北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）学校：班级：姓名：成绩：本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.）A3.( )A4.鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A5.．．．是（）A.C.6.）A7.）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.）A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.的倾斜角为，经过点为．10.所截得的弦长为．11.个点可以是．（只需写出一组）12.13.从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为 .14.的两条对称轴方程；上的两个点的坐标；上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（I（II.16.的中点.（I（II17..（I证明．．；（II（III度，如果不存在，请说明理由.18..点（I（II（III.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBBCD 6、7、8、：ACB二、填空题14.说明：9题每空2分，14题中①②空各给1分，③给2分三、解答题15.解：（I（II16.解：（I（II=AD D⊥平面PAD17.解：法一：向量法（I. 证明如下：.(3,0,0)OG O=FD ⊥平面EGO（II）由（I（III法二：（I）证明如下：=OG O⊥平面EGO（III=DC HBC平面EOG//18.（I（II（III。
北京市海淀区2020-2021学年二年级上学期数学期末试卷(教师版)
北京市海淀区2020-2021学年二年级上学期数学期末试卷一、选择题（共20分）1.（2020二上·海淀期末）观察下图，丝带长（）厘米。
A. 6B. 7C. 13【答案】A【考点】物体长度的测量与计算【解析】【解答】解：13-7=6厘米，所以丝带长6厘米。
故答案为：A。
【分析】测量物体的长度时，物体两端所指的刻度差就是这个物体的长度。
2.（2020二上·海淀期末）笑笑用一张圆形纸片对折后剪下一个图案（如下图），展开后的样子是（）A. B. C.【答案】C【考点】轴对称【解析】【解答】解：C项中的图是展开后的样子。
故答案为：C。
【分析】从图中可以得出，这个图形是一条短线，所以展开后是一条长线。
3.（2020二上·海淀期末）猴妈妈摘来了20个桃子，至少再摘（）个，就可以平均分给6只小猴了。
A. 3B. 4C. 10【答案】B【考点】6的乘法口诀及应用【解析】【解答】解：6×3=18个，6×4=24个，24-20=4个，所以至少再摘4个，就可以平均分给6只小猴了。
故答案为：B。
【分析】先利用6的乘法口诀算出比20多且最接近20 的数，然后减去20就是至少再摘的个数。
4.（2020二上·海淀期末）停车场有80辆车，上午开走了25辆，下午开走了18辆，一共开走了多少辆？列式正确的是（）.A. 25＋18B. 25-18C. 80-25-18【答案】A【考点】100以内数的进位加法【解析】【解答】解：求一共开走了多少辆？正确列式是25+18。
故答案为：A。
【分析】一共开走的辆数=上午开走的辆数+下午开走的辆数，据此列式作答即可。
5.（2020二上·海淀期末）淘气买了2本练习本，付给售货员，应找回（）元。
A. 4元4角B. 5元6角C. 6元6角【答案】B【考点】货币简单的计算【解析】【解答】解：10元-2元2角-2元2角=5元6角，所以应找回5元6角。
北京市海淀区2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
海淀区高二班级第一学期期末练习 数学（理科）学校： 班级： 姓名： 成果： 本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12.在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（ ） A ．(1,1,1) B ．(2,1,1) C ．(1,1,2) D ．(1,2,3)3.已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于( )A ．32-B ．1-C ．1D ．324.鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简洁，却分散着不平凡的才智.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A ．32B ．34 C.36 D ．405.已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中假命题．．．是（ ） A.若m α⊥，m β⊥，则//αβ B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ D ．若//m α，//αβ，n β⊂，则//m n6.椭圆C ：2211612x y +=的焦点为1F ，2F，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为（ ）A ．90︒B ．105︒ C.120︒ D ．150︒7.“0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.平面α，β，γ两两相互垂直，在平面α内有一点A 到平面β，平面γ的距离都等于1.则在平面α内与点A ，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.直线l ：10x y +-=的倾斜角为 ，经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为 ．10.310x y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为 ． 11.请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是 ．（只需写出一组）12.在平面直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若A 、B 、C 三点共线，则x y += ．13.已知椭圆1C 和双曲线2C 的中点均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为 .x4 26y222-2214.曲线W 的方程为22322()8x y x y +=. ①请写出曲线W 的两条对称轴方程 ； ②请写出曲线W 上的两个点的坐标 ；③曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题 ：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥上，且22OC =.（I ）求圆C 的方程；（II ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.16.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D 、E 分别是BC ，PB 的中点.（I ）求证：//DE 平面PAC ； （II ）求证：平面ABC ⊥平面PAD .17.如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中////AB FC ED ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.（I ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．； （II ）求二面角O EG F --的余弦值；（III ）在线段CD 上是否存在点H ，使得//BH 平面EGO ？假如存在，求出DH 的长度，假如不存在，请说明理由.18.已知抛物线W ：24y x =，直线4x =与抛物线W 交于A ，B 两点.点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线PA ，PB 分别与x 轴交于M ，N .（I ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标； （II ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；（III ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.海淀区高二班级第一学期期末练习 数学（理科） 参考答案及评分标准 一、选择题1-5:DBBCD 6、7、8、：ACB 二、填空题9.34π，20x y +-=11.1,,,A A B C（此答案不唯一） 12.12-13.14.①0x =，0y =，y x =，y x =-中的任意两条都对 ②(0,0)，(1,1)此答案不唯一③说明：9题每空2分，14题中①②空 各给1分，③给2分 三、解答题15.解：（I ）设圆心(,)C a a，则OC ==解得2a =，2a =-所以圆C ：22(2)(2)1x y -+-= （II ）①若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 ②若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-， 即0kx y k --=由题意，圆心到直线的距离1d ==解得34k =所以直线l 的方程为3430x y --=综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=. 16.解：（I ）证明：在PBC ∆中， 由于D ，E 分别是BC ，PB 的中点， 所以//DE PC由于DE ∉平面PAC ，PC ⊂平面PAC 所以//DE 平面PAC .（II ）证明：由于PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点， 所以PD BC ⊥，AD BC ⊥ 由于PDAD D =，PD ，AD ⊂平面PAD所以BC ⊥平面PAD 由于BC ⊂平面ABC 所以平面ABC ⊥平面PAD 17.解：法一：向量法 （I ）F ，D 点为所求的点. 证明如下：由于四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点， 所以OG FC ⊥.又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF 平面FCDE =FC ，所以OG ⊥平面FCDE同理取DE 的中点H ，则OH ⊥平面ABCF .分别以边OG ，OC ，OH 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由2AB =，得(3,0,0)G ，(0,1,3)D ，(0,1,3)E -，(0,2,0)F -， 则(0,3,3)FD =，(3,0,0)OG =，(0,1,3)OE =-. 所以0FD OG ⋅=，0FD OE ⋅= 又EOOG O =，所以FD ⊥平面EGO（II ）由（I ）知平面EGO 的一个法向量为(0,3,3)FD =. 设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30320y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令3y =，则1z =-，2x =-所以(2,3,1)m =--所以cos ,FD m <>=(2,3,1)(0,3,3)24431093--⋅=++⋅++ 所以二面角O EG F --的余弦值为24-（III ）假设存在点H ，使得BH //平面EOG . 设DH DC λ=所以BH BD DH =+BD DC λ=+，所以0FD BH ⋅= 而计算可得3FD BH ⋅= 这与0FD BH ⋅=冲突所以在线段CD 上不存在点H ，使得BH //平面EOG 法二：（I ）证明如下：由于四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点， 所以OG FC ⊥又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF 平面FCDE FC =，所以OG ⊥平面FCDE由于FD ⊂平面FCDE ，所以OG FD ⊥， 又//ED FO ，且EF ED =， 所以EFOD 为菱形，所以FD EO ⊥ 由于EOOG O =，所以FD ⊥平面EGO .（III ）假设存在点H ，使得//BH 平面EOG 由//ED OC ，所以EOCD 为平行四边形， 所以//EO DC 由于EO ⊂平面EOG 所以//DC 平面EOG 又BHDC H =，所以平面//EOG 平面BCD ，所以//BC 平面EOG ，所以//BC OG ， 所以GBCO 为平行四边形，所以GB CO =，冲突所以不存在点H ，使得//BH 平面EOG18.（I ）把4x =代入抛物线方程，得到4y =± 所以不妨设(4,4)A ，(4,4)B -， 所以8AB =由于12PAB S AB d ∆=⋅1842d =⋅⋅=，所以点P 到直线AB 的距离1d = 所以点P 的横坐标03x =代入抛物线方程得(3,P（II ）由于PA PB ⊥，所以0AP BP ⋅= 所以0000(4)(4)(4)(4)0x x y y --+-+=，所以22000816160x x y -++-=， 把2004y x =代入得到20040x x -=所以00x =，04x =（舍）所以00y =，PA =（III ）直线PA 的方程为0044(4)4y y x x --=--04(4)4x y =-+，点M 横坐标0004(4)44M x x y y --=+=-- 同理PB 的方程为0044(4)4y y x x ++=--04(4)4x y =-+，点N 横坐标0004(4)44N x x y y -=+=+由于PMNPABS S ∆∆=，所以0011422MN y AB x ⋅=⋅-所以2004(4)y x =-，解得02x =所以8PMN PAB S S ∆∆==。
【最新资料】北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高考数学最新资料海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）20xx.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(0,2) （C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切OABCP线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .F ED 1C 1B 1A 1DCBA（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且1A PPC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P ，31(,)22P ，4(1,2P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12（13 （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分因为 直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-=，即24y x =. ………………………4分所以 动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=. 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分 所以 椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-． 设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分 所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |． 所以 二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =． 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]λ=．所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是m =，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:BC x ty =.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于N . 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。
