数列的综合应用(一)
高三数学数列综合应用试题答案及解析
高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。
数列的综合应用教学设计
数列的综合应用教学设计数列的综合应用一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》（人教A版），第二章内容结束之后的综合练习。
在课本中没有专设章节。
内容从教材习题2.5中A组的第4题中体现。
本章五节内容分别讲授了等差数列、等比数列以及这两种数列的性质、通项公式、前N项和等基础内容。
让学生在此基础之上，了解高考中出现频率较多的一些特殊数列。
在实际教学中，本节内容应该分为五个阶段：第一阶段学生要充分掌握基本数列的知识点，可用提问的方式进行复习回顾。
第二阶段，对于特殊数列有关例题首先要引导学生观察，找到与基本数列的相似处，从而决定构造为基本数列中的等差数列或等比数列，大胆提出猜想。
第三阶段从猜想入手，开始构造。
运用基本数列的形式和性质得到新的数列。
构造出的新数列必须满足基本数列成立的条件。
验证猜想的正确性。
第四阶段根据题目要求从构造出的新数列找出所求项。
第五阶段，老师和学生一起归纳题型。
学生在老师的引导下结题，提高主动性，学习的灵活性。
从而提高对本节知识的兴趣。
二、学情分析对于高一年级的学生来说。
之前的学习中已经接触到了函数内容。
以及在本节内容的学习之前，已经有了数列的基础。
学生已经具备了一定的分析能力，函数构造基础等。
对于本节授课内容来说，学生在一般很难自己分析出来，有一定的难度。
所以需要老师的正确引导，但是在复习的基础上不宜直接灌输解题方法。
应该带领学生一起观察、分析、猜想、证明。
从而加深学生对本节内容的理解，也可让学生自己尝试找到新的解法，建立自己的思维模式。
三、设计思想在授课中，必须要求学生掌握基本数列（等差数列和等比数列）的内容。
以此引导学生，分析特殊数列。
并且根据之前学习三角函数时用到的“构造”理念。
将特殊数列构造为基本数列，再运用基本数列的知识点来解题。
课堂中，以例题分析为主，让学生学会观察特殊数列的结构，分析如何构造出适合的基本数列的形式。
讲课过程中，以启发性为主，让学生主动分析。
0819高二数学数列的综合应用-张心刚
(1) 数列{bn}是等比数列；(2)b2>4；(3)b4>32；(4)b2b4＝256. 其中正确命题的个数为________．
解析
设 a1，a2，a3，a4 的公差为 d，则 a1＋2d＝4，又 0<a1<2，
2
所以 1<d<2.易知数列{bn}是等比数列，故(1)正确； a2＝a3－d∈(2,3)，所以 b2＝2a >4，故(2)正确； 1
基础回顾
1．若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，且 S8－S3＝10，则 S11 的值为 22 ________． a6 2．在等比数列{an}中，an>an＋1，且 a7· a11＝6，a4＋a14＝5，则a ＝ 16 3 ________. 2 3．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号” 系列火箭， 在点火第一秒钟通过的路程为 2 km， 以后每秒钟通过的 路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分 离，则这一过程需要的时间大约是________秒． 15 n 4 ．已知数列 {an} 的通项为 an ＝ 2 ，则数列 {an} 的最大项为 第 n ＋58 8 ________项．
网络课堂——2014年春学期新高二数学暑期学习辅导
第17课时： 数列的综合应用
江阴市南菁高级中学 张心刚
要点梳理
1．数列的综合应用
数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解 问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题 应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数， 解数列题要注意运用方程与函数的 思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法， 复杂的 数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3) 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重 要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一 般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常 要对公比进行讨论；由 Sn 求 an 时，要对 n＝1 或 n≥2 进行分类讨 论．
数列的综合应用01
数列的综合应用要点梳理1.解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.2.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r,等额还款数为b,分n 期还完，则b= 基础自测1.数列{a n }是公差不为0的等差数列且a 7、a 10、a 15是等比数列{b n }的连续三项，若等比数列{b n }的首项b 1=3,则b 2等于（ ） A. B.5 C.2 D. 2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13 958，则出齐这套书的年份是 （ ） A.1994 B.1996 C.1998 D.2000 3.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是 （ ） A.90 B.100 C.145 D.1904.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 （ ）A.6秒B.7秒C.8秒D.9秒5.已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n-1,a n ） (n ＞1且n ∈N)满足y=2x-1，则a 1+a 2+…+a 10= .题型分类 深度剖析题型一 等差数列与等比数列的综合应用【例1】数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1,a n+1=2S n +1 (n ≥1).（1）求{a n }的通项公式；（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，求T n .知能迁移1 设等差数列{a n }的前n项和为S n ,公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ,(1).(1)1nn r r a r ++-24595已知a 1=1,b 1=3,a 3+b 3=17,T 3-S 3=12,求{a n },{b n }的通项公式.题型二 数列与函数的综合应用【例2】已知f(x)=log a x(a ＞0且a ≠1)，设f(a 1),f(a 2),…,f(a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列.（1）设a 为常数，求证：{a n }是等比数列；（2）若b n =a n f(a n ),{b n }的前n 项和是S n ,当,求S n .