工程数学(概率)综合练习题整理(最新整理)

15．已知（X，Y）的分布律为
Y －1 0 －1 X
1 0.2 0.1 0.1
2 0.1 0 0.1
3
0 0.3 0.1
则：（1）E（X）=__________
（2）E（Y）=__________
三、单项选择题
1．一批产品共 100 件，其中有 5 件不合格，从中任取 5 件进行检查，如果发现有不合
二、填空
1． 设 A、B 为两个事件，且 P( A B) 0.7, P( A) P(B) 0.5 ，则
（1） P( AB ) ___________， （2） P( A B ) __________;
2．若事件 A 发生必导致事件 B 发生，且 P( A) 0.4, 则P(B A) ____, P( AB) ____;
（
D）
A．9
B．15
C．21
D．27
6．设随机变量 X 与 Y 独立，X 的概率密度为
8
f
X
(
x)
x3
0
, x2 , 其他
2 y , 0 y 1 Y的概率密度为fY ( y) 0 , 其他
则 E（XY）=
（
D）
4
A．
3
5
B．
3
7
C．
3
8
D．
3
四、某产品每批中都有三分之二合格品，检验时规定：先从中任取一件，若是合格品，
六、将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有 n 个盒子各有一球的概率（ n ≤N）。
七、为了防止意外，在矿内安装两个报警系统 a 和 b ，每个报警系统单独使用时，系统
a 有效的概率为 0.92，系统 b 有效的概率为 0.93，而在系统 a 失灵情况下，系统 b 有效的概
率为 0.85，试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统
少有一次误差绝对值不超过 30 的概率。
二十六、设随机变量 X 的分布列为
X 1 0 1 2 5 2
P1 5
1133 10 10 10 10
求（1）Y=－2X 的分布列；（2）Y=X2 的分布列。
二十七、若随机变量 X～N（0，1），求 Y=X2 的分布密度。
二十八、若随机变量 X 的密度为 f (x) 1 e x , （－∞，+∞），求 Y =︱X︱的概率密度。 2
十六、设有 20 台同类设备由一人负责维修，并假定各台设备发生故障的概率为 0.01， 且各台设备是否发生故障彼此相互独立，试求设备发生故障而不能及时维修的概率，若由 3 人共同维修 80 台设备情况又如何？
十七、用近似计算公式
n k
p
k
(1
p)nk
k k!
e
k 0,1,2,, n 计算上面第十六题。
3．若 A、B 为任意两随机事件，若 P( A), P(B), P( AB) 已知，则
P( A B) ______________， P( A) _______________;
4． 设有三事件 A1、A2、A3 相互独立，发生的概率分别为 p1 、 p2 、 p3 ，则这三事件
中至少有一个发生的概率为__________________,这三事件中至少有一个不发生的 概率为_______; 5． 若随机变量 X～B（5，0.3）,则 P｛X=3｝=___________________________, P｛X≥4｝=__________________________________________;
6． 设随机变量 X～B (n, p) ，且 EX=2.4,DX=1.44,则 X 的分布列为
PX k __________________________________________,
PX 3 __________________________________________;
7．已知随机变量 X 的概率密度函数为
y, ,
y0 y0
求（X，Y）的分布密度及 P｛Y≥X｝。 三十二、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f
(
x,
y)
x
0
y
, ,
0 x 1, 0 y 1 其他
（1）求 P｛X+Y≤1｝；（2）问 X 与 Y 是否相互独立？ （3）求 E（X+Y）和 D（X+Y）。 三十三、设二维连续随机变量（X，Y）的密度函数为
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《工程数学》综合练习题
通信工程、计算机科学与技术专业（本科）
《概率论与随机过程》部分
一、设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 运算关系表示下列事件： 1． A 发生，B 与 C 不发生：_______________________ 2． A、B、C 中至少有一个发生：___________________ 3． A、B、C 中至少有两个发生：___________________ 4． A、B、C 中不多于一个发生。_____________________
f
(
x,
y)
Axy
2
,
0 x 2,0 y 1
0 , 其他
求（1）常数 A；（2）关于 X 的边缘分布密度 f X (x);
（3）关于 Y 的边缘分布密度 fY ( y); （4）EX 。
三十四、设 X 的分布列为
X －2 0
2
P 0.4 0.3 0.3
求：EX，EX2，DX，D（3X2+5）。
三十、设随机变量 X 的分布列为
X 1 0 1 2
来自百度文库
P1 1 1 1 2 666
且 Y=X2－1 求（1）Y 的分布列；（2）（X，Y）的联合分布列；（3）判断 X 与 Y 是否独立。
三十一、设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 在［0，0.2］上服从均匀分布，Y 的分布密度 为
fY
(
y
)
5e 0
5
二十九、设二维随机变量（X，Y）的分布列为 Y 01 2 3
X
5
1 1 1 11 8 6 24 6
2 1111 16 12 48 12 11 1 1
3 16 12 48 12
（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布列；
（2）判断 X 与 Y 是否独立；
（3）求 P｛X+Y＜3}；
（4）求 E(XY）。
b 失灵情况下，系统 a 有效的概率。
1
八、设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知其中 产品是由甲厂生
2
1
产的，乙、丙两厂的产品各占 ，已知甲、乙两厂产品的 2%是次品，丙厂产品的 4%是次品。
4
试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率；（2）任取一件是次品的概率；（3）任
3
取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。 九、设某工厂实际上有 96%的产品为正品，使用某种简易方法验收，以 98%的概率把