2020-2021学年北京某校高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京某校高二（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共50分）1. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, y)，且a → // b →，那么|b →|＝（ ）A.3√6B.6C.9D.18 【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据题意，设b →=ka →，即(3, x, y)＝k(−1, 2, 1)，分析可得x 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, y)，且a → // b →，则设b →=ka →，即(3, x, y)＝k(−1, 2, 1)，则有k ＝−3，则x ＝−6，y ＝−3，则b →=(3, −6, −3)，故|b →|=√9+36+9=3√6；2. 点(2, 1)到直线3x −4y +2=0的距离是( )A.45B.54C.425D.254 【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点(2, 1)到直线3x −4y +2=0的距离：d =√32+(−4)2=45． 故选A ．3. 圆心在直线x −y ＝0上且与y 轴相切于点(0, 1)的圆的方程是（ ）A.(x −1)2+(y −1)2＝1B.(x +1)2+(y +1)2＝1C.(x −1)2+(y −1)2＝2D.(x +1)2+(y +1)2＝2【答案】A【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4. 设椭圆的标准方程为，若焦点在x轴上，则k的取值范围是（）A.k>3B.3<k<5C.4<k<5D.3<k<4【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 直线y＝2x为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率是（）A.√5B.√52C.√3 D.√32【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】求出双曲线的渐近线方程，可得b＝2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为y=±bax，则ba=2，即b＝2a，则c=2+b2=√5a，即有e=ca=√5．6. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地的不同路线共有（）A.12条B.15条C.18条D.72条【答案】C【考点】计数原理的应用【解析】先分类，再分步，即可求出答案．【解答】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6种，第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12种，根据分类计数原理可得，共有6+12＝18种，故从甲地到丁地共有18条不同的路线．7. 在(x−2)5的展开式中，x2的系数是（）A.−80B.−10C.5D.40【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A.1 25B.340C.18D.35【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】利用椭圆的性质列出方程组，求出a ，c 然后求解椭圆的离心率即可．【解答】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，月球半径为R ，则a +c ＝400+1738 且a −c ＝1738+100，解得a ＝1988，c ＝150，所以e =1501988≈340，9. 已知斜率为k 的直线l 与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1, m)(m >0)，则斜率k 的取值范围是（ ）A.(−∞, 1)B.(−∞, 1]C.(1, +∞)D.[1, +∞) 【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，设直线l 的方程为：y ＝kx +b ，与抛物线方程联立，由△>0得kb <1，利用韦达定理结合已知条件得b =2−k 2k ，m =2k ，代入上式即可求出k 的取值范围．【解答】设直线l 的方程为：y ＝kx +b ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程{y =kx +b y 2=4x，消去y 得：k 2x 2+(2kb −4)x +b 2＝0， ∴ △＝(2kb −4)2−4k 2b 2>0，∴ kb <1，且x 1+x 2=4−2kbk 2，x 1x 2=b 2k 2，y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2b =4k， ∵ 线段AB 的中点为M(1, m)(m >0)，∴ x 1+x 2=4−2kb k 2=2，y 1+y 2=4k =2m ， ∴ b =2−k 2k ，m =2k ，∵ m >0，∴ k >0，把b =2−k 2k 代入kb <1，得2−k 2<1，∴ k 2>1，∴ k >1，10. 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P 是侧棱DD 1的中点，AA 1＝2，AB ＝1，若点Q 在侧面BCC 1B 1（包括其边界）上运动，且总保持AQ ⊥BP ，则动点Q 的轨迹是（ ）A. B. C. D.【答案】D【考点】棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本大题共7小题，每题5分，共35分）已知直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直，那么l1与l2的交点坐标是________．【答案】(15, −35)【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系两条直线的交点坐标【解析】由两条直线垂直，建立关于a的方程并解之，得a=−2，直线l2方程为4x−2y−2= 0．再将直线l1的方程和l2的方程联解，即可得到所求交点的坐标．【解答】解：∵直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直∴1×4+2a=0，解之得a=−2，直线l2方程为4x−2y−2=0由{x+2y+1=04x−2y−2=0，联解得x=15，y=−35，得交点坐标为(15, −35)故答案为：(15, −35)直线x−√3y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为________．【答案】2√3【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长．【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心(0, 0)，r=2，∵圆心(0, 0)到直线x−√3y+2=0的距离d=22=1，∴直线被圆截得的弦长为2√r2−d2=2√3．故答案为：2√3已知点M(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，则点M到抛物线C焦点的距离是________．【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出p＝2，求得焦点F(1, 0)，利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．【解答】由点M(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，可得4＝2p，p＝2，抛物线C:y2＝4x，焦点坐标F(1, 0)，则点M到抛物线C焦点的距离是：2，由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有________个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有________个．【答案】60,36【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知圆C的方程是x2+y2−4x+F=0，且圆C与直线y=x+1相切，那么F=________．【答案】−1 2【考点】圆的切线方程【解析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，然后由圆心到直线的距离等于半径求得F的值．【解答】解：由x2+y2−4x+F=0，得(x−2)2+y2=4−F，∴圆心为(2, 0)，半径为√4−F，又圆C与直线y=x+1相切，则√12+(−1)2=√4−F，解得：F=−12．故答案为：−12．已知F1，F2为椭圆M：＝1和双曲线N：＝1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为________．【答案】1【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1, 0, 1)，动点P(x, y, 0)在xOy平面上运动，P到直线OA的距离为4，则点P坐标中x，y满足的方程为________．【答案】【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共65分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB，点E，F，G分别为PC，PA，BC的中点．（1）求证：PB⊥EF；（2）求证：FG // 平面PCD；（3）求平面EFG与平面PAD所成二面角的余弦值；（4）求直线DE与平面EFG所成角的大小．【答案】证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，且底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD．以D为原点，DC、y轴，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz，设DC＝1，则D(0, 3, 0)，0，7)，1，0)，，），F（，3，），1，4)．，1，−1)，，-，0)，•＝-．所以PB⊥EF．证明：由（1）知，PD⊥AD，且PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PCD．所以＝(−5，0．＝(0，6，-），因为•＝4，所以FG // 平面PCD．设平面EFG的法向量为＝(x，y，则，即，令x＝8，得，1，2)．平面PAD的法向量为＝(2, 0)．设平面EFG与平面PAD所成二面角（锐角）为α，则cosα＝＝．所以平面EFG与平面PAD所成二面D−FG−E角（锐角）的余弦值为．如图，连接DE，3＝(0，1，cos<，6＝＝．设直线DE与平面EFG所成角的大小为θ，则0≤θ≤，因此θ＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直直线与平面平行直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答直线l与抛物线C:y2＝4x有且仅有一个公共点A(1, 2)，与A处切线垂直的直线m称为抛物线C:y2＝4x在点A处的法线．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与x轴交于点B，求证：AF＝BF；（3）若直线l与x轴交于点B，设法线m交x轴于M点，求线段BM的中点坐标；（4）若经过点B(−1, 0)的直线n与抛物线C:y2＝4x相交于P、Q两个不同的点，是否存在直线n使得|BP|⋅|BQ|＝20，又是否存在直线n使得|BP|⋅|BQ|＝6，请说明理由．【答案】①当直线l⊥x轴时，此时直线l的方程为：x＝1，联立方程，解得，不符合题意，②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为：y＝2，此时直线l与抛物线只有一个公共点，③当直线l的斜率存在且不为3时，设直线l的方程为：y−2＝k(x−1)，联立方程，消去x整理可得：ky2−4y+5−4k＝0，由题意可得△＝16−3k(8−4k)＝2，解得k＝1，此时直线l的方程为：y−2＝x−6，即x−y+1＝0，综上，满足题意的直线l的方程为y＝2或x−y+1＝0；证明：由直线l与x轴交于点B，则直线l的方程为：y＝x+4，令y＝0，解得x＝−1，2)，0)，而抛物线的准线方程为：x＝−1，由抛物线的定义可得：AF＝8+1＝2，又BF＝|−6−1|＝2，因此AF＝BF；由（2）可知，直线l的方程为y＝x+2，所以直线m的斜率为−1，则直线m的方程为：y−2＝−(x−3)，令y＝0，解得x＝3，4)，因此，线段BM的中点坐标为(1；若直线n与x轴重合时，直线n与抛物线只有一个公共点，所以可设直线n的方程为：x＝ty−1，P(x2, y1)，Q(x2, y7)，联立方程，消去x整理可得：y2−4ty+6＝0，则△＝16t2−16>6，所以t2>1，且y3+y2＝4t，y7y2＝4，所以|BP||BQ|＝＝(4+t2)|y1y5|＝4(1+t2)，因为t2>1，所以|BP||BQ|>2，因此存在直线n使得|BP||BQ|＝20，不存在直线n使得|BP||BQ|＝6．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A(−2, 0)，离心率e＝，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两个不同的点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当|PQ|＝时，求直线PQ的方程；(Ⅲ)设线段PQ的中点在直线x+y＝0上，求直线PQ的方程．【答案】（1）由已知得，解得c＝1，b2＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由(Ⅰ)知，椭圆的右焦点F(2，设直线PQ的方程为x＝my+1，P(x1, y2)，Q(x2, y2)，联立得(5m2+4)y6+6my−9＝7，所以y1+y2＝-，y1y2＝-，所以|PQ|＝＝＝12＝12×，因为|PQ|＝，所以12×＝，解得m＝±1，所以直线PQ的方程为x＝±y+7，即x+y−1＝0或x−y−3＝0．(Ⅲ)设PQ中点为(x0, y7)，所以x0＝＝＝＝，y0＝＝，又因为线段PQ的中点在直线x+y＝2上，所以x0+y0＝7，即+＝5，所以直线PQ的方程为x＝y+1．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知抛物线C:y2＝2px过点M(2, 2)，A，B是抛物线C上不同两点，且AB // OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．(Ⅰ)求抛物线C的准线方程；(Ⅱ)求证：直线PQ与x轴平行．【答案】（1）抛物线C:y2＝2px过点M(2, 2)，∴4＝6p，即p＝1，∴抛物线C的准线方程x＝-＝-，证明(Ⅱ)∵M(2, 3)，∴k AB＝k OM＝1，设直线AB的方程为y＝x+m，设A(x1, y5)，B(x2, y2)，由，消x可得y2−4y+2m＝0，∴△＝3−8m>0，即m<，∴y1+y2＝2，y1y7＝2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q＝(y1+y2)＝3，∵直线OA的方程为y＝•x＝，①直线BM的方程为y−2＝(x−2)＝(x−2)，②，由①②解得y＝＝＝1，∴y p＝8∴直线PQ的方程为y＝1，故直线PQ与x轴平行【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM →⋅OP →为定值．(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得 −4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件. 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 平面向量在解析几何中的应用 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 椭圆的定义数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】（1）由题意知a =2，b =c ，b 2=2，由此可知椭圆方程为x 24+y 22=1．（2）设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)，直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0，然后利用根与系数的关系能够推导出OM →⋅OP →为定值．（3）设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ．MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)，再由MQ →⋅DP →=0得−4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，由此可知存在Q(0, 0)满足条件．【解答】解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得−4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0， 从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件.。
高中数学选择性必修二 北京市昌平区新学道临川学校高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高二数学理科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列 中，若 ， ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列通项公式可求得 ，由 可求得结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， .
