理论力学 习题
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第 二 章
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
z 解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xi i yi j zi k
c x
F1
来自百度文库
2、 FR Fi
i 1
n
y
第 三 章
O
a
F2
M O ri Fi
i 1
n
b
F3
3、 根据主矢和主矩的计算结果
ji
②质点组的所有内力对任一参考点的力 y i 矩的矢量和恒为零.
f ij
0
M内 0
例题：
求半径为R的均质半球的质心。
z
dm r dz 2 2 ( R z )dz
2
r
R
2 3 M R 3
第 二 c 章
z
oo
2 2
x
z
R
0
zdm
R
0
z ( R z ) dz 2 3 R 3
O θ l mg
取l为1米，则步频率 为1.62秒
z M z I zz
1 2 1 ml mgl sin 0 3 2
3g 0 2l
第 三 章
3g 2l
T 2
2l 3g
例：已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的速度和 AB 杆的角速度。 OA R, 600 , AB OA
M
0
A l
0,
1 2 M A xqdx 0, M A ql 2 0
例题
一根均匀的棍子，重为P，长为 2l 。今将其一端置于粗 糙地面上，又一其上的c点靠在墙上，墙离地面的高度为 h,当棍子与地面的角度 为最小值 0 时，棍子在上述 位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。
第 二 章
例题： 雨点开始自由下落时的质量为 M ，在下 落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽 质量为 ，略去空气阻力，试求雨点在t 秒后所下落的距离。 解： 因为
u 0
d ( mv ) F dt
m M t
第 二 章
F ( M t ) g
d [( M t )v] ( M t ) g dt 1 2 积分得： ( M t )v ( M t ) g c1 2 1 2 t 0, v 0 M t ds 2 v g c1 0 dt M t 2 g 1 2 Mg M g 再积分得： s ( t ) t ln( M t ) c2 2 2 2 2 2 2 M g t 0, s 0 c2 ln M 2 2
x R( sin )
y R(1 cos )
u R
ax x sin u ay y cos u
当 2k (k 0, 1, )
vx x u (1 cos ) vy y u sin
2、P 点的速度和加速度
y
A P
O
B
x
问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变 化规律，如何确定点的加速度? 过山车 车辆转弯时，为什 么要限速？高速路坡度拐弯？卫星变轨时从近地轨道转移到 远地轨道时，速度的增量是多少？
列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点 且运动轨迹已知。
问题: 质点M沿椭圆轨道匀 速率运动，如何确定其加速 度的大小和方向？
2 a x y z 2 2 2 R
ax x ay y az z
a at an
at s, an
s
2
C2 s 2 R 2 a R
例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u （常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。 解：建立M点的运动方程
理论力学 练习题
仅供参考
例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
OA R AB L, AP l , t 解：1、P 点运动方程
x p R cos l cos y p ( L l ) sin R L sin sin l 2 x p R cos L R 2 sin 2 L R y p ( L l ) sin L
三 章
0
例 题 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面 上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内， 一端在碗外，在碗内的长度为c，试证 棒的全长为 2 2
4(c 2r ) c
y
N2
N1
第 三 章
o
B
A 题3.1.1图
G
x
解： 均质棒受到碗的弹力分别为 N 1 N 2 ,
棒自身重力为
G
。
棒与水平方向的夹角为 设棒的长度为
u2 v 0, a x 0, a y R
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度， 求该瞬时动点A 的 x x y , y , , , 。 已知：v 10m/s, a 10m/s 2
y
300
v
A(x,y)
解： x vx 10 cos 300 (m/s)
判断该力系的简化结果。
证明：设三个力不平行且平衡, 则：三力共面且作用线交于一点 B FB
FA
A C
B FB
rAB
FA
A rAC C
FC
B FB
FC
FA A
C
若三力平衡，有：rAB FB rAC FC 0 由此得：FB , FC 共面 因为 FB , FC 不平行，相交于D 点 FB , FC 合成为力FBC
y
3 R 8
例：质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑 直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光 滑水平面上 自由滑动。试求 ①质点水平方向的加速度 x1 ; ②劈的加速度 x2 ; ③劈对质点的反作用力R1; ④水平面对劈的反作用力R2.
