电大《微积分初步》复习题及答案解析

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电大专科微积分初步期末考试试题及答案

1微积分初步考试试题1填空题答案：f(x)=x 2—1X 2 -2x -3(6)函数y =的间断点是x +1答案：x = -11(7) lim xsin —= X答案：1(8)若 llm sln4x =2，贝y k = T sin kx答案：k = 2(9)曲线f(x)=JX+1在(1,2)点的切斜率是 1 答案：12(10)曲线f(x)=e X在(0,1)点的切线方程是答案：y =x +e(1) 函数f(X 2E 的定义域是答案:函数 f(X)= ---- 1-- +』4 -x 2In(X +2)的定义域是答案: (—2,—1)5—1,2]函数 f(X +2) = X 2+4x + 7，则 f(x) = 答案：f(X)= X 2+3(4)若函数f(X)= { i ■ 3 4 [xsi n —+1,! xX c 0 在X = 0处连续，则k =X >0 答案：k =1 (5)函数 f(X-1) =X 2-2x ，则(11)已知 f(X)=X 3 +3x，贝y f'(3) =答案:(13)若 f(X)=xe 」，则 f "(0)答案：f "(X)= —2e 」+xe 」f 70) = -2(16)若f (x)的一个原函数为ln X 2，则f (x)=2答案：-(17)若 J f (x)dx =sin 2x +c ，则 f (x)答案：2cos2x答案: f(X)=3x 2 +3XIn3f '(3)=27 (1+1 n3)(12)已知 f(X)=lnx ，贝U f “(x) =(14)2函数y=3(x-1)的单调增加区间是答案: (1,畑)(15) 2函数f(x)=ax +1在区间(0, +K )内单调增加，则a 应满足答案: a >0(18) 若 fcosxdx = 答案： sin X +c(19) 2答案：-X 丄 e +c(20)f(sin x) dx=答案：sin X +c (21) 若 J f (x)dx =F(x) +c ，贝U Jf(2x-3)dx =2方程是答案：y=2jx+1(27)由定积分的几何意义知， r J a 2 -x 2dx =答案:(29)微分方程y'+3y =0的通解为答案：y=ce°x(30)微分方程(y)3 +4xy ⑷=y 7sinx 的阶数为答案：42. 单项选择题e+e x答案:1F(2x-3) +c 2(22) 若 J f (x)dx = F(X)+c ,贝U Jxf (1 — x 2)dx答案: --F(1 -X 2) +C2 (23)12L(sin x cos2x - X + x)dx答案: —3de (24)dx1答案： 0(25)0 JU 52x dx =答案： 1(26)已知曲线y = f (x)在任意点x 处切线的斜率为1',且曲线过(4,5),则该曲线的(28) 微分方程y' = y, y(0)=i 的特解为答案:xy =e22+1)dx =(1)设函数y =，则该函数是( ).A.奇函数B.偶函数C非奇非偶函数 D .既奇又偶函数2A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ). A . xsinx B . + e xC . ln(X + J 1+X 2) 2D . X +x答案：C (3)函数 x+4 + h (X + 5)的定义域为( ). A. X 答案: > -5 D B . XH -4 C . x>-5 且 XH O (4) f(x+1) =x 2-1, A. x(x +1) C .X(X-2) (x + 2)(x-1)答案：C (5)当 k时,函数 f(x)=r +2,L k,X 工0在x=0处连续.X =0B .C . 2答案：D(6)当 k时, 函数wf:1'HO ，在x=0处连续.=0 A. 0B .-1答案：B(7)函数 f(x) x 2-3x +2的间断点是(A. X = 1,x =2X =3C. X =1, X = 2, X= 3.无间断点答案:(8)若 f(X)= r cosx , 则 f(0) =).A. 2 答案：CB. 1C. -1D. -2(9)设 y =lg2x ，则 dy =( ).A 1 1 A.——dxB . ---------- d x2x xln10答案：BA . 2f(cos2x)dxf'(cos2x)sin2xd2xC . 2 f (cos2x)sin 2xdxD . - f \cos2x)sin2xd2x答案：D答案：D答案：C.f(x)在 ^x 0处连续，则一定在 x 0处可微. .f(x)在x = x 0处不连续，则一定在 x 0处不可导. .可导函数的极值点一定发生在其驻点上D.函数的极值点可能发生在不可导点上答案：A (14) 下列函数在指定区间(亠，畑)上单调增加的是( A . sin X B答案：B(15) 下列等式成立的是((10)设y = f(x)是可微函数，则df(cos2x)=().D . -dx X⑴)若f(X)=sin X + a 3，其中a 是常数，则f "(X)=().2A . COSX + 3aB . sinx+6aC.-sinxcosx答案：C(1)函数y =(X+1)2在区间(—2,2)是( A.单调增加B .单调减少 C.先增后减D .先减后增(12)满足方程 f '(X)=0的点一定是函数 =f(x)的(A.极值点B .最值点C .驻点 D.间断点(13)下列结论中()不正确.).A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)plC. f f (x)dx = f(X)dx 、答案：C(16) 以下等式成立的是(答案：D(17) Jxf7x)dx =答案:答案:.y=Cx B . y=x + C 答案：(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是( D. Jdf(X)= f(X)A. In xdx = d(-)X.sin xdx=d(cosx)C.—仮v x.3X d^-^ In 3A. xf '(X)- f(X)+cB. xf '(X)+ cC. 1X 2f (X)+c 2答案：(18) D.(x +1) f \x )+c答案:J 』A下列定积分中积分值为X _xe -e , X2 兀 3f (x +cosx)dxJIA(19)设 A. 00的是().—x•［兀(x 2+si nx)dx• -JIf(x)是连续的奇函数，则定积分a -f (x)dx =()-aB. J a f (x)dx CJ0f(x)dx 0D. 2f a f(x)dx(20) 下列无穷积分收敛的是().A. -be J 。