【详解】抛物线 ( )的准线为： ，
因为准线经过点 ，可得 ，即 ，
所以抛物线为 ，焦点坐标为 ，
故选：B.
11.椭圆 内有一点 过点 的弦恰好以 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.
【详解】设弦的两个端点为 ，
即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，
再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过 ，②正确；
对于③，因为在x轴上方，图形面积大于四点（﹣1，0），
（1，0），（1，1），（﹣1，1）围成的矩形面积1×2＝2，
在x轴下方，图形面积大于三点（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）围成的等腰直角三角形的面积 ×2×1＝1，
故选：C.
2.在等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出 的值，利用等比中项的定义可求得结果.
【详解】由已知可得 ，由等比中项的性质可得 ，
因此， 与 的等比中项是 .
故选：A.
3.若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
北京市海淀区2021届高二上学期数学期末检测试题
北京市海淀区2021届高二上学期数学期末检测试题一、选择题1．设函数()3f x ax =+，若(1)3f '=，则a 等于（ ） A ．2B ．-2C ．3D ．-32．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ）A ．1011B ．511C ．518D ．5363．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为2-，则①中应填（ ）A ．98n <？B ．99n <？C ．100n <？D ．101n <？4．双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为（）A.1C.2D.25．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A B ．65CD ．26．已知点,,,A B C D 均在球O 上，3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体积的最大值为，则球O 的体积为 A.323πB.16πC.32πD.163π7．已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.725B.725-C.2425D.2425-8．若2(6)(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.2-B.2C.3D.3-9．已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 0.3b =，b c a =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<10．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（ ） A ．1931223-⨯ B ．1971443-⨯ C ．1831223-⨯ D ．1871443-⨯ 11．若关于x 的不等式｜ax ﹣3｜＜7的解集为{x ｜﹣5＜x ＜2}，则a 的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．212．对于函数()y f x =，下列说法错误的是（ ） A.函数的极值不能在区间端点处取得B.若()f x '为()f x 的导函数，则()0f x '=是()y =f x 在某一区间存在极值的充分条件C.极小值不一定小于极大值D.设函数()y =f x 在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在区间(,)a b 内不单调. 二、填空题13．已知函数f(x)，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x)；②f (-x)＝f (x)；③f (0)＝1；④1212()()0f x f x x x ->-；⑤1212222x x x x f f f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当f (x)＝tanx 时，正确结论的序号为________． 14．若1tan 2α=，则sin cos 2sin 3cos αααα+-=__________． 15．已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与相交于，两点，连接，若，，则的离心率为__________．16．在直线23x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）上与点(2,3)P -的点的坐标是_______．三、解答题17．有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费元（不返还），游戏甲有种结果：可能获得元，可能获得元，可能获得元，这三种情况的概率分别为，，；游戏乙有种结果：可能获得元，可能获得元，这两种情况的概率均为.（1）某人花元参与游戏甲两次，用表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱数），求的概率分布及期望；（2）用表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为.18．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点是直线上的动点，过作直线与圆相切，切点分别为、，若使四边形的面积最小，求此时点的坐标.19．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；20．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求的取值范围.21．如图，在四棱锥中，底面，，，，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求二面角的正弦值.22．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为：（为参数）．（Ⅰ）写出圆和直线的普通方程；（Ⅱ）点为圆上动点，求点到直线的距离的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．①④14．34- 15．516．()3,4-和()1,2- 三、解答题17．（1）分布列见解析，期望为；（2）见解析．【解析】 分析：（1）表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为，，，，分布列为：（2）用表示某人参加次游戏乙的收益可能取值为，，，…，，…（且），每次独立，获奖的概率为.满足二项分布。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：平面解析几何
2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何一．选择题（共18小题）1．（2020秋•倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2020秋•朝阳区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为( )A ．B ．2C D3．（2020秋•丰台区期末）若关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解，则(a = )A ．2BC ．1D ．24．（2020秋•昌平区期末）已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，那么点P 到y 轴的距离是( ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020秋•东城区期末）与圆22(1)5x y +-=相切于点(2,2)的直线的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．26．（2020秋•石景山区期末）若抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到y 轴的距离是( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．（2020秋•海淀区期末）抛物线2y x =的准线方程是( ) A ．12x =-B ．14x =-C ．12y =-D ．14y =-8．（2020秋•通州区期末）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x =9．（2020秋•通州区期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =．若水面下降5m ，则水面宽是( )（结果精确到0.1)m 1.41≈ 2.24 2.65)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．（2020秋•西城区期末）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．（2020秋•西城区期末）已知双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为( )A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．12y x =±12．（2020秋•朝阳区期末）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，P 是C 上一点．若||4PF =，则||(PM = )A B ．5C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定14．（2020秋•东城区期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||3||AF FB =，则点A 到y 轴的距离为( )A ．5B ．4C ．3D ．215．（2020秋•海淀区期末）已知直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，若//l AB ，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-16．（2020秋•昌平区期末）已知直线1y kx =+与圆2240x x y -+=相交于M ，N 两点，且||23MN ，那么实数k 的取值范围是( ) A ．143k --B ．403kC ．0k 或43k -D ．403k -17．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y mx m =>与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,2)-B ．[-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,[22,)-∞-+∞18．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C ．D ．二．填空题（共10小题）19．（2020秋•东城区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>，ABC ∆为等边三角形．若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，则双曲线M 的离心率为 ．20．（2020秋•海淀区校级期末）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 上的点，A ．①若点P 在双曲线右支上，则||||AP PF +的最小值为 ； ②若点P 在双曲线左支上，则||||AP PF +的最小值为 ．21．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．22．（2020秋•顺义区期末）设抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ，则m = ；若点A 在抛物线上，且||3AF =，则点A 的坐标为 ．23．（2020秋•房山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为45︒，则OAB ∆的面积为 ．24．（2020秋•石景山区期末）已知双曲线的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是，则C 的标准方程为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．25．（2020秋•海淀区期末）已知双曲线2212y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为 ；12||||MF MF -= ．26．（2020秋•昌平区期末）已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，则双曲线的右焦点坐标为 ．27．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B ．给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得△12AF F 为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得1ABF ∆为等腰直角三角形； ③存在m ，使1ABF ∆的周长最大． 其中，所有真命题的序号为 ．28．（2020秋•丰台区期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =，那么该双曲线的离心率为 ．三．解答题（共9小题）29．（2020秋•海淀区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若0OA AB ⋅=，且||3||2AB OA =，求OAB ∆的面积． 30．（2020秋•通州区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且||4AB =，椭圆C 离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．31．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(0,1)M 和1)2N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l ．求证：以AB 为直径的圆经过点O ．32．（2020秋•丰台区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅰ）直线AB 与x 轴交于点(,0)M m ，过点M 作不垂直于坐标轴且与AB 不重合的直线l ，l 与椭圆W 交于C ，D 两点，直线AC ，BD 分别交直线x m =于P ，Q 两点，求证：||||PM MQ 为定值．33．（2020秋•石景山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，且经过点(0,1)D ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由．34．（2020秋•东城区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A -，(2,0)B ，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点(G E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ．求证：||||||||TA GA TB GB =．35．（2020秋•海淀区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，且经过点C ．（Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长；（Ⅰ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点D 在椭圆W 上，且位于x 轴下方，直线CD 交x 轴于点Q ．若ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大D 的坐标．36．（2020秋•房山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，且过(0,1)点．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅰ）设不过原点O 且斜率为13的直线l 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，线段CD 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 交于E ，F ，证明：||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．37．（2020秋•昌平区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断||||AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何参考答案一．选择题（共18小题）1．【分析】由顶点坐标可知双曲线的焦点在y 轴上，再根据双曲线的几何性质，列得关于a 、b 、c 的方程组，解之即可．【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a =，2b =，c =所以双曲线的标准方程为22144y x -=．故选：B ．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，熟练掌握a 、b 、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．2．【分析】过点D 作DC AF ⊥于点C ，易知C 为AF 的中点，从而有||2a cCF +=，由点到直线的距离公式可知||DF b =，再由||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∠==，代入相关数据，进行运算即可． 