知能迁移2 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，首项a 1=1,公比q=f ( ≠-1,0). （1）证明：S n =（1+ ）- a n ；（2）若数列{b n }满足b 1= ,b n =f(b n-1) (n ∈N *,n ≥2),求数列{b n }的通项公式;（3）若 =1,记c n =a n ,数列{c n }的前n 项和为T n ,求证:当n ≥2时,2≤T n <4.题型三 数列的实际应用【例3】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)()λ1λλ=+λλλ121(1)nb -λ知能迁移3 某市2008年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?(lg 657=2.82,lg 2=0.30, lg 3=0.48)一、选择题1.各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2， a 3，a 1成等差数列，则 的值为 （ ） A.B.C.或 2.数列{a n }中,a n =3n-7 (n ∈N *), 数列{b n }满足b 1= ,b n-1=27b n (n ≥2且n ∈N *),若a n +log k b n 为常数,则满足条件的k 值 （ ）A.唯一存在,且为B.唯一存在,且为3C.存在且不唯一D.不一定存在 3.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 （ ）A.4B.5C.6D.74.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为 元(n ∈N *), 使用它直至报废最合算（所谓报 废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少）为止,一共使用了 （ ）A.800天B.600天C.1 000天D.1 200天5.2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾.大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止到第5天（包括第5天）捐款总数将达到 （ ）A.4 800元B.8 000元C.9 600元D.11 200元6.已知数列{a n },{b n }满足a 1=1,且a n ,a n+1是函数f(x)=x 2-b n x+2n 的两个零点，则b 10等于 （ ）A.24B.32C.48D.64二、填空题 7.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=-2,a n+2=- ,则该数列前26项的和为 .8.将全体正整数排成一个三角形数 阵：1312454a a a +121212-134910n +1n a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10¡¡¡¡¡¡¡¡按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 .9.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .三、解答题10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.（1）以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.910≈0.35.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且（3-m ）S n +2ma n =m+3（n ∈N *）.其中m 为常数，m ≠-3,且m ≠0.（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f(m)且b 1=a 1,b n =f(b n-1)(n ∈N *,n ≥2),求证： 为等差数列,并求b n .12.一辆邮政车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a k } (k=1,2,3,…,n).试求：（1）a 1,a 2,a 3;（2）邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋数多少个？（3）求数列{a k }的前k 项和S k .1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
数列的综合应用
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
数列的综合应用
数列的综合应用1、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。
⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
（2）形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
2、数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式； ②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； ③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+L222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332n(n+1)1+2+3++n =[]2L .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性 ，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-.（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
数列的综合应用
高中数学：数列的综合应用1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( A )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：解法一(排除法)：记S N 为数列的前N 项和，由题意得，数列的前110项为20,20,21,20,21，…，20,21，…，213,20,21,22,23,24，所以S 110＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋213)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(214－1)＋(25－1)＝(21＋22＋…＋214)－14＋31＝215＋15，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项D 不正确．同理，S 220＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋219)＋(20＋21＋22＋23＋…＋29)＝221＋210－23，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项C 不正确．