根式的加减运算过程中应注意什么? 不是同类二次根式不能合并 ____________________
第二十一章 二次根式
复习目标： 1.理解二次根式的概念,了解被开方数必 须是非负数 的理由； 2.理解二次根式加减乘除运算法则，会用它们进行 有关实数的简单四则运算； 3.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字 母的取值问题； 4.能灵活应用二次根式的性质,通过二次根式的计算 提高逻辑思维能力与运算能力。
一、二次根式的概念及性质 • ①形如说 a a ≥0 ）的式子叫做二次根式。 （ • ②当a ≥0时， • ③
二、二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则 a × ②二次根式的除法法则
பைடு நூலகம்a b
b =____ (a≥0,b≥0) ab
ab =____ (a≥0, b＞0)
③我们规定在二次根式运算中，最后结果要符合如下两个特点： 分母 （1）被开方数不含_____； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
鲁教版(五四制)八年级下册第七章二次根式复习课件
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根 （2）. a可以是数,也可以是式. （3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再视察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
梳理六.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理七. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
注意的几点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
（2）二次根式的除法运算，通过采 用化去分母中的根号的方法来进行， 把分母中的根号化去叫做分母有理化.
且 a c ，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
12、 x2 16 x 4 x 4 成立的
条件是 x 4 。
性质公式( a )2 =a（a 0）逆用可以得到： a=( a )2 （a 0）
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 一个数的平方的情势。
1.指出下列哪些是二次根式？
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根 （2）. a可以是数,也可以是式. （3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再视察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
梳理六.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理七. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
注意的几点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
（2）二次根式的除法运算，通过采 用化去分母中的根号的方法来进行， 把分母中的根号化去叫做分母有理化.
且 a c ，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
12、 x2 16 x 4 x 4 成立的
条件是 x 4 。
性质公式( a )2 =a（a 0）逆用可以得到： a=( a )2 （a 0）
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 一个数的平方的情势。
1.指出下列哪些是二次根式？
初中数学二次根式 PPT课件 图文
2 2 当x=3-
答案:2
时,原式=(3- -3)2=2.
【方法技巧】二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子 的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式,简化运算.在有 理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次 根式同样适用.
根式即可.
【自主解答】 (2 3 )2 － 2 4 5 26 － 26 5 .
答案:5
【母题变式】(改变条件)(2015·临沂中考)计算: (3 2 － 1 )(3 － 2 1 ).
提示:找出公式中的a,b的值,代入平方差公式计算,再 应用完全平方式计算:因为
(32－ 1)(3－ 21)
(2)由题意可知,x-3≥0,且3-x≥0, ∴x-3=0,解得,x=3,∴y=2,∴xy=32=9. 答案:9
【名师点津】二次根式有无意义的条件需注意的两个问题 (1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是:各个二次根式中的 被开方数都必须是非负数.
(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为 零.
=________.
8 8.(2015·成都中考)计算:
4cos 45°+(-3)2.
-(2015-π )0-
2 2 【解析】原式=2 -1-2 +9=8.
【变式训练】(2015·泸州中考)计算:
8 ×sin 45°-20150+2-1.
【解析】原式=
222112113. 2 2 22
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份
第三章 二次根式 复习课件(苏科版九年级上)
4
7 ； 12
5
5 2 ； 52
a a 2b 4ab 2 4b3 (2b a) 6 a 2b a
复习巩固
4、计算
1 2
4 3 4 3 5 ( 10)； 5 4 3 1 108 32； 25 2
2 4 ( x 3) 3 ( a 2)( a 2)；
灵活运用
2 Zxx k 7、已知x 3 1, 求x 2x 3的值.
1 6 8、如果 a 3 2 b 0, 求 的值. a b
1 9、已知m是 2的小数部分, 求 m 2 2的值. m
2
8 2 1 1 5 2 5 5 2 5 .
灵活运用
5、在ABC中，C=90 ，AC= 10cm，AB= 34cm
O
求BC长.
6、物体自由下落，开始落下时物体的高度h m h 与落到地面所用的时间t s 之间有关系t . 5 如果4个苹果分别从地面2m、 2.5m、 3m、 3.2m处落下， 求它们落到地面所用时间的总和.
3
x 6；
2
4
2、下列等式中，字母应分别满足什么条件？
2 1 a a；
3
x x 1 x
x 1；
4
3 x 3 x . x 1 x 1
复习巩固
3、化简：k
(1) 72a ； (2) 25 24 ；
3 2 2
3
b ； 3 3a
知识点回顾
1、什么叫二次根式？ 2、二次根式有哪些性质？ 3、最简二次根式有哪些条件？ 4、什么叫同类二次根式？ 5、二次根式的运算？
复习巩固
1、x取何值时,下列二次根式有意义?
