福建省2017-2018学年高一竞赛数学试题

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2017-2018全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf

=0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半
部分（ z ≥ 0 ）取上侧，Π 是 S 在 P ( x, y, z ) 点处的切平面， ρ ( x, y, z ) 是原点到切平面Π
的距离， λ, μ,ν 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；
（2） ∫∫ z (λx + 3μ y +ν z)dS 。 S 165
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
an Snα
收敛；
∑ （2）当α ≤ 1且 sn
→
∞(n
→
∞)
时，级数
+∞ n=1
an Snα
发散。
五、（本题满分 15 分）设 l 是过原点、方向为 (α , β ,γ ) ，（其中α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线，

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（）A ．1-B ．0C ．2D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。

又x Z ∈。

因此{}21012A =--，，，，。

所以，集合A 中所有元素的和为0。

2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2R =。

由243R ππ=，得2R =。

∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。

3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，，【答案】 C 【解答】由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。

∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。

BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线；（2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥；（3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥；（4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。

福建省福州市2017-2018学年高一下学期期末联考试题数学含答案

2017-2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高中一年数学科试卷命题学校：长乐一中命题者：长乐一中集备组考试日期： 7 月 3 日完卷时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题（每题5分，共60分）1．已知向量()1,2a =，(3,3)b =--， (),3c x =，若()2//a b c +，则x =（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（）平方步？ A. 6B.3C. 12D. 93．，则sin 2α的值为（）ABC ．9D ．94．将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到曲线为（）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-B ．1sin 2y x =C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D ．1sin 2y x =- 51352cos10cos80-=（） A ．2- B ．12-C ．1-D ．16．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===在一条直线上，且4AC CB =-则( )A. 1322c a b =+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 1433c a b =-+7．设向量a 与b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向学校班级姓名座号准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------上的投影为（） A ．12-B ．12C ．1D ． 1-8．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量a ，b 满足23a b =，2a b a b -=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（） A ．23B ．34C ．13D ．1410．设sin5a π=，cos10b π=，5tan12c π=，则（） A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11. ()f x 在区间ω的值为（） A ．2B ．38C ．103D ．2312．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-，点M 在边CD 上，则·MA MB 的最大值为（）A ．1B ．2C ．5D 1二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为．14则sin cos αα等于．15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．16．③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·4AD BC =； ④已知对任意的x R ∈恒有且()f x 在R 上是奇函数，时，()sin f x x =，其中命题正确的是___．三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18．已知a ，b 是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=，求|3|a b +的值； (2)若a ，b 的夹角为3π，求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角α.19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x . (1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4g π的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)2g βπ+的值.20．设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，b ()m x x +=2sin 3,cos ．(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，且//a b ，设函数()y f x =．（1）若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值．（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为λ的值． 2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分）二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分(3,1)AB OB OA -==，(2,1)AC OC OA m m -==--. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-=…………………………9分…………10分 18．解：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||1a b ==，又|32|3a b -=，∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=，即13a b =. ………2分∴22|3|9||6||91a b a a b b +=++=⨯=. ………4分（2）因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-， ………6分 222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=++=⨯=， ………8分222||(23)4||129||41n b a b a b a =-=-+=⨯= ………10分则71cos 2||||7m n m n α-===-⨯，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()36g x x π=-， ………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分（2）因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==，所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12cos 13α=，………7分又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4sin()5αβ+=， ………9分所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分π22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分 ∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2． …………7分(2) 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增∴当6π=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分由题设知()4<x f ，即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m ， …………11分解得：16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分又∵34T =，212T πω==，∴6πω= ………2分又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ=…………4分 ∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈- (2)如图，OC =1CD =，∴2OD =，6COD π∠=，13PMP π∠=……5分解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分在1Rt OPP ∆中，12cos OP θ=，12sin PP θ= 在1Rt MPP ∆中，1112sin tan3PP MP MP πθ==，∴1MP ==……8分（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=，在OMP ∆中，sin120sin(60)OP OMθ=-∴sin(60)2cos 2cos sin120OP OM θθθ⋅-===．） ……8分2cos OM θ=-……11分当262ππθ+=时，即6πθ=． ……12分 22. 解：（1）()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：10.2k -<≤ ……………………5分αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分（2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221λ+，由已知得23212λ+=，解得12λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值41λ-，由已知得3412λ-=，解得58λ=，矛盾．……………12分综上所述，12λ=．。

