第十二章 压杆稳定教学教案
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建筑力学电子压杆稳定
( l ) 2
式中 μ 称为长度系数,随杆端约束情况而异；μl 则称为相当长 度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。如下各图所示。
Fcr
x Fcr
A l
B
Fcr
π2EI y l2
1
A l
B
Fcr
π2EI y (0.7l ) 2
0.7
y
建筑力学电子教案
Fcr
A l
B
Fcr
π2EI y (0.5l ) 2
Fcr
A
I
l/4
l
2I l/2
BIl/4ຫໍສະໝຸດ w k 2w 0(b)
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w Asin kx B coskx
(c)
将边界条件 x=0，w=0 代入式 (c)得 B=0。 利用边界条件 x=l， w=0得到
Asin kl 0
建筑力学电子教案
注意到已有 B=0，故上式中的 A 不可能等于零，否则将有 w≡ 0 而压杆不能保持微弯临界状态。由此可知，欲使(c)成 立，则必须 sinkl=0 。满足此条件的 kl 为
建筑力学电子教案
§13-1 关于稳定性的概念
一根宽30mm，厚5mm的矩形截面松木杆，对其施加轴 向压力，设材料的抗压强度为40MPa， 则当杆很短（如 h=30mm），将杆压坏的压力为：
F c A 40 106 0.005 0.03 6000 N
但如杆长为1m，则不到30N的压力，杆就会突然产生显 著的弯曲变形而失去工作能力。
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
式中 μ 称为长度系数,随杆端约束情况而异；μl 则称为相当长 度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。如下各图所示。
Fcr
x Fcr
A l
B
Fcr
π2EI y l2
1
A l
B
Fcr
π2EI y (0.7l ) 2
0.7
y
建筑力学电子教案
Fcr
A l
B
Fcr
π2EI y (0.5l ) 2
Fcr
A
I
l/4
l
2I l/2
BIl/4ຫໍສະໝຸດ w k 2w 0(b)
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w Asin kx B coskx
(c)
将边界条件 x=0，w=0 代入式 (c)得 B=0。 利用边界条件 x=l， w=0得到
Asin kl 0
建筑力学电子教案
注意到已有 B=0，故上式中的 A 不可能等于零，否则将有 w≡ 0 而压杆不能保持微弯临界状态。由此可知，欲使(c)成 立，则必须 sinkl=0 。满足此条件的 kl 为
建筑力学电子教案
§13-1 关于稳定性的概念
一根宽30mm，厚5mm的矩形截面松木杆，对其施加轴 向压力，设材料的抗压强度为40MPa， 则当杆很短（如 h=30mm），将杆压坏的压力为：
F c A 40 106 0.005 0.03 6000 N
但如杆长为1m，则不到30N的压力，杆就会突然产生显 著的弯曲变形而失去工作能力。
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
推荐-建筑力学电子教案压杆稳定 精品 精品
截面窄而高的梁，受外压的薄壁容器，都可能发生失 稳现象。
压杆受压力时弯曲的原因在于：
（1）杆本身不可能绝对地直；
（2）杆的材质不可能绝对地均匀；
F
（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 这些因素使压杆在外加压应力下除了发 生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状 态下工作的。
可以用下列模型来说明稳定问题的关键：
在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆 发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后， 杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值 时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳 定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到 不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 Fcr表示。而Fcr 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
Fcr
π
2 EI l2
I 是横截面最小 形心主惯性矩
此时杆的挠曲线方程可取 k l＝ ，代入式(c)得到为：
w Asinπ x l
注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为 w sin π x
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
(a)