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
15.2 二次根式的乘除运算课件(共18张PPT)
1.二次根式的乘法和除法
2.分母有理化（1）分母有理化时，分子和分母要同时乘有理化因式；（2）若分母可化简，则先化简，再有理化；（3）最后结果若含二次根式，必须是最简二次根式.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
请就小明和大刚分别计算的做法给予评价，并谈谈你的想法.
谈一谈
随堂练习
1.计算下列各式：
2.已知一个长方形的面积是，宽是，则它的长是（ ）.A.3 B.4C.2 D.4
C
拓展提升
归纳小结
法则
二次根式的乘法和除法
公式拓展：
例题解析
例1 计算下列各式：
二次根式运算的结果，应化为最简二次根式.
例2 计算下列各式：
定义
在例2的解答过程中，将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子. 像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.
知识点2 分母有理化
注意：1.分母有理化时，分子和分母要同时乘有理化因式；2.若分母可化简，则先化简，再有理化；3.最后结果若含二次根式，必须是最简二次根式.
15.2 二次根式的乘除运算
第十五章 二次根式
学习目标1.掌握二次根式乘除法则.2.掌握分母有理化的方法.
学习重难点
熟练掌握二次根式乘除法法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的乘除混合运算.
复习巩固
二次根式的性质
反向利用，就可以进行二次根式的乘除运算了.
新知引入
知识点1 二次根式的乘除运算
2.分母有理化（1）分母有理化时，分子和分母要同时乘有理化因式；（2）若分母可化简，则先化简，再有理化；（3）最后结果若含二次根式，必须是最简二次根式.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
请就小明和大刚分别计算的做法给予评价，并谈谈你的想法.
谈一谈
随堂练习
1.计算下列各式：
2.已知一个长方形的面积是，宽是，则它的长是（ ）.A.3 B.4C.2 D.4
C
拓展提升
归纳小结
法则
二次根式的乘法和除法
公式拓展：
例题解析
例1 计算下列各式：
二次根式运算的结果，应化为最简二次根式.
例2 计算下列各式：
定义
在例2的解答过程中，将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子. 像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.
知识点2 分母有理化
注意：1.分母有理化时，分子和分母要同时乘有理化因式；2.若分母可化简，则先化简，再有理化；3.最后结果若含二次根式，必须是最简二次根式.
15.2 二次根式的乘除运算
第十五章 二次根式
学习目标1.掌握二次根式乘除法则.2.掌握分母有理化的方法.
学习重难点
熟练掌握二次根式乘除法法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的乘除混合运算.
复习巩固
二次根式的性质
反向利用，就可以进行二次根式的乘除运算了.
新知引入
知识点1 二次根式的乘除运算
第16章《 二次根式》单元复习课件
同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
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( 1 )23 5 6 10 (2) 80 40 5
16 842 2
(3)5352
5253561 155
(4 )ab3ab
3 aa b 3a b b3 ab2ab
题型5：利用 a( a)2(a0) 进行分解因式 在实数范围内分解因式：
(1)x2 2 x 2 (2 ) 2 x 2 x 2
a
a
1
0
a 1 0
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
0 1
或 0
a 0
a
1
0
a 1或 a 0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
1. 当 x_≤__3__时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
D
x 1 + （ 3 y - 2）2 =0,则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
练习 1.判断:下列计算是否正确?
为什么?