【解答】解：过点D 作DC AF ⊥于点C ，||||DF DA =，∴点C 为AF 的中点，1||||22a cCF AF +∴==， 而点(,0)F c -到渐近线b y x a =-的距离为||||bc DF b ==， ||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∴∠==，即2a cbc b +=，222()22()c a c b c a ∴+==-，即2220c ac a --=，2c a ∴=或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要包含渐近线、离心率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3．【分析】由方程组无解得到直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行，再由直线与直线平行的性质能求出a ． 【解答】解：关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解， ∴直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行， ∴21421a =≠， 解得1a =． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．【分析】由抛物线的方程即可求出p 的值，再由抛物线的定义即可求解． 【解答】解：由抛物线的方程可得：2p =，又由抛物线的定义可知点P 到F 的距离等于点P 到抛物线的准线的距离， 则点P 到y 轴的距离为||5142pPF -=-=， 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．5．【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C ，切点(2,2)为P ，求出PC 的斜率，由切线的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆22(1)5x y +-=，其圆心为(0,1)，设圆心为C ，切点(2,2)为P ， 则211202PC K -==-， 则切线的斜率2k =-， 故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题． 6．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，可得9A x =，则A 到y 轴的距离是：9． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．【分析】抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，由此可得抛物线2y x =的准线方程． 【解答】解：抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，∴124p =， ∴抛物线2y x =的准线方程为14x =-． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键． 8．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可． 【解答】解：抛物线24y x =的准线方程是1x =-， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．9．【分析】建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>，写出点A 的坐标，并将其代入方程，求得t 的值，再令30y =-，解出x 的值即可． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>， 拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =，∴点A 为(15,5)-，将其代入22y x t -=得，22(5)(15)t --=， 解得400t =， 22400y x ∴-=，设水面下降5m 后，水面宽为CD ，此时点C 和D 的纵坐标均为30-，把30y =-代入22400y x -=，有2900400x -=，解得x =±44.8CD m ∴=≈．故选：B ．【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线方程的应用，考查学生将所学知识运用于实际的能力，属于基础题．10．【分析】求出(1,0)到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可． 【解答】解：点(1,0)到直线34120x y -+=3=，因为半径为2的圆经过点(1,0)，所以圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为：321-=． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的应用，是基础题． 11．【分析】利用双曲线方程列出方程，推出a ，b 的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，b =，其渐近线的方程为：y =． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 12．【分析】根据条件求出P 的纵坐标，进而求解结论．【解答】解：P 是C 上一点．且||4PF =，413P PD x x ∴==+⇒=代入24y x =得212Py =，PM ∴===故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质以及计算能力，属于基础题．13．【分析】由直线l 过定点圆C 的圆心，可知直线与圆相交． 【解答】解：直线:1l y kx =+过点(0,1)P ， 而(0,1)P 是圆22:(1)4C x y +-=的圆心，∴直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是相交．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．14．【分析】根据题意得到p 的值，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，再利用三角形相似得到BC 和AC 的关系，从而得到BF ，AF ，CF 的关系，求出4AD =，即可得到答案．【解答】解：焦点F 到准线的距离为2p =，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ， 则BCE ACD ∆∆∽， 所以13BC BE BF AC AD AF ===， 记BC x =，则3AC x =， 因为||3||AF FB =， 所以1142BF AB x ==，332AF BF x ==， 因为32CF BC BF x =+=，F 为AC 的中点， 所以24AD FG ==， 即点A 到y 轴的距离为432p-=． 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．15．【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a 的值． 【解答】解：直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，∴直线AB 的斜率为21121+=+， 若//l AB ，则11a-=，求得1a =-， 故选：B ．【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．16．【分析】当弦长||MN =利用弦长公式求得弦心距1d =，故当||23MN ，则1d ，由此求得k 的范围．【解答】解：当弦长||MN =1d = 若||23MN ，则1d ，即圆心(2,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，求得4[3k ∈-，0]，故选：D ．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．17．【分析】根据奇函数对称性得出A ，C 关于原点对称，于是||1PB =，从而直线l 与单位圆有交点，根据点到直线的距离公式列出不等式求出k 的范围． 【解答】解：3()f x x =和y mx =都是奇函数，B ∴为原点，且A ，C 两点关于原点对称．∴原点O 为线段AC 的中点， ∴2PA PC PB +=，直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=， |||2|2||2PA PC PB PB ∴+===，||1PB ∴=．即P 为单位圆221x y +=上的点．∴直线:3l y kx =+与单位圆有交点， ∴1，解得22k 或22k -．故选：D ．【点评】本题考查了函数图象与方程的关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．【分析】在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，利用△1O PF ≅△1O PQ 全等，得到1PF PQ =，当点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和最小时，即当P 为直线VM 与椭圆的交点时，求解即可得到答案．【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ， 连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，在△1O PF 与△1O PQ 中，111O Q O F r ==，其中1r 为球1O 半径， 1190O QP O FP ∠=∠=︒，1O P 为公共边，所以△11O PF ≅△1O PQ ，所以1PF PQ =， 设P 沿圆锥表面到达M 的路径长为d ， 则1PF d PQ d PQ PR QR +=++=，当且仅当P 为直线VM 与椭圆的交点时取等号，21416tan 30tan 30O R O Q QR VR VQ -=-=-===︒︒，故从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是6． 故选：A ．【点评】本题以Dandelin 双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P 为直线VM 与椭圆的交点时取得最值． 二．填空题（共10小题）19．【分析】易知，等边ABC ∆的边长为4a ，不妨取点B 为(2)a ，将其代入双曲线的方程可得a b =，再由e =【解答】解：双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，∴等边ABC ∆的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2)a ，将其代入双曲线M 的方程有，2222431a a a b-=，∴1ab =，离心率e ==．【点评】本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．20．【分析】由题意知，(3,0)F ，①当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值；②设双曲线的左焦点为F '，由双曲线的定义可知，||||2PF PF '=+，当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值．【解答】解：由题意知，(3,0)F ，①||||||9AP PF AF +=，当且仅当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为9；②设双曲线的左焦点为(3,0)F '-，由双曲线的定义知，||||22PF PF a'-==，所以||||||||2||2211AP PF AP PF AF ''+=+++==，当且仅当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为11． 故答案为：9；11．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 21．【分析】求出OA 的中点即为圆心，求出||OA 即为圆的半径，得到圆的方程与直线2y x =联立，求出点B 的坐标，即可得到直线AB 的方程．【解答】解：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)， 所以OA 的中点坐标为(2,0)，且||4OA =，所以以线段OA 为直径的圆的圆心为(2,0)，半径2r =， 所以圆的方程为22(2)4x y -+=，联立方程22(2)42x y y x ⎧-+=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点B 在第一象限，所以48(,)55B ，又(4,0)A ，所以直线AB 的方程为8050(4)445y x --=--，即240x y +-=． 故答案为：240x y +-=．【点评】本题考查了直线方程的求解，涉及了圆的标准方程的求解、直线与圆交点的求解，属于中档题． 22．【分析】利用抛物线的焦点坐标，求解m 即可；利用抛物线的定义，转化求解A 的坐标． 【解答】解：抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ， 可得14m=，解得4m =； 点A 在抛物线24y x =上，且||3AF =，设点A 的横坐标为x ，则13x +=，2x =， 把2x =代入抛物线方程，可得A的纵坐标为：±所以(2,A ±． 故答案为：4；(2,±．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．23．【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由题意设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得弦长||AB 的值，求出原点到直线的距离，代入面积公式可得面积的值．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =- 由题意设直线l 的斜率1y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得：2610x x -+=，可得126x x +=，所以弦长12||628AB x x p =++=+=， 原点O 到直线l的距离d =，所以11||822AOB S AB d ∆=⋅==故答案为：【点评】本题考查求抛物线的性质及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属于中档题．24．【分析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则2a =，3c =，由此能求出C 的方程，再求焦点到其渐近线的距离即可．【解答】解：双曲线C 的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是0)，∴设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且a ，3c =，2963b ∴=-=，C ∴的方程为：22163x y -=．故其渐近线为y =，即0x ±=，C ∴的焦点到其渐近线的距离为：d ==故答案为：22163x y -=【点评】本题考查双曲线的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．25．【分析】利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到12||||MF MF -．【解答】解：双曲线2212y x -=的渐近线方程为：y =，双曲线的焦点坐标(，0)，M 在双曲线上，所以12||||22MF MF a -=-=-，故答案为：y =；2-．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题． 26．【分析】利用离心率求出a ，然后求解双曲线的焦点坐标．【解答】解：双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，54=，解得4a =，则5c =， 所以双曲线的右焦点坐标为(5,0)． 故答案为：(5,0)．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．27．【分析】当0m =时，12F AF ∠最大，求出△12AF F 为等腰直角三角形即可判断①；求出1ABF ∆为等腰直角三角形时，m 的值，即可判断②；利用椭圆定义可得1ABF 的周长最大值，结合m 的取值范围即可判断③．【解答】解：由方程知4a =，b =c ，当0m =时，12F AF ∠最大，此时122145AF F AF F ∠=∠=︒，所以12F AF ∠的最大值为90︒， 又12AF AF =，所以△12AF F 为等腰直角三角形，即存在唯一一个0m =，使得△12AF F 为等腰直角三角形，故①正确；当0m =时，1245AF F ∠=︒，由椭圆的对称性可得121245BF F AF F ∠=∠=︒，11AF BF =， 所以190AF B ∠=︒，此时1ABF ∆为等腰直角三角形，当0m ≠时，若1ABF ∆为等腰直角三角形，则4m -<<-，此时点A 的坐标为(,m m --，代椭圆方程，解得(4,m =--，故当0m =或1ABF ∆为等腰直角三角形，故②错误； 由椭圆的定义得，1ABF ∆的周长11||||||AB AF BF =++ 2222||(2||)(2|)4||||||AB a AF a BEF a AB AF BF =+-+-=+--，因为22||||||AF BF AB +，所以22||||||0AB AF BF --，当AB 过点2F 时取等号，所以1122||||||4||||||4AB AF BF a AB AF BF a ++=+--，即直线x m =过椭圆的右焦点2F 时，1ABF ∆的周长最大，此时直线AB 的方程为x m c ===44m -<<， 所以存在m ，使1ABF ∆的周长最大，故③正确． 故答案为：①③．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力，是中档题．28．【分析】由题意可得12b a =，即224a b =，结合222a b c +=，可得2254c a =，开方可得c e a=的值．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为by x a =±，故可得12b a =，即224a b =，又222a bc +=，故2224a a c +=，2254c a =，解得c e a ==【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题． 三．解答题（共9小题） 29．