十八、某保险公司发现索赔要求中有 15%是因被盗而提出的，现在知道 1998 年中该公 司共收到 20 个索赔要求，试求其中包含 5 个或 5 个以上被盗索赔的概率。
十九、设随机变量 X 的密度函数为
f
(
x)
A cos
x,
x 22
0 , 其他
求（1）系数
A；（2）
P0
X
；（3）求
X
的分布函数。
4
二十、一种电子管的使用寿命为 X 小时，其密度函数为
f
(
x)
100
x2
,
x 100
0 , x 100
设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管损坏与否相互独立的），试求
4
（1）使用 150 小时内没有一个电子管损坏的概率； （2）使用 150 小时内只有一个电子管损坏的概率。 二十一、设随机变量 X 的密度函数为
1
十一、两批产品一样多，一批全部合格，另一批混有 的次品，从任一批中取一产品
4
检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。 十二、由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比例分别为 20%和 18%，且已
知甲下雨时，乙也下雨的概率为 60%。试求甲、乙至少有一地出现雨天的概率。 十三、一批零件共 100 个，次品率为 10%，每次从中任取一个零件，取出零件不再放
f (x)
1
( x1)2
e8
2 2
(, )
则 EX=______，DX=______，X 的分布函数 F (x) __________________; 8．设 X～N（1.5,4）,则 P ｛︱X︱＜3｝＝_________________;
(已知 (0.75) 0.7734, (2.25) .9878)
1
2 2x
9．若 X～N（ ， 2），且Y e 2e2 , 则E(Y ) ___________;
10．设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
ke3x ,
0,
x 0 则常数k _________。 x0
11．设随机变量 X～U［1，3］，则 E 1 _________。 X
12．设随机变量 X～π (), 且E( X 2 ) 2, 则 _________。
本来为正品的产品判为正品，而以 5%的概率把本来是次品的产品判为正品。试求经简易验 收法被认为是正品的确是正品的概率。
十、对以往数据进行分析表明，当机器开动调整良好时，产品的合格率为 90%，而当 机器不良好时，其产品的合格率为 30%；机器开动时，机器调整良好的概率为 75%。试求 某日首件产品是合格品时，机器调整良好的概率。
13．设舰艇横向摇摆的随机振幅 X 服从瑞利分布，其概率分布密度为
f
(x)
x
2
x2
e 2 2
,
0
,
x0 其他
＞0，则 E（X）=___________。
14．已知（X，Y）的分布律为
Y X
123
11 1
1
6 9 18
2
1
3
且知 X 与 Y 相互独立，则 和 分别为_____,_____。
三十五、设（X，Y）的分布密度为
6
f (x, y) 81 (x y), 0 x 2,0 y 2 0 , 其他
求 (X,Y) 。
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《工程数学》综合练习解答
通信工程、计算机科学与技术专业（本科）
《概率论与随机过程》部分
一、1.ABC ; 2. A B C; 3. ABC ABC ABC ABC
格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为
（
C）
A．
C955 C5
100
5
B．
100
C． 1
C955 C5
100
D．
C51
5 100
1
95 100
4
2．设 A、B 为两事件， P( AB) P( AB )且P( A) 0.4,则P(B)
（
B） A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．1
2
3．设离散型随机变量 X 的分布律为
X0 1
2
P 0.3 0.5 0.2
若 F (x)为X 的分布函数，则 F（1.5）=
(
B)
A．0.8
B．0.5
4．设随机变量 X 的概率分布密度为
C．0
D．1
f
(
x)
3x 2
,
0 xa
则a
(
0 , 其他
C)
1
A．
4
1
B．
2
C．1
D．2
5．设随机变量 X 与 Y 独立，其方差分别为 6 和 3，则 D（2X－Y）=
4. ABC ABC ABC ABC
二、填空：
1．（1）0.2,
2
(2) ;
5
2．1
0.4
3．P（A）+P（B）－P（AB） ， 1－P（A）；
放回，再从中任取一件，如果仍为合格则接受这批产品，否则拒收，求一批这种产品被拒收
的概率，以及三批产品中至少有一批被接收的概率。
五、袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列两种取法在袋中取球：（1）从袋中有放
回地取三次球，每次取一球，（2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次
取三个球），在以上两种取法中均求 A=｛恰好取得 2 个白球｝的概率。
4x2 4xk k 2 0
有实根的概率。
二十四、设 X 服从参数 0.015 的指数分布（1）求 P｛X＞100｝；（2）如果要使
P｛X＞ x ｝＜0.1，问 x 应在哪个范围？
二十五、设测量某地到某一目标的距离时带有随机误差 X，已知 X～N（20，600），（1）
求测量误差的绝对值不超过 30 的概率；（2）如果接连三次测量，各次测量相互独立，求至
f
(x)
k
3x2 2
e kx
,
x0
0
, x0
(k ＞0）
求 X 的概率分布函数 F (x) 。
二十二、设连续型随机变量 X 的分布函数
F
(
x)
a
be
x2 2
,
x0
0 , x 0
求：（1）常数 a, b;
（2）P｛－1≤X≤1｝；
（3）X 的分布密度 f (x)
二十三、设 k 在［0，5］上服从均匀分布，求方程
回去，求第三次才取得正品的概率。
111
十四、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 、 、 。问能将此
534
密码译出的概率是多少？ 十五、已知某工厂生产某种产品的次品率为 0.01，如果该厂以每 10 个产品为一包出售，
并承诺若发现包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率？若以 20 个产品为 一包出售，并承诺多于 2 个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率。