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【微积分初步】期末复习题及参考答案《微积分初步》期末复习题及参考答案三．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）5632lim 221+--+→x x x x x解（1）14453lim )5)(1()3)(1(lim 5632lim 11221-=-=-+=--+-=+--+→→→x x x x x x x x x x x x x （5）计算极限xx x 11lim--→．解：)11(11lim )11()11)(11(lim 11lim000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim0-=+--=→x x（6）计算极限xx x 4sin 11lim--→解：x x x 4sin 11lim--→)11(4sin 11lim )11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x81)11(4sin 44lim)11(4sin lim-=+--=+--=→→x x x x x x x x （7）设xx y 12e=，求y '．解：)1(e e 22121x x x y xx -+=')12(e 1-=x x（8）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（9）设xy x 2e1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+(10) 设xy 1sin e=，求y d .解：)1(1cos e )1(sin e1sin 1sin '='='x x x y x x)1(1cos e 21sin xx x -=x y y d d '=x xx xd )1(1cos e21sin-=（11）设)1ln(2x x y +-=，求)3(y '.解：)1(1122'+-+-='x x x x y])1(1211[11222'++-+-=x x x x]1221[1122+-+-=x xx x 112+-=x21131)3(-=+-='y(12)x x y xy 2cos ln e =+，求y '.解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，有x x yx y y x y xy 2sin 2ln )(e -=+'+'+ 于是xy xy y xyx y x x e 2sin 2)ln e (---='+整理方程解出y '，得xx x yx y x x x x y x yx y xy xy xy xyln e e 2sin 2ln e e 2sin 22+++-=+++-='（13）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= （14）设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy xy y --='22于是得到x xy xy y d 22d --=（15）设2e ecos y x y x=++，求y d ．解：方程两边对x 求导，得y y y x y x'='++-2e esinyx y yx2e e sin --='于是得到x yx y yxd 2e e sin d --= （16）x x d )12(10⎰-解：c x x x x x +-=--=-⎰⎰111010)12(221)1d(2)12(21d )12( （17）x x x d 1sin2⎰解：c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos 1d 1sin d 1sin2(18)x x x d )e 4(e 22ln 0+⎰解：)e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 022ln 0x x x x x ++=+⎰⎰=3152)64216(31)e 4(2ln 03=-=+x （19）x xx d 12⎰-；解：x x x d 12⎰-=u ux x d 121)1d(112122⎰⎰-=---)1(2x u -= =c x c u +--=+-21（20）x x xd )e (1e 2⎰+解：u u x xx x x d 1)e 1(d )e (11d )e (1e 222⎰⎰⎰=++=+ （x u e 1+=） =c c u x ++-=+-e111 （21）x xxd ln e12⎰解：[方法1]换元换限. 令x uln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有 31)01(3131d d ln 3313102e12=-===⎰⎰u u u x x x [方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.)d(ln ln d ln e 12e12x x x xx⎰⎰=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x （22）x x d sin 23⎰π因为x x d sin 203⎰π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202⎰⎰⎰-=-πππ对于积分1cos d sin 2020=-=⎰ππx x x对于积分x x x d sin cos 202⎰π用凑微分法,[方法1] 令x ucos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2π=x 时,0=u , 于是有3131d d sin cos 1312202==-=⎰⎰u u u x x x π[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 203202202=-=-=⎰⎰πππx x x x x x(23)xx xd ln 51e1⎰+解：27)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 51121e1=-=+=++=+⎰⎰ee x x d x x x x(24)x x x d e 10⎰解：1e e d e e d e 10111=-=-=⎰⎰xx x x x x x x(25)⎰π20d sin x x x解：1sin d cos cos d sin 20202020==+-=ππππ⎰⎰xx x x x x x x四．应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108x h h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省. （2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h =所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小.此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）顺便推荐一本我近期看过的觉得不错的书《此时此刻相爱的能力》。