【分析】（Ⅰ，且经过点，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． （Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与椭圆的方程，得224()4x kx m ++=，由△0>，得2241k m +>，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，由0OA AB ⋅=，推出OA AB ⊥，进而设直线OA 的方程为1y x k=-，联立直线AB 的方程得1y ，1x ，代入椭圆的方程可得22224(1)4k m k +=+，再计算222222144(1)||(41)(4)k k AB k k +=++，2224(1)||4k OA k +=+，进而可得22222||369||(41)4AB k OA k ==+，解得214k =，进而可得OAB ∆的面积213||||||24S OA AB OA ==，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =，∴椭圆方程为2214x y +=．（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立y kx m =+与2244x y +=，得224()4x kx m ++=， 222(41)8440k x kmx m ∴+++-=，∴△22222(8)4(41)(44)16(41)0km k m k m =-+-=+->，即2241k m +>，则122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+，因为0OA AB ⋅=，所以OA AB ⊥，设直线OA 的方程为1y x k =-，联立直线AB 的方程得121m y k =+，1121kmx ky k -=-=+， 代入221144x y +=，所以222()4()411km m k k -+=++，化简得22224(1)4k m k +=+，所以2222222222224(1)(41)(4)4(1)94141444k k k k k k m k k k k +++-++-=+-==+++，所以||AB =， 所以2222222222216(1)(41)144(1)||(41)(41)(4)k k m k k AB k k k ++-+==+++， 所以2222222112224(1)||()(1)()114m m k OA ky y k k k k +=-+=+==+++， 所以22222||369||(41)4AB k OA k ==+， 得22216(41)k k =+，解得214k =， 此时222224(1)2541417k m k k +==<++，满足△0>， 由22214(1)4(1)204||141744k OA k ++===++， 所以OAB ∆的面积2113315||||||||||222417S OA AB OA OA OA ==⨯==． 【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 30．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程组，得a ，b ，进而可得椭圆的方程．（Ⅰ）分两种情况①若直线l 的斜率不存在时，②若直线l 的斜率存在时，直线AM ，BN 的交于点Q ，是否早定直线4x =上．【解答】解：（Ⅰ）因为||4AB =，椭圆C 离心率为12， 所以22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（Ⅰ）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为(1,0)，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是3(1,)2，点N 的坐标是3(1,)2-．所以直线AM 的方程是1(2)2y x =+，直线BN 的方程是3(2)2y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是(4,3)．所以点(4,3)在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ． 所以直线l 的方程为(1)y k x =-．联立方程组22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 显然△0>．不妨设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+． 所以直线AM 的方程是11(2)2y y x x =++．令4x =，得1162y y x =+．直线BN 的方程是22(2)2y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-． 所以12121212121212626(1)2(1)6(1)(2)2(2)(1)2222(2)(2)y y k x k x k x x k x x x x x x x x -----+--=-=+-+-+- 1212122112126(1)(2)2(2)(1)2[3(22)(22)]k x x k x x k x x x x x x x x ---+-=--+--+- 12122[25()8]k x x x x =-++22222(412)582[8]3434k k k k k -⨯=-+++22228244024322()034k k k k k --++==+．所以点Q 在直线4x =上．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 31．【分析】（Ⅰ）根据题意可得所以1b =，22311a b +=，解得2a =，进而可得椭圆的方程． （Ⅰ）联立直线l 与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理得12x x +，12x x ，由点到直线的距离公式可得原点O 到直线l的距离d ==，解得2254(1)m k =+，计算1212OA OB x x y y ⋅=+为0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b =，又因为椭圆经过点1)2，所以23114a +=，解得2a =，所以椭圆的方程为2214x y +=，（Ⅰ）证明：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由题意，△22222(8)4(14)(44)1616640km k m k m =-+-=-++>，即22140k m +->， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，因为原点O 到直线l，所以d ==即2254(1)m k =+，因为12121212()()OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++22222121222448(1)()(1)4141m kmk x x km x x m k km m k k -=++++=+-+++222544041m k k --==+，所以OA OB ⊥．因此以AB 为直径的圆过原点O ．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 32．【分析】（Ⅰ）把点A ，B 的坐标代入椭圆方程，求出a ，b 的值，即可得到椭圆W 的方程；（Ⅰ）先求出m 的值，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，与椭圆方程联立，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理得到22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++，再求出点P ，Q 的纵坐标，得到||||PM MQ 的表达式，把上式代入化简，即可得到||||PM MQ 为定值1． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点，得2b =，29114a +=，所以212a =．所以椭圆W 的方程为221124x y +=．（Ⅰ）(0,2)A ，(3,1)B --，∴直线AB 的方程为：2y x =+，令0y =得：2m =-，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，由22(2),1124y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)1212120k x k x k +++-=，且△0>，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++， 记直线AC 的方程为1122y y x x --=，令2x =-，得P 点的纵坐标11(22)(2)P k x y x -+=，记直线BD 的方程为2211(3)3y y x x ++=++， 令2x =-，得Q 点的纵坐标22(1)(2)3Q k x y x -+=+，112122122212212121212112221221(22)(2)2(3)(2)||||||||(1)(2)||(2)31212122412224()1221313||||1212221312122(13)|| 1.12122(13)PQ k x y x x x PM k x MQ y x x x k k x x x x x x k k k x x x x k k k x k k x -+++===-+++--⨯+⨯++++++++==-+++-++==-++ 所以||||PM MQ 为定值1． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的定义，考查了学生的计算能力，是中档题． 33．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出b ，结合离心率求解a ，即可得到椭圆方程．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，求出M ，N 的坐标，然后求解AM AN k k +．的表达式，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知1b =，c e a = 又222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则△216(112)0k =->，解得k <．(*) 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =，k =(*)式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为121211AM AN y yk k x x +=+++ 121212(4)(4)3321111k x k x k kk x x x x ++=+=++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++ 222222323(2)1426443211414k k k k k k k k -++=+--++++ 223(242)20363k k k k -+=+=-， 所以AM AN k k =-． 所以BAM OAN ∠=∠．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．34．【分析】（Ⅰ）由题意及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅰ）由题意开始直线l 的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G ，E 的坐标，由题意可得G ，E 用直线的参数表示的坐标，进而求出||||TA TB 与||||GA GB 的表示，可证得||||||||TA GA TB GB =．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222212a c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(34)84120k x kmx m +++-=， 由题意可得△0=，即22226416(34)(3)0k m k m -+-=，解得：2234m k =+ 设1(G x ，0)，0(E x ，0)y 则1m x k =-，024434km kx k m-==-+， 因为ET x ⊥轴，所以4(kT m-，0)， 4|2||||42||2|4|||24||2||2()|k TA k m m k m k TB m k m k m -+-+-===++--， 又因为|2||||2||||2||2|m GA m k k m GB m k k-+-==++， 所以可证：||||||||TA GA TB GB =． 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题． 35．【分析】（Ⅰ）由已知点，椭圆的离心率以及a ，b ，c 的关系式即可求解；（Ⅰ）根据已知条件推出OD 与BC 平行，设出点D 的坐标，利用平行关系以及点D 在椭圆上联立方程即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：22222431c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a =，2b =，c =故椭圆的方程为：221164x y +=，且长轴长为28a =；（Ⅰ）因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB （不包括端点）上， 由（Ⅰ）可知(4,0)A -，(4,0)B ，所以AOC ∆的面积为142⨯=因为ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大所以点Q 在线段OB （不包括端点）上，且OCQ ∆的面积等于BDQ ∆的面积， 所以OCB ∆的面积等于BCD ∆的面积， 所以//OD BC ， 设(,)D m n ，0n <，则n m ==， 因为点D 在椭圆W 上，所以221164m n +=，解得2m =，n = 所以点D的坐标为(2,．【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题． 36．【分析】()I利用离心率为3，且过(0,1)点，列出方程组求解a ，b ，得到椭圆方程． ()II 设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠，由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=，通过△0>，推出m 的范围，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理，求直线OM 的方程，与椭圆联立，求解E 、F ，利用弦长公式，计算证明即可．【解答】()I解：根据题意：2222311c a a b a c b b c ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪=-⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎪⎩（4分）所以椭圆G 的方程为2219x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）()II 证明：设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）即2226990x mx m ++-=，需△22368(99)0m m =-->即202m <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，CD 中点0(M x ，0)y ，则123x x m +=-，2129(1)2x x m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）12000311,2232x x x m y x m m +==-=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 那么直线OM 的方程为：00y y x x =即13y x =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）由22191232x x y y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 不妨令(E F ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 那么221212111||||||(1)[()4]449MC MD CD x x x x ⋅==++-2259[(3)4(1)]182m m =--⋅-25(2)2m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）||||ME MF ⋅=25(2)2m -⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）所以||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 37．【分析】（Ⅰ）依题意长轴长为4，且离心率为12．求出a ，c ，然后求解b ，得到椭圆方程． ()II 直线:(1)l y k x =-，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出||AB ，求出AB 中点坐标，通过（1）当0k =时，所以||4||AB DF =．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程求出D ，得到||DF ，然后转化求解即可、【解答】解：（Ⅰ）依题意24a =，2a =，离心率为12，1c =，则23b =，（4分） 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（5分） ||()||AB II DF 是定值．（6分） 理由如下：由已知得直线:(1)l y k x =-，（7分）代入椭圆方程22143x y +=，消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=，（8分） 所以△22222(8)4(43)(412)1441440k k k k =--+-=+>，（9分）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，（10分）所以2222221211212||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++-。
