北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不妨设到点 ，平面 ， 距离为
则有 或
两方程解得两个根，故共有两个点，符合题意‘
故选
9．
【解析】
∵直线 的斜率为 ，设倾斜角为
∴
∴
设与直线 平行的直线方程为 ，将点 代入可得
故直线方程为
故答案为
10．
【解析】
由题意可知：
弦长为
11． （此答案不唯一）
【解析】
在正方体的一个面上取三个点构成的直角三角形作为三棱锥的底面，如 ；取对面上与直角三角形锐角顶点正对的顶点，作为三棱锥的顶点，即点 ，可得两个符合条件的三棱锥
11．请从正方体 的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________.（只需写出一组）
12．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，若 、 、 三点共线，则 __________．
13．已知椭圆 和双曲线 的中点均为原点，且焦点均在 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为___________.
故答案为
12．
【解析】
，
、 、 三点共线，
，可知
，解得
，解得
则
点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出 的值，然后计算求得 、 ，从而求得结果
13．
【解析】
由题意及表格知： 是椭圆上的点， 和 是双曲线上的点
设双曲线的标准方程为
8．平面 ， ， 两两互相垂直，在平面 内有一点 到平面 ，平面 的距离都等于 .则在平面 内与点 ，平面 ，平面 距离都相等的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
9．直线 的倾斜角为______,经过点 且与直线 平行的直线方程为______________.
三、填空题
10．直线 被圆 所截得的弦长为__________．
5．D
【解析】
中 ， ， ，故正确，
中 ， ， ，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知， 正确；
中 ， ，由面面垂直判定定理可知 ，故正确；
故选
点睛：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到 正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到 正确，根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到 正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可知 错误，，由此得到正确的答案。
6．A
【解析】
∵椭圆
∴焦点
∵点 在 上
∴
∵
∴ ，
∵
∴ 中最大角为
∴
∴
故选A
点睛：本题考查椭圆的简单的性质的应用，根据三边求最大角，先求出最大边，根据“大边对大角”可以判断最大角，再利用余弦定理求出余弦值即可得角.
7．C
【解析】
若方程 为双曲线，则
∴ 是方程 表示双曲线的充分必要条件
故选C
8．B
【解析】
（III）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？如果存在，求出 的长度，如果不存在，请说明理由.
18．已知抛物线 ： ，直线 与抛物线 交于 ， 两点.点 为抛物线上一动点，直线 ， 分别与 轴交于 ， .
（I）若 的面积为 ，求点 的坐标；
（II）当直线 时，求线段 的长；
（III）若 与 面积相等，求 的面积.
A． B． C． D．
3．已知圆 经过原点，则实数 等于
A． B． C． D．
4．鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
1．D
【解析】
∵令 ，此时
∴在 轴上的截距为1
故选D
2．B
【解析】
， ，
线段 的中点的坐标 ，即
故选
3．B
【解析】
∵圆经过原点
∴代入可得
∴
故选B
4．C
【解析】
∵由图可知要计算鲁班锁的体积，可将其分解为求三个长方体的体积
左右两个长方体的长宽高分别为 ，中间的长方体长宽高为
∴零件的体积为
故选C
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
∴
∴
∴
∴双曲Байду номын сангаас的离心率为
故答案为
14． ， ， ， 中的任意两条都对 ， 此答案不唯一
【解析】
①不难发现，其图象关于 轴对称，即 ，又 可以互换，结果不变，故关于 对称；
②可以得到 和 两个特殊点坐标
③ ，即
，则到原点距离范围为
15．（Ⅰ） （Ⅱ） 或 ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出 的坐标，根据线段长度求出 的坐标，即可求圆 的方程；（Ⅱ）讨论直线斜率是否存在，利用直线和圆相切的位置关系建立方程关系进行求解即可．
5．已知平面 ， ，直线 ， ，下列命题中假命题是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
6．椭圆 ： 的焦点为 ， ，若点 在 上且满足 ，则 中最大角为（ ）
A． B． C． D．
7．“ ”是“方程 表示双曲线”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．曲线 的方程为 .
①请写出曲线 的两条对称轴方程____________；
②请写出曲线 上的两个点的坐标____________；
③曲线 上的点到原点的距离的取值范围是___________.
四、解答题
15．在平面直角坐标系 中，圆 的半径为1，其圆心在射线 上，且 .
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程.
北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 在y轴上的截距为
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 的中点的坐标是（ ）
16．如图，在三棱锥 中， ， ，且点 、 分别是 ， 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）求证：平面 平面 .
17．如图，平面 平面 ，四边形 和 是全等的等腰梯形，其中 ，且 ，点 为 的中点，点 是 的中点.
