09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分 第三节可积条件

§3可积条件

教学要求： 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.

教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 一、必要条件: Th 9.2 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界. 证明 反证法 若f(x)在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任意分割T ，必存在属于T 的某个小区间∆k ，f(x)在∆k 上无界，在i ≠k 的各个小区间上任意取定ξi ，并记|

()|i

i

i k

G f x ξ≠=∆∑，现在对任意大的正数M ，由

于f(x)在∆k 上无界，故存在ξk ∈∆k ，使得|()|k k

M G

f x ξ+>

∆，于是有1

|||()|()|()|n

i i k k i i k i i k

k

M G

f x f x f x x G M x ξξξ=≠-+∆∆∆>

⋅∆-=∆∑∑≥由此可见，对于无论多小的||T||,按上述方法选取点集{ξi }时，总能使积分和的绝对值大于任何事先给出的正数，这与f(x)在[a,b]上可积相矛盾。这个定理指出，任何可积函数一定是有界的，但要注意，有界函数不一定可积。

例1 证明狄利克雷函数D(x)在[0,1]上有界但不可积 证明 显然|D(x)|≤1，x ∈[0,1].

对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间∆i 上，当取ξi 全为有理数时，

1

1

()1n n

i

i

i

i i D x x

ξ==∆=∆=∑∑，当取ξi 全为无理数时，1

()0n

i i i D x ξ=∆=∑，所以不论||T||有多

小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同的极限，即D(x)在[0,1]上不可积。由此可见，有界是可积的必要条件，所以在讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的。

二、可积的充要条件

要判断一个函数是否可积，固然根据定义，直接考察积分和是否能无限接近于某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的。下面给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。

设T={∆i |i=1,2,…,n},为对[a,b]的任意一个分割，由于f(x)在[a,b]上有界，它在每个∆i 上存在上下确界，，记sup (),inf (),i

i

i x x M f x m f x ∈∆∈∆==，i=1,2,…,n,作和1

1

(),()n n

i

i

i

i

i i S T M x s T m x ===

∆=∆∑∑分别为f(x)关于分割

T 的上和与下和，或称达布上和与达布下和，统称为达布和，任给ξi ∈∆i ，i=1,2,…,n,显然有

1

()()n

i i i s T f x ξ=∆∑≤≤S(T),与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{ξi }无关，由不等式就能通

过讨论上和与下和当||T||→0时的极限来揭示f(x)在[a,b]上是否可积。所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。

定理9.3（可积准则）函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割，使得S(T)-s(T)<ε。

本定理的证明依赖于对上和与下和性质的详尽讨论，这里从略（完整证明补述于§6）

设ωi =M i -m i ,称为f(x)在∆i 上的振幅，有必要时记为f

i ω，由于1()()n

i

i

i S T s T x ω=-=∆∑或记为i i

T

x ω∆∑，

因此可积准则又可改述如下：

定理9.3'函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割，使得

i i

T

x

ωε∆<∑。

几何意义是：若函数f(x)在[a,b]上可积，则图中包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分细，反之亦然。

三、可积函数类

根据可积的充要条件，证明下面一些类型的函数是可积的（即可积的充分条件）。 定理9.4 若f(x)为[a,b]上的连续函数，则f(x)在[a,b]上可积。

证明：因为f(x)为[a,b]上的连续函数，故f(x)为[a,b]上的一致连续，这就是说任给ε>0，存在δ>0，对[a,b]中的任意两点x',x'',只要|x'-x''|<δ，便有|f(x')-f(x'')|<ε/(b-a),所以只要对[a,b]所作的分割T 满足||T||<δ，在T 所属的任一小区间∆i 上，就能使f(x)得振幅满足,sup |()()|i

i i i x x M m f x f x b a

ε

ω'''∈∆'''=-=--≤

，从而

导致

i i i

T T

x x b a

ε

ωε∆∆=-∑∑≤

由定理9.3'可知f(x)在[a,b]上可积。注意到函数一致连续性在证明中所起

的作用。

定理9.5 若函数f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点得有界函数，则f(x)在[a,b]上可积。

证明 不失一般性，这里只证明f(x)在[a,b]上只有一个间断点情形，并假设间断点即为端点b.

任给ε>0，取δ'满足0<δ'<0.5ε/(M-m),且δ'

()2()

2

M m M m ε

ε

ωδ''<-⋅

=

-,因为f(x)在[a,b-δ']上连续，由定理9.4可知，f(x)在[a,b-δ']上可积，再由定

理9.3'可知，存在对[a,b-δ']的某个分割T'={ ∆1 ∆2,…, ∆n-1},使得

0.5i i

T

x

ωε∆<∑,令∆n =∆',则T={ ∆1 ∆2,…,

∆n-1，∆n }，是对[a,b]的一个分割，对于T 有

2

i i i i T

T x x εε

ωωωδε'

+''∆=∆+<

=∑∑，根据定理9.3'的充分

性，证得f(x)在[a,b]上可积。

定理9.6 若f(x)是[a,b]上的单调函数，则f(x)在[a,b]上可积。

证明 设f(x)为增函数，f(a)

1

1

[()()]||||[()()]||||n

i

i

i

i T

i x f x f x

T f b f a T ω-=∆-=-∑∑≤，由此可见，任给ε>0,只要||T||<ε/[f(b)-f(a)],这时

就有

i i

T

x

ωε∆<∑，所以f(x)在[a,b]上可积。注意单调函数即使有无穷多个间断点，任然不失其可积性。

例2 试用两种方法证明函数0,0()111

,,1,2, (1)

x f x x n n n n =⎧⎪

=⎨<=⎪+⎩≤在区间[0,1]上可积。 证明 证法一 由于f(x)是一增函数，虽然它在[0,1]上有无限多个间断点x n =1/n,n=2,3,…,但由于定理

9.5，仍保证它在[0,1]上可积。

证法二（仅利用定理9.3'和定理9.5）任给ε>0，由于1

lim

0n n

→∞=，因此当n 充分大时1/n<0.5ε,这说明f(x)在[0.5ε,1]上只有有限个间断点，利用定理9.5和定理9.3'推知f(x)在[0.5ε,1]上可积，且存在对[0.5ε,1]的某一分割T'，使得

0.5i i

T

x

ωε∆<∑，再把小区间[0,0.5ε]与T'合并，成为对[0,1]的一个分割T ，由于f(x)

在[0,0.5ε]上振幅ω0<1，因此得到

0222

i i

i i T

T x

x εεε

ωωωε'∆=⋅+∆<+=∑∑，所以f(x)在[0,1]上可积。

实际上第二种证法并不限于该例中的具体函数，更一般的命题见习题第4题.下面例3的证明思想与它

可谓异曲同工。