2021-2022学年北京市海淀区高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年北京市海淀区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为45°的是（ ） A ．10x y +-= B ．10x += C ．20x y -+= D ．210x y --=【答案】C【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为1k =， 对于A ，直线斜率为1k =-， 对于B ，直线无斜率， 对于C ，直线斜率1k =， 对于D ，直线斜率22k =， 故选：C2．若直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12-D ．1-【答案】A【分析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，所以()1210a ⨯+-⨯=，解得2a =. 故选：A3．如图，在四面体O ABC -中，OA a →=，OB b →=，OC c →=，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a →，b →，c →表示为（ ）A ．111222a b c →→→++B ．111244a b c →→→++C ．111424a b c →→→++D ．111442a b c →→→++【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理，用a ，b ，c 表示向量OE ． 【详解】因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，1()2OD OB OC =+，111111()()224244OE OA OD OA OB OC a b c =+=++=++．故选：B4．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．平面α内有一条直线与平面β平行 B ．平面α内有两条直线分别与平面β平行 C ．平面α内有无数条直线分别与平面β平行 D ．平面α内有两条相交直线分别与平面β平行 【答案】D【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.【详解】对A ，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A 错误；对B ，若平面α内有两条直线分别与平面β平行，若这两条直线平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B 错误；对C ，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C 错误；对D ，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D 正确. 故选：D.5．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点)，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．2【答案】A【分析】先求出渐近线方程，进而将点)代入直线方程得到a ,b 关系，进而求出离心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：by x a=±，而一条渐近线过点)，则1=，b c e a a =⇒===故选：A.6．已知球O 的半径为2，球心到平面α的距离为1，则球O 被平面α截得的截面面积为（ ） A ．23π B ．3π C ．3πD ．π【答案】B【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解. 【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为22213-=，所以截面的面积()233S ππ==.故选：B7．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2PA =，2AB AC ==，则点A 到平面PBC 的距离为（ ）A ．1B 3C 2D ．12【答案】A【分析】设点A 到平面PBC 的距离为h ，根据等体积法求解即可. 【详解】因为PA ⊥平面ABC ， 所以,PA AB PA AC ⊥⊥, 因为2PA =2AB AC ==， 所以()22226PB PC =+=又AB AC ⊥，2AB AC ==， 所以22222BC =+=所以()221221622222222△PBCS BC ⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭设点A 到平面PBC 的距离为h ， 则P ABC A PBC V V --=, 即1133△△ABC PBC PA S h S ⋅=⋅,12222122h ⨯⨯⨯∴==， 故选：A8．如图，1F ，2F 是平面上的两点，且1210F F =，图中的一系列圆是圆心分别为1F ，2F 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，，A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点，若点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上，则（ ）A ．点B 和C 都在椭圆M 上 B ．点C 和D 都在椭圆M 上 C ．点D 和E 都在椭圆M 上 D ．点E 和B 都在椭圆M 上【答案】C【分析】由123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =，然后根据定义逐一判断即可. 【详解】因为点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上， 所以123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =因为12591412BF BF +=+=≠，12561112CF CF +=+=≠125712DF DF +=+=， 1211112EF EF +=+=所以,D E 在椭圆M 上 故选：C9．设P 为直线2y kx =+上任意一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最大值为（ ） A 3B ．1 C 2D 3【答案】D【分析】根据题意，判断点P 与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的最大值.【详解】因为过过P 总能作圆221x y +=的切线，故点P 在圆外或圆上， 也即直线2y kx =+与圆221x y +=相离或相切， 则2211k ≥+，即214k +≤，解得3,3k ⎡⎤∈-⎣⎦，故k 的最大值为3. 故选：D.10．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A ，C 之间的曲线）绕其虚轴所在直线l 旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：113cm AA =，112cm BB =，120cm CC =，1115cm A B =，1148cm B C =，其中B 是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示 学生甲 乙 丙 丁估算结果（3cm ） 25200π17409π 14889π 13809π其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：2V R h π=圆柱，213V R h π=圆锥，()2213V h r rR R π=++圆台）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以112cm BB =为半径，高为1111481563cm B C A B +=+=的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20128cm -=，13121cm -=，高分别为48cm ,15cm ,2312()圆柱=63=9072cm V ππ⨯⨯,()22318151029()3圆锥=48+1cm V π⨯⨯⨯=,所以花瓶的容积33907210101cm cm πV π<<， 故最接近的是丁同学的估算， 故选：D 二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，111AC A B ⋅=___________. 【答案】1【分析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解. 【详解】如图，在正方体中，21111111001AC A B AC CC A B AB AD AA AB AB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅=++⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1 12．椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，过原点的直线与椭圆C 交于两点A 、B ，则ABF 的面积的最大值为___________. 【答案】4【分析】分析可知点A 、B 关于原点对称，可知当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值.【详解】在椭圆C 中，22a =2b =，则222c a b -，则()2,0F ， 由题意可知，A 、B 关于原点对称，当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值，且最大值为1242c b ⨯⨯=.故答案为：4.13．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =，将ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1A C BD ⊥； ②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③【分析】在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ，对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，则可得到BD CE ⊥，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知11A D A E ED =+，BC BF FC =+，设平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ，进而得1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，进而得异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即可判断.【详解】解：如图1，在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ， 则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，由于1A E BD ⊥，111A C A E A =，所以BD ⊥平面1A CE ，所以BD CE ⊥，这与图1中的BD 与CE 不垂直矛盾，故错误； 对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，此时13AD AB A E BD ⋅==111131133324BCD V S A E =⋅⋅=⨯⨯=，故三棱锥1A BCD -的体积不大于14，故正确；对于③，11A D A E ED =+，BC BF FC =+，由②的讨论得1,12AE DF EF ===，所以ED BF =，所以()()1111A D A E ED A E ED EA BC BF FC FC BF FC BF ED ⋅+⋅⋅⋅=++=-⋅=+ 11139cos c ,,os 44EA EA ED FC FC B A F FC E =⋅⋅-+=-+，设翻折过程中，平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ， 所以1,FC EA θ=，故139cos 44B ACD θ⋅=-+，由于要使直线1A D 与BC 为异面直线，所以()0,θπ∈， 所以1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，所以11139cos 144,1cos ,32A D A D A D BCBC BCθ⋅=⋅-+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 所以异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，由于1,1222⎛⎫ ⎪⎝⎭∈， 所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 故答案为：②③三、双空题14．圆222690x y x y +-++=的圆心坐标为___________；半径为___________. 【答案】 (1,3)- 1【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是22(1)(3)1x y -++=，圆心坐标为(1,3)-，半径为1． 故答案为：(1,3)-；1．15．已知双曲线M 的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M 的标准方程.①一个焦点坐标为()2,0；②经过点)3,0；③你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M 的标准方程是___________.【答案】 ①②或①③或② ③ 2213x y -=或22122x y -=或22133y x -= 【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出,a c 即可得解，选 ② ③ ，可由顶点坐标及离心率得出,a c ，即可求解.【详解】选①②，由题意则2c =，a =2221b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为2213x y -=， 故答案为：①②；2213x y -=，选①③ ，由题意，2,cc e a===a ∴=2222b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22122x y -=，选 ② ③，由题意知ca e a===c ∴=2223b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：①②；2213x y -=或①③；22122x y -=或② ③ ；22133y x -=. 四、解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 以原点为圆心，且经过点(M . (1)求圆O 的方程；(2)20y +-=与圆O 交于两点A ，B ，求弦长AB . 【答案】(1)224x y +=(2)AB =【分析】（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程； （2）根据直线与圆的弦长公式即可求解． (1)由132OM =+=，所以圆O 的方程为224x y +=； (2)由点O 到直线320x y +-=的距离为2131d -==+所以弦长24123AB =-=17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12AA =.M 为侧棱1BB 的中点，连接1A M ，1C M ，CM .(1)证明：AC ∥平面11A C M ； (2)证明：CM ⊥平面11A C M ； (3)求二面角111B C A M --的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3)3π【分析】小问1：由于11//AC A C ，根据线面平行判定定理即可证明；小问2：以C 为原点，1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴建立空间坐标系，根据向量垂直关系即可证明；小问3：分别求得平面11A MB 与平面11A MC 的法向量，根据向量夹角公式即可求解． (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，且AC ⊄平面11A C M ，11A C ⊂平面11A C M 所以AC ∥平面11A C M ；(2)因为AC BC ⊥，故以C 为原点，1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴建立空间坐标系如图所示：则()()()()110,0,0,0,1,1,1,0,2,0,0,2C M A C ，所以()()()110,1,1,1,1,1,0,1,1,CM A M C M ==--=-则110110,0110,CM AM CM C M ⋅=+-=⋅=+-= 所以11,,CM A M CM C M ⊥⊥又11,A M C M M =1A M ⊂平面11A C M ，1C M ⊂平面11A C M故CM ⊥平面11A C M ；(3)由()10,1,2B ，得()111,1,0A B =-，()10,0,1MB =设平面11A MB 的一个法向量为(),,n x y z =则1110,0,n A B n MB ⋅=⋅=得()1,1,0n =又因为平面11A MC 的一个法向量为()0,1,1CM = 所以1cos ,2n CMn CM n CM ⋅==⋅ 所以二面角111B C A M --的大小为3π18．已知抛物线C ：22y px =经过点()1,2.(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于两点M ，N ，且与抛物线的准线交于点Q .若22MN QF =，求直线l 的方程.【答案】(1)抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-(2)10x y --=或10x y +-=.【分析】（1）将点代入抛物线求出p 即可得出抛物线方程和准线方程；（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长MN 和QF 即可求出.(1)将()1,2代入22y px =可得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-；(2)由题得()1,0F ，设直线方程为1x ty =+，0t ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，则124y y t +=， 所以()21212444MN x x p t y y t =++=++=+， 因为直线1x ty =+与准线1x =-交于点Q ，则21,Q t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则QF ==因为MN=，所以244t +=1t =±， 所以直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 19．已知椭圆22221x a E y b +=：（0a b >>()2,0. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点，直线y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于不同的两点,A B ，且与x 轴交于点C ，P 为线段OC 的中点，点B 关于x 轴的对称点为1B .证明：1PAB 是等腰直角三角形.【答案】(1)22162x y += (2)证明见解析.【分析】（1）由题知2c e c a ===，进而结合222b a c =-求解即可得答案；（2）设点(,0)C m -，1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -，进而联立2236y x m x y =+⎧⎨+=⎩并结合题意得0m -<<或0m <<10PA PB ⋅=，再AB 的中点为00(,)M x y ，证明PM AB ⊥，进而得||||PA PB =，1||||PB PB =，故1||||PA PB =，综合即可得证明.(1)解：因为椭圆E()2,0所以2c e c a ===，所以222 2.a b a c ==-= 所以椭圆E 的方程为22162x y +=. (2)解：设点(,0)C m -，则点(,0)2m P -, 所以联立方程2236y x m x y =+⎧⎨+=⎩得2246360x mx m ++-=， 所以有223616(36)0m m ∆=-->，解得m -<因为0m ≠，故0m -<<或0m <<设1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -， 所以123.2m x x +=- 设向量11122(,),(,)22m m PA x y PB x y =+=+-， 所以112121212()()()()()()2222m m m m PA PB x x y y x x x m x m ⋅=++-=++-++ 22212333()02444m m m x x m =-+-=-=， 所以1PA PB ⊥，即190APB ︒∠=，设AB 的中点为00(,)M x y ，则120003,.244x x m m x y x m +==-=+= 所以342104PM m m k m -+==--， 又因为1AB k =，所以PM AB ⊥，所以||||PA PB =，因为点B 关于x 轴的对称点为1B . 所以1||||PB PB =， 所以1||||PA PB =， 所以1PAB 是等腰直角三角形.。