【全国百强校】福建省2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案

福建2017-2018学年下学期期末考试卷高一数学·必修4一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（）A.B.C.D.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（）A. B.C.D.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（）A.B. 2C.D. 104. 如图，已知表示，则等于（）A. B. C. D.5.（）A. 1B. 2C. 4D. 8 6. 若为平面内一点，且满足，则形状为（）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（）A.B.C.D.8. 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米9. 已知，,则（）A. B. C. D.10. 若方程在区间上有两个实根，则实数取值范围为（）A. B. C. D.11. 已知函数①函数关于对称②函数关于对称③函数最小正周期为④函数向左平移个单位后的新函数为偶函数以上四个命题中，正确的命题的序号是：（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①③④12. 已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为( )A. 15B. 12C. 10D. 9二、填空题（每小题5分，共25分）14. 函数的定义域为____________．15. 已知单位向量的夹角为，那么=_______16. 已知，，那么________．17. 在中，，，则_________18. 如图，在中，时，点在边上，，，为垂足若，则__________三、解答题（要求写出过程，共60分）19. 知为两个不共线向量，，(Ⅰ)若∥，求实数；(Ⅱ)若且⊥，求与的夹角.20. 已知向量,，记（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）若，求的值域.21. 如图所示，等腰梯形的点，为半圆上的动点，∥，底边为圆的直径，，. 设等腰梯形的周长为.（Ⅰ）请写出与之间的函数关系；（Ⅱ）当取何值时，等腰梯形的周长最大?22. 如图，锐角三角形中，角所对的边分别为，若（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若线段上存在一点使得，且,，求的面积.23. 已知函数，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像.（Ⅰ）求函数的解析式（Ⅱ）若对任何实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（Ⅲ）若区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由单位圆的性质可得：，则： .本题选择D 选项.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（）A. B.C.D.【答案】D【解析】由所给条件：，满足题意的三角形个数为0个；，满足题意的三角形个数为2个；，满足题意的三角形个数为0个；，满足题意的三角形个数为1个；本题选择D 选项.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（）A. B. 2 C. D. 10【答案】A【解析】由题意可得：，则向量在向量方向上的投影为 .本题选择A 选项.4. 如图，已知表示，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得： .本题选择D选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．5. （）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】由题意：，则： .本题选择A选项.6. 若为平面内一点，且满足，则形状为（）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】由题意可得：,即：，据此有：，即形状为等腰三角形.本题选择B选项.点睛：判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得，又,得，∴T=3π,则 .∴，∴ .取k=0,得 .∴ .本题选择A选项.8. 飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，AB=10000，A=30°，C=45°，△ABC中由正弦定理可得，，，故选B。

二项式定理(1)

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数；由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28，故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析：在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ，所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ．选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项．的展开式的通项=．由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为．故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160．故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121．故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出．解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式，令可得，据此可得：项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6．故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ．－8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令得；令得.展开式为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式的系数，的展开式的系数，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ．故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1

5
（1）求 BC 边长；（2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6

整理2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

文件编号： 3B -A1-F1-B0-18
整理人尼克
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题
考生注意：1.本试卷共有2个大题（13个小题）；
2.用黑色中性笔作答；
3.不能使用计算器。

一、填空题（本题满分90分，每小题9分）.
1.若非空集合，，则能使成立的所有的集合是.
2.已知是定义在上的函数,,且对任意的都有则
.
3.在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是.
4.去掉集合中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第项.
5.若，则称为集合的孤立元素.的无孤立元素的4元子集有个.
6.集合(不必相异)的并集且求满足条件的集合的有序三元组的个数为.
7.已知集合对它的任意一个非空子集，可以将中的每一个元素
，都乘以再求和（例如,则可求得）对的所有非空子集，这些和的总和为.
8.已知二次函数.(1),(2)对任意的都有
成立，那么.
9.已知（其中）且.则.
10.在集合的子集中，任意两个元素的平方和不是7的倍数.则中元素个数最大值为.
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）.
11.求函数的值域
12.锐角△ABC的外心为O，线段OA、BC的中点分别为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN.
13.已知函数
.
求函数在区间上的最大值.
整理丨尼克
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人教版数学高二第一章三角函数单元测试精选(含答案)2

6
,
5 6
上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点
4
,
0
成中心对称
D．图象关于直线 x＝成轴对称
6
【来源】高中数学人教 A 版必修 4 第一章三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象
【答案】B
9．已知函数
f(x)=3sin
ωx-
π 4
(0<ω<1),且
f
π 2
=0,则函数
）
A． 8
B． 8
C． 6
D． 6
【来源】福建省福州格致中学 2017-2018 学年高一下学期第四学段质量检测数学试题
【答案】C
23．如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P 为 A1D1 的中点，Q 为 A1B1 上任意一点， E ， F 为 CD 上任意两点，且 EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定
【来源】广东省揭阳市第三中学 2017-2018 学年高二上学期数学试题 1（必修 5 第一章)
【答案】D
16．若θ∈[ ， ]，sin2θ＝ 3 7 ，则 cosθ＝ ( )
42
8
3
A．
5
4
B．－
5
C． 7 4
3
D．
4
【来源】2017 秋人教 A 版高中数学必修四：学业质量标准检测 3
【答案】C
sin
பைடு நூலகம்
π 2
2 2cos2 (π θ) cos(-θ)
θ
-3
,则
f
17π 3
=_____.
【来源】2018-2019 学年高中数学（人教 A 版，必修 4)第一章《三角函数》测试题