电大专科《微积分初步》复习题及答案

电大微积分初步考试小抄一、填空题⒈函数xx f -=51)(的定义域是5－x ＞0 →x ＜5⒉=∞→xx x 1sin lim1sin lim=∞→x x x ，01→∞→xx 时，⒊已知x x f 2)(=，则)(x f''⒋若+=cx F x x f )(d )(，则⎰-x x f d )32(⒌微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数是 y ''' 6.函数)21)(+=x x f {}{}{-1ln )2(ln 2-x 02ln 02⇒≠+⇒≠++x x x x ＞，＞，＞∴{}1- 2-x |≠且＞x7.→xxx 2sin lim 02112122sin lim 2sin lim00=⋅=→→xx xx x x 21:222sin lim0==→x x x 8.若y = x – 2)(x – 3)，则y 'y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x 2-x)(x 2-5x+6)=x 4-5x 3+6x 2-x 3+5x 2-6x=x 4-6x 3+11x 2-6x , 622184y 23x -+-='x x⇐（把0带入X ）,6)0(-='∴y9.⎰-x x d e d 2)()(x f dx x f ='⎰）（或dx x f dx x f d )())((=⎰ 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为y y ='y dxdy= ⎰⎰==∴dx dy dx y dy y 1两边积分 ecx y +=∴又y(0)=1 (x=0 , y=1)c x y +=∴ln 010==∴+c e c，11.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是⎩⎨⎧-≠≤-⇒⎩⎨⎧≠+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++≥-122122x 21ln )2ln(2-2x 2-0)2(ln 02042x x x x x x x x ＜＜＞＞12.若函数⎪⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则k)()(lim00x x f x f x =→ ()(x f 在x处连续)∵k f =)0(113sin 0lim )13sin (0lim =+⋅→=+→∴xx x x x x （无穷小量x 有界函数）13.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是xx y 21== ，x y 2121-=' 切k y ==='∴211x |2121y )1(211y +=⇒-=-∴∴x x 方程 14.'⎰x x s d )in (15.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 16.函数)2ln()(-=xx x f {}3x 2x |122)2ln(20)2ln(02≠⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠--且＞＞＞＞x x x n x x x x17.∞→xxx 2sin lim18.已知xx x f 3)(3+=，则)3(f ' 3ln 3)(32xx x f +=' 3ln 2727)3(+='∴f19.⎰2de x 20.微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为二、单项选择题⒈设函数2e e xx y +=-，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2e e )(x f x f xx =+=--⒉函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（2,1==x x ）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232===+-x x x x⒊下列结论中（)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式⎰+-=c x x f xx11ed e )(，则=)(x f )()1()()(,1u )(),()(,)()(111'-•='-•'='∴=-=='∴='∴+=⎰---x e xe e e y xe xf x F C x F dx x f u u x u x，令22112121)()()(x x f x e ex f x e x e xxxu =∴=∴=•=----⒌下列微分方程中，（x yx y y sin =+' ）是线性微分方程．6.设函数2e e xx y --=，则该函数是（奇函数）．7.当=k （2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f 在0=x 处连续.8.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -3）．9.10.下列微分方程中为可分离变量方程的11.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （)2(-x x ）可导，则13.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（先减后增）14.=''⎰x x f x d )((c x f x f x +-')()(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的16.17.