第 二 章
解:
m1 x1 + m2 x 2 =0
水平方向动量守恒 a
令 v1 为沿斜面下滑的速度（相对），则
x1 = x 2 -v1 cos
由 a b 知:
b
m1 cos x2 v1 m1 m2
第 二 章
m1 cos x2 v1 m1 m2
c
（非惯性系）对m1有
m1g sin + m1 x 2 cos = m1 v1
v1 =g sin + x 2 cos
d
代入 c 得:
m1 sin cos x2 g 2 m2 m1 sin
第 二 章
m2 sin cos x1 = x 2 - v1 cos g 2 m2 m1 sin
对m1 y向 : R1 m1 x 2 sin m1 g cos 0
对劈 y向 : R 2 m2 g R 1 cos 0 R2 m2 m1 m2 g m2 m1 sin 2
m1m2 cos R1 g 2 m2 m1 sin
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程: x R cos t , y R sin t , z Ct
解： v x x vy y vz z
v x 2 y 2 z R 2 2 C 2 const. 2 s
vA
A AB
解：研究AB杆，取A为基点
O
vB v A
B
v B v A v BA
(1)
（1）式在AB杆上投影
v BA
（1）式在OA杆上投影
第 三 章
vB cos v A R
vB sin vBA vBA AB AB
R 2 3R vB cos 3 vBA 1 AB AB 3
2 2 c 2 cos 1 由①②③式得： l ④ 2 cos 又由于 2r cos c,
l ③ M i N 2 c G 2 cos 0
c cos 2r
第 三 章
⑤
将⑤代入④得：
4c 2 2r 2 l c
例题：设质量为m的复摆绕通过某点o的水 平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动 周期，并加以讨论。 思路:
y v y 10 sin 300 (m/s)
O
vx x vy y vz z
a
x
x ax 0(m/s 2 )
ax x ay y az z
y a y 10(m/s 2 )
2 kC l2 I0 周期 2 2 gl mgl
gl A sin t 2 2 k l C
k l I0 周期 2 2 gl mgl
2 C 2
与单摆所具有的形式很类似，所 以说单摆是复摆的一个特例。
第 三 章
例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很 舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去 膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。 解 选取均匀杆模型进行估算， 则自然步频率等于杆的固有频 率时（共振）最舒服，如图： 由转动方程
根据转动定律
求出振动动力学方程
x 0 x
2
第 三 章
求其运动方程及其振动周期
解 运动微分方程
由转动方程
M z I zz
mgl sin I0 mk02
ko kc l
gl 2 2 0 kC l
第 三 章
2
2
2
gl A sin t 2 2 k l C
例：曲柄OA以匀角速度 转动。求当 =60º 时，AB 3R 滑块B的速度及连杆AB的角速度。 OA R 解：研究连杆AB：
v2 v2 20 m 0 an a cos 30 3
内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。 (i ) n n F f ij 0
i 1 j 1 j i
证明: 对任何一对质点间的相互作用力, 由牛顿第三定律知:
f ij f ji 0 f ij f ji f ij :表示第j个质点对第i个质点的作用力.
y
N2
l
由于棒处于平衡状态，所以棒沿 轴和 y 轴的和外力为零
x
N1
o
B
① F N cos 2 N sin 0 x 1 2
第 三 章
A 题3.1.1图
②
G
x
Fy N1 sin 2 N2 cos G 0
沿过
A
点且与 z 轴平行的合力矩为0。即：
解： 是共面力系的
平衡问题
0
第 三 章
0
Fx 0
N1 cos(90 0 ) f 0 N1 sin(90 0 ) N2 P 0 h Pl cos0 N1 0 sin 0
f N 2
0
Fy 0
Mz 0
解出
f N2 l sin 2 0 cos 0 2 h l sin cos 0 第 0
FC
第 FBC 三 章
FC D
FB
由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力。
解：研究AB梁，画受力图。
A
B
F 0, F Fy 0,
x
Ax
0
MA
第 三 章
FAy
A FAx B
FAy qdx 0,
l
FAy ql
n n (i ) F f ij 0 i 1 j 1 j i
第 由于内力是成对出现的 二 章
第 二 章
ri f ij r j f ji f ri j r j ri f ij r j f ij o (ri r j ) f ij x 对上式求和就是质点组的所 有内力对o点的力矩的矢量和 rij f ij
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
z 解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xi i yi j zi k
c x
F1
来自百度文库
2、 FR Fi
i 1
n
y
第 三 章
O
a
F2
M O ri Fi
i 1
n
b
F3
3、 根据主矢和主矩的计算结果
ji
②质点组的所有内力对任一参考点的力 y i 矩的矢量和恒为零.
