2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(十)试题
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)
【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。
【试卷】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(包括答案、教师评分标准)
2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点， 则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ）A ．23B ．12 C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．14．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考 不了解新高考 总计中青年 中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQ MN的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x=-<≤，所以{|22}A B x x=-<≤．2．答案：C 解析：2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---，公式：11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=．3．答案：D 解析：因为70412212π≈，故选D．4．答案：B 解析：当0a≤时，1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减，当0a>时，1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．答案：A 解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP ∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．13．答案：160- 解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭． 14 解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）．250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ，所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立； 所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±， 由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQk k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦．若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQ MN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．2．答案：C解析：2i 2i 2i ,1i 1i 1i z z =∴====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ⋅=⋅=． 3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π3．答案：D解析：因为70412212π≈，故选D ． 4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．答案：B解析：当0a ≤时，1()f x axx =+在(2,)+∞上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a ≥．5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④5．答案：A解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．答案：A解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点． 则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．1312．答案：B解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BF BP AQ BP GM FG ==∴===， 连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．13．答案：160-解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．14．已知平面向量a 与b的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -= ．14解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增， 故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，222频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计 中青年中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，了解新高考不了解新高考总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计302050…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分 （2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅ 所以直线BF 与平面AEF12分20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =， 当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x fx '>单调递增， 故()f x在x =处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以若要不等式111()x f x x e ->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e ---><<-<-<， 32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN 的取值范围．21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分 （2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-，则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-， 则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦． 若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQMN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=； 由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分 当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分 当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+⎩，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分。
(全国100所名校最新高考模拟示范卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020年百校大联考高考数学模拟试题(理科)
2020年百校大联考高考数学模拟试题（理科）百校大联考2020届高三上学期联考(一)理科数学试题及答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，则A． B． C． D．2、已知，则的大小关系为A． B． C． D．3、A． B． C． D．4、命题，则是A． B． C． D．5、函数的零点包含于区间A． B． C． D．6、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A． B． C．2 D．7、函数，若矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C在函数的图象上，且，则点D的坐标为A． B． C． D．8、已知二次函数，若，则在A．上是增函数 B．上是增函数C．上是增函数 D．上是增函数9、已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是10、已知，命题若；命题若，则，在命题（1）；（2）；（3）；（4）中，证明题的个数为A．1 B．2 C．3 D．411、函数的定义域和值域都是,则A．1 B．2 C．3 D．412、设，其中，若对任意的非零实数，存有的非零实数成立，则k的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、设函数的图象关于直线对称，则a的值为14、设函数，则15、函数是周期为2的奇函数，当，则16、已知函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知全集，集合。
（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围。
18、（本小题满分12分）已知函数（1）求的定义域和值域；（2）若，求实数的取值范围。
19、（本小题满分12分）已知函数在上是单调函数；是的充分不必要条件，若为真，为假，求实数m的取值范围。
20、（本小题满分12分）已知函数，其中为常数（1）根据的不同值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由。
全国100所名校2020届高考模拟金典卷理科数学试题 (教师卷)
解题分析!作出'*&!# 与'*%#!/!的图象可知两个函数有两个公共点故集合 23I 中元素的个
数为!!
1!#!"&2年全国'卷$已知"5,$*#!(1$("5,7*#1(B$("$5,7"*&(则"5,$"$5,7*
,!%1
-!%!
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答案!.
命题意图!本题考查平面向量的坐标运算(考查运算求解能力!
=%0*00#%0 与0% 的大小关系不能确定#故 $项不正确!
&"!我国南北朝时期数学家祖暅(提出了著名的祖暅原理),缘幂势既同(则积 不容异也-!,幂-是截面积(,势-是几何体的高(意思是两等高几何体(若在 每一等高处的截面积都相等(则两几何体体积相等!已知某不规则几何体
$!#G 槡&1("$
解题分析!B双曲线
7')!
%#2!
*&的渐近线方程为'*G
!1#=
槡) 1
*
! 1
解得
)*+
=双曲线方程为'+! %#2!*&=双曲线7 的两个焦点坐标为"G 槡&1!
归因导学!错<,学
错点
错因
不能正确求出双曲线的焦点坐标 混淆%(0(3的关系(不能判断焦点所在坐标轴
.!#+!/'1!*&
$!#'!/'+!*&
答案!-
命题意图!本题考查椭圆的性质与定义的应用(考查数形结合的数学思想与运算求解能力!
解题分析!由题可设"1!$"*##于是"1!""*!##则""$"*1##再由椭圆定义知"1!$"/"1&$"*"1!$"
全国100所名校2020届高考模拟金典卷理科数学试题 (学生卷)
已知函数"##$'#)&%&%#&%##$'#)&!)#%$!&其中&&$均为正实数&且&) $'!! #&$求不等式"##$&的解集) #!$当# 时&求证*"##$%##$!