当=k （2）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1e )(x k x x f x在0=x 处连续.18.函数12+=x y 在区间)2,2(-是（先单调下降再单调上升） 19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2 + 3）． 20.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（x y e =）．三、计算题 ⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ．解:41)2()1(lim 2)2(1(lim 22=+-=---→→x x x x x x x ）⒉设x x y x +=-2e ，求y d .解：x ex e xx 23221x 2-+=⨯+-ey x21-=ey u=1，u= -2x)(11e y u =′·(-2x)′=e u·（-2）= -2·e -2x∴y ′= -2e -2x +x 2123∴dy=(-2·e -2x+x 2123)dx⒊计算不定积分x xx d sin ⎰解：令u=x21x =,u ′=xx 212121=-∴dx xd u 21=∴⎰u sin ·2du=⎰udu sin 2=2(-cos)+c = -2cos c +x⒋计算定积分x x x d e 210⎰ u=x ，v ′=e x ,v= e x∴⎰1u v ′dx=uv x vd u -11|'⎰1)(011111|||=-'-=-=-⋅=∴⎰⎰e eee e e e e x dxx dx x x x xx x∴原式=2 5.计算极限9152lim 223--+→x x xx34353lim )3)(3()3)(5(3lim =++→=+--+→x x x x x x x x6.设x x x y cos ln +=，求y d解：x x x y x x cos ln cos ln 2321+=+⋅=y 1=lncosxy 1=lnu1,u=cosx ∴xxx u x u ycos sin )sin (1)(cos )(ln 11-=-⋅='⋅'=y 1=xxx cos sin 2321-∴dy=(xxx cos sin 2321-)dx7.计算不定积分x x d )21(9⎰- 解：dx x ⎰-)21(9令u=1-2x , u ′= -2 ∴du dx x du 212-=⇒-=c c dudu x u u u +-=++⋅-=-=-⋅-⎰⎰20192121)21()21(1010998.计算定积分x x x d e 10⎰-解：u=x,ee xx v v ---=='，)()(101111|x d dxx dx x ee e ee xxx x--=--⋅-=⋅⎰⎰⎰-----=1)11(1|11=--=---ee ee x 9.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x3212lim )4)(1()4)(2(lim44=--=----→→x x x x x x x x10.设x y x 3sin 2+=，求y dy 1=sin3x y 1=sinu , u=3x ,x y3cos 3x 3sinu 1='⋅'='）（）（∴y ′=2x ln2+3cos3x∴dy=(2x ln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分x x x d cos ⎰⎰xdx x cos u=x , v ′=cosx , v=sinx ⎰⎰+--=-⋅=cx x x xdx x x xdx x )cos (sin sin sin cos12.计算定积分x xxd ln 51e1⎰+ ⎰⎰⎰⎰+=+=+e e e edx x x dx x x x dx xx dx x 11e 111ln 51ln 5ln ln 51|令u=lnx, u ′=x1,du=x1dx , 1≤x ≤e 0≤lnx ≤1∴2121ln |102101===⎰⎰u udu dx x x e∴原式=1+5·21=2713.计算极限623lim 222-++-→x x x x x解：5131lim )2)(3x ()1)(2(lim22=+-=-+--→→x x x x x x x 14.设xx y 12e =，求y '解：ex xy 12⋅=(e y x 11=) , e y u=1 , xu 1=,x e x e e y x u u x 21211)1()1()(-=-⋅='⋅'=) ee xe x e e x e x x1x 12x12x1x 12x 122)(2)()(y -=-⋅+='⋅+⋅'='∴x x15.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：dxx ⎰-)12(10u=2x-1 ,d '=2du=2dx∴cdu du dx u uux +⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰-1121212111101010)12(c x +=-）（121121 16.计算定积分⎰10d e x x x解：dx x e x⎰⋅10 u=x , e x v =' , exv =1)1(111|=--=-⋅=⎰⎰e e dx x dx x e ee xx x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低最低总费是多少解：设水箱的底边长为x ，高为h,表面积为s ，且有h=x24所以S(x)=x 2+4xh=x 2+x16'xx S 2162-='令S '（x ）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。