f ij
0
M内 0
例题：
求半径为R的均质半球的质心。
z
dm r dz 2 2 ( R z )dz
2
r
R
2 3 M R 3
第 二 c 章
z
oo
2 2
x
z
R
0
zdm
R
0
z ( R z ) dz 2 3 R 3
O θ l mg
取l为1米，则步频率 为1.62秒
z M z I zz
1 2 1 ml mgl sin 0 3 2
3g 0 2l
第 三 章
3g 2l
T 2
2l 3g
例：已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的速度和 AB 杆的角速度。 OA R, 600 , AB OA
M
0
A l
0,
1 2 M A xqdx 0, M A ql 2 0
例题
一根均匀的棍子，重为P，长为 2l 。今将其一端置于粗 糙地面上，又一其上的c点靠在墙上，墙离地面的高度为 h,当棍子与地面的角度 为最小值 0 时，棍子在上述 位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。
第 二 章
例题： 雨点开始自由下落时的质量为 M ，在下 落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽 质量为 ，略去空气阻力，试求雨点在t 秒后所下落的距离。 解： 因为
u 0
d ( mv ) F dt
m M t
第 二 章
F ( M t ) g
d [( M t )v] ( M t ) g dt 1 2 积分得： ( M t )v ( M t ) g c1 2 1 2 t 0, v 0 M t ds 2 v g c1 0 dt M t 2 g 1 2 Mg M g 再积分得： s ( t ) t ln( M t ) c2 2 2 2 2 2 2 M g t 0, s 0 c2 ln M 2 2
x R( sin )
y R(1 cos )
u R
ax x sin u ay y cos u
当 2k (k 0, 1, )
vx x u (1 cos ) vy y u sin
2、P 点的速度和加速度
y
A P
O
B
x
问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变 化规律，如何确定点的加速度? 过山车 车辆转弯时，为什 么要限速？高速路坡度拐弯？卫星变轨时从近地轨道转移到 远地轨道时，速度的增量是多少？
列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点 且运动轨迹已知。
问题: 质点M沿椭圆轨道匀 速率运动，如何确定其加速 度的大小和方向？
2 a x y z 2 2 2 R
ax x ay y az z
a at an
at s, an
s
2
C2 s 2 R 2 a R
例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u （常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。 解：建立M点的运动方程
理论力学 练习题
仅供参考
例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
OA R AB L, AP l , t 解：1、P 点运动方程
x p R cos l cos y p ( L l ) sin R L sin sin l 2 x p R cos L R 2 sin 2 L R y p ( L l ) sin L
三 章
0
例 题 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面 上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内， 一端在碗外，在碗内的长度为c，试证 棒的全长为 2 2
4(c 2r ) c
y
N2
N1
第 三 章
o
B
A 题3.1.1图
G
x
解： 均质棒受到碗的弹力分别为 N 1 N 2 ,
棒自身重力为
G
。
棒与水平方向的夹角为 设棒的长度为
u2 v 0, a x 0, a y R
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度， 求该瞬时动点A 的 x x y , y , , , 。 已知：v 10m/s, a 10m/s 2
y
300
v
A(x,y)
解： x vx 10 cos 300 (m/s)
判断该力系的简化结果。
证明：设三个力不平行且平衡, 则：三力共面且作用线交于一点 B FB
FA
A C
B FB
rAB
FA
A rAC C
FC
B FB
FC
FA A
C
若三力平衡，有：rAB FB rAC FC 0 由此得：FB , FC 共面 因为 FB , FC 不平行，相交于D 点 FB , FC 合成为力FBC
y
3 R 8
例：质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑 直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光 滑水平面上 自由滑动。试求 ①质点水平方向的加速度 x1 ; ②劈的加速度 x2 ; ③劈对质点的反作用力R1; ④水平面对劈的反作用力R2.