同理，S 330＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋224)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝226＋4，不是2的整数幂，故选项B 不正确，所以正确的选项为A ．解法二：不妨设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＋(1＋2＋…＋2t )＝2m (其中m 、n 、t ∈N,0≤t ≤n )，则有N ＝n (n ＋1)2＋t ＋1，因为N ＞100，所以n ≥13.由等比数列的前n 项和公式可得2n ＋1－n －2＋2t ＋1－1＝2m . 因为n ≥13，所以2n ＞n ＋2，所以2n ＋1＞2n ＋n ＋2，即2n ＋1－n －2＞2n ，因为2t ＋1－1＞0，所以2m ＞2n ＋1－n －2＞2n ，故m ≥n ＋1，因为2t ＋1－1≤2n ＋1－1，所以2m ≤2n ＋2－n －3，故m ≤n ＋1.所以m ＝n ＋1，从而有n ＝2t ＋1－3，因为n ≥13，所以t ≥3.当t ＝3时，N ＝95，不合题意；当t ＝4时，N ＝440，满足题意，故所求N 的最小值为440.2．(2017·山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2. 所以3q 2－5q －2＝0.因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。
6,等差数列和等比数列的综合应用(一)
实用文档§3.4等差数列与等比数列的综合应用（一）【复习目标】1． 灵活运用等差、等比数列的通项公式和求和公式及数列的有关性质；2． 会运用数列知识解决有关代数、几何、三角等问题。
【重点难点】培养综合解题能力【课前预习】1． 在等比数列{}n a 中，若3a ，9a 是方程091132=+-x x 的两根，则6a 的值是 （ ）A ．3B ．±3C ．3±D ．以上答案都不对2．等差数列{}n a 的通项公式204n a n =-，这个数列的前多少项和最大 （ ）A ．前三项B ．前四项或前五项C ．前五项D ．前六项3．若两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项之和分别是n S 、n T ，已知37+=n n T S n n ，则=55b a 。
4．等差数列中，)(n m s s n m ≠=，则n m s += 。
【典型例题】例1 已知数列{a n }为等差数列，且公差d ≠0（1） 求证：对任意k ∈N ，所有方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0均有一个相同的根；（2） 若方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0的另一个根分别为α1,α2……，求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k α11也成等差数列。
实用文档例2 已知数列}{n a 是公比大于1的等比数列，且15210a a =，n n a a a s +++=......21， 12111......n n T a a a =+++，求满足n n T S >的最小正整数n.例3 已知函数f(x)=(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q(q∈R,q ≠1)的等比数列。
若a 1=f(d －1),a 3=f(d+1),b 1=f(q －1),b 3=f(q+1)（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n 均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求c 1+c 3+c 5+…+c 2n －1的值；试比较1313+-n n b b 与21++n n a a 的大小，并证明你的结论。
数列综合应用教案
数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
数列的综合应用
数列的综合应用高考要求(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳1.通项与前n 项和的关系：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 2.迭加累加法：1(),(2)n n a a f n n --=≥若，)2(12f a a =-则 ， )3(23f a a =-，………， )(1n f a a n n =--1(2)(3)()n a a f f f n ⇒-=++⋯3.迭乘累乘法：)(1n g a a n n =-若，)2(12g a a =则，)3(23g a a =，………，)(1n g a a n n =-1(2)()n a g g n a ⇒=⋯ 4.裂项相消法：)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=5.错位相减法： n n n c b a ⋅=, {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列nn n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211 1121+-++⋯⋯+=n n n n n c b c b c b qS 则 所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q 6.通项分解法：n n n c b a ±= 7.等差与等比的互变关系：{}{}na n ab ⇔≠成等差数列(b>0,b 1)成等比数列{}{}n n a ca d ⇔+≠成等差数列(c 0)成等差数列{}{}0log n a n b n a a >⇔成等比数列成等差数列 {}{}k n n a a ⇒成等比数列成等比数列8.等比、等差数列和的形式：{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列{}(1)(0)n n n a S A q A ≠⇔=-≠(q 1)成等比数列9.无穷递缩等比数列的所有项和：{}1lim 1n n n a a S S q →∞⇔==-(|q|<1)成等比数列题型讲解例1 等差数列{an}的首项a1>0,前n 项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n 为何值时，Sn 最大？