国家开放大学电大专科《微积分初步》期末试题标准题库及答案(试卷号：2437)

国家开放大学电大专科《微积分初步》期末试题标准题库及答案（试卷号：2437）国家开放大学电大专科《微积分初步》期末试题标准题库及答案（试卷号：2437）盗传必究题库一一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）二、填空题（每小题4分，本题共20分）三、计算题（每小题11分，本题共44分）四、应用题（本题16分）15．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？试题答案及评分标准（仅供参考）一、单项选择曩（每小曩4分，本曩共20分l1．D2．C3．B4．C5．A二、填空题（每小曩4分，本题共20分）题库二一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）二、填空题（每小题4分，本题共20分）三、计算题（本题共44分，每小题11分）四、应用题（本题16分）15.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？试题答案及评分标准（仅供参考）一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．C2．B3．A4．B5．D二、填空题（每小题4分，本题共20分）题库三一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）二、填空题（每小题4分，本题共20分）三、计算题（本题共44分，每小题11分）四、应用题【本题16分）15．用钢板焊接一个容积为4tr13的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？试题答案及评分标准（仅供参考）一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．D2．A3．B4．C5．D二、填空题（每小题4分，本题共20分）题库四二、单项选择题《每小题4分，本题共20分）二、填空题（每小题4分，本题共20分）三、计算题（每小题11分，本题共44分）四、应用题（本题16分）15.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？试题答案及评分标准（仅供参考）一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1.C2.B3.D4.A5.C二、填空题（每小题4分，本题共20分）三、计算题（每小题11分，本题共44分）四、应用题（本题16分）题库五一、单项选择题I每小题4分，本题共20分）二、填空题（每小题4分，本题共20分）三、计算题（本题共44分，每小题11分）四、应用题（本题16分）15．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？试题答案及评分标准（仅供参考）国家开放大学电大专科《物业管理法规》2026期末试题及答案（试卷号：2224）国家开放大学电大专科《物业管理法规》2026期末试题及答案（试卷号：2224）盗传必究一、选择题（在所给出的四个选择项中选出一个以上的正确答案，然后将其序号填写在题后的括号内。

国家开放大学电大专科《微积分初步》2022期末试题及答案(试卷号：2437)

国家开放大学电大专科《微积分初步》2022期末试题及答案（试卷号：2437）附衰辱数基本公式，积分基本公式S Jod-r =<*一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1. 设函数*=/蚯口,则谖曲数是（）.A.非奇菲偶函数B.既奇又偶函数 C 偶函数D.奇函敬2. 当 L O 时.卜列变址中为无穷小址的是］）.CJnU+工）D.毛x3. F 列函数在指定区间（一8,十8）上箪调破少的如.A M ：CO &ZB 5—J ; D. 2'4. 若+ c 则 = (。

