重积分的变量代换

T ( D)
∫∫
f ( x, y ) d x d y = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))
D
∂ ( x, y ) dudv 。 ∂(u, v)
显然，当 f ( x, y ) ≡ 1 时，由以上定理得
∫∫
D
∂ ( x, y ) d u d v = mT (D) ∂(u, v)
(即 T (D) 的面积)。
界的有界闭区域 D ，记它的像为 E = T (D) ⊂ V ，则 D 的内点和边界分别 被映为 E 的内点和边界， 同时， 由于连通集的像也连通， 所以 E = T (D) 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的二 重积分的变量代换公式。
定理 13.3.1(二重积分变量代换公式) 映射 T 和区域 D 如上假 设。如果二元函数 f ( x, y ) 在 T (D) 上连续，则
，
( u 0 , v0 )
或等价地
mT (σ ) ～
∂ ( x, y ) ∂ (u, v)
。 ⋅ mσ （ d (σ ) → 0 ）
( u 0 , v0 )
这说明
∂ ( x, y ) 的几何意义为面积的比例系数。 ∂ (u, v)
例 13.3.1 计算曲线 ( x − y ) 2 + x 2 = a 2 (a > 0) 所围区域 D 的面积。 解 作变换 x = u, x − y = v ，则曲线方程对应于 u 2 + v 2 = a 2 。
sin(π x 2 + y 2 )dxdy = lim ∫∫
ε →0
ε ≤ r ≤1 ε ≤θ ≤ 2π −ε
1
∫∫ (sin π r )rdrdθ
= lim ∫
2π −ε
ε →0 ε
sin π r ⎤ ⎡ r dθ ∫ sin(π r )rdr = lim(2π − 2ε ) ⎢− cos π r + 2 ⎥ =2. ε ε →0 π ⎦ε ⎣ π
由于映射 T 是一一对应的，因此 V 上的任意一点 P 既可以唯一地 用 ( x , y ) 表示，也可以唯一地用 (u, v ) 表示。我们称 u -曲线和 v -曲线构 成了曲线坐标网，称 (u, v ) 为 P 的曲线坐标，而称 T 为坐标变换。
例如，在映射 T ： x = r cosθ , y = r sin θ 下， θ -曲线是一族以原点 为圆心的同心圆， r -曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平 面上的极坐标网。 (r , θ ) 为点 P ( x , y ) 的极坐标， T 即为极坐标变换。
−
1 u 2 v3 = 1 。 2v 1 u 2 v
因此，所求面积为
∫∫ dxdy = ∫∫
D D1
b1 ∂ ( x, y ) b 1 1 q 1 dudv = ∫∫ dudv = ∫ du ∫ dv = (q − p ) ln 。 a v a ∂(u , v) 2v 2 p 2 D 1
极坐标变换
v
y
u
2
+v
2
= a
2
( x − y)
2
+ x
2
= a
2
u O
x O
图 13.3.3
这个变换将左边的圆盘 u 2 + v 2 ≤ a 2 一一对应地映为右边的椭圆区 域 D 。由于
∂ ( x, y ) 1 0 = = −1 ， ∂ (u , v) 1 − 1
因此 D 的面积为
S = ∫∫ dxdy =
因此所求的面积为
2 ∫∫ dxdy = 2∫∫ abrdrdθ =2∫ dθ
D D1 2 0
π
∫
ab sin θ cosθ c2
0
abrdr
a 2b 2 = 2 c
a 2b 2 ∫02 sin θ cosθ dθ = 2c 2 。
π
变量代换公式的证明 将区域 D 用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区域 D 具有 零边界，当分割充分细的时候，与区域 D 边界相交的小矩形的面积之 和可以任意小，因此只需要考虑包含在区域 D 内的小矩形 R 。 定义 13.3.1 或
~ ~ 成立，这里 (u , v ) 为 R 上某一点。 证 仅对本原映射 Tx 证明，对 T y 的证明是类似的。
∂ ( x, y ) 设在 U 上 J > 0 。由于这时成立 J = = ∂y ∂ (u, v) ∂ u
1
0 ∂y ∂y = > 0， ∂v ∂v
对于固定的 u, y (u , v ) 是 v 的单调增 所以在每个小矩形 R = [ e, f ] × [ g , h ] 上， 加函数，因此 R 被一一对应地映到 T ( R ) = {( x, y ) | e ≤ x ≤ f , y ( x, g ) ≤ y ≤ y ( x, h)} 。
= ∫ dθ ∫ sin(π r )rdr = 2 。
注 严格说来， 由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的。 在应用变量代换公式时，应该去掉原点与正实轴，也就是说，应该用 以下方法来计算（积分区域如图 13.3.5） ：
sin(π x 2 + y 2 )dxdy = lim ∫∫
