14-15章作业参考答案

14章作业参考答案14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。

解：先求圆弧在O 点的磁感应强度：由载流圆电流在圆心处的磁场RIB 20μ=，则三分之一圆弧在圆心处的磁场RIB 601μ=，方向：垂直于纸面向外；再求直导线在O 点的磁感应强度：有限长直电流在O 处的磁感应强度为RIR IB πμπμ23)150cos 30(cos 60cos 4002=︒-︒︒=（见书71页），方向：垂直于纸面向里。

∴圆心O 处的总磁感应强度：）（）（3132012-=-+=πμR IB B B ，方向垂直于纸面向里。

14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。

解：a 段对O 点的磁感应强度：由无限长直电流在O 处的磁感应强度为RIB πμ20=（也可用安环定理0S B d l I μ⋅=∑⎰求得），由对称性，半无限长直电流在O 处的磁感应强度为，RIB a πμ40=方向沿y 轴负向（在O 点）。

∴04a IB j Rμπ=-。

b 段的延长线过O 点，0b B =（因为Idl 和r 夹角的正弦为零）。

c 段产生的磁感应强度为：，R IR I B C 422100μμ==方向沿z 轴正向，∴04c I B k Rμ=，则：O 点的总场强：k RI j R I B O4400μπμ+-=。

14-7．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱和同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。

求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<<r 0）。

解：利用安培环路定理0SB d l I μ⋅=∑⎰分段讨论。

（1）如图所示，当10r R <≤时，有：210212r IB r R ππμπ⋅=∴01212I r B R μπ=；(其中I/πR 12为电流面密度) （2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ⋅=，∴022IB rμπ=； （3）当23R r R ≤≤时，有：2223022322()r R B r I I R R πππμππ-⋅=--， ∴2232032232I B R r R r R μπ--=⋅；(其中)(2223R R I -π为电流面密度) （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ⋅=-，∴40B =。

故有：021011222323223230(0)()()0()222r R R r R B R r R r R I rR IrR r r I R R μπμπμπ⎧<≤⎪⎪⎪≤≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⋅≤≤-⎪⎪>⎪⎩14-8．一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ。

（1）求橡皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B 的大小；（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的磁场B 和电场E 之间满足下述关系：21B v E c =⨯（式中001με=c ）。

解：（1）如图２，设Δt 时间，传输带移动Δx, 则电流密度 ，v at xa a t q j σσ=⋅∆∆⋅⋅=⋅∆∆=如图３，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为：，v j σ=橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：j L l d B abcd0μ=⋅⎰∴v L L B σμ02=⋅， 故磁感应强度B 的大小：02vB μσ=；也可以直接用无限大平面电流磁感应强度公式2200vjB σμμ==。

（2）非相对论情形下：图２图３图1匀速运动的点电荷产生的磁场为：02ˆ4qv r B rμπ⨯=⋅， （rˆ 为r 的单位矢量） 点电荷产生的电场为：201ˆ4q E r rπε=⋅， ∴0002220ˆ11ˆ44q qv rv E v r B c r r μεμπεπ⨯⨯=⨯⋅=⋅=， 14-11．无限长直线电流1I 和直线电流2I 共面，几何位置如图所示，试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力。

解：建立坐标系如图２。

在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2，此电流元到长直线的距离为x ，无限长直线电流1I 在小电流元处产生的磁感应强度为：xI B πμ210=方向垂直于纸面向里。

再利用d F I Bdl =，考虑到0cos60d xdl =，有： 01202cos60I I d xd F x μπ=⋅∴0120120ln 2cos60b a I I I I d xb F x aμμππ=⋅=⎰。

14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。

该处地球磁场的垂直分量向下，大小为55.510B T -=⨯，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm 时将偏转多远？解：（1）根据f q v B =⨯可判断出电子束将偏向东。

（若q 是正电荷，受力向西，而实际是负电荷，故电子束受力向东）（2）利用221mv E =，有：mEv 2=， 而ma qvB f ==，∴1141028.62-⋅⨯===s m m EmqB m qvB a（3）由类平抛模型，L=vt, ２)(21212vL a at y ==。