第 二 章
解:
m1 x1 + m2 x 2 =0
水平方向动量守恒 a
令 v1 为沿斜面下滑的速度（相对），则
x1 = x 2 -v1 cos
由 a b 知:
b
m1 cos x2 v1 m1 m2
第 二 章
m1 cos x2 v1 m1 m2
c
（非惯性系）对m1有
m1g sin + m1 x 2 cos = m1 v1
v1 =g sin + x 2 cos
d
代入 c 得:
m1 sin cos x2 g 2 m2 m1 sin
第 二 章
m2 sin cos x1 = x 2 - v1 cos g 2 m2 m1 sin
对m1 y向 : R1 m1 x 2 sin m1 g cos 0
对劈 y向 : R 2 m2 g R 1 cos 0 R2 m2 m1 m2 g m2 m1 sin 2
m1m2 cos R1 g 2 m2 m1 sin
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程: x R cos t , y R sin t , z Ct
解： v x x vy y vz z
v x 2 y 2 z R 2 2 C 2 const. 2 s
vA
A AB
解：研究AB杆，取A为基点
O
vB v A
B
v B v A v BA
(1)
（1）式在AB杆上投影
v BA
（1）式在OA杆上投影
第 三 章
vB cos v A R
vB sin vBA vBA AB AB
R 2 3R vB cos 3 vBA 1 AB AB 3
2 2 c 2 cos 1 由①②③式得： l ④ 2 cos 又由于 2r cos c,
l ③ M i N 2 c G 2 cos 0
c cos 2r
第 三 章
⑤
将⑤代入④得：
4c 2 2r 2 l c
例题：设质量为m的复摆绕通过某点o的水 平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动 周期，并加以讨论。 思路:
y v y 10 sin 300 (m/s)
O
vx x vy y vz z
a
x
x ax 0(m/s 2 )
ax x ay y az z
y a y 10(m/s 2 )
2 kC l2 I0 周期 2 2 gl mgl
gl A sin t 2 2 k l C
k l I0 周期 2 2 gl mgl
2 C 2
与单摆所具有的形式很类似，所 以说单摆是复摆的一个特例。
第 三 章
例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很 舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去 膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。 解 选取均匀杆模型进行估算， 则自然步频率等于杆的固有频 率时（共振）最舒服，如图： 由转动方程
根据转动定律
求出振动动力学方程
x 0 x
2
第 三 章
求其运动方程及其振动周期
解 运动微分方程
由转动方程
M z I zz
mgl sin I0 mk02
ko kc l
gl 2 2 0 kC l
第 三 章
2
2
2
gl A sin t 2 2 k l C
例：曲柄OA以匀角速度 转动。求当 =60º 时，AB 3R 滑块B的速度及连杆AB的角速度。 OA R 解：研究连杆AB：
v2 v2 20 m 0 an a cos 30 3
内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。 (i ) n n F f ij 0
i 1 j 1 j i
证明: 对任何一对质点间的相互作用力, 由牛顿第三定律知:
f ij f ji 0 f ij f ji f ij :表示第j个质点对第i个质点的作用力.
y
N2
l
由于棒处于平衡状态，所以棒沿 轴和 y 轴的和外力为零
x
N1
o
B
① F N cos 2 N sin 0 x 1 2
第 三 章
A 题3.1.1图
②
G
x
Fy N1 sin 2 N2 cos G 0
沿过
A
点且与 z 轴平行的合力矩为0。即：
解： 是共面力系的
平衡问题
0
第 三 章
0
Fx 0
N1 cos(90 0 ) f 0 N1 sin(90 0 ) N2 P 0 h Pl cos0 N1 0 sin 0
f N 2
0
Fy 0
Mz 0
解出
f N2 l sin 2 0 cos 0 2 h l sin cos 0 第 0
FC
第 FBC 三 章
FC D
FB
由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力。
解：研究AB梁，画受力图。
A
B
F 0, F Fy 0,
x
Ax
0
MA
第 三 章
FAy
A FAx B
FAy qdx 0,
l
FAy ql
n n (i ) F f ij 0 i 1 j 1 j i
第 由于内力是成对出现的 二 章
第 二 章
ri f ij r j f ji f ri j r j ri f ij r j f ij o (ri r j ) f ij x 对上式求和就是质点组的所 有内力对o点的力矩的矢量和 rij f ij