高三数学分类复习(有答案)5.4.2 正弦函数的性质

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正弦函数的性质和计算

正弦函数的性质和计算正弦函数是基本的三角函数之一，在数学和物理学中具有重要的应用。

本文将重点介绍正弦函数的性质和计算方法。

一、正弦函数的定义和图像特点正弦函数可以用以下函数表示：y = sin(x)其中，x 表示自变量，y 表示因变量。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，呈现周期性变化。

具体而言，正弦函数的图像在区间[-π/2, π/2] 上是递增的，而在区间[π/2, 3π/2] 上是递减的。

它的最大值为1，最小值为-1，且在x = kπ (k 为整数) 处取得这些特殊值。

二、正弦函数的性质1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

这意味着正弦函数的图像每隔2π重复一次。

2. 奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即 sin(-x) = -sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称。

3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x) = sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于直线x = π/2 对称。

4. 临界点：正弦函数在一些特殊点上取得极值。

具体而言，当 x =kπ/2 (k 为整数) 时，正弦函数取得最大值 1 或最小值 -1。

三、正弦函数的计算方法1. 角度值和弧度值的转换：在计算正弦函数时，有时会遇到角度值和弧度值之间的转换。

通常使用以下公式：弧度= (π/180) * 角度角度= (180/π) * 弧度2. 倍角、半角和和差公式：正弦函数的计算可以利用倍角、半角和和差公式简化。

具体公式如下：（1）倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)（2）半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]（3）和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)3. 特殊角度值的正弦值：一些特殊角度值的正弦值是常见的，可以通过记忆或计算得到。

例如：sin(0°) = 0，sin(30°) = 1/2，sin(45°) = √2/2，sin(60°) = √3/2，sin(90°) = 1四、正弦函数的应用正弦函数在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 音波和振动：正弦函数可以描述声音和振动的变化规律。

正弦函数的性质及其应用

正弦函数的性质及其应用正弦函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍正弦函数的性质，并探讨其在不同领域的应用。

一、正弦函数的定义及基本性质正弦函数可以用一个周期为2π的函数来描述，其定义如下：f(x) = A*sin(Bx+C)+D其中A、B、C和D是常数，A代表振幅，B代表周期，C代表相位差，D代表纵向平移。

1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个周期内，其函数值会重复。

2. 对称性：正弦函数关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即-f(x) = f(-x)。

4. 增减性：正弦函数在[0,π/2]上是增函数，在[π/2,π]上是减函数，在[π,3π/2]上是减函数，在[3π/2,2π]上是增函数。

5. 最值：正弦函数的最大值为A+D，最小值为-D-A。

二、正弦函数的应用1. 波动现象：正弦函数是描述波动现象的重要工具，例如光的传播、声音的传播等。

正弦函数可以用来描述波的振幅、频率、波长等特性。

2. 信号处理：正弦函数在信号处理中有着重要的应用，例如在频谱分析中，可以将任意周期信号分解为多个正弦函数的叠加。

3. 调和运动：调和运动是指物体按正弦函数规律进行振动的运动形式。

例如弹簧振子、摆锤等的运动可以用正弦函数来描述。

4. 电力工程：交流电路中的电流、电压变化可以用正弦函数来描述。

正弦函数在电力传输、变压器等领域有着广泛的应用。

5. 声音合成：正弦函数可以用来合成各种音调的声音，例如音乐合成器就是利用正弦函数的不同频率和振幅生成各种音调。

6. 数学建模：正弦函数可以用来对一些自然现象和社会现象进行数学建模，例如天气变化、经济波动等。

三、总结正弦函数作为一种基本的周期函数，在数学和物理领域具有重要的应用价值。

本文介绍了正弦函数的定义及基本性质，并探讨了其在波动现象、信号处理、调和运动、电力工程、声音合成和数学建模等领域的应用。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(共2课时课件)(人教A版2019高一数学必修第一册)

2
,
3
2
,
5
2
2
2k
,
3
2
2k
,
k
Z
周期
减区间：
3
2
,
2
,
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
2
2k ,
2
2k
,
k
Z
性
2 正弦函数、余弦函数的性质
-3 5 -2 3
2
2
-
2
y
1
o 2
-1
3 2
y=sinx
2
5 2
x
3
7 2
4
5.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的
各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？
3 典型例题
（3）因为
2
sin
1 2
x
4
6
2
sin
(
1 2
x
6
)
2
2sin(1 x ), 26
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.
练一练
求下列函数的周期：
(1)y 1 cos x, x R; 2
(2)y sin(1 x ), x R. 34
解：(1) 1 cos x 1 cos(上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数.
解：由已知有：f(x＋2)= -f(x), 所以f(x+4)= f[(x＋2)+2]= -f(x＋2) =-[-f(x)]= f(x), 即f(x＋4)=f(x), 所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.