在图a 所示微弯状态下，两 端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧 向位移)为 w，该截面上的弯矩为 M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠曲线近 似微分方程为
EIw M x Fcrw (a)
(b)
令 k 2 Fcr ，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 EI
压杆受压力时弯曲的原因在于：
（1）杆本身不可能绝对地直；
（2）杆的材质不可能绝对地均匀；
F
（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 这些因素使压杆在外加压应力下除了发 生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状 态下工作的。
可以用下列模型来说明稳定问题的关键：
在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆 发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后， 杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值 时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳 定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到 不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 Fcr表示。而Fcr 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
Fcr
π
2 EI l2
I 是横截面最小 形心主惯性矩
此时杆的挠曲线方程可取 k l＝ ，代入式(c)得到为：
w Asinπ x l
注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为 w sin π x
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
(a)
在图a 所示微弯状态下，两 端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧 向位移)为 w，该截面上的弯矩为 M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠曲线近 似微分方程为
EIw M x Fcrw (a)
(b)
令 k 2 Fcr ，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 EI
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
实验设备与步骤
实验设备：压杆实验装置、压力表、砝码、各 种不同材料和截面形状的细长杆。
01
1. 准备不同材料和截面形状的细长杆，将 其固定在压杆实验装置上；
03
02
实验步骤
04
2. 在杆的一端施加砝码，逐渐增加压力， 观察压杆在不同压力下的失稳现象；
3. 记录不同条件下（如不同材料、截面形 状、长度、直径等）压杆的失稳载荷；
析。
欧拉公式与临界应力
欧拉公式是计算细长压杆临界应力的公式，其形式为： Pcr = π²EI/L²。
输标02入题
其中，Pcr是临界力，E是弹性模量，I是压杆横截面的 惯性矩，L是压杆长度。
01
03
临界应力是衡量压杆稳定性的重要指标，当压杆所受 应力小于临界应力时，压杆处于稳定状态；当所受应
力大于临界应力时，压杆将发生屈曲失稳。
04
通过欧拉公式可以计算出不同长度和形状的细长压杆 的临界应力。
不同长度压杆的稳定性分析
对于不同长度的压杆，其稳定性分析方法有所不同。
对于细长压杆，可以采用欧拉公式进行计算；对于短粗杆，需要考虑剪切变形和弯 曲变形的影响，可以采用能量法或有限元法进行分析。
在进行稳定性分析时，需要考虑压杆的实际工作条件和载荷情况，以确定合理的分 析方法和参数。
起重机的吊臂、支腿等部位需要承受 较大的压力和弯矩，压杆稳定问题直 接关系到设备的安全性和稳定性。
发动机支架
发动机支架需要承受较大的振动和压 力，压杆稳定问题对于保证发动机的 正常运行至关重要。
其他领域的压杆稳定问题
航空航天
飞机和火箭的结构需要承受较大的气动压力和加速度，压杆稳定问题直接关系到飞行器的安全性和稳定性。
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案一、教学目标：1. 让学生理解直梁弯曲的基本概念，掌握梁弯曲的计算方法。
2. 使学生了解组合变形的特点，学会分析组合变形的应力状态。
3. 让学生掌握压杆稳定的基本原理，能够判断压杆稳定的条件。
二、教学内容：1. 直梁弯曲的基本概念：梁的截面形状、梁的载荷、梁的弯曲变形。
2. 直梁弯曲的计算方法：弯矩图、弯曲应力、弯曲变形。
3. 组合变形：拉伸（压缩）与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合。
4. 组合变形的应力状态：解析法、能量法。
5. 压杆稳定的基本原理：压杆的屈曲、压杆的稳定性条件、压杆稳定性的判断。
三、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直梁弯曲、组合变形和压杆稳定的基本概念、计算方法和原理。