解：根据{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列，首项a1>0,若m+k 为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn 最大；若m+k 为奇数，当n=(m+k ─1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn 最大例2 已知关于n 的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>32)1(log 121+-a a 对于一切大于1的自然数n 都成立，求a 的取值范围解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式 ∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)∴f(n+1)－ f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2) 〕－〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕＝1/(2n+2) +1/(2n+1) －1/(n+1)＝1/(2n+1) －1/(2n+2) >0∴f(n+1)> f(n)∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12,∴ 7/12>32)1(log 121+-a a , 解得：1<a<(5+1)/2例3 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q,其中p>q 且q≠1, p≠1, 设Cn=an+bn,Sn 为数列{Cn}的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S解：)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ,以下分两种情况讨论：(1)当p>1时,∵ p>q>0,∴ 0<q/p<1⇒n n p q )(lim ∞→=0,nn p )1(lim ∞→=0,两边同除以pn,得：1lim-∞→n nn S S =p; (2)当p<1时,∵ p>q>o,∴ 0<q<p<1⇒n n p ∞→lim =0,n n q ∞→lim =0, ∴1lim-∞→n n n S S =1 例4 如图所示：已知抛物线y=x2,点An 的坐标为(1,0),将OAn 分为n 等分，分点为A1,A2,…An ─1, 过A1,A2,…An ─1,An 分别作y 轴的平行线，分别交抛物线于B1,B2,B3, …Bn ─1,Bn,再分别以OA1, A1A2,A2A3, …An ─1An 为宽作n 个小矩形求n 个小矩形的面积之和；求n n S ∞→lim (即曲边梯形OAnBn 的面积) 解：Sn=2222)(1)3(1)2(111n n n n n n n nn •++•+•+•Λ =(n+1)(2n+1)/(6n2);n n S ∞→lim =1/3本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想例5 等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r ∈N)是关于x 的一组方程①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数列解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1 (r ∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=─1;②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─a r+2/ar,∴ 1/(mr+1)=ar/(ar ─a r+2)=─a r/(2d),∴ 1/(mr+1+1)─1/(m r+1)= 〔─a r+1/(2d)〕─〔─a r/(2d)〕=─1/2,∴ {1/(mr+1)}是等差数列例6 数列{an}的前n 项和Sn=na+(n ─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且b≠0,①求证{an}是等差数列；②求证以(an,Sn/n ─1)为坐标的点Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程；③设a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r 的取值范围证明：①根据⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 得an=a+(n ─1)⨯ 2b,∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b②由x=an=a+(n ─1)⨯2b, y=Sn/n ─1=a+(n ─1)b两式中消去n,得：x ─2y+a ─2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r ─1)2+r2>r2; (r ─2)2+(r ─1/2)2>r2; (r ─3)2+(r ─1)2>r2∴ r 的取值范围是(1,5/2─2)∪(0,1)∪(4+6,+∞)例7 已知数列{an}满足条件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q (q>0)的等比数列，设bn=a2n ─1+a2n (n=1,2,3,…)①求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3 (n ∈N) 成立的q 的取值范围；②求bn 和n n S 1lim∞→,其中Sn 为数列bn 的前n 项的和； ③设r=2192─1,q=05,求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值解：①rq n ─1+rqn>rqn+1, q>0 ⇒0<q<(1+5)/2; ②q a a a a a a n n n n n n ==++++2121⇒n n n n n n n n n n a a q a q a a a a a b b 21221221222121++=++=---+++=q≠0∴ {b n}是首项为1+r,公比为q 的等比数列，从而bn=(1+r)qn ─1,当q=1时，Sn=n(1+r), n n S 1lim∞→=0;当0<q<1时，n n S 1lim∞→=(1─q)/(1+r);当q>1时，n n S 1lim∞→=0; ③n n b b 212log log +=f(n)=n n--2.202.19=1+1/(n ─202),当n ≥21时，f(n)递减，∴ f(n)≤f(21)⇒1<f(n)≤225;当n ≤20时，f(n)递减，∴ f(n)≥f(20)⇒1>f(n)≥─4;∴ 当n=21时，n n b b 212log log +有最大值225;当n=20时，n n b b 212log log +有最小值─4 例8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,…xn,由已知x2─x 1=x3─x 2=x4─x 3=…=xn ─x n ─1,∴ {x n}为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n),∴ 1)(24121=+++n x x x n Λ⇒x1+x2+…+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24n ⇒x1+xn=48, 又xn=5x1 ,∴ x n=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟例9 某林场原有森林木材量为a ，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x （取lg2=0.3)解：用归纳法求解，第一年存量：1.25a ─x;第二年存量：1.25(1.25a ─x)─x=a ⨯1.252─x(1+1.25);第三年存量：1.25⨯[a ⨯1.252─x(1+1.25)]─x=a ⨯1.253─x(1+1.25+1.252);……第20年末存量：a ⨯1.2520─x(1+1.25+1.252+…+1.2519)=a ⨯1.2520─4x(1─1.2520)依题意：a ⨯1.2520─4x(1─1.2520)=4a,又设y=1.2520⇒lgy=20lg1.25=20(1─3lg2)=2∴ y=100,即1.2520=100⇒x=8a/33答：每年的最大砍伐量为8a/33例10 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A 人，人均粮食占有量为b 吨，平均每年减少耕地x 公顷，由题意可知：x b A 1010)1.01()01.01(410-++≤)22.01(104+Ab 解得：22.110)1.01()01.01(10)22.01(101044⨯++-+≤x ,再用二项式定理进行计算可得：x ≤4解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a 吨/公顷， 可得：104)01.01()1010)(22.01(+-+A x a ≥%)101(104+⨯A a ⇒x ≤4 (公顷)例10 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为....,32a a ，每年新增汽车x 万辆由题意得)06.0(94.006.094.011x a x a x a a n n n n -=-+=++即万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606.3,,06.0)94.013030(,6006.094.0)06.030(11≤≤∞→⨯-+≤≤+-=--x a n n n x a x x a n n n n n 学生练习1.在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=30,a5+a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15= 答案：1302.数列{an}中，a15=10,a45=90,若{an}为等差数列，则a60= ;若{an}为等比数列，则a60= ;答案：130，±270（两种解法）3.a1,a2,…,a2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为60，下标为偶数的项的和为45，则该数列的项数是答案：7（直接列方程）4.{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5为 ；答案：55.设等差数列{an}的前n 项之和为30，前2n 项之和为100，则它的前3n 项之和为答案：2106.{an}是等差数列，且a1─a 4─a 8─a 12+a15=2,求a3+a1 3的值；答案：─47.一个等差数列共n 项，其和为200，其中前10项之和为25，后10项之和为75，则n= 答案：408.等比数列{an}中，已知a1a2a3=1,a4a5a6=2,则a7a8a9a10a11a12=答案：32;9.等比数列{an}中，Sn=2n ─1,则a12+a22+…+an2等于答案：(4n ─1)/310.数列{an}和{bn}均为等差数列，它们的前n 项之和分别为Sn ,n S ',若Sn /n S '=(7n+2)/(n+4),则a5/b5=答案：5;11.等差数列{an}的公差为1/2,且前100项之和为S100=145,求a1+a3+a5+…+a99的值答案：S100=a1+a3+a5+…+a99+a2+a4+a6+…+a100=2(a1+a3+a5+…+a99)+50d=145⇒ a1+a3+a5+…+a99=6012.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项.答案：S 奇+S 偶=Sn; S 奇─S 偶=a 中； Sn=na 中 ⇒a 中=1113.等差数列{an}中，前m 项之和(m 为奇数)为77，其中偶数项之和为33，a1─a m=18,求此数列的通项公式. 答案：,44)(411=++m a a m （奇数项之和） 33)(4112=+--m a a m ，两式相除得到：(m+1)/(m ─1)=4/3 ⇒m=7，再联立方程组解得：a1=20,am=2⇒d=─3⇒an=─3n+23.14.在等差数列{an}中，如果Sm/Sn=m2/n2(m,n 为已知数),求am/an 的值.答案： (2m ─1)/(2n ─1)15.等差数列{an}中，公差d≠0,其中ΛΛn k k k a a a ,,,21构成等比数列，若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn答案：由题意知a52=a1a17,列方程得到a1=2d,公比q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3,∴ n k a =a1⨯ 3n ─1, (1)；又n k a =a1+（kn ─1）d=121a k n + (2);由(1)及(2)得kn=2⨯3n ─1─1,∴ k 1+k2+…+kn=2(1+3+32+…+3n ─1)─n=3n ─n ─1.16在1/n 和n+1之间插入n 个正数，使得这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数之积. 答案：2)1(nn n +17.等差数列{an}中，a3=12,S13<0,S12>0,(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个最大？并说明理由.答案：(1)由S12=12a1+12⨯11d/2>0, S13=13a1+13⨯12d/2<0 , a3=a1+2d=12得到：24+7d>0, 3+d<0 ⇒─24/7<d<─3;(2)两种解法：方法一：Sn 是n 的二次函数，由此函数配方结合d 的范围求出最大值.方法二：S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0 ⇒a6+a7>0,a7<0⇒a6>0,a7<0,故当n ≤6时，Sn 递增，n ≥6时，Sn 递减，∴ S 6最大.18. (1)数列{an}是首项为1000，公比为1/10的等比数列，数列{bn}满足bk=)lg lg (lg 121k a a a k +++Λ(k ∈N),求数列{bn}的前多少项的和最大？(2)数列{an}中，S7=S12 , 则数列的前 项之和最大.答案：（1）bk=3─(k ─1)/2, b k 为等差数列；bn ≥0, bn+1≤0,⇒6≤n ≤7.所以第6项和第7项最大；（2）8或9数形结合19.已知n ∈N,函数y=(x2─x+n)/(x 2+1)的最小值与最大值的和为an,又b1+2b2+…nbn=(n+10)9100)109(1--n ①求an 和bn 的表达式；②令Cn=─a nbn,试问数列{Cn}有没有最大项？如果有，求出最大项，如果没有，说明理由 答案：①先用判别式法求出an=n+1,又b1+2b2+…nbn= (n+10)9100)109(1--n (1) b1+2b2+…(n ─1)b n ─1=(n+9)9100)109(2--n (2)相减得：bn=1)109(91--n ,② 从而Cn=1)109(91-+n n ,考虑数列的单调性，由Cn ≥Cn ─1, Cn ≥Cn+1 ⇒8≤n ≤9故最大项为C8=C9=7)109(18.