5.4.2正弦余弦函数的性质课件(1)高一上学期数学人教A版

2
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32

2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx

2

·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5

sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(

高一数学必修第一册2019(A版)_5.4.2_正弦函数、余弦函数的性质_练习(1)(解析版)

第五章三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、选择题1．（2019·全国课时练）函数sin 2y x =-，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】设()sin2,y f x x ==- 则()()()sin2sin2,f x x x f x -=--==- 故函数函数sin2y x =-，x R ∈是奇函数，由2,2T ππ== 故函数sin2y x =-，x R ∈是最小正周期为π的奇函数.故选A.2．（2019·全国课时练）函数()πcos 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（） A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．是非奇非偶函数【答案】A【解析】∵()πcos sin 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-, ∴()f x 是奇函数．3．（2019·全国课时练习）在[]0,2π内，不等式sin x < ） A ．()0,π B ．π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．4π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．4π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出[]sin ,0,2πy x x =∈的草图如下：因为πsin3=，所以πsin π32⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，πsin 2π32⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即在[]0,2π内，满足sin x =4π3x =或5π3x =.可知不等式sin x <4π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭.故选C.4．（2016·全国课时练习）函数sin y x =的一个单调增区间是（） A ．ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】由sin y x =图象易得函数单调递增区间为ππ,π+,2k k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，当1k =时，得3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭为sin y x =的一个单调递增区间．故选C. 5．（2019·全国课时练习）下列关系式中正确的是（）A ．sin11sin168cos 77︒<︒<︒B ．sin168sin11cos 77︒<︒<︒C ．sin11cos 77sin168︒<︒<︒D ．sin168cos 77sin11︒<︒<︒ 【答案】A【解析】∵()sin168sin 18012sin12︒=︒-︒=︒，()cos77cos 9013sin13︒=︒-︒=︒，由正弦函数的单调性得sin11sin12sin13︒<︒<︒，即sin11sin168cos 77︒<︒<︒. 6．（2019·全国高一课时练习）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（）A ．sin()2y x π=+ B ．cos()2y x π=+ C ．cos(2)2y x π=+ D ．sin(22)y x π=+【答案】D【解析】由题意得，函数的周期为π，只有C,D 满足题意，对于函数cos(2)sin 22y x x π=+=-在[,]42ππ上为增函数，函数sin(2)cos 22y x x π=+=在[,]42ππ上为减函数，故选D.二、填空题7．（2019·全国高一课时练）函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期是_____________.【答案】π【解析】∵函数sin y x =的周期为2π，∴函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期22T ππ==， 8．（2019·全国高一课时练）如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么|φ|的最小值为____________.【答案】6π【解析】∵函数y ＝3cos （2x +ϕ）的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，∴4232k ππϕπ⋅+=+，得136k πϕπ=-，k ∈Z ，由此得||6min πϕ=．9．（2012·全国高一课时练习）f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则ω＝________. 【答案】34【解析】函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭即2sin 3πω⎛⎫ ⎪⎝⎭∴3πω＝4π，∴ω＝34，故答案为34. 10．（2019·全国课时练）函数cos y x =在区间[]π,a -上为增函数，则a 的取值范围是________．【答案】(]π,0-【解析】因为cos y x =在[]π,0-上是增函数，在[]0,π上是减函数，所以只有π0a -<≤时满足条件，故(]π,0a ∈-．三、解答题11．（2019全国高一课时练）已知函数f (x )x －π4)，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】（1）π.，3[,]88k k ππ-+π+π（28x π=；最小值为1-，此时2x π=．【解析】 (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π.当2k π≤2x －π4≤2k π＋π，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z 时，f (x )单调递减，∴f (x )的单调递减区间是[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z.(2)∵x ∈[－π8，π2]，则2x －π4∈[－π2，3π4]，故cos(2x －π4)∈[1]，∴f (x )max ＝2x －π4＝0，即x ＝π8；f (x )min ＝－1，此时2x －π4＝3π4，即x ＝π.218．（2019·全国高一课时练）设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝8π.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．【答案】（1）34π-；（2）5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（3）图象见解析. 【解析】（I ）∵sin(2)18πϕ⨯+=±，∴,42k k ππϕπ+=+∈Z ．∵0πϕ-<<，∴34πϕ=-．（II ）3sin(2)4y x π=-．由3222,242k x k k πππππ-≤-≤+∈Z 得函数3sin(2)4y x π=-的单调增区间为5[,],88k k k ππππ++∈Z （Ⅲ）由3sin(2)y x π=-知故函数()y f x =在区间[0,]π上的图象如图所示．。