且 <4射1）唯+心>0且心1》c^cLr =c r 4- c=且 a=l>(Irw)* = § C^mxJ^cosj-= — sinx(lanx) =—j —ros xr- 、， I(cou ) --------- r-7—sirr 工sinxclr = —COSJC 十 CJcosxcLr = siaz + f I —/it = Mnx 十 c J CO5J XI •:」厂.& = — COLT + CA. yB-sinjrA. In | Irix|5 .下列微分方程中.（A. y9sior—y «ylnxB. y y +«1式=c*C /+巧• = / D. yr' + kiy ・二、填空题（每小题4分，本题共20分）6.函教“了十I）=H'+2J,帅J/（工）=・7.limrsin 一= •L・X -----------------------8.曲*2在点（】.】）处的切线方程是•9.若 | 工>dr = sm2<r + <,则f（x> —・10.微分方程（*"） + 4jryE =ycoju：的阶数为・三、计算题（每小题11分，本题共44分）11.计算很限1的牛4毋.r-X X十X—612.i5 y —^-2*•求心.13.计算不定积分（2x- l）,f dx・.14.计葡：定积分fmirrrdx.四、应用题（本题16分）15.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?试题答案及评分标准（仅供参考）一、单项选择曩（每小曩4分，本曩共20分11. D2. C3. B4. C5. A二、填空题（每小曩4分，本题共20分）6・JT2—17. 1c 1 .18・,=万工十万9. —4ain2x三、计■（第小・11分.本■共44分）11-解:原式瑚血"_・及；工？=lim ~~ =# <11分〉r^i Cx~"Z）\X*i 3）十 3 J12. «=—sinTx—^=4-2,ln2 （9分〉）足线性做分方程.2Vx dy= (2* ln2 —)cLr 2“15.解：设长方体底边的边长为工•高为》.用材料为”由已知x 3A«108Ji = i^JT因为问题存在最小值.且放点唯一•所以” =6是函教的极小值点.即当工=6.人=警=3（16 分）13.解』（2±-1尸£=$]（2工-】）财2了- 1>=* （2x-l ）u +cXCOS L T1cojurdx=siru ：⑴分）令y'=2工一誓=0.解福x=6是唯-在点.（12 分）时用料-省.。

2025-2026国家开放大学电大《微积分初步》期末试题及答案

2025-2026国家开放大学电大《微积分初
步》期末试题及答案
2025-2026国家开放大学电大《微积分初步》期末试题及答案盗传必究一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数，则．⒉．⒊曲线在点处的切线方程是．⒋．⒌微分方程的阶数为．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈下列函数（）为奇函数． A． B． C． D．⒉当（）时，函数在处连续. A．0 B．1 C． D．⒊函数在区间是（） A．单调增加 B．单调减少 C．先增后减 D．先减后增⒋若，则（）． A． B． C． D．⒌微分方程的通解为（）． A． B． C． D．三、计算题（每小题11分，本题共44分）⒈计算极限．⒉设，求. ⒊计算不定积分⒋计算定积分四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？试题答案及评分标准（仅供参考）一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈⒉⒊⒋⒌ 4 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈D ⒉B ⒊D ⒋A ⒌C 三、计算题（每小题11分，本题共44分）⒈解：原式⒉解：
⒊解：= 4.解：
四、应用题（本题16分）解：设底的边长为，高为，用材料为，由已知，于是令，解得是唯一驻点，易知是函数的极小值点，也就是所求的最小值点，此时有，所以当，时用料最省．
1。