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月13日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合{}1327x A x =≤≤，{}22log ()1B x x x =-<，则A B = （）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞- ，，【答案】A【解答】由1327x ≤≤，得03x ≤≤。

因此，[]03A =，。

由22log ()1x x -<，得2202x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，解得，10x -<<或12x <<。

因此，(10)(12)B =- ，，。

所以，A B = (12)，。

2．若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：133110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】B【解答】由点A 在直线1l ：70x y --=上，设(7)A t t -，。

由AB 中点为(12)P ，，知(211)B t t --，。

∵点B 在直线2l ：133110x y +-=上，∴13(2)3(11)110t t -+--=。

解得，3t =。

∴(34)A -，，2(4)313l PA k k --===--。

3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心。

l 为1A MN 平面与1D BE 平面的交线，则直线l 与正方体ABCD 底面所成角的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解答】如图，由正方体的性质与条件，易得MN ABCD ⊥面，BE ABCD ⊥面。

∴1A MN ABCD ⊥面面，1D BE ABCD ⊥面面。

∴l ABCD ⊥面，l 与ABCD 面所成角的大小为90︒。

人教版数学高一第三章直线与方程单元测试精选(含答案)3

d
Ax0 By0 C A2 B2
.已知点 P1, P2
到直线 l
的有向距离分别是 d1, d2 ，给出以下命题：
试卷第 6页，总 10页
①若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ②若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ③若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 垂直；④若 d1d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 相交；
25．直线 l1：x＋my＋6=0 与 l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，若 l1//l2 则 m =__________;
【来源】[中学联盟]山东省栖霞市第一中学 2017-2018 学年高一上学期期末测试数学试题
【答案】 1 1
26．直线 y= x 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________；
则 m 的倾斜角可以是：①15°;② 30°;③ 45°;④ 60°;⑤ 75°. 其中正确答案的序号是______.(写出所有正确答案的序号）【来源】2011 届陕西省师大附中、西工大附中高三第七次联考文数
【答案】①或⑤
30．定义点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0( A2 B 2 0) 的有向距离为
评卷人得分
二、填空题
22．在四边形 ABCD 中,AB = DC = (1,1),且 BA + BC =
|BA| |BC|
|B3BDD| ,则四边形 ABCD 的面积
为
．
【来源】2015 高考数学（理)一轮配套特训：4-3 平面向量的数量积及应用（带解析)
【答案】 3
23．直线 ax+2y-4=0 与直线 x+y-2=0 互相垂直，那么 a=______________ ;

2017-2018学年高中数学第一章直线、多边形、圆 1 第二课时平行线分线段成比例定理北师大版选修4-1

．
解析：过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M，
∵点 E 是 BD 的中点，
∴在△BDM 中，BF＝FM.
∵点 D 是 AC 的中点，
∴在△CAF 中，CM＝MF.
∴BFFC＝FMB＋FMC＝12. 答案：12
三、解答题 9．已知线段 OA⊥OB，点 C 为 OB 中点，D 为线
段 OA 上一点．连接 AC，BD 交于点 P.如图，当 OA＝OB，且 D 为 OA 中点时，求APCP的值．解：过 D 作 DE∥CO 交 AC 于 E，因为 D 为 OA 中点，所以 AE＝CE＝12AC，DCOE＝12，因为点 C 为 OB 中点，所以 BC＝CO，DBCE＝12，
对于 C，根据平行线分线段成比例定理得，此结论正确；
对于 D，由平行四边形性质知，正确．
答案：B
4．如图，在△ABC 中，AE∶EB＝1∶3，BD∶
DC＝2∶1，AD 与 CE 相交于 F，则FECF＋
FADF的值为
A．12
B．1
C．32
D．2
()
解析：过点 D 作 DG∥AB 交 EC 于 G，则DBEG＝CBDC＝CEGC＝13，而BAEE＝13，即ABEE＝DBEG.∴AE＝DG. ∴AF＝DF，EF＝FG＝CG. ∴FECF＋FADF＝2EEFF＋AAFF＝12＋1＝32. 答案：C
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一
点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，则
下列结论中错误的是
()
A．∠AEF＝∠DEC
B．FA∶CD＝AE∶BC
C．FA∶AB＝FE∶EC
D．AB＝DC
解析：对于 A，根据对顶角相等，此结论正确；