D
ε →0
ε ≤ x 2 + y 2 ≤1 ε ≤θ ≤ 2π −ε
x = r cos θ , y = r sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r < +∞
是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时
∂( x, y ) cosθ = ∂(r ,θ ) sin θ − r sin θ =r。 r cosθ
例 13.3.3 计算 ∫∫ sin(π x 2 + y 2 )dxdy ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} 。
⎡ ⎛ x 2 + y 2 ⎞⎤ 2 2 ∫∫ ⎢2a − x + y − ⎜ a ⎟⎥ d x d y = 0≤∫∫a ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎦ D ⎣ r≤
0 ≤θ ≤ 2π
⎛ r2 ⎜ 2a − r − ⎜ a ⎝
⎞ ⎟r d r d θ ⎟ ⎠
= ∫0
2π
⎛ r2 d θ ∫ ⎜ 2a − r − 0 ⎜ a ⎝
§3 重积分的变量代换
曲线坐标 设 U 为 uv 平面上的开集， V 是 xy 平面上开集，映射
T: x = x ( u , v ) , y = y ( u, v )
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为 T −1: u = u( x , y ) , v = v ( x , y ) 。 在 U 中取直线 u = u0 ，就相应得到 xy 平面上的一条曲线 x = x ( u0 , v ) , y = y ( u0 , v ) ， 称之为 v -曲线；同样，取直线 v = v 0 ，就相应得到 xy 平面上的 u -曲线， x = x ( u, v 0 ) , y = y ( u, v 0 ) 。
那么由定理 13.3.1 和重积分的中值定理,得
mT (σ ) = ∫∫
σ
∂ ( x, y ) ∂ ( x, y ) dudv = ⋅ mσ ， ∂ (u, v) ∂ (u, v ) ( r , s )
其中 (r , s) 为 σ 中一点。因此
mT (σ ) ∂ ( x, y ) = d (σ ) →0 mσ ∂ (u, v) lim
Ty :
x = x(u , v ), y = y (u , v ) = v
形如 Tx :
x = x (u , v ) = u , y = y (u , v )
的映射称为本原映射。
引理 13.3.1 设 T 为本原映射，则对于每个小矩形 R ，等式
mT ( R ) =
∂ ( x, y ) mR ∂ (u , v) ( u ,v ) ~~
它的 Jacobi 行列式为
∂ ( x, y ) a cos θ = ∂ (r , θ ) b sin θ − ar sin θ = abr 。 br cos θ
在 rθ 平面上这条曲线的像的方程是
ab r = 2 sin θ cosθ ， c
2
且 D 所对应的区域为
⎧ π ⎪ D1 = ⎨(r , θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ 2 ⎪ ⎩ ⎫ ab ⎪ sin θ cos θ ⎬ 。 c2 ⎪ ⎭
13.3.4 求 抛 物 面 x 2 + y 2 = az 和 锥 面 z = 2a − x 2 + y 2 (a > 0) 所 围 成 立 体的体积。
x 2 + y 2 = az
例
z
z=2a − x2 + y2
x2 + y2 =a2
o
y
解 易求得两曲面的交线在 x xy 平 面 的 投 影 的 方 程 为 图13.3.6 2 2 2 x +y =a 。 利用极坐标变换可得所求立体的体积为 设 D = {( x, y ) |x 2 + y 2 ≤ a 2 } ，
1
θ
2π − ε
y
x
ε
O
ε
1
r
图 13.3.5
这种方法的实质就是， 在原积分区域 D 上挖掉包含非一一对应点 ˆ ˆ 集的小区域，得到区域 D ，再将被积函数在 D 上的积分看作在 D 上的 ˆ 积分当 D 趋于 D 时的极限。在了解这个原理之后，就不必每次都照此 办理，可直接仿照例题中的方法直接计算。
§3 重积分的变量代换
曲线坐标 设 U 为 uv 平面上的开集， V 是 xy 平面上开集，映射
T: x = x ( u, v ) , y = y ( u, v )
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为 T −1: u = u( x , y ) , v = v ( x , y ) 。 在 U 中取直线 u = u0 ，就相应得到 xy 平面上的一条曲线 x = x ( u0 , v ) , y = y ( u0 , v ) ， 称之为 v -曲线；同样，取直线 v = v 0 ，就相应得到 xy 平面上的 u -曲线， x = x ( u, v 0 ) , y = y ( u, v 0 ) 。