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,2},{0,1,2}A B =-=，则A B ＝（ ） A ．{－1，0，2} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可. 【详解】由题知，{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选：D.2．已知复数134i z =-，223i z =-+，则12z z +=（ ） A ．1i - B ．5i - C ．17i - D ．5i +【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，()()123243i 1i z z +=-+-+=- 故选：A3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意0x >，故函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞ 故选：B4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．2y x B ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.【详解】函数2y x 、y x =、2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数. 故选：D.5．下列各点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（1，0） D ．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.【详解】解：因为()21xf x =-，所以()00210f =-=，故函数过点()0,0.故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=， 则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305⨯=人.故选：C.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB BC +=（ ）A ．ACB ．CAC ．BD D ．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解： AB BC AC故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ）A ．45-B ．45 C ．34-D ．34【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果. 【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴4cos 5α==. 故选：B.9．函数()||1f x x =-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】令()||10f x x =-=求解. 【详解】令()||10f x x =-=， 解得 1x =±，所以函数()||1f x x =-的零点个数是2， 故选：C10．已知a R ∈，则“1a >”是“0a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可． 【详解】若1a >，则0a >成立， 若0a >，无法推出1a >， 故1a >是0a >的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题． 11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12 B C D ．1【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值. 【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒=故选：A12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ， 则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ） A ．0.08 B ．0.18 C ．0.25 D ．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为0.90.80.72⨯= 故选：D14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（ ） A ．22B ．23C ．6D ．42【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理34sin 226sin sin sin 2a b a Bb A B A=∴===故选：C15．不等式x （x －1）＜0的解集为（ ） A ．{01}xx <<∣ B ．{10}xx -<<∣C ．{0x x <∣或1}x >D ．{1xx <-∣或0}x > 【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集. 【详解】方程()10x x -=有两个根0,1， 则不等式()10x x -<的解集为{}01x x << 故选：A16．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（ ）A ．2B ．C ．4D ．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】2222cos 416812c a b ab C =+-=+-=∵，c ∴=故选：B17．函数()3sin cos f x x x =的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．32【答案】D【分析】由二倍角公式可得()3sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.18．已知224a b >>，则（ ） A ．a ＞b ＞2 B ．b ＞a ＞2C ．a ＜b ＜2D ．b ＜a ＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可 【详解】222422a b a b >>=∴>> 故选：A19．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则·a b ＝（ ）A ．3B ．32C ．6D ．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，322a b ==，，两向量的夹角为45°，则2··cos ,3226a b a b a b ==⨯⨯= 故选：C20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率12p =， 所以22211log log log 2112p===，故“正面朝上”这一事件的自信息为1； 故选：C二、填空题21．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为a b >，所以a b -<- 故答案为：<22．已知向量a ＝（1，m ），b ＝（2，4）．若//a b ，则实数m ＝________． 【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数.【详解】由//a b 知，124m=，解得m =2. 故答案为：223．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥α； ②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α//β； ③如果α⊥β，m ∥β，那么m ⊥α． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③【详解】解：对于①，由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，所以①正确； 对于②，由m ⊥α，m ⊥β，可得α//β，所以②正确；对于③，由α⊥β，m ∥β，可得直线m 与平面α可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m 在平面α内，所以③错误， 故答案为：①②三、双空题24．已知函数1()f x x x=+，则f (x )是________函数（填“奇”或“偶”）；f (x )在区间（0，＋∞）上的最小值是________． 【答案】奇 2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.【详解】由题知，1()()f x x f x x-=--=-，故()f x 是奇函数；(0,)x ∈+∞时，1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 则()f x 的最小值为2. 故答案为：奇；2.四、解答题25．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）2π ；（2）最小值为．【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（1）f (x )的最小正周期为2π． （2）因为02x π， 所以444x πππ--．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当44x ππ-=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值2-；当44x ππ-=，即2x π=时，f (x )所以f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为26．阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求f （－2）与f （2）的值； （2）求f (x )的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f （2）＝ ② ． （2）因为x ≤0时，有f (x )＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f (x )在(,0]-∞上的最大值为 ③ ． 又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ④ ，所以f (x )在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f (x )的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”）．④ A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0 ⑤ A ．1 B ．3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ． 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且()11f =，所以()f x 在()0,∞+上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为3．27．如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，OA ＝OB ，且D ，E ，F 分别为AC ，BC ，AB 的中点．（1）求证：DE ∕∕平面AOB ； （2）求证：AB ⊥平面OCF ． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析．【分析】（1）D ，E 分别为AC ，BC 的中点，得DE AB ∕∕，从而证明DE ∕∕平面AOB ； （2）OA ，OB ，OC 两两互相垂直，得：OC ⊥平面AOB ，从而得出OC AB ⊥，由题易知AB OF ⊥从而证明AB ⊥平面OCF ．【详解】解：（1）在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 的中点， 所以DE ∥AB ．又因为DE⊄平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m-个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．（1）写出n的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．【答案】（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【分析】（1）由图可计算得到n 的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227n ∴=+++=；（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021+⨯=次检测即可；若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919+⨯=次检测；∴此时两组共需21938⨯=次检测；∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测. 综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。
2020-2021学年北京市海淀区高二上学期期末考试地理试题(解析版)
北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末地理试题一、单选题第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行。
这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后的中国第三次举办的奥运赛事。
据此完成下面小题。
1. 在冬奥会举办期间，会出现下列哪些现象( )A. 太阳直射北半球，并向北运动B. 地球公转速度越来越快C. 太阳直射南半球，并向南运动D. 正值我国春节旅游旺季2. 在冬奥会举办期间，北京哪些现象不符合实际( )A. 北京日出时间越来越早B. 北京正午太阳高度角越来越大C. 北京昼长越来越短D. 北京温度逐渐升高〖答案〗1. D 2. C〖解析〗〖1题详解〗由材料可知，冬奥会举办期间为2月4日至20日，此时太阳直射南半球，并向北运动；地球公转到近日点1月初时，速度最快，冬奥会举办期间地球公转速度越来越慢，此时为春节期间，正值我国春节旅游旺季，D正确。
〖2题详解〗由材料可知，冬奥会举办期间为2月4日至20日，此时太阳直射南半球，并向北运动，北京日出时间越来越早、北京正午太阳高度越来越大、北京昼长越来越长，北京温度逐渐升高，C不符合实际。
下图为北半球某地热力环流模式图。
读图，完成下面小题。
3. 图中甲、乙、丙、丁四地( )A. 甲地气温低于丁地B. 丁地气温低于丙地C. 乙地气压高于丙地D. 甲地气压低于乙地4. 图中P、P′两点( )A. 风向、风速相同B. 大气受力状况相同C. 地转偏向力方向相反D. 水平气压梯度力方向相反〖答案〗3. C 4. D〖解析〗〖3题详解〗读图，近地面甲地受热空气上升，气压较低，丁地受冷空气收缩下沉，气压较高，在高空，乙地空气密度增大相对为高压，丙地空气密度减小为低压，垂直方向上，海拔越高，气压越低，气温越低。
故选C。
〖4题详解〗在近地面，丁为高压，甲为低压，P地水平气压梯度力指向甲方向。
北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题
∙a∙ m= -1
பைடு நூலகம்故选B
4.C
【解析】
•••由图町知要计算鲁班锁的体积，可将其分解为求三个长方体的体积 左右两个长方体的长宽高分别为42,2,中间的长方体长宽高为2,2,1•••零件的体积为4x2x2+2x2x1+4x2x2 = 36
故选C
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平 齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长：俯视图的 长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
北京市海淀区
试题
学校:姓名：班级：考号：
一、单选题
1.直线2x+y-l = 0在y轴上的截距为
2・在空间直角坐标系中，己知点4(1,0.1) , B(3,2,l),则线段43的中点的坐标是()
A. (1,1,1)B. (2,1,1)C. (1,1,2)D. (1,2,3)
3.已知圆x2+ y2-3x+ιn + l =0经过原点，则实数加等于
5.D
• •
(II)求二面角O —EG-F的余弦值：
(III)在线段Cr)上是否存在点H,使得阳//平面EGO?如果存在，求出D/7的
长度，如果不存在，请说明理由.