2017-2018学年度第一学期高一第一次月考成绩统计表

长中2017—018学年度第一学期高一第一次月考全级总排表
2017.10 名次 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 考号 170614 170104 170822 170712 170107 170834 170114 170115 170311 170708 171055 170318 170417 170815 170333 170519 170624 170217 170215 170308 170729 170514 170516 170617 170809 170811 170225 170711 170411 170610 170223 170406 170234 170108 170618 170211 170508 170616 姓名班级司梦晨 6 惠嘉康 1 胡叶叶 8 周逸飞 7 鱼朝阳 1 弥田 8 高金枝 1 尚甜甜 1 陈宝玲 3 李阳 7 杨广 10 杨扬 3 宇文雅 4 郭钾 8 黎佳昊 3 于莹莹 5 全宝婷 6 张晨 2 洪亦璇 2 李昭伟 3 解欣 7 陈雪彤 5 景凡 5 李一杰 6 党佳杰 8 尚国梁 8 罗睿青 2 剡心怡 7 梁娜 4 高星 6 曹亚鹏 2 曹锐洋 4 申岩 2 司帅 1 王帅 6 李煜 2 贾文丽 5 尚丁 6 语文 98 96 89 82 102 103 93 97 90 88 100 88 95 94 87 98 101 95 108 93 102 101 99 94 89 87 91 84 84 107 83 100 92 94 92 90 102 91 数学 117 126 117 119 101 126 112 109 107 120 118 101 103 119 113 115 124 92 97 108 120 116 111 113 138 118 114 123 118 125 123 98 111 102 133 113 112 110 英语 114 100 123.5 89.5 109 105.5 101.5 123 113 98.5 76 113 114.5 81.5 86.5 104 114.5 105.5 106.5 101.5 108 113 78 90.5 87 111.5 99 105 72 79.5 84.5 108.5 73 95.5 109.5 67.5 117 76 物理 57 60 67 67 70 48 66 50 58 65 64 61 63 62 80 59 42 69 47 45 56 42 62 55 44 57 65 56 74 50 62 69 80 68 56 70 52 67 化学 73 85 83 90 73 76 86 82 92 87 82 82 87 86 81 72 72 84 84 89 62 70 86 89 88 80 76 76 95 86 78 76 84 86 80 90 55 95 生物 77 68 54 86 78 74 74 71 71 72 89 83 64 84 79 78 72 79 79 85 72 78 84 78 73 65 72 73 73 68 84 62 73 67 42 82 74 73 总分 536 535 533.5 533.5 533 532.5 532.5 532 531 530.5 529 528 526.5 526.5 526.5 526 525.5 524.5 521.5 521.5 520 520 520 519.5 519 518.5 517 517 516 515.5 514.5 513.5 513 512.5 512.5 512.5 512 512

2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为。

【答案】(15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。

由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。

若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。

∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。

2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f =。

【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。

又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。

∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。

3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则12320()()()()f a f a f a f a ++++=L 。

【答案】2017【解答】由22()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。

∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。

福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)

福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷（有答案）本试题卷共23题，分为第I卷和第II卷，共计150分，考试时间120分钟。

第I卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={x(x-6)(x+1)0}，则A∩B=（C）。

2.若复数z=a1为纯虚数，则实数a=（B）。

3.已知a=(12)，b=(-1,1)，c=2a-b，则|c|=（B）。

4.3cos15°-4sin215°cos15°=（D）。

5.已知双曲线C的两个焦点F1F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为3，若点M在C 上，且MF1MF2M到原点的距离为3，则C的方程为（C）。

6.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（B）。

7.右面的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》。

图中的Mod(N,m)=n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod(10,3)=1.执行该程序框图，则输出的i等于（C）。

8.将函数y=2sinx+cosx的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为（D）。

二、填空题（共3小题，每小题10分，共30分）9.已知函数y=ln(1-x)，则y''=（B）。

10.已知函数f(x)=x+sinx，则f'(π)的值为（C）。

11.已知函数f(x)=x+sinx，则f(x)在[0,π]上的最小值为（A）。

三、解答题（共8小题，每小题10分，共80分）12.解方程log2(x+1)+log2(x-1)=1.13.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的单调递减区间。