2. 利用图形和实例，直观地展示梁的弯曲变形、组合变形和压杆稳定的现象。
3. 采用案例分析法，让学生通过分析实际工程中的案例，提高分析问题和解决问题的能力。
四、教学准备：1. 教学PPT，包括直梁弯曲、组合变形和压杆稳定的基本概念、计算方法和原理的讲解。
2. 相关案例图片和数据，用于案例分析。
3. 草稿纸、笔，供学生做笔记和练习。
五、教学过程：1. 讲解直梁弯曲的基本概念，通过图形和实例让学生理解梁的截面形状、梁的载荷和梁的弯曲变形。
2. 讲解直梁弯曲的计算方法，包括弯矩图、弯曲应力和弯曲变形，让学生掌握计算梁弯曲的方法。
3. 讲解组合变形的特点，包括拉伸（压缩）与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合，使学生了解组合变形的应力状态。
4. 讲解组合变形的应力状态的求解方法，包括解析法和能量法，让学生学会分析组合变形的应力状态。
5. 讲解压杆稳定的基本原理，包括压杆的屈曲、压杆的稳定性条件和压杆稳定性的判断，让学生掌握判断压杆稳定性的方法。
6. 通过案例分析，让学生将所学的知识和方法应用于实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
7. 课堂练习，让学生巩固所学的知识和方法。
9. 布置作业，让学生进一步巩固所学的知识和方法。
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案一、教学目标：1. 让学生了解直梁弯曲的基本概念，掌握梁弯曲的弹性理论。
2. 使学生理解组合变形及压杆稳定的基本原理，能够分析实际工程中的相关问题。
3. 培养学生的动手实践能力，通过实例分析提高学生解决工程问题的能力。
二、教学内容：1. 直梁弯曲的基本概念：直梁、弯曲、剪力、弯矩等。
2. 梁弯曲的弹性理论：弯曲应力、弯曲变形、弯曲强度计算等。
3. 组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切等组合变形的分析方法。
4. 压杆稳定的基本原理：压杆稳定条件、压杆失稳现象、压杆稳定计算等。
5. 实例分析：分析实际工程中的直梁弯曲、组合变形与压杆稳定问题。
三、教学方法：1. 采用讲授与讨论相结合的方式，让学生掌握直梁弯曲及组合变形与压杆稳定的基本理论。
2. 通过案例分析，使学生能够将理论知识应用于实际工程问题。
3. 利用动画、图片等辅助教学手段，帮助学生形象地理解抽象的概念。
4. 安排课堂讨论，鼓励学生提问、发表观点，提高学生的参与度。
四、教学安排：1. 课时：本章共计12课时。
2. 教学方式：讲授、案例分析、课堂讨论。
3. 教学进程：第1-4课时：直梁弯曲的基本概念及弹性理论。
第5-8课时：组合变形及压杆稳定的基本原理。
第9-12课时：实例分析及练习。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，给予相应的表现评价。
2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生对知识的掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际工程案例进行分析，报告应包括问题分析、计算过程和结论。
通过课程报告评价学生的实践能力。
4. 期末考试：设置有关直梁弯曲、组合变形与压杆稳定的题目，考察学生的综合运用能力。
六、教学资源：1. 教材：《材料力学》、《结构力学》等相关教材。
2. 辅助材料：PPT课件、动画、图片、案例资料等。
3. 实验设备：力学实验仪、弯曲实验装置、压杆实验装置等。
4. 网络资源：相关学术期刊、在线课程、论坛等。
建筑力学电子教案压杆稳定
cr
Fcr A
从前面的推导可以看到，求压杆临界荷载的欧拉公式
只适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况。
建筑力学电子教案
因此，可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的
正应力 cr 不超过材料的比例极限 p 作为欧拉公式适用
范围的判断条件，即
cr p
（1）
引入 Fcr 的表达式，有
cr
Fc r A
2 EI (l )2 A
（2）
式中 I/A 是一个只与截面形状及尺寸有关的量，通常把它 的方根用 i 表示，即
建筑力学电子教案
i I A
称为截面惯性半径，其量纲为长度的一次方。则（2）式
可表示为 其中
cr
2Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
2E 2
l
i
i
（3）
为压杆的柔度，亦称长细比。是一个无量纲的量。它反
kl 0，π , 2π ，
或即
Fcr l 0，π ， 2π ，
EI
由于
Fcr l 0 EI
意味着临界力
Fcr ＝0，也就是杆根本未
受轴向压力，这不是真实情况。在 kl≠0 的解中，最小解相
应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。
建筑力学电子教案
由 k l＝ 有
Fcr l π EI
亦即
Fcr l 2 π 2 EI
确定的原因是推导采用了挠曲线近似微分方程。如果采用
挠曲线精确微分方程，则可以解出 Fcr ~ 的关系。
12
建筑力学电子教案
§13-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧
.