已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求证：11111321<+++n a a a a Λ答案：a2=8, 设公比为q,则(8/q ─1)+(8q ─9)=2(8─3)⇒q=2或q=1/2(舍去) Sn=14323212232221321+++++=++++n n n a n a a a ΛΛ, 用错位相减法得Sn=1─1221+-n n n <1 19已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,bn=1/Sn,且a3b3=1/2,S3+S5=21①求数列{bn}的通项公式;②求证：b1+b2+…+bn<2答案：①b n=)1(2+n n ; ②b n=2(111+-n n )裂项相消，结果为2─2/(n+1)<220已知函数f(x)=(x ─1)2,数列{an}是公差为d 的等差数列，数列{bn}是公比为q 的等比数列(q ∈R,q≠1),若a1=f(d ─1),a 3=f(d+1),b1=f(q ─1),b 3=f(q+1)①求数列{an},{bn}的通项公式；②设数列{cn}对任意自然数n 均有1332211+=++++n n n a b c b c b c b c Λ成立，求c1+c3+c5+…+c2n ─1的值 ③试比较(3bn ─1)/(3b n+1)与an+1/an+2的大小，并证明你的结论答案：①a n=2(n ─1); b n=3n ─1;②c n/bn =an+1─a n=2⇒cn=2bn=2⨯3n ─1⇒ c1+c3+c5+…+c2n ─1=(9n ─1)/4;③(3b n ─1)/(3b n+1)=(3n ─1)/(3n+1), an+1/an+2=n/(n+1)猜想n ∈N 时，有(3n ─1)/(3n+1)≥ n/(n+1), 用数学归纳法证明（略）21.一计算机装置有一个数据入口A 和一个运算结果的出口B ，将自然数列{n}中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{an},结果表明：①从A 口输入n=1时，从B 口得到a1=1/3;②当n ≥2时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果an 是将前一个结果an ─1先乘以自然数列{n}中的第n ─1个奇数，再除以自然数列{n}中的第n+1个奇数,试问：(1)从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？(2)从A 口输入2000时，从B 口得到什么数？答案：(1)a1=311⨯,a2=531⨯,a3=751⨯;(2)猜想am=)12)(12(1+-m m ,用数学归纳法证明（略）， ∴ a 2000=1/15999999课前后备注。
数列的综合应用专题
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 列
基 础 要 点 整 合
专题三
数
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
【例 1】 (2013· 济南一模)正项等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn，a4＝16，且 a2，a3 的等差中项为 S2. (1)求数列{an}的通项公式； n (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. a2n－1 [自主解答] (1)设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)， 3 a1q ＝16 a1＝2 由题意，得 ，解得 . 2 a1q＋a1q ＝2a1＋a1q q＝2 所以 an＝2n.
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 列
基 础 要 点 整 合
专题三
数
解 题 规 范 流 程
二、梳理基础知识
数列求和的四种常用方法 (1)公式法 适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列 利用公式法求和时，一定注意公比q是否能取1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主
考 点 核 心 突 破
(3)bn＝3(an－1) －4(an＋1－1) 3 － 3 3n－12 3n－1 n 1 2 n ＝3 4 －4 4 ＝3 4 － 4 ， 3 － 令 bn＝y，u＝4n 1， 12 1 12 3 则 y＝3u－2 －4＝3u－2 －4. 3 9 27 ∵n∈N＋，∴u 的值分别为 1， ， ， ，…， 4 16 64 9 1 经比较16距2最近， 189 ∴当 n＝3 时，bn 有最小值是－256， 当 n＝1 时，bn 有最大值是 0.
数列的综合运用1
(2)因为 S5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a2＋9da1＋10d2＋1＝0，8 分 1 故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.12
1 1 1 1 1 所以原式= [( - )+( - )+( - ) 2 4 3 3 5 1 1 1 1 1 1 +( - )+…+( )+( )] n 1 n 1 4 6 n n2 1 1 1 1 = (1+ ) 2 2 n 1 n 2 3 - 1 ( 1 + 1 )< 3 对n∈N*恒成立. = 2 n 1 n 2 4 4 1 2
n (2)由(1)得 bn＝a ＝n·n(n∈N*)． 2 n 2 3 n ∴Tn＝1×2＋2×2 ＋3×2 ＋…＋n×2 .③ 2 3 4 n＋1 ∴2Tn＝1×2 ＋2×2 ＋3×2 ＋…＋n×2 ④ 2 3 n n ＋1 ③－④得－Tn＝2＋2 ＋2 ＋…＋2 －n×2 21－2n n＋1 ＝ －n×2 . 1－2 整理得：Tn＝(n－1)2
数列{an}中 a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线 y＝ x＋2 上， (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an·n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 3 解析： (1)∵点(an，an＋1)在直线 y＝x＋2 上， ∴an＋1＝an＋2，即 an＋1－an＝2. ∴数列{an}是以 3 为首项， 为公差的等差数列， 2 ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
【变式训练】 4.已知函数 f(x)＝2x＋1，g(x) ＝x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1＝1， an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*. (1)求证：数列{bn＋1}为等比数列； 2n (2)令 cn＝ ，Tn 是数列{cn}的前 n 项和， an·n＋1 a 2 009 求使 Tn＞ 成立的 n 的最小值． 2 010
数列的综合应用PPT精品课件_1
∴ a＝32 a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)⇒d2＝a1d，∵d≠0，
∴a1＝d.① 又∵S5＝ ，a52∴5a1＋ 由①②解得：a1＝53 , d＝ .53∴an＝
·＋d553(2＝n4－(a11＋)×4＝d)253.n②.