14.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的极值和极值点。

15.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程。

人教版2017~2018学年度初三第一学期期末考试数学试题附详细答案

E D CBA2017-2018学年第一学期期末测试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥ R ，则P 点 A.在⊙O 内或圆周上 B.在⊙O 外C.在圆周上D.在⊙O 外或圆周上2. 把10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（236.25≈, 精确到0.01）是A ．3.09cmB ．3.82cmC ．6.18cmD ．7.00cm 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD =4，DB =2，则AE ︰EC 的值为 A . 0.5 B . 2 C . 32 D . 23 4. 反比例函数xky =的图象如图所示,则K 的值可能是 A .21B . 1C . 2D . -1 5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =1，那么AB 的长为A ．sin AB ．cos AC ．1cos AD ． 1sin A6．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A,B 重合，则∠BPC 等于A .30︒B .60︒ C. 90︒ D. 45︒ 7．抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为 A . y =21x 2+ 2x + 1 B ．y =21x 2+ 2x - 2C . y =21x 2 - 2x - 1 D. y =21x 2- 2x + 18. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ； ④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有 A. 2个 B. 3个C. 4个D. 5个9. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB·CF ；③CF ＝31FD ；④△ABE ∽△AEF .其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．如图，已知△ABC 中，BC =8，BC 边上的高h =4，D 为BC 边上一个动点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为A. B. C. D.二、填空题（本题共18分, 每小题3分） 11．若5127==b a ，则32ba -= ． 12. 两个相似多边形相似比为1:2,且它们的周长和为90,则这两个相似多边形的周长分别是 , ． 13.已知扇形的面积为15πcm 2,半径长为5cm ,则扇形周长为 cm ．14. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4, BC =3,则以2.5为半径的⊙C 与直线AB 的位置关系是．15. 请选择一组你喜欢的a,b,c 的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满16. 点是 17.18.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°, 解直角三角形.19.已知反比例函数x 1k y -=图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值；20.已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长.24.密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径， D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．26. 已知：抛物线y=x 2+bx+c 经过点（2，-3）和（4，5）（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G ，求图象G 的表达式；（3）在（2）的条件下，当-2<x <2时，直线y =m 与该图象有一个公共点，求m 的值或取值范围.27. 如图，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1c m /s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2c m /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19？（2）是否存在时刻t ，使以A,M,N 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．()28.（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xky =（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与 EF 是否平行？请说明理由.29. 设a ,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ,b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x =1时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”．（1）反比例函数y =x 2016是闭区间[1,2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y =22x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ,n ]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含 m ，n 的代数式表示）．图 3一、选择题：（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分, 每小题3分）三、计算题：（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17. 4sin 304560︒︒︒．解：原式=33222214⨯+⨯-⨯--------------------- 4分 =2-1+3 =4--------------------- 5分18. 解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =60°∵∠A=90°-∠B =30°--------------------- 1分∴AB==16--------------------- 3分∴AC=BCtanB=8．--------------------- 5分19. 解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k ﹣1＞0，解得：k ＞1；---------------- 2分（2）取k=3，∴反比例函数表达式为x2y = ---------------- 4分当x=﹣6时，3162x 2y -=-==；---------------------5分（答案不唯一）20. 解: 如图:连接OB,过O 点作OD ⊥BC 于点D ---------------- 1分在Rt △OBD 中,∵∠BOD =︒︒=606360---------------- 2分 ∵ BD=OD ·tan60°---------------- 3分 =23---------------- 4分 ∴BC=2BD=43∴三角形的边长为43 cm ---------------- 5分B21.证明∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠C ＝∠E ，---------------- 1分 ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，∴∠1＝∠3， ------------------------------ 2分又∵∠C ＝∠E ，∠DOC ＝∠AOE ，∴△DOC ∽△AOE ，----------------------------3分 ∴∠2＝∠3 ， ----------------------------4分 ∴∠1＝∠2＝∠3． ----------------------------5分22. 解：过P 作PD ⊥AB 于D ，---------------- 1分在Rt △PBD 中，∠BDP ＝90°，∠B ＝45°， ∴BD ＝PD ． ---------------- 2分在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°，∠A ＝30°， ∴AD ＝PD ＝PD＝3PD ，--------------------3分 ∴PD ＝13100+≈36.6＞35，故计划修筑的高速公路不会穿过保护区．----------------------------5分23.解：（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE ；②BD=CD ；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A ；⑤AC//OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦222OE +BE =OB ；⑧OE BC S ABC ∙=∆；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩ΔBOE ΔBAC ~；等等。

2018年福建省高一数学竞赛试卷及解析

2018年福建省高一数学竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题，B={x|log2(x2－x)<1}，则A∩B=（）A. (1，2)B. (－1，3]C. [0，2)D. (－∞，－1)∪(0，2)2.若直线l与两直线l1：x－y－l=0，l2：13x－3y－11=0分别交于A、B两点，且线段AB中点为P(1，2)，则直线l的斜率为（）A. －2B. －3C. 2D. 33.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E分别为棱BC、BB1的中点，N为正方形B1BCC1的中心.l为平面A1MN与平面D1BE的交线，则直线l与正方体底面ABCD所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.如图，在三棱锥中，SA=SB=AB=BC=CA=6，且侧面ASB⊥底面ABC，则三棱锥S－ABC 外接球的表面积为（）A. 60πB. 56πC. 52πD. 48π5.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)={−x2−2，x∈(−1，0]，x2−2，x∈(0，1]。