拉公式 · 压杆的长度系数
几种理想支端约束条件下的细长压杆
压杆稳定问题教学课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
06
压杆稳定问题的未来研究方向
新材料与新工艺的应用
总结词
随着新材料和新工艺的不断涌现，它们在压 杆稳定问题中的应用成为了一个重要的研究 方向。
详细描述
通过研究新材料如高强度钢、钛合金等在压 杆中的力学性能和稳定性，以及新工艺如激 光焊接、热处理等对压杆稳定性的影响，可 以进一步优化压杆的设计和制造过程。
非弹性平衡状态
压杆在受到外力作用时，不能通过自 身的弹性形变恢复到原来的平衡状态 ，表现为弯曲或失稳。
临界压力与临界应力
临界压力
当压杆受到的压力超过某一特定值时，压杆将失去稳定性，这个压力值即为临 界压力。
临界应力
在临界压力下，压杆内部的应力值即为临界应力，它表示压杆承受的最大应力 极限。
欧拉公式与压杆临界力计算
欧拉公式
描述了细长直杆在轴向压力作用下的临界压力与临界应力之间的关系，是解决压 杆稳定问题的基本公式。
压杆临界力计算
根据欧拉公式，通过已知的压杆截面尺寸、材料属性等参数，可以计算出压杆的 临界力，进而评估压杆的稳定性。
03
压杆稳定问题的分析方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
按材料分类
按受压方式分类
可分为钢压杆稳定问题、木压杆稳定 问题等。
可分为单向受压杆件、双向受压杆件 等。
按长度分类
可分为长压杆稳定问题、短压
桥梁、建筑、塔架等工程结构中 ，常常涉及到压杆稳定问题，需 要采取相应的措施来保证结构的
稳定性。
机械装备
机械装备中的各种支架、支座、传 动轴等部件，也常常会遇到压杆稳 定问题，需要合理设计以防止失稳 。
材料力学 第十二章 压杆稳定
P ≤ Pcr
(1) P ≤ Pcr
干扰力去掉后， 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线位置，恢复原有的平衡状态， 稳定平衡。 直线状态的平衡是稳定平衡 直线状态的平衡是稳定平衡。
干扰力
P ≥ Pcr
P = Pcr
干扰力
干扰力
干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置， (2) P ≥ Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡 不稳定平衡。 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后， (3) P = Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡 随遇平衡。 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。
40 1.5 1.5m 100 z y
【解】
Iy
I = I min = I y
100 × 403 20 i= = = mm A 12 × 100 × 40 3 µ l 0.7 ×1.5 ×103 × 3 λ= = = 90.9 i 20
λP = π
E
σP
70 ×103 =π × = 62.8 175
σP=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】 λ P = π
µl
E
σP
200 ×103 =π × = 99.3 200
A π d 2 / 4 4l = µl =l = λ= i I π d 4 / 64 d
l
l
长度系数
µ =1
µ=2
第十二章 压杆稳定
2 2
) )
n EI 可得：载荷 Pcr l2 n x 屈曲位移函数 v A sin (n 0，， 1 2 ) l 2 EI 临界力为最小压力：Pcr 2 —(12-5)欧拉公式 l x 屈曲位移函数 v A sin l
适用条件：两端 铰支的理想压杆 (n 0，， 1 2; ) 线弹性，小变形
2
EI
2
(0.7l )
2
统一表达式：P cr
EI 2 ( l )
---相当长度系数
第十二章
Pcr
压杆稳定
Pcr Pcr
Pcr
l/4 l l 0.7l l/2
0.3l
l/4
1
0.7
0.5
(12 5)
欧拉临界压力公式的统一表达式：
2
EI Pcr ( l )Fra bibliotek2思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
第十二章
压杆稳定
例：图示各细长压杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P P 1.3a P
因为 l 1 l 2 l 3 又
a
1.6a
2 EI Pcr 2 l
P cr1 P cr 2 P cr 3
可知
(1) (2) (3)
( l )1 2a
杆（1）能承受的压力最小，最先失稳； 杆（3）能承受的压力最大，最稳定。
( l ) 2 1.3a
(l ) 3 0.7 1.6a 1.12a
第十二章
压杆稳定