18.已知抛物线W：才=4x,直线x = 4与抛物线W交于4, B两点.点P(Xo,儿)
(Xo< 4, y0≥ 0)为抛物线上一动点，直线P4, P3分别与X轴交于M，N .
三、填空題
10.直线√3x+y-l = 0被圆√+ y2= l所截得的弦长为.
XX.1高二理科数学上册期末试卷(海淀区有答案)【DOC范文整理】
XX.1高二理科数学上册期末试卷（海淀区有答案）海淀区高二年级学期期末练习数学XX.1部分一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
直线在轴上的截距为A.B.c.D.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是A.B.c.D.已知圆经过原点，则实数等于A.B.c.D.鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34c.36D.40已知平面，直线，下列命题中假命题是A.若，，则B.若，，则c.若，，则D.若，，，则椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A.B.c.D.“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条平面两两互相垂直，在平面内有一个点到平面，平面的距离都等于1.则在平面内与点，平面，平面距离都相等的点的个数为A.1B.2c.3D.4第二部分二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
直线的倾斜角为,经过点且与直线平行的直线方程为.直线被圆所截得的弦长为.请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是.在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则.已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为.曲线的方程为①请写出曲线的两条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点到原点的距离的取值范围是.三、解答题共4小题，共44分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
在平面直角坐标系中，圆的半径为1，其圆心在射线上，且.求圆的方程；若直线过点，且与圆相切，求直线的方程.如图，在三棱锥中，，且点分别是的中点.求证：平面；求证：平面平面.如图，平面平面，四边形和是全等的等腰梯形，其中，且，点为的中点，点是的中点.请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面垂直，并给出证明；求二面角的余弦值；在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.已知抛物线，直线与抛物线交于两点.点为抛物线上一动点，直线，分别与轴交于.若的面积为4，求点的坐标；当直线时，求线段的长；若与面积相等，求的面积.。
【优质文档】2020-2021学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷(理科)与答案
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△ AF2B 的面积为
，求
以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程．
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
C．? x0∈（ 0，+∞），lnx0≠x0﹣ 1 D．? x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1
3．（5 分）抛物线 y=4x2 的焦点坐标是（
）
A．（0，1） B．（0， ） C．（1，0） D．（ ，0）
4．（5 分）有下列三个命题：
① “若 x+y=0，则 x，y 互为相反数 ”的逆命题； ②“若 x＞y，则 x2＞y2”的逆否命题；
1．（5 分）双曲线的两焦点坐标是 F1（3，0），F2（﹣ 3， 0），2b=4，则双曲线的
标准方程是（
）
A． ﹣ =1 B．
=1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
2．（5 分）命题 “? x0∈（ 0， +∞）， lnx0=x0﹣ 1”的否定是（
）
A．? x?（0，+∞），lnx=x﹣1 B． ? x∈（ 0，+∞），lnx≠x﹣ 1
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
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则有 或
两方程解得两个根，故共有两个点，符合题意‘
故选
9．
【解析】
∵直线 的斜率为 ，设倾斜角为
∴
∴
设与直线 平行的直线方程为 ，将点 代入可得
故直线方程为
故答案为
10．
【解析】
由题意可知：
弦长为
11． （此答案不唯一）
【解析】
在正方体的一个面上取三个点构成的直角三角形作为三棱锥的底面，如 ；取对面上与直角三角形锐角顶点正对的顶点，作为三棱锥的顶点，即点 ，可得两个符合条件的三棱锥
∴
∴
∴
∴双曲线的离心率为
故答案为
14． ， ， ， 中的任意两条都对 ， 此答案不唯一
【解析】
①不难发现，其图象关于 轴对称，即 ，又 可以互换，结果不变，故关于 对称；
②可以得到 和 两个特殊点坐标
③ ，即
，则到原点距离范围为
15．（Ⅰ） （Ⅱ） 或 ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出 的坐标，根据线段长度求出 的坐标，即可求圆 的方程；（Ⅱ）讨论直线斜率是否存在，利用直线和圆相切的位置关系建立方程关系进行求解即可．
5．已知平面 ， ，直线 ， ，下列命题中假命题是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
6．椭圆 ： 的焦点为 ， ，若点 在 上且满足 ，则 中最大角为（ ）
A． B． C． D．
7．“ ”是“方程 表示双曲线”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
A． B． C． D．
3．已知圆 经过原点，则实数 等于
A． B． C． D．
4．鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．平面 ， ， 两两互相垂直，在平面 内有一点 到平面 ，平面 的距离都等于 .则在平面 内与点 ，平面 ，平面 距离都相等的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
9．直线 的倾斜角为______,经过点 且与直线 平行的直线方程为______________.
三、填空题
10．直线 被圆 所截得的弦长为__________．
14．曲线 的方程为 .
①请写出曲线 的两条对称轴方程____________；
②请写出曲线 上的两个点的坐标____________；
③曲线 上的点到原点的距离的取值范围是___________.
四、解答题
15．在平面直角坐标系 中，圆 的半径为1，其圆心在射线 上，且 .
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程.
16．如图，在三棱锥 中， ， ，且点 、 分别是 ， 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）求证：平面 平面 .
17．如图，平面 平面 ，四边形 和 是全等的等腰梯形，其中 ，且 ，点 为 的中点，点 是 的中点.
（I）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面 垂直，并给出证明；
（II）求二面角 的余弦值；
故答案为
12．
【解析】
，
、 、 三点共线，
，可知
，解得
，解得
则
点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出 的值，然后计算求得 、 ，从而求得结果
13．
【解析】
由题意及表格知： 是椭圆上的点， 和 是双曲线上的点
设双曲线的标准方程为
（III）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？如果存在，求出 的长度，如果不存在，请说明理由.
18．已知抛物线 ： ，直线 与抛物线 交于 ， 两点.点 为抛物线上一动点，直线 ， 分别与 轴交于 ， .
（I）若 的面积为 ，求点 的坐标；
（II）当直线 时，求线段 的长；
（III）若 与 面积相等，求 的面积.
11．请从正方体 的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________.（只需写出一组）
12．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，若 、 、 三点共线，则 __________．
13．已知椭圆 和双曲线 的中点均为原点，且焦点均在 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为___________.
6．A
【解析】
∵椭圆
∴焦点
∵点 在 上
∴
∵
Байду номын сангаас∴ ，
∵
∴ 中最大角为
∴
∴
故选A
点睛：本题考查椭圆的简单的性质的应用，根据三边求最大角，先求出最大边，根据“大边对大角”可以判断最大角，再利用余弦定理求出余弦值即可得角.
7．C
【解析】
若方程 为双曲线，则
∴ 是方程 表示双曲线的充分必要条件
故选C
8．B
【解析】
北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 在y轴上的截距为
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 的中点的坐标是（ ）
参考答案
1．D
【解析】
∵令 ，此时
∴在 轴上的截距为1
故选D
2．B
【解析】
， ，
线段 的中点的坐标 ，即
故选
3．B
【解析】
∵圆经过原点
∴代入可得
∴
故选B
4．C
【解析】
∵由图可知要计算鲁班锁的体积，可将其分解为求三个长方体的体积
左右两个长方体的长宽高分别为 ，中间的长方体长宽高为
∴零件的体积为
故选C
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
5．D
【解析】
中 ， ， ，故正确，
中 ， ， ，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知， 正确；
中 ， ，由面面垂直判定定理可知 ，故正确；
故选
点睛：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到 正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到 正确，根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到 正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可知 错误，，由此得到正确的答案。