（I）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面 垂直，并给出证明；
（II）求二面角 的余弦值；
则有 或
两方程解得两个根，故共有两个点，符合题意‘
故选
9．
【解析】
∵直线 的斜率为 ，设倾斜角为
∴
∴
设与直线 平行的直线方程为 ，将点 代入可得
故直线方程为
故答案为
10．
【解析】
由题意可知：
弦长为
11． （此答案不唯一）
【解析】
在正方体的一个面上取三个点构成的直角三角形作为三棱锥的底面，如 ；取对面上与直角三角形锐角顶点正对的顶点，作为三棱锥的顶点，即点 ，可得两个符合条件的三棱锥
11．请从正方体 的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________.（只需写出一组）
12．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，若 、 、 三点共线，则 __________．
13．已知椭圆 和双曲线 的中点均为原点，且焦点均在 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为___________.
故答案为
12．
【解析】
，
、 、 三点共线，
，可知
，解得
，解得
则
点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出 的值，然后计算求得 、 ，从而求得结果
13．
【解析】
由题意及表格知： 是椭圆上的点， 和 是双曲线上的点
设双曲线的标准方程为
8．平面 ， ， 两两互相垂直，在平面 内有一点 到平面 ，平面 的距离都等于 .则在平面 内与点 ，平面 ，平面 距离都相等的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
9．直线 的倾斜角为______,经过点 且与直线 平行的直线方程为______________.
三、填空题
10．直线 被圆 所截得的弦长为__________．
5．D
【解析】
中 ， ， ，故正确，
中 ， ， ，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知， 正确；
中 ， ，由面面垂直判定定理可知 ，故正确；
故选
点睛：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到 正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到 正确，根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到 正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可知 错误，，由此得到正确的答案。
6．A
【解析】
∵椭圆
∴焦点
∵点 在 上
∴
∵
∴ ，
∵
∴ 中最大角为
∴
∴
故选A
点睛：本题考查椭圆的简单的性质的应用，根据三边求最大角，先求出最大边，根据“大边对大角”可以判断最大角，再利用余弦定理求出余弦值即可得角.
7．C
【解析】
若方程 为双曲线，则
∴ 是方程 表示双曲线的充分必要条件
故选C
8．B
【解析】
（III）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？如果存在，求出 的长度，如果不存在，请说明理由.
18．已知抛物线 ： ，直线 与抛物线 交于 ， 两点.点 为抛物线上一动点，直线 ， 分别与 轴交于 ， .
（I）若 的面积为 ，求点 的坐标；
（II）当直线 时，求线段 的长；
（III）若 与 面积相等，求 的面积.
A． B． C． D．
3．已知圆 经过原点，则实数 等于
A． B． C． D．
4．鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
1．D
【解析】
∵令 ，此时
∴在 轴上的截距为1
故选D
2．B
【解析】
， ，
线段 的中点的坐标 ，即
故选
3．B
【解析】
∵圆经过原点
∴代入可得
∴
故选B
4．C
【解析】
∵由图可知要计算鲁班锁的体积，可将其分解为求三个长方体的体积
左右两个长方体的长宽高分别为 ，中间的长方体长宽高为
∴零件的体积为
故选C
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
∴
∴
∴
∴双曲Байду номын сангаас的离心率为
故答案为
14． ， ， ， 中的任意两条都对 ， 此答案不唯一
【解析】
①不难发现，其图象关于 轴对称，即 ，又 可以互换，结果不变，故关于 对称；
②可以得到 和 两个特殊点坐标
③ ，即
，则到原点距离范围为
15．（Ⅰ） （Ⅱ） 或 ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出 的坐标，根据线段长度求出 的坐标，即可求圆 的方程；（Ⅱ）讨论直线斜率是否存在，利用直线和圆相切的位置关系建立方程关系进行求解即可．
5．已知平面 ， ，直线 ， ，下列命题中假命题是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
6．椭圆 ： 的焦点为 ， ，若点 在 上且满足 ，则 中最大角为（ ）
A． B． C． D．
7．“ ”是“方程 表示双曲线”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．曲线 的方程为 .
①请写出曲线 的两条对称轴方程____________；
②请写出曲线 上的两个点的坐标____________；
③曲线 上的点到原点的距离的取值范围是___________.
四、解答题
15．在平面直角坐标系 中，圆 的半径为1，其圆心在射线 上，且 .
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程.
北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 在y轴上的截距为
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 的中点的坐标是（ ）
16．如图，在三棱锥 中， ， ，且点 、 分别是 ， 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）求证：平面 平面 .
17．如图，平面 平面 ，四边形 和 是全等的等腰梯形，其中 ，且 ，点 为 的中点，点 是 的中点.
（I）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面 垂直，并给出证明；
（II）求二面角 的余弦值；