正弦函数的性质与应用解析

正弦函数的性质与应用解析正弦函数是数学中一种常见的三角函数，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。

本文将从正弦函数的性质和应用两个方面进行解析。

一、正弦函数的性质正弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。

它的图像是一条连续的曲线，通过(0, 0)点，且具有以下主要性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

这样的性质使得正弦函数在周期性现象的描述和分析中得到广泛应用。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称，以(0, 0)为对称中心。

3. 对称轴：正弦函数的对称轴为x轴。

这意味着sin(x) = sin(π - x)，即正弦函数的图像关于x轴对称。

4. 增减性：在一个正周期内，正弦函数从最小值1开始逐渐增大，到最大值1结束。

同时，sin(x)在[0, π]区间上是单调递增的，而在[π, 2π]区间上是单调递减的。

5. 零点：正弦函数的零点是x = kπ，其中k为整数。

也就是说，当x等于n个π时，正弦函数的值为0。

二、正弦函数的应用正弦函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，下面列举几个典型的应用场景：1. 几何中的应用：正弦函数常用于解决三角形的边长和角度之间的关系问题。

通过正弦定理和余弦定理，可以通过已知条件求解未知数值。

例如在解决三角形的航海问题或建筑测量中，正弦函数都发挥着重要的作用。

2. 物理中的应用：正弦函数在波动现象的研究中具有重要地位。

光的干涉、电磁波的传播等都可以通过正弦函数的描述来分析。

此外，正弦函数还广泛应用于交流电路的分析和振动系统的研究中。

3. 信号处理中的应用：正弦函数在信号处理领域起着重要的作用。

通过将信号分解为不同频率的正弦波，可以实现信号的合成、滤波和时域频域转换等操作。

这在通信、音视频处理等领域都有广泛应用。

4. 统计学中的应用：正弦函数在统计学中的应用较为抽象，但也有着重要的作用。

高中数学专题：正弦函数的性质(2)(5个考点九大题型) 试卷及答案

专题6.8正弦函数的性质（2）（5个考点九大题型）【题型1 sinx（型）函数的最小正周期】【题型2 sinx（型）复合函数的最小正周期】【题型3 已知sinx（型）函数的最小正周期-求值】【题型4 sinx（型）函数的对称轴及对称中心】【题型5 sinx（型）函数的对称轴与单调性最值】【题型6 sinx（型）函数的对称性-求单调性】【题型7 sinx（型）函数的对称性-求参数】【题型8 sinx（型）函数的对称性-求最值】【题型9 sinx（型）函数的对称性应用】(2023f++上海宝山·高一统考期末）函数4=⎝⎭.12⎝⎭π(3sinm=n=-m n⋅.(2sin(1)求函数的图象的对称中心；=，c= (2)在ABC中，角C的对边分别为0值.10．（2023春·高一射洪中学校考期中）已知函数在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：①：在(f已知平面向量a ，b 满足：a =r 若a b ∥，求sin x 的值；设函数()()f x a a b =⋅+，若(f 0x x =，求(f x ．（2021·高一单元测试）已知函数π高一校考期末）已知向量,a b 满足a)),(cos ,cos b x =函数()f x a b =⋅()x R ∈．时的值域；高三专题练习）已知函数(0,6A πω⎫>⎪⎭6⎝⎭⎝⎭6【题型8 sinx（型）函数的对称性-求最值】【题型9 sinx（型）函数的对称性应用】,n x ，则n 12n x -+++高一统考期中）cos cos x x -的最大值及取得最大值时x 的值；的所有根的和．PA PB +的最大值为(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到()g x 的图像，设()()f x g x m +=在250,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不同的实数根123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值.专题6.8正弦函数的性质（2）（5个考点九大题型）【题型1 sinx（型）函数的最小正周期】【题型2 sinx（型）复合函数的最小正周期】【题型3 已知sinx（型）函数的最小正周期-求值】【题型4 sinx（型）函数的对称轴及对称中心】【题型5 sinx（型）函数的对称轴与单调性最值】【题型6 sinx（型）函数的对称性-求单调性】【题型7 sinx（型）函数的对称性-求参数】【题型8 sinx（型）函数的对称性-求最值】【题型9 sinx（型）函数的对称性应用】）()2sin g x =π2sin cos 6x ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭1cos 22⎛- ⎝⨯ππ2x ⎛+-【详解】空一：sin y x =1sin 22x 的周期为()sin x x =2cos sin x +-(2023++f【分析】首先求出函数的周期，再求出()1sinx=-(2023++f)(2023f++上海宝山·高一统考期末）函数4⎝⎭112⎝⎭π(3sinm= (2sinn=-m n⋅.