代入数据，得y=3mm 。

说明：本题“（3）问”网上的习题解答和书后的答案都有问题。

洛仑兹力不能看成类平抛运动，而应当看成圆周运动。

正确的解法是：解：（3）如图所示，R 为圆周运动的半径，L 为电子束在显像管内在南北方向上通过距离，d 为偏转的距离。

由几何关系：22L R R d --= ①再由B电子束方向-南北图1mEv 2=s m /496.6101.9106.11200023119＝－⨯⨯⨯⨯=- m qB mv R 177.6105.5106.1496.6101.951916＝---⨯⨯⨯⨯⨯==及L=0.2m 代入①式 可得 d=0.0025m=2.5mm这一结果和前一解法结果相近，是因为地磁场太弱，类平抛模型和圆周运动误差不太大。

14-14．如图１所示，一个带有电荷q (0q >)的粒子，以速度v 平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为λ（0λ>），并载有传导电流I 。

试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条和导线距离为d 的平行线上？解：由安培环路定律0lB d l I μ⋅=⎰知，电流I 在q 处产生的磁感应强度为：02I B dμπ=，方向向里；由，B v q F⨯=运动电荷q 受到的洛仑兹力方向向左，大小：02q v I F q v B dμπ==洛。

同时，由于导线带有线电荷密度为λ，在q 处产生的电场强度可用高斯定律∑⎰⎰=⋅iiSqS d E 01ε （如图２）求得：由h E h d λεπ012=⋅⋅，得02E dλπε=，q 受到的静电场力方向向右，大小：02q F dλπε=电；欲使粒子保持在一条和导线距离为d 的平行线，需F F =洛电，即：02q v I dμπ02q dλπε=，可得速度00v Iλμε=。

14-15．截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴O O '转动，如图１所示。

导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度θ而平衡，求磁感应强度。

解：设正方形的边长为a ，质量为m ，导线横截面积为S ，则aS m ρ=。

平衡时重力矩等于磁力矩：由，B m M⨯=n e S I m=（如图２），磁力矩的大小：θθcos )90sin(22BIa BIa M =-︒=；重力矩为：sin 2sin 2sin 2aM mga mg mga θθθ=+⋅=。

平衡时：2cos 2sin BI a mga θθ=图1图２图１∴22tan tan mg gSBI a Iρθθ==。

补充题7：解：（１）导体内，由安培环路定理（如图２）：lB d l Iμ⋅=⎰，得2πrB=μ0I(πr2/πR2) (r<R)∴22Rr IBπμ=πμπμπμ4221222021IRRIdrRIrS dB R=⋅=⨯⨯=⋅=Φ⎰⎰⎰(2) 导体外，由安培环路定理（如图２）, 得2πrB=μ0I (R<r<2R)∴RIBπμ2=2ln2122πμπμIdrrIS dB RR=⨯⨯=⋅=Φ⎰⎰⎰２∴)2ln21(42ln241+=+=Φ+Φ=ΦπμπμπμIII２思考题14参考答案14-1．在图（a）和（b）中各有一半径相同的圆形回路1L、2L，圆周内有电流1I、2I，其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中2L回路外有电流3I，1P、2P为两圆形回路上的对应点，则：1212()d dP PL LA⋅=⋅=⎰⎰B l B l B B，；1212()d dP PL LB⋅≠⋅=⎰⎰B l B l B B，；1212()d dP PL LC⋅=⋅≠⎰⎰B l B l B B，；1212()d dP PL LD⋅≠⋅≠⎰⎰B l B l B B，。

答：B的环流只和回路中所包围的电流有关，和外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。

所以（C）对。

14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O）图２图1图２答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度232220)(2x R IRB +=μ∴0=x 时，RIB 20μ=； x R >>时，2032IR B xμ≈。

根据上述两式可判断（C ）图对。

14-3．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：(A)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 不变；(B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 改变. 答：（B ）对。

因为回路L 内的∑I 和三根导线在回路内的位置无关，但L 上各点的B却和三根导线在回路内的位置有关。

14-4．一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管(r R 2=)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足：()2R r A B B =；()R r B B B =；()2R r C B B =；()4R r D B B =.答：对于长直螺线管：nI B 0μ=，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，且电流I 相同，所以两螺线管磁感应强度相等，和长直圆筒的半径无关。