练习：已知图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动 求：临界压力 P
) )
n EI 可得：载荷 Pcr l2 n x 屈曲位移函数 v A sin (n 0，， 1 2 ) l 2 EI 临界力为最小压力：Pcr 2 —(12-5)欧拉公式 l x 屈曲位移函数 v A sin l
适用条件：两端 铰支的理想压杆 (n 0，， 1 2; ) 线弹性，小变形
2
EI
2
(0.7l )
2
统一表达式：P cr
EI 2 ( l )
---相当长度系数
第十二章
Pcr
压杆稳定
Pcr Pcr
Pcr
l/4 l l 0.7l l/2
0.3l
l/4
1
0.7
0.5
(12 5)
欧拉临界压力公式的统一表达式：
2
EI Pcr ( l )Fra bibliotek2思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
第十二章
压杆稳定
例：图示各细长压杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P P 1.3a P
因为 l 1 l 2 l 3 又
a
1.6a
2 EI Pcr 2 l
P cr1 P cr 2 P cr 3
可知
(1) (2) (3)
( l )1 2a
杆（1）能承受的压力最小，最先失稳； 杆（3）能承受的压力最大，最稳定。
( l ) 2 1.3a
(l ) 3 0.7 1.6a 1.12a
第十二章
压杆稳定
练习：已知图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动 求：临界压力 P
材料力学第十二章压杆的稳定
Pcr
=
π 2 EI (µL)2
= π 2EI
L2e
- - - - Euler formula
where : Le = µ L - - effective length;
µ - - coefficient of length concerned with boundary conditions
12-2 Limitation of the Euler Formulas and Slenderness
3. Stability
n=Pcr/Pmax=406/42=9.7 >nallow=8
Being in stable
12-3 提高压杆稳定性的措施
●尽量减小压杆长度 对于细长杆,其临界载荷与杆长平方成反比。因此,减小杆长可以显著
地提高压杆承载能力。在某些情况下,通过改变结构或增加支点可以达到 减小杆长、提高压杆承载能力的目的。例如,图a、b所示的两种桁架,不难 分析,两种桁架中的杆①、④均为压杆,但图b中的压杆承载能力要远远高 于图a中的压干杆。
Find the shortest length L for a steel
column with pinned ends having a cross-sectional area of 60
by 100 mm, for which the elastic Euler formula applies. Let
●合理选用材料
在其它条件均相同的情形下,选用弹性模量E数值大的材料,可以提高大 柔度压杆的承载能力,例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界 载荷。但是,普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不 大。因此,对于细长杆,若选用高强度钢对压杆临界载荷影响甚微,意义不大, 反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆,其临界载荷与材料的比例 极限σP,和屈服强度σYP有关,这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。
《压杆稳定教学》课件
增加约束
总结词
通过增加支撑、固定或增加附加约束，可以 提高压杆的稳定性。
详细描述
约束是影响压杆稳定性的重要因素。通过增 加支撑、固定或附加约束，可以限制压杆的 自由度，从而增强其稳定性。例如，在压杆 的适当位置增加支撑或固定点，可以减小压 杆的弯曲变形，提高其稳定性。此外，通过 增加附加约束，如套箍或加强筋等，也可以 提高压杆的稳定性。
实验结果与分析
实验结果
通过实验观察和数据记录，得到不同条件下 压杆的稳定性表现。
结果分析
根据实验数据，分析影响压杆稳定性的因素 ，如压杆的材料、截面形状、长度、直径等 。通过对比不同条件下的实验结果，总结出
压杆稳定性的一般规律和特点。
THANKS
感谢观看
REPORTING
稳定性安全系数
通过比较临界载荷与实际载荷的大小，来判断压杆的 稳定性。
稳定性试验
通过试验的方法，对压杆进行稳定性测试，以验证其 在实际使用中的稳定性。
PART 02
压杆的分类与计算
REPORTING
长细比较小的压杆
弹性失稳
当受到垂直于杆轴的压力时，杆件会 弯曲并丧失承载能力。
临界压力
当压杆达到临界压力时，杆件将发生 屈曲。
PART 05
压杆稳定性的实验研究