(1)求函数的图象的对称中心；(2)在ABC中，角C的对边分别为0=，c=值.【答案】(1)πZ 2kk⎛∈⎝26 +623sin m n ⋅=-，得π2k x =-的对称中心为π2k ⎛ ⎝，得sin 2πC ⎛+ 0πC <<π23C ∴<π23C ∴+sin sin a A =sin sin B =2a b ∴+=π【详解】函数将y y 已知平面向量a ，b 满足：a =r若a b ∥，求sin 的值；设函数()()f x a a b =⋅+，若(f 0x x =，求(f x 【答案】(1)255±5或15-）由a b ∥，得到sin ）根据题意，得到()215f x a a b =+⋅=+）解：由题意，向量(sin ,cos a x =r 因为a b ∥，可得1sin 2cos x x ⨯=⨯，所以sin1a =，5b =，2sin a b x ⋅=()2215sin a a b a a b x ϕ=+⋅=+⋅=++,2k k Z ππ+∈，可得,2x k k πϕπ=-+∈,k k Z ϕπ-+∈，)15sin k πϕπ⎡⎛⎫=+-++ ⎪⎢【详解】012π<<x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象关于12π>->0)，⎡-⎢⎣在区间(的图像关于直线=π+0)，⎡-⎢⎣在区间(的图像关于点=kπ，。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)

1
3 5

2
2 3
2

2
O
1

2

3
2
2
5
2
3
x
函数
y＝sin x(x∈R)
y＝cos x (x∈R)
图像
·
最
值
·
周期
T=2
奇偶性
对称轴
对称中心
增区间
减区间
最值
=
奇函数
π
2
+ , ∈ Z
(, 0) ∈ Z
π
π
[− + 2, + 2], ∈ Z
典型例题 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
例1 (1)函数 = (2
(2)函数 = (2
(3)函数 =

(
6

− )的单调递减区间为___________________
6

− )， ∈ [0,2]的单调递减区间为_____
6
− 2)的单调递增区间为___________________
跟踪训练 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
(1)函数 = 2(

− )，
3
∈ [−, 0]的单调递增区间是(
5
A.[−, − ]
6
5

B.[− , − ]
6
6

C.[− , 0]
3

D.[− , 0]
6
(2)函数 =

3(
3
− 2)的单调递减区间为_________________
(1) 函数() = (2 − Nhomakorabea)，

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

例题讲解 LOGO
例5 求下列函数的最大值，最小值，并写出取最值时自变量x的集合．
（1）y cos x 1, x R；（2）y 3sin 2x, x R.
整体代换
【解析】(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x取得最大值的x的集合，
就是使y＝sin z取得最小值的z的集合z z
由
2x
z
1
2
探究新知 LOGO
例7 求下列函数的值域：
(1) y 3 2 cos(2x );(2) y cos2 x 4 cos x 5.
3
解：(1) -1 cos(2x ) 1-2 2 cos(2x ) 2,
3
3
1 3 2 cos(2x ) 5，即y=3 2 cos(2x )的值域为[1,5].
3
3
(2) y cos2 x 4 cos x 5 (cos x 2)2 1,
令t cos x,则t [1,1]
y (t 2)2 1在[1,1]上单调递减
当t= 1时，ymax (1 2)2 1 10 当t=1时，ymin (1 2)2 1 2 故y cos2 x 4 cos x 5的值域为[2,10].
课堂练习 LOGO
1.求函数y=2sin( x),x∈R 的单调递增区间；
4
解：y
2 s in(
x)
2sin(x
)
4
4
由 2k x 3 2k (k Z)，得 3 2k x 7 2k (k Z)
2
42
4
4
故y 2sin( - x)的单调增区间为[3 2k , 7 2k ](k Z ).
课堂练习 LOGO
课堂小结 LOGO
课堂小结