且f(x+2)=f(x)，g(x)=5−2xx−2，则方程f(x)=g(x)在区间[3，7]上的所有实根之和为（）A. 14B. 12C. 11D. 76.已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA于点D，交线段CB 于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（）A. (√2−1，1)B. (2−√2，23]C. (2−√2，34]D. (√2−1，23]第II卷（非选择题）二、填空题7.函数f(x)=[log3(13√x)]⋅[log√3(3x2)]的最小值为________.8.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.9.若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.10.已知集合A={1，3，5，7，9}，集合{a b|a∈A，b∈A，且a≠b}，则集合B中元素的个数为________.为有理数的所有正整数n的和为________.11.使√16n+17n+812.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且c>b>a>64.若对每个正整数n≤753，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b的最小值为________.三、解答题13.已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+√3y－4=0，l3：x－√3y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.（1）求⊙C的方程；（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足|PC|2=|PA|⋅|PB|.记直线P A、PB的斜率分别为k1、k2，求k1k2的取值范围.14.函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值.15.如图，AB、P A、PBC分别为⊙O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交⊙O于另一点G、交P A于点K.证明：（1）K是P A的中点；（2）AG2=BG⋅PG..16.已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60. （1）求 a+b+c的最大值（2）若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求a4−a +b4−b+3c6−c的最小值17.设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素个数的最大值.参考答案1.A【解析】1.由1≤3x ≤27，得0≤x ≤3.因此，A =[0，3]. 由log 2(x 2－x )<1，得{x 2−x >0x 2−x <2，解得，－1<x <0或1<x <2 所以A ∩B = (1，2)，选A. 2.B【解析】2.由点A 在直线l 1：x －y －7=0上，设A (t ，t －7). 由AB 中点为P (1，2)，知B (2－t ，11－t ). ∵点B 在直线l 2：13x +3y －11=0上， ∴13(2－t )+3(11－t )－11=0.解得，t =3. ∴A (3，－4)，k l =k PA =2−(−4)1−3=−3,选B. 3.D【解析】3.如图，由正方体的性质与条件，易得MN ⊥面ABCD ，BE ⊥面ABCD . ∴面A 1MN ⊥面ABCD ，面D 1BE ⊥面ABCD .∴l ⊥面ABCD ，l 与面ABCD 所成角的大小为90°. 选D. 4.A【解析】4.如图，设D 为AB 中点，O 1为△ABC 的外心，O 2为△SAB 的外心，O 为三棱锥S －ABC 外接球的球心，球O 的半径为R .由SA=SB=AB=BC=CA=6，知△SAB、△ABC是边长为6的正三角形.∴SD⊥AB，CD⊥AB，CD=SD=3√3，O1在CD上，O2在SD上，且O2D=O1D=√3，CO1=2√3.∵侧面ASB⊥底面ABC，OO1⊥面ABC，∴SD⊥面ABC，O2D⊥O1D，SD∥OO1.∴四边形O2DO1O为正方形，OO1=O2D=√3.∴R=OC=√O1O2+O1C2=√3+12=√15.∴三棱锥S－ABC外接球的表面积为4πR2=60π.选A.5.C【解析】5.如图，作出函数的图像.由图像可知，两函数的图像在区间[－3，7]上有5个不同的交点.设它们的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5.由于函数y=f(x)与y=g(x)的图像均关于点(2，－2)对称.所以，x1+ x5=4，x2+x4=4，x3=3.所以，方程f (x )=g (x )在区间[－3，7]上的所有实根之和x 1+ x 2+x 3+x 4+x 5=11. 选C. 6.B【解析】6.如图，设|CD |=m ，|CE |=n .由条件知，△ABC 为等腰直角形，CA =CB =2√2，CA ⊥CB . 由△CDE 的面积为2，得12mn =2，mn =4.由k >0，得m >n .因此，2<m ≤2√2.设DE 交y 轴于点F ，点F 到CA 、CB 的距离相等，设为t . 则S ΔCDE =12mt +12nt =2，t =4m+n.∴b =OF =2−CF =2−√2t =2−4√2m+n.∴b =2−4√2m+n的取值范围为(2−√2，23]. 选B.7.−258【解析】7.设log 3x =t ，则log 3(13√x )=−1+12t ，log √3(3x 2)=32log 3√3=2(1+2t).∴f(x)=g(t)=(−1+12t)⋅2(1+2t)=2t 2−3t −2=2(t −34)2−258.∴当t =34，log 3x =34，x =334时，f (x )取最小值−258.8.√52【解析】8.如图，作EH ⊥AD 于H ，连HF .由P A ⊥面ABCD ，知P A ⊥AD ，EH ∥P A ，EH ⊥ABCD .作HG ⊥DF 于G ，连EG ，则EG ⊥FD ，∠EGH 为二面角E －FD －A 的平面角. ∵ABCD 为正方形，E 、F 分别为PD 、BC 的中点， ∴H 为AD 中点，FH ⊥AD . 