电大微积分初步专科期末复习题

微积分初步一、填空题⒈函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 .答案:),3()3,2(+∞⋃⒉函数1322+--=x x x y 的间断点是＝．答案：1-=x⒊曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 .答案：21 ⒋若⎰+=c x x x f 2cos d )(,则)(x f ' .答案：x 2cos 4-⒌微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 2 .6.函数x x x f 2)1(2+=+,=)(x f .答案：12-x７．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,20,2sin )(x x k xx x f 在0=x 处连续,则k = 2 ．８.曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 .答案：21 9．=+-⎰-x x x d )253(113 ．答案:41０.微分方程0sin )(3=-'+''y y y x 的阶数是．答案:2 1１.函数241)(xx f -=的定义域是．答案:)2,2(-12.若24sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：213.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案:21x - 1４．若⎰=x x s d in .答案:c x +-cos １5．微分方程yx ex y y x +='+'''sin )(4的阶数是 3 .16．函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是(-2,-1)∪(-１，4】.１７．若24sin lim 0=→kxxx ,则=k 2.１8.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是_ｙ=x+１＿_.19.=+⎰e 12d )1ln(d d x x xﻩ０．2０.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 y ＝ｅ的x 次方 . 2１.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-⋃-- ．２２．若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续,则=k ２ .23.曲线x y =在点)1,1(处的斜率是ﻩ21ﻩ．２4.=⎰x xd 2c x+2ln 2ﻩ ．25.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为12+=x y ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 . 答案：),3()3,2(+∞⋃27．函数x x f -=51)(的定义域是 . 答案：)5,(-∞28.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 .答案:]2,1()1,2(---２9．函数72)1(2+-=-x x x f ,则=)(x f ﻩﻩ. 答案:62+x30．函数⎩⎨⎧>≤+=0e 02)(2x x x x f x,则=)0(f ．答案:231.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案: 12-x32．函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案： 1-=x３3.=∞→x x x 1sin lim . 答案： 134．若2sin 4sin lim0=→kx xx ，则=k .答案: 2３5．若23sin lim0=→kx xx ,则=k . 答案: 233６．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是21． 37.曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是1+=x y ．38.曲线21-=x y 在点)1,1(处的切线方程是2321+-=x y .39.=')2(xx x 22ln 21. 40.若y ＝ｘ (ｘ – 1）(ｘ – ２)(x – 3),则y '(0) =ﻩ－6ﻩ．４１．已知x x x f 3)(3+=,则)3(f '=)3ln 1(27+．４2.已知x x f ln )(=,则)(x f ''＝21x -. ４3.若xx x f -=e )(，则='')0(f -2ﻩ. 4４.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足大于零ﻩ45.若)(x f 的一个原函数为2ln x ,则=)(x f 。

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微积分初步复习试题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y．⒋=+⎰e 12d )1ln(d d x x x．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x =C. )d(d x x a x a =D. )d(2d 1x x x= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ）A. 2；B. 3；C. 4；D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+=' x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x x x 四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x．⒉当→x 0 时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2- ．⒋=+-⎰-x x x d )135(113 2 ．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e⒊下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d ex xB ．⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限46lim 222----→x x x x ．⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊计算不定积分⎰+-x x xx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 323⒋计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f12-x．⒉=∞→xx x 1sin lim 1 ． ⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2121+=x y ．⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． ⒌微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 ⒉当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.A ．x 1B ．x xsin C ．)1ln(x + D ．2xx⒊下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）． A ．x cos B ．x -5 C ．2x D ． x 2⒋ 设c xxx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）．A. x ln lnB. x x lnC. 2ln 1xx - D. x 2ln ⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．A ．x y y x y x ln e sin ='-''B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 2三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x⒉设x x y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x x x y +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21⒋计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省.一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f32+x．⒉若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．⒊函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是 ).1[∞+- ． ⒋=⎰∞-dx e x 0221 ．⒌微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 ⒉当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +1⒊若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠⒋若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++2323221⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. )(ln d d y x x y ⋅=；B. x y x y +=e d d ；C. y x x y e e d d +=；D. )ln(d d y x xy +=三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x ⒉设x y x cos 2+=，求y dx x y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=⒊计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= c e xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d⒋计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x xx d ln 113e1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e x x x四、应用题（本题16分）某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2rVh π=，则其表面积为rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r Vr S -='令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2Vr =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．。