3 5
2. 定义“等积数列”：如果一个数列从第二项起，每一项 与它前一项的积都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等积数列，这个常数叫做等积数列的“公积”．已知数列
bn n
3an ,
∴bn＝n·32n－2，
设{bn}的前n项和为Tn，则
设{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝1×30＋2×32＋3×34＋…＋n×32n－2，① 9Tn＝1×32＋2×34＋3×36＋…＋n×32n，② ①－②得－8Tn＝1＋32＋34＋…＋32n－2－n×32n
1 9n n 32n 19
1 22
,
,
an－an－1－1＝
3 2
1 2n1
,
将以上各式相加，得an－a1－(n－1)
∴an＝a1＋n－1
3 2
1 2
(1 1
1
2n1 1
)
1 2
(n
3 2
1)
(
1 2
1 22
3 (1 2
1 2n1
)
1 2n1
1 1.1
方法二(迭代法)：an＝1.1·an－1－b＝1.1·(1.1·an－2－b)－ b＝1.12an－2－b(1＋1.1)＝1.13an－3－b(1＋1.1＋1.12)＝… ＝1.1na－b(1＋1.1＋1.12＋…＋1.1n－1)＝1.1na－10(1.1n －1)b.
经典例题
题【型例一1】 建假立设等某差市或2等0比08数年列新模建型住解房应40用0题万平方米，其 中
数列综合应用1
例1.(1)已知数列{a n }满足 : a1 1, 2a n * a n+1 (n N ), 求an . 2+a n
(2)已知数列a n 满足：a1 =9,3a n+1 an 4, 求该数列的通项公式a n .
例2.(1)设数列{a n }、 {b n }都是等差数列, 且a1 5, b1 15, a100 +b100 100, 则数列{a n b n }的前100项的和是6000 (2)在等差数列{a n }中, 若Sn an 2 (a 25)n a 1,
n 2 n 1 1 1 (1)在等比数列{a n }中,a1 1,q , 则 3 (4 1) ; 2 i 1 a i a i 1
例3
1 1 (2)求和 1 2 2 3
1 ; n (n-1)
n 1 n
(3)数列3， 33， 333， 3333， 的前n项和为
（1）设b n a n+1 2a n，求证{b n }为等比数列；
an （2）设c n n ，求证{c n }为等差数列； 2 （3）求数列{a n }的通项公式a n 和前n项和Sn .
作业：
课课练第12课时
2 1 2
b n 1.
2
例6.由数列{a n }构造一个新数列： a1，a 2 -a1，a 3 -a 2， ，a n -a n-1， 此数列是首项
1 为1，公比为 等比数列. 3 （ 1）求数列{a n }的通项公式a n；
（2）求数列{a n }的前n项和Sn .
例7.已知数列{a n }的前n项和Sn 4n 则 |a i | 2 i 1 n 24n 144
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。
通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。
第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。
通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。
通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
2.6.1数列综合应用1
四平市第一高级中学 2013级高一年级数学学科学案学案类型： 新课 材料序号： 9 编稿教师： 刘强 审稿教师： 朱立梅课题：数列综合应用1一、学习目标：1、掌握常见的求数列通项的一般方法；2、学会分析解决一些简单的数列问题，把非等差或等比数列化为等差或等比数列问题来解决。
二、学习重、难点：教学重点：掌握常见的求数列通项的一般方法；教学难点：灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来解决。
三、求数列通项公式的方法：1、观察法：观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
2、公式法：若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求。
3、累加法：已知)(1n f a a n n +=+（)(n f 可求和），求通项公式常用此法。
4、累乘法：已知)(1n f a a n n ⋅=+，求通项公式常用此法。
5、转化法：通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。
常用转化途径：（1）把数列}{n a 的每一项都取倒数，构成一个新的数列}1{n a ，看新数列}1{na 是否为等差或者等比数列；（2）待定系数法：一般地，递推式为a a =1，d ca a n n +=+1（d c ,为常数，1,0≠c ）的数列}{n a ,均可用待定系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。
6、由n S 求n a ：若已知数列的前n 项和公式，则⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a 21≥=n n 。
四、典型例题：1、根据下列各数列的前几项，写出数列的一个通项公式。
（1）78,54,32,1--； （2） 9998,998,98,8 （3） 100011001,101,11,2， （4） 0,3,0,3,0,3 2、求分别满足下列条件的数列}{n a 的通项公式n a 。
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1 2