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)-高一数学上学期同步精讲课件(人教A版必修第一册2)

令−
2

则−
3

即−
6

)的单调区间和函数
6

+ 2 ≤ 2 − ≤ + 2， ∈ .
6
2
2
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2， ∈ .
3

+ ≤ ≤ + ， ∈ .
3

所以函数的单调递减区间是[− + ， + ]， ∈ .
6
3

3
令 + 2 ≤ 2 − ≤ + 2��， ∈ .
调递增，其值从 − 增大到；在每一个闭区间 [, + ] ( ∈ )上都单调递减，
其值从减小到−.
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最
值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得
最值时对应的自变量的值.
= ， ∈ 取得最小值的的集合{| =

−
2
+ 2，得 =

−
4

−
2
+ 2, ∈ }.由2 = =
+ .所以，使函数 = −3 2, ∈ 取得最大值的的

4
集合是{| = − + , ∈ }.同理，使函数 = −3 2, ∈ 取得最小值的

[− , ]的单调增区间是[− , ]，且由−
3 3
2 2
2
≤
1

2

+
3

3
≤≤ .
所以，函数 =

5.4.2正弦函数余弦函数的性质(第2课时)课件-高一上学期数学人教A版2

当堂达标
2．函数 f(x)＝ 3sin2x－π4，x∈R 的最小正周期为(
)
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
【解析】因为 3sin12x＋4π－π4＝ 3sin12x－π4＋2π ＝ 3sin12x－π4，即 f(x＋4π)＝f(x)，所以函数 f(x)的最小正周期为 4π.
当堂达标
3．函数 f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是(
(1)cos 150°与 cos 170°；(2)sin 5π与 sin－75π. 【解】 (1)因为 90°<150°<170°<180°，函数 y＝cos x 在区间[90°，180°]
上是减函数，所以 cos 150°>cos 170°.
(2)sin－75π＝sin－2π＋35π＝sin 35π＝sinπ－25π＝sin 25π.因为 0<π5<25π<π2，
)
A.－π2，π2
B．[－π，0]
C.－23π，23π
D.π2，23π
【解析】令 x＋π6∈π2＋2kπ，32π＋2kπ，k∈Z，
得 x∈π3＋2kπ，43π＋2kπ，k∈Z，
k＝0 时，区间π3，43π是函数 f(x)的一个单调递减区间，
而π2，23π⊆π3，43π.故选 D.
当堂达标
4．比较下列各组数的大小：
函数 y＝sin x 在区间0，π2上是增函数，
所以 sin
π 5<sin
25π，即 sin
π5<sin－75π.
课堂小结
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
函数
奇偶性
正弦函数奇函数
余弦函数偶函数
单调性（单调区间）

正弦函数、余弦函数的图象、5.4.2-正弦函数、余弦函数的性质课件-2025届高三数学一轮复习

，
，
π
由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为 .
2
方法2 （公式法）T =
2π
4
π
2
= .
方法3 （图象法）画出函数y = 3cos 4x +
π
.
2
π
3
的图象（图略），由图象知其周期为
例2-3 (2024·北京四十四中期中)若函数y = sin x和y = cos x在区间D上都是增函数，
则区间D可以是( D )
π
2
y = sin(x + φ)的图象的对称轴方程应满足x + φ = + kπ ,k ∈ .又y = sin x + φ
π
2
是偶函数，所以直线x = 0是函数图象的一条对称轴，所以φ = + kπ ,k ∈ ,又
0 ≤ φ ≤ π ,所以φ =
π
.
2
方法2 若函数f x 为偶函数,则f 0 = 1或f 0 = −1，即sin φ = 1或sin φ = −1，又
对称
D.f x 的图象关于直线x = −
π
对称
12
BD )
【解析】由f x = 3sin 2x
T
2
π
−
3
+ 1 = 1得sin 2x −
π
3
= 0,又函数的周期T = π ，
π
2
则x1 − x2 是 = 的整数倍，故A错误.
f x = 3sin 2x
π
−
3
5π
− ቁ
6
+ 1,故B正确.
当x =
3π
2
2
2kπ +