设P A =AB =2，则EH =12PA =1，FH =2，HD =4，HG =FH×HD FD=√5.∴tan∠EGH=EH HG=12√5=√52.∴二面角E －FD －A 的正切值为√52. 9.[1，2]【解析】9.∵f (x )=x 2－2ax +a 2－4=(x －a )2－4，f (a )=－4，f (a －2)=0，f (x )在区间[a －2，a 2]上的值域为[－4，0]，f (x )的图像为开口向上的拋物线.∴{a −2≤a ≤a 2a ≥a−2+a 22，解得－1≤a ≤0或1≤a ≤2.结合a >0，得1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[1，2]. 10.18【解析】10.依题意，a 有5种取法；当a 取定后，b 有4种取法；故，得到5×4=20种取法.由于13=39，31=93.因此，共可得到20－2=18个不同的值. ∴集合B 中元素的个数为18. 11.205【解析】11.设16n+17n+8=(b a )2（a ，b 为互质的正整数)，则16na2+17a 2=nb 2+8b 2，n =8b 2−17a 216a −b =111a 216a −b −8.由a ，b 为互质，知a 2，b 2互质，于是，a 2与16a 2－b 2互质，且16a 2－b 2>0. ∴(16a 2−b 2)|111 ，且l 6a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )≥5.又111=1×111=3×37， ∴16a 2－b 2=(4a －b )(3a +b )=37，或16a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )=111. ∴{4a −b =14a +b =37 ，或{4a −b =14a +b =111 ，或{4a −b =34a +b =37. 解得，{a =194b =18（舍去），或{a =14b =55 ，或{a =5b =17 . {a =14b =55时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×1961×111−8=188（此时，√16n+17n+8=√3025196=5514）. {a =5b =17 时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×253×37−8=17（此时，√16n+17n+8=√28925=175）. ∴n =188或n =17.符合条件的正整数n 为188和17. ∴符合条件的所有正整数n 的和为205. 12.125【解析】12.显然，用这10个数能够表示的最大数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b +c =l 27+a +b +c ， ∴127+a +b +c ≥753.……………………①又用1，2，4，8，16，32，64，a ，b 这9个数能够表示的最大的数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b =127+a +b .因此，若c ≥127+a +b +2，则数127+a +b +1无法用这10个数中某些数的和表示. ∴c ≤127+a +b +1……………………②由①、②，可得753≤127+a +b +c ≤127+a +b +(127+a +b +1)，2(a +b ) ≥498，a +b ≥249. 结合a ，b 为整数，且6>a ，得6≥125.下面说明当a =124，b =125，c =377时，这10个数符合要求.结合二进制数的特征，对每个正整数n ≤1+2+4+8+16+32+64=127，都可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中的某些数的和来表示.∴当n≤127时，n可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中某些数的和表示；当n≤127+124=251时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124这8个数中某些数的和表示；当n≤251+125=376时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125这9个数中某些数的和表示；当n≤376+377=753时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125，377这10个数中某些数的和表示.∴a=124，b=125，c=377符合要求.∴b的最小值为125.13.（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]【解析】13.（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则|a+2|=|a+√3b−4|2=|a−√3b−4|2=r，结合点C(a，b)在△DEF内，可得a+2=−(a+√3b−4)2=−(a−√3b−4)2=r.解得a=b=0，r=2.∴⊙C的方程为x2+y2=4.解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴. 因此，△DEF为正三角形.∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.∴r=13×6=2，a=0.∴⊙C的方程为x2+y2=4.（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y2<4. ∵|PC|2=|PA||PB|，∴x 2+y 2=√(x +2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2，化简得，x 2－y 2=2. ∴k 1k 2=y x+2⋅y x−2=y 2x 2−4=x 2−2x 2−4=1+2x 2−4. 由x 2+y 2<4，以及x 2－y 2=2，y 2≥0，得2≤x 2<3.∴k 1 k 2∈(－1，0].∴k 1 k 2的取值范围为(－1，0].14.4750【解析】14.