REPORTING
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定性的基本概念和原理，了解影响压杆稳定性的因 素。
实验原理
压杆稳定性是指细长杆在受到轴向压力时，抵抗弯曲变形的能力。当轴向压力 超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，丧失稳定性。本实验通过观察不同 条件下压杆的变形情况，分析影响压杆稳定性的因素。
根据欧拉公式计算临界应力：$sigma_{cr} = frac{EI}{A}$
物理压杆稳定PPT学习教案
P
解：(1)各杆柔度:
μ=1 i=d/4=2cm
A
L1
L3 L2
B
30o
D 60o C
L=4m
L1 12m
1 L1 i 173 p
2 L2 i 100 p
P
2E
99.3
P
s
a s
b
61.6
L3 3m
3 L3 i 86.6 ( s , p )
第38页/共56页
P A
N2 3N1 N3 (1 3)N1
P1 (3 3)N1 (3 3)Pcr1 1643.3kN
P2 (1 3)N2 (1 3)Pcr2 2641kN
P3 3N3 3Pcr3 1801kN
Pmax min( P1 , P2 , P3 ) P1 1643.3kN
第40页/共56页
Pcr
2L L
L L 0.7L
L
0.5L
L
C
C
Pcr 公式
长度 系数
2EI
2L2
2
2 EI L2
2EI
0.7L2
1 第14页/共560页.7
14
2EI
0.5L2
0.5
2 EI L2
1
例9-2-1 试导出下图两端固定的细长压杆临界力公式。
P P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
EIy M ( x ) Py M0
cr
2E 2
P
P
P
2E P
P 的杆为大柔度杆，可用欧拉公式求临界力。 P 的杆为中小柔度杆，不可用欧拉公式求临界力。
第26页/共56页
26
二、中小柔度杆的临界应力计算
(土建施工)教学设计-5提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
一、教学内容
知识目标：掌握提高压杆稳定性的措施。
能力目标：理解提高压杆稳定性的措施。
二、教学重难点
重点：提高压杆稳定性的措施。
难点：对提高压杆稳定性措施的理解。
三、教学方法
采纳线上线下混合式教学法、小组讨论法等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP安排任务，学生答复教师在云课堂APP中提出的相关问题。
课中：请学生以小组为单位，讨论如何提高压杆的稳定性，之后请各个小组将讨论的结果派代表进行论述，小组进行互评打分，最后老师论述提高压杆稳定性的措施。
课后：教师通过云课堂APP安排相关知识点的作业，要求学生按时完成，教师对作业进行批改，总结学生学习的缺乏。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务安排。
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两端铰支 ＝1.0 一端自由，一端固定 ＝2.0 两端固定 ＝0.5 一端铰支，一端固定 ＝0.7
l 相当长度(effective length)
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-17
12.3 Columns with others support
C
conditions
Pcr
2 EI (l)2
第十二章 压杆稳定 Chapter 12 Stability of Columns
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-1
Contents
12.1 Introduction 12.2 Euler’s formula 12.3 Columns with others support conditions 12.4 Critical stresses 12.5 Some measurements improving the stability
C
12.1 Introduction
q
2020/8/7
Typ biuccap klalitn fte o grrn -w tshaicn llyeld i(naidn )
comn parn(ed b isn )stioorfsoaip rornesdscuyrliizn
Kylinsoft
MOM-12-12
v(0)0,v(l)0
B 0 , A sk i n l0
A0
kl Pln
EI
Pn2l22EI
P cr (P )m in 0 Pcr2lE 2 I2El2m Iin
vAsiknxAsinx l
fonr1,elasctiucrivse
ahalw f asvienceurve
2020/8/7
Kylinsoft
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-18