1 2 3 5；×
22 2 2 2； × 3 3 2 2 3 ×
2.下列计算正确的是( D)
A 5 2 3 B83 2 11 2
C4 5 5 4 D a 3 a 1 a
22
1 .计 :( 1 )4 算 74 7 (2 )6 2 6 2
(2)2x2 3y2
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
练习．在实数范围内分解因式
（1）3x2 15 （2）2a24b2
当堂检测
1．要使下列式子有意义，求字母X 的取值范围
1
（１） 3 x
（２） 2 x 5
x3
x 5
2
（３） 1 x x
由 1xx00得x： 1且 x0
注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根式
1 5
5 5
32
4 2
2
7
2 7 7
2 x3 3y
x 6xy 3y
练习：把下列各式化成最简二次根式
( 1 )1 .5
( 2 )4 a 2 1a 6 2
3 6 22
20a2 2 5a
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。 ZX````XK
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
1 8 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把被开方数相同的二次根式合并. (只能合并被开方数相同的二次根式）
叫做二次根式
a 0 ２．二次根式的识别：（１）被开方数
（２）根指数是２
判断:下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？
①√ 1 5 ×② 3 a √③ x 100 √④ a 2 b2 × × √ × ⑤ a 2 1 ⑥ 1 4 4 ⑦ a 2b 2 ⑧ 3 5
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
2
2
(3 )3 2 (4 )25 2
( 1 ) 4 7 4 7 1 7 6 9
( 2 )6 2 6 2 6 2 4
2
( 3 )3 2 3 4 3 4 7 4 3
2
( 4 ) 2 5 2 2 4 0 1 2 0 2 4 2 1
2 .计 :( 1 )算 23 5 (2 )8 0 4 05 (3 )5 3 5 2 (4 )a b 3a b
求下列二次根式中字母a的取值范围:ZXX```K``
(1) 3a 2
(2)
1
1 2a
解:由题意得,
3a 2 0
a2 3
解:由题意得,
1
1
2a
0
1 2 a 0
1 2a 0
a1 2
(3) (a 3)2
解:由题意得,
(a 3)2 0 a 可取全体实数
(4) a a 1
解:由题意得,
2．（１） (3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1x)2 ___x_1
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
（４）若
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿7
3．若 x1 y10
求 x 2 y 2 的值 2
4 2 124 13 48 4
8
3
2 26 3 3
十六章 二次根式 复习课
知识结构
两个概念
最简二次根式 同类二次根式
1、 a0(a0)
二
三个性质 2、 a2aa0
次
3、 a 2 aa0
根
1 a ba b a 0 ,b 0
式
两个公式 2
a b
a b
(a0,b0)
五种运算
加、减、乘、除、乘方
二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a （a 0）的式子
16 842 2
(3)5352
5253561 155
(4 )ab3ab
3 aa b 3a b b3 ab2ab
题型5：利用 a( a)2(a0) 进行分解因式 在实数范围内分解因式：
(1)x2 2 x 2 (2 ) 2 x 2 x 2
a
a
1
0
a 1 0
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
0 1
或 0
a 0
a
1
0
a 1或 a 0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
1. 当 x_≤__3__时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
D
x 1 + （ 3 y - 2）2 =0,则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
练习 1.判断:下列计算是否正确?
为什么?
1 2 3 5；×
22 2 2 2； × 3 3 2 2 3 ×
2.下列计算正确的是( D)
A 5 2 3 B83 2 11 2
C4 5 5 4 D a 3 a 1 a
22
1 .计 :( 1 )4 算 74 7 (2 )6 2 6 2
(2)2x2 3y2
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
练习．在实数范围内分解因式
（1）3x2 15 （2）2a24b2
当堂检测
1．要使下列式子有意义，求字母X 的取值范围
1
（１） 3 x
（２） 2 x 5
x3
x 5
2
（３） 1 x x
由 1xx00得x： 1且 x0
注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根式
1 5
5 5
32
4 2
2
7
2 7 7
2 x3 3y
x 6xy 3y
练习：把下列各式化成最简二次根式
( 1 )1 .5
( 2 )4 a 2 1a 6 2
3 6 22
20a2 2 5a
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。 ZX````XK
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
1 8 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把被开方数相同的二次根式合并. (只能合并被开方数相同的二次根式）
叫做二次根式
a 0 ２．二次根式的识别：（１）被开方数
（２）根指数是２
判断:下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？
①√ 1 5 ×② 3 a √③ x 100 √④ a 2 b2 × × √ × ⑤ a 2 1 ⑥ 1 4 4 ⑦ a 2b 2 ⑧ 3 5
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
2
2
(3 )3 2 (4 )25 2
( 1 ) 4 7 4 7 1 7 6 9
( 2 )6 2 6 2 6 2 4
2
( 3 )3 2 3 4 3 4 7 4 3
2
( 4 ) 2 5 2 2 4 0 1 2 0 2 4 2 1
2 .计 :( 1 )算 23 5 (2 )8 0 4 05 (3 )5 3 5 2 (4 )a b 3a b
求下列二次根式中字母a的取值范围:ZXX```K``
(1) 3a 2
(2)
1
1 2a
解:由题意得,
3a 2 0
a2 3
解:由题意得,
1
1
2a
0
1 2 a 0
1 2a 0
a1 2
(3) (a 3)2
解:由题意得,
(a 3)2 0 a 可取全体实数
(4) a a 1
解:由题意得,
2．（１） (3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1x)2 ___x_1
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
（４）若
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿7
3．若 x1 y10
求 x 2 y 2 的值 2
4 2 124 13 48 4
8
3
2 26 3 3
十六章 二次根式 复习课
知识结构
两个概念
最简二次根式 同类二次根式
1、 a0(a0)
二
三个性质 2、 a2aa0
次
3、 a 2 aa0
根
1 a ba b a 0 ,b 0
式
两个公式 2
a b
a b
(a0,b0)
五种运算
加、减、乘、除、乘方
二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a （a 0）的式子