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =b =a ，得f (0)=f (0)+f (0)+0+2，于是f (0)=－2.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =2，b =－2，得f (0)=f (2)+f (－2)－4+2.∴－2=f (2)_3－4+2，f (2)=3.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =n －2，b =2，得f (n )=f (n －2)+f (2)+2(n －2)+2=f (n －2)+3+2(n －2)+2=f (n －2)+2n +l .∴f (n )－f (n －2)=2n +1.∴f (96)－f (94)=2×96+1， f (94)－f (92)=2×94+1，f (94)－f (92)=2×94+1，……上述等式左右两边分别相加，得f (96)－f (2)=2(96+94+…+4)+47.∴f(96)=2×(96+4)2×47+47+3=4750.15.（1）见解析（2）见解析【解析】15.（1)在△APC 中，由塞瓦定理，知AK KP ⋅PB BC ⋅CE EA =1.……①∵A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD .∴EB ∥AP ，PB BC =AE EC . ………………………………………②由①、②，得AK =KP .K 是P A 的中点.另解：∴A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD ，EB ∥AP .如图，过点F 作MN ∥AP ，交AE 于点M ，交PB 于点N .则MF AP =EM EA ，FN AP =BN BP.…………① 且EB ∥AP ∥MN ，EM EA=BN BP .…………② ∴由①、②，得MF AP=EM EA =BN BP =FN AP . ∴FM =FN .又由MN ∥AP ，得MF AK =CF CK =FN KP， ∴AK =KP ，K 是P A 的中点.（2）由（1）及切线长定理，得KP 2=KA 2=KG ⋅KC .因此，KP KC =KG KP . 又∠PKG =∠CKP ，∴△PKG ∽△CKP .∠APG =∠KPG =∠KCP =∠GCB =∠BAG .又∠P AG =∠ABG ，∴△GP A ∽△GAB ，AG BG =PG AG. AG 2=BG ⋅PG .16.（1）√55（2）5【解析】16.（1)由柯西不等式，知(a +b +c )2=(3⋅√3a +3√3b +12⋅2c )2 ≤[(1√3)2+(1√3)2+(12)2]⋅[(√3a)2+(√3b)2+(2c)2]2 =(13+13+14)(3a 2+3b 2+4c 2)=(23+14)⋅60=40+15=55. ∴a +b +c ≤√55.当且仅当√3a 1√3=√3b 1√3=2c 12>0，即a =b =√5√11时，等号成立.∴a+b+c的最大值为√55.（2）由a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，知a，4－a，b，4－b，c，6－c均为正数，∴a(4−a)≤(a+4−a2)2=4，b(4−b)≤(b+4−b2)2=4，c(4−c)≤(c+4−c2)2=9.∴a4−a +b4−b+3c6−c=a2a(4−a)+b2b(4−b)+c2c(4−c)≥a24+b24+c29=3a2+3b2+4c212=6012=5.又当a=b=2，c=3时，满足a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，3a2+3b2+4c2=60，且a4−a +b4−b+3c6−c=5.∴a4−a +b4−b+3c6−c的最小值为5.17.20【解析】17.集合S的元素个数的最大值为2018.令S={s|1≤s≤2018，s∈Z}，显然集合S符合要求，且|S|=2018.另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0∉S（否则0+0+0=0）.设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B.若A=∅，则|S|=|B|≤2018；若B=∅，则|S|=|A|≤2018.下面考虑A、B非空的情形.对于集合X，Y，记X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}，−X={−x|x∈X}.由题设可知，(A+B)∩(−S)=∅（否则，设x0∈(A+B)∩(－S)，则存在a∈A，b∈B，－c∈－S，使得a+b=x0，－c=x0.于是，存在a∈S，b∈S，使得a+b+c=0）.且A+B∈{x|x∈Z，且|x|<2017}(事实上，A中元素≤2018，B中元素≤－1，于是A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.）.设集合A中元素为a1，a2，…，a k，集合B中元素为b1，b2，…，b l，且a1<a2<…<a k，b1<b2<…<b l.∵a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<a k+b l <a k+b2<…< a k+b l.∴A+B中至少有k+l－1个元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.结合A+B⊆{x|x∈Z，且|x|≤2017}⊆M，−S⊆M，且(A+B)∩(−S)=∅，可得(A+B)∪(−S)⊆M，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.∴|S|≤2019.若|S|=2019，则|A+B|+|－S|=4037=|M|.∴(A+B)∪(－S)=M.又由−2018∉A+B，2018∉A+B，知2018∈S，－2018∈S.∴对于k=1，2，3，…，1009，k与2018－k中至少有一个不属于S，－k与－2018+k 中也至少有一个不属于S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，矛盾.因此，|S|≤2018.综上可得，|S|≤2018.综上所述，集合S的元素个数的最大值为2018.。