是以
3 2
为首项,
3 为公比的等比数列
故
an
1 2
3n 2
即
an
3n 1 2
8.(2014年新课标Ⅱ)已知数列{an}满足 a1 1
an1 3an 1
（Ⅰ）
an
3n 1 2
（Ⅱ）证明：
1 a1
1 a2
…+ 1 an
3 2
（
Ⅱ
）由(Ⅰ)知
an
3n 1 2
即
1 an
2 3n 1
因当n≥2时， 1 an
2 3n 1
1 3n1
所以
1 a1
1 a2
…+ 1 an
132
1 3
1 32
1 3n1
1
1 3n
1 1
3
3 2
1
1 3n
3 2
9.(2010年安徽)设 C1,C2,L ,Cn,L 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线 y 3 x 相切
3
对每一个正整数n圆 Cn 都与圆 Cn1 相互外切，以 rn 表示
面积均相等， 故
相互
…… 不妨将所有的△看成是等腰△，由边夹角式面积公式可得
经检验
5.(2011年全国)已知等差数列{an} 的前n项和为 Sn
若 OB a1OA a2011OC,且A,B,C三点共线(该直线不过点O) 则S2011=________
析：因A,B,C三点共线，故 a1 a2011 1
从而 OCn1 OCn CnCn1 3rn rn1 ……②
由①②式可得 rn1 3rn
…………
Tn+1 Tn
O
x
Cn
Cn+1
（Ⅱ）：由(Ⅰ)可得
rn
n 3n1
错项减
乘除公比错位减 等差等比积数列 一设二乘错位减 整理剩余套公式 前三后二要简明 公式求导裂项消
数列 {(dn b)qn} 的前n项和一定为 (An B)qn B
§145 数列的综合应用(一)
综合应用渠道多 知识方法及内外
1.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的 等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则小于 8的概率是_______
析：易得 an (3)n1
故 a2, a4, a6, a8, a10 0 8
a1, a3, a5, a7 , a9 0 又因 a1 1 8 , a3 9 8
Cn 的半径，已知 {rn} 为递增数列 (Ⅰ)证明：{rn} 为等比数列
（Ⅱ）设 r1 1 ，求数列 { n }的前n项和
rn
析：(Ⅰ)
因直线
y
3 3
x
的斜率为
3 ，故
3
O 300
即 OCn 2TnCn 2rn ，OCn1 2Tn1Cn1 2rn1 ……①
又因圆 Cn 与圆 Cn1 外切 ，故 CnCn1 rn rn1
故P 6 3 10 5
2.(2012年湖北)定义在 (,0) U(0, ) 上的函数 f (x) 如果对于任意给定的等比数列 {an} ,{ f (an )}仍是等比数列 则称 f (x) 为“保等比数列函数,”现有定义在 (,0) U(0, )
上的如下函数: ① f (x) x2
② f (x) 2x
又因
S2011
a1 a2011 2011 2
故
S2011
2011 2
6.(2013年浙江)某程序框图如图所示,
若该程序运行后输出的值是 ,则
A．
B.
C.
D.
【A】
法1：特值验证……
法2：由程序框图可得其功能是
Sn
1 1 1 2
1 23
1 k (k
1)
1 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
Sn
9 4
6n 9 4 3n
作业:
1.《固学案》P： 18 左 Ex2
2.《固学案》P： 37 左 Ex3
3.(2012年福建)数列 {an}的通项公式
an
n cos
n
2
1
,前n项和为 Sn
则 S2012 _____
预习：
继续研究：数列的综合应用
25
,
Sn S2, , S100 中,正数的个数是 【D】
A．25
B．50
C．75
D．100
析：易得 T=50
a1
sin
25
0
a26
1 26
sin
26
25
1 26
sin
25
1 26
a1
a2
1 2
sin
2
25
0
a27
1 27
sin
27
25
……
1 27
sin
2
25
2 27
12 23
k k 1
2 1 9 k 1 5
7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死 一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌 和100个这样的病毒,则细菌将病毒全部杀死至少需要
A.6秒
B.7秒
C.8秒
D.9秒 【B】
析：依题意可知 1 2 22 2n1 100 即 2n 1 100 2 1
a2
a24
1 2
sin
24
25
0
a49
……
1 49
sin
49
25
a25 0
a50 0
1 49
sin
24
25
24 49
a24
4.(2013年安徽)如图,互不相同的点
和
分别在角O的两条边上,所有的
平行,且所有梯形
的面积均相等.设
若
则数列 的通项公式是_____
析：因 即
故A1是OA2的中点 ，又因所有梯形的
故 2n 101
即 n7
8.(2014年新课标Ⅱ)已知数列{an}满足 a1 1
an1 3an 1
（Ⅰ）证明:
an
1 2
是等比数列，并求{an }的通项公式
（Ⅱ）证明：
11 a1 a2
…+ 1 an
3 2
（Ⅰ）证明: 因 an1 3an 1
故
an1
1 2
3
(an
1) 2
所以数列
an
③ f (x) | x | ④ f (x) ln | x |
则其中是“保等比数列函数”的 f (x)的序号为 【C】
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
析：本意是考查等比数列的定义，性质……
小作：不妨取 1,-1,1，-1，…… 1,2，4，8，……
3.(2012年上海)设 an
1 n
sin
n