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)(教学设计)高一数学 (人教A版2019 必修第一册)

《5.4.2正弦、余弦函数的性质》教学设计第2课时教材内容：本节的内容是正弦函数、余弦函数的性质的研究，在此之前，已经研究过二次函数、幂函数、指数函数等函数的性质。

因此在研究正弦函数、余弦函数时可借助之前研究函数性质的经验。

同时，本节课的学习也为后续学习正切函数的图像和性质奠定了基础。

本节内容在教学安排上有着承前启后的作用。

教学目标：1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值,培养数学运算的核心素养；2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小，提升逻辑推理的核心素养；3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间，提升数学运算的核心素养；4.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴、对称中心，提升数学运算的核心素养。

教学重点与难点：1、通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；2、应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx 的函数的单调性、最值、值域及对称性。

教学过程设计:（一）新知导入1. 创设情境，生成问题过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.2.探索交流，解决问题探究 (1)函数y ＝sin x 与y ＝cos x 也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y ＝sin x ，y ＝cos x 的哪些性质？(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y ＝sin x ，y ＝cos x 的哪些性质？y ＝sin x ，y ＝cos x 在什么位置取得最大(小)值？提示 (1)单调性. (2)最值，波峰，波谷.【设计意图】通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。

新教材高中数学5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)正、余弦函数的单调性与最值教师用书人教版必修一

第2课时正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________；单调递增区间是____________．答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x . 【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤kπ＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数B ．[0，π]上是减函数C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间．解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin 1017π与sin 1117π；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°. 【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos 7π8＜cos 6π7.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增，所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.解：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，因为0°＜150°＜170°＜180°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3. 所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，sin 425π＝sin(8π＋2π5)＝sin 2π5.因为y ＝sin x 在[0，π2]上单增，又0<π5<2π5<π2，所以sin π5<sin 2π5，所以sin 21π5<42π5.答案：<4．求函数y ＝cos(－2x ＋π3)的单调递减区间．解：因为y ＝cos(－2x ＋π3)＝cos[－(2x －π3)]＝cos(2x －π3)，所以当2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，即π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z 时，函数y ＝cos(2x －π3)为减函数，故原函数的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .[A 基础达标]1．(2019·河南林州第一中学期末检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．(π2，π)B ．(π，2π)C ．(π，3π2)D ．(0，π)解析：选C.作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象可知C 正确．2．函数f (x )＝sin(π6＋x )＋cos(π3－x )的最大值为( )A ．1 B.32C. 3D ．2解析：选D.由π6＋x 与π3－x 互余得f (x )＝2sin(x ＋π6)．故f (x )的最大值为2，故选D.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析：选B.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，取k ＝0，则一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是 ( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x2解析：选C.y ＝cos|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ；y ＝|cos x |在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上是减函数，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的． 5．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2>cos 1解析：选D.因为sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.6．函数y ＝3cos(12x －π4)在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )7．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间是________．解析：令2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，所以所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z8．函数值sin 35π，sin 45π，sin 910π从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：因为π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，所以sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10.答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π109．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x .(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．解： y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0. 10．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2； (2)y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 解：(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ⎦⎥⎤sin π2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. [B 能力提升]11．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－π<a ≤0时，满足条件．故a 的取值范围是(－π，0]．答案：(－π，0]12．函数y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递增区间是________．解析：由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3>0，所以2k π<x ＋π3<π＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .令－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56π＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z . 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z 13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12≥32. 解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32，得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是{|x ⎭⎬⎫k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 14．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎪⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1，1]，因为b >0，所以－b <0，⎩⎪⎨⎪⎧ymax ＝b ＋a ＝32，y min ＝－b ＋a ＝－12，所以a ＝12，b ＝1. (2)由(1)知：g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3∈[－1，1]，所以g (x )∈[－2，2]，所以g (x )的最小值为－2，对应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋56π，k ∈Z . [C 拓展探究]15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M (34π，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．解：由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z . 因为0≤φ≤π，所以φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M (3π4，0)对称，得f (3π4)＝0.因为f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2) ＝cos 3ωπ4，所以cos 3ωπ4＝0. 又因为ω>0，所以3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ，即ω＝23＋43k ，k ∈N . 当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝ sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，此时f (x )＝ sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．综上，ω＝23或ω＝2.。