12.3 Columns with others support
C
Pcr
2 EI (l)2
conditions
✓
杆端的约束愈强，则 定性愈好；
值愈小，压杆的临界压力
Pcr 愈高，稳
杆端的约束愈弱，则 定性愈差。
值愈大，压杆的临界压力
Pcr愈低，稳
Kylinsoft
C
MOM-12-5
C
12.1 Introduction
2. 失稳的工程实例
压杆
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-6
C
12.1 Introduction
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-7
C
12.1 Introduction
2020/8/7
Kylinsoft
✓ 欧拉公式只有在线弹性范围内才适用!
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-19
12.3 Columns with others support
C
conditions
2. Quizzes
(a) 15l5l
(b) 0.77l4.9l
(c) 0.59l4.5l (d) 22l4l
四根杆的材料和直径均相同，
12.1 Introduction
➢ 稳定的平衡构形与不稳 定的平衡构形之间的分 界点,称为临界点(critical point)。临界点所对应的 载荷称为临界载荷 (critical load),记作Pcr。
➢ 通常,屈曲将导致构件失 效。由于这种失效具有 突发性,常给工程带来灾 难性后果。
2020/8/7
of columns
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MOM-12-2
CБайду номын сангаас
12.1 Introduction
1. 失稳(稳定失效)的概念
不稳定平衡
稳定平衡
微小扰动就使小球远离原 来的平衡位置
微小扰动使小球离开原来的
平衡位置，但扰动撤销后小
球回复到平衡位置
随遇平衡
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-3
Kylinsoft
MOM-12-13
C
12.2 Euler’s formula
2. Euler loads for slender columns with pinned
ends
d2v dx2
M P v EI EI
let k2 P , EI
d 2v dx2
k2v
0
Its solution is:
C
MOM-12-15
12.3 Columns with others support
C
conditions
1. Euler loads for slender columns with different
end restrains
The same procedure as that discussed before can be used to determine
试判断哪一根最容易失稳， 哪一根最不容易失稳。
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MOM-12-8
C
12.1 Introduction
2020/8/7
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MOM-12-9
C
12.1 Introduction
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-10
C
12.1 Introduction
压杆的稳定性试验
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-11
the critical axial loads for columns with different boundary conditions. A general Euler load formula (欧拉公式普遍形式) can be written as:
Pcr
2 EI (l)2
长度系数 (coefficient of length concerned with boudary)
v A sk in x B ck ox s
Boundary conditions are:
v(0)0,v(l)0
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-14
12.2 Euler’s formula
Its solution is:
v A sk in x B ck ox s
Boundary conditions are:
C
12.2 Euler’s formula
1. 求解思路
为简化分析，在确定压杆临界载荷时做如下简化: 1) 剪切变形忽略不计; 2) 不考虑杆的轴向变形。
显然, 临界载荷是直杆保持微弯平衡构形的最小轴向 压力。因此, 由平衡条件和小挠度微分方程以及端部 约束条件, 即可确定临界载荷。
2020/8/7