高考正弦函数知识点

高考正弦函数知识点正弦函数是高考数学中的重要概念之一，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

了解正弦函数的性质和相关知识点对于高考数学的学习和应试非常重要。

本文将介绍高考中常见的正弦函数知识点，帮助考生更好地理解和应用正弦函数。

一、正弦函数的定义正弦函数是以单位圆上的点的纵坐标作为函数值的一种周期性函数。

在单位圆上，设点P(x, y)位于角度为θ的标准位置，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标。

则称y为θ的正弦值，记作sinθ，即sinθ = y。

正弦函数的定义域为实数集R，值域为[-1, 1]。

二、正弦函数的性质1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ。

2. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ + 2π) = sinθ。

3. 对称轴：对于一般的正弦函数y = A·sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，对于函数图像而言，关于直线x = -C/B对称。

4. 最值：一般的正弦函数在定义域内的最大值为A + D，最小值为-D - A。

5. 单调性：正弦函数在[0, π]上是增函数，在[π,2π]上是减函数。

三、正弦函数的图像与图像的平移1. 正弦函数的标准图像：y = sinx在一个周期内的图像是一条在区间[0, 2π]上振动的曲线，以原点作为对称中心。

2. y = A·sin(Bx)的图像：这类正弦函数的图像与标准图像相似，但有以下区别：振幅A决定了图像在y轴上的伸缩程度，周期T = 2π/B 决定了图像横向的压缩程度。

3. y = A·sin(Bx + C)的图像：这类正弦函数的图像在x方向上发生了平移，平移的距离为|C/B|，平移的方向与C的正负有关。

4. y = A·sin(Bx + C) + D的图像：这类正弦函数的图像在y方向上发生了平移，平移的距离为D，平移的方向与D的正负有关。

四、正弦函数的应用正弦函数在现实生活中有着广泛的应用，特别是在物理学和工程领域。

正弦函数的性质习题答案

正弦函数的性质习题答案正弦函数是高中数学中常见的一种函数类型，它在数学建模、物理、工程等领域中有广泛的应用。

在学习正弦函数的过程中，我们经常会遇到一些性质习题，下面将为大家提供一些常见的正弦函数性质习题的答案。

1. 问题：已知角度θ的弧度值为π/6，求sinθ的值。

解答：根据正弦函数的定义，sinθ等于对边与斜边的比值，而在单位圆上，角度θ的弧度值为π/6对应的点坐标为(√3/2, 1/2)。

因此，sin(π/6)的值为1/2。

2. 问题：已知正弦函数的周期为2π，求sin(5π/6)的值。

解答：由于正弦函数的周期为2π，我们可以将5π/6表示为一个完整周期内的角度值。

5π/6可以化简为10π/12，而10π/12又可以进一步化简为5π/6。

因此，sin(5π/6)的值与sin(π/6)的值相同，即为1/2。

3. 问题：已知正弦函数的幅度为2，求sin(3θ)的幅度。

解答：正弦函数的幅度是指函数图像在y轴方向上的最大值和最小值之差的一半。

对于sin(3θ)，它的幅度与sinθ的幅度相同，即为2。

4. 问题：已知正弦函数的图像经过点(π/2, 1)，求该正弦函数的解析式。

解答：由于点(π/2, 1)在正弦函数的图像上，根据正弦函数的定义，sin(π/2)的值等于1。

因此，该正弦函数的解析式为y = sin(x)。

5. 问题：已知正弦函数的图像经过点(0, -1)，求该正弦函数的解析式。

解答：由于点(0, -1)在正弦函数的图像上，根据正弦函数的定义，sin(0)的值等于0。

而根据正弦函数的性质，它的图像在x轴的零点处为极大值点，因此，该正弦函数的解析式为y = -sin(x)。

通过以上几个习题的解答，我们可以看到正弦函数具有一些特定的性质。

首先，正弦函数的值在[-1, 1]之间变化，且在角度为0、π/2、π、3π/2等特定角度处取得极值。

其次，正弦函数的图像是周期性的，周期为2π。

此外，正弦函数的图像关于原点对称，即sin(-θ) = -sin(θ)。