!"#$数学理科%
不容异也)!(幂)是截面积&(势)是几何体的高&意思是两等高几何体&若在
每一等高处的截面积都相等&则两几何体体积相等!已知某不规则几何体
与右侧三视图所对应的几何体满足(幂势既同)&其中俯视图中的圆弧为4 /
圆周&则该不规则几何体的体积为
-!4+!
0!41+,
2!4+!
!" #$%&'()*+, !&!#本小题满分&!分$
已知函数"##$'#()#!)$#&%##$'&*+#! #&$若"##$在区间'&&!(上不是单调函数&求实数$的取值范围) #!$若对任意#'&&,(&都有%##$%#!)#&)!$# 恒成立&求实数&的取值范围!
二选考题共&"分!请考生在第!!!(两题中任选一题作答!如果多做则按所做的第一题计分! !!!'选修-%-*坐标系与参数方程(#本小题满分&"分$
2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三理科数学(十)试题(带答案解析)
12．已知定义在 上的函数 ， ，其中 为偶函数，当 时， 恒成立；且 满足：①对 ，都有 ；②当 时， .若关于 的不等式 对 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
13．若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
14．若 的展开式中 的系数为 ，则 ______.
(1)求 和M的极坐标方程；
(2)当 时，求 的取值范围．
23．已知 ， .
（1）若 且 的最小值为1，求ห้องสมุดไป่ตู้的值；
（2）不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ， ，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
解不等式化简集合 ，观察两个集合间的关系，即可得答案；
【详解】
，解得 ，即 ， ，
.
故选：B.
15．已知 ，且 ，则 ______.
16．如图，过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 ， 与抛物线及其准线从上到下依次交于 三点，令 ， ，则当 时， ______.
17．公差大于 的等差数列 的前 项和为 ， ， 成等比数列，等比数列 的前 项和为 .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．执行如图所示的程序框图，则输出的 值是（）
A．4B．5C．6D．8
10．平面 过正方体 的顶点 ，平面 平面 ，平面 平面 ，则直线 与直线 所成的角为（）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线的左支上， 与双曲线的右支交于点 ，若 是以 为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）
2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三理科数学(十)试题
100所名校高考模拟金典卷·数学（十）（120分钟150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1.已知集合{}2|4M x x =…，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ）A. M N ⋂=∅B. N M ⊆C.{1,0,1}M N ⋂=-D.M N =R U【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合M ，观察两个集合间的关系，即可得答案；【详解】Q 24x ≤，解得22x -剟，即{|22}M x x =-剟，{2,1,0,1,2}N =--， N M ∴⊆.故选：B.【点睛】本题考查集合间的基本关系和基本运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2.下列复数中实部比虚部小的是（ ） A.92i +B.34i - C. 2(3)i + D. (45)i i +【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算，化简C ，D 选项，即可得答案；【详解】Q 2(3)96186i i i +=+-=+，(45)54i i i +=-+，∴四个选项中只有D 项中的复数的实部比虚部小.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算、实部与虚部的概念，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知向量(2,)a m =r ，(1,3)b =-r ，若()a b b +⊥r r r，则m =（ ）A.1-B. 1C. 4D.4-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为0，可得关于m 的方程，解方程即可得答案；【详解】由题意，得(3,3)a b m +=-r r，()a b b +⊥r r r Q ，()33(3)0a b b m ∴+⋅=--=r r r，解得4m =.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4.在ABC V 中，sin 22sin B A =，2a =，且4C π=，则c =（ ）A.10B. 3C.33D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得22b a =，再利用余弦定理，即可得答案； 【详解】由正弦定理知22b a =， 因为2a =，所以4b =.因为2222cos104ca b ab π=+-=，所以10c =.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A. 乙逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】C 【解析】 【分析】利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解.【详解】对于选项A, 甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题； 对于选项B, 甲的数学建模能力指标值为4，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D, 甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题. 故选C【点睛】本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则（ ）A. 122V V >B. 222V V =C. 12163V V -=D. 12173V V -=【答案】D 【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=；由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=.∴12416243173V V -=-= 故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 7.如图，正方形BCDE 和ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）A.35B.38C.310D.320【答案】C 【解析】分析：先利用三角形相似得出13FH a =，求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式进行求解． 详解：设CG BF H =I，由BCH FGH ∆∆∽，得122HF a BH a ==，即13FH a =， 则25ABFG BCDE S S a +=正方形正方形，2221183=()2332CFH GFH S S S a a a ∆∆+=+=阴影， 由几何概型的概率公式，得22332510a P a ==.故选C ．点睛：本题考查三角形相似、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本运算能力． 8.已知的数31()2cos 22f x x x =-，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（ ） A. 3,022k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B. 2,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C. 35,024k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D. 5,04k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用平移变换和伸缩变换得到()g x 的解析式，进而利令233x k ππ-=，k ∈Z ，即可得到对称中心. 【详解】31()2cos22f x x x =-Q，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 将函数2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，可得2sin 33x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，2()sin 33x g x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令233x k ππ-=，k ∈Z ，得322k xππ=+，k ∈Z ， ∴函数()g x 的对称中心为3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换中的辅助角公式、平移变换和伸缩变换、图象的对称中心，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解不等式即可得答案； 【详解】分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解得5k >，则输出k 的值是6. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的循环结构，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面αI 平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（ ）A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o【答案】C 【解析】如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α⋂平面AF ABCD l ==，11//,//CD BA BD AF Q ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线AF 与直线1BA 所成的角为60o . 故选C.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ V 是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） 2B. 253【答案】D 【解析】 【分析】 设1PF m =，2QF n =，利用双曲线的定义可得22m a =，22)n a =，再利用余弦定理可得,a c 的关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||2PQ m =，由双曲线的定义可知2122PF PF m n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得22m a =，22)n a =，在12QF F V 中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒，即22222224(22)(222)222(222)122c a a a a a ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，所以223c c e a a===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.RB. [0,1]C. 133133,2424⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D. (,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(23)()f x f x +=，即函数()f x 的周期3T =[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)-，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，，函数的周期是23，∴当33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若实数,x y 满足约束条件1031010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的区域，当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小. 【详解】由题意得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分）， 当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小， 所以32z x y =+的最小值为30212⨯+⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题考查简单线性规划的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用.14.若5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为2m -，则12d m x x =⎰______.【答案】24【解析】 【分析】根据二项式定理可求得m 的值，再代入定积分中，即可得答案；【详解】Q 5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55210315511C (1)C 22rr rr r rr r x T x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1031r -=，得3r =，∴x 的系数为23515C 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，522m -=-，5m =， 则552221112d 2d 5124mx x x x x ===-=⎰⎰.故答案为：24.【点睛】本题考查二项式定理展开式指定项系数、定积分计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15.已知2sin cos 213cos 7ααα⋅=-，且tan()3αβ+=，则tan β=______.【答案】113-或7- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值，再代入两角差的正切公式中，即可得答案； 【详解】2222sin cos sin cos tan 213cos sin 2cos tan 27ααααααααα⋅⋅===---Q，1tan 2α∴=-或tan 4α=.又tan()tan 3tan tan tan()1tan()tan 13tan αβααβαβααβαα+--=+-==+++Q ，将tan α的值代入上式可得：1tan 13β=-或tan 7β=-. 故答案为：113-或7-. 【点睛】本题考查同角三角函数的商数关系、两角差的正切，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意两种情况的值.16.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于、、A B C三点，令1||||AFBFλ=，2||||BCBFλ=，则当3πα=时，12λλ+=______.【答案】5【解析】【分析】设()11,A x y，()22,B x y，求出两点的坐标，再根据焦半径公式求出12,λλ的值，即可得答案；【详解】设()11,A x y，()22,B x y，则由过抛物线24y x=的焦点的直线的性质可得122416||2sin603AB x x=++==︒，12103x x∴+=，又21214px x==Q，13x∴=，213x=.分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点,E D，则1||||3(1)31||||(1)3AF AEBF BDλ--====--，同理可得2||||12||||sin30BC BCBF BDλ︒====，125λλ∴+=.故答案为：5.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.公差大于32的等差数列{}n a的前n项和为n S，13a=-，345,,4a a S+成等比数列，等比数列{}n b的前n项和为122n +-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）25n a n =-；2nn b =（2）16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪==⎨⎪+-⋅⎩…【解析】 【分析】（1）根据等比中项可得()24354a a S =+，从而求得d ，再利用等差数列和等比数列的通项公式，即可得答案；（2）对n 进行讨论，化简数列|25|2nn c n =-⋅，再利用错位相减进行求和. 【详解】（1）13a =-Q ，345,,4a a S +成等比数列，()24354a a S ∴=+，即2(33)(32)(1110)d d d -+=-+-+，解得2d =或1211d =（舍去），25n a n ∴=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，12b =Q ，()32222224b =---=，212b q b ∴==，2n n b ∴=. （2）|25|2nn c n =-⋅Q ，当1n =时，16T =；当2n =时，210T =；当3n ≥时，250n ->，341101232(27)2(25)2n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①-②()41108222(25)2n n nT n +⇒-=-++++--⋅L ，可得134(27)2n n T n +=+-⋅，16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪∴==⎨⎪+-⋅⎩…. 【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意n T 要写成分段的形式.18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()nn N*∈个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． ()1求n 的值；()2若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；()3若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）n 7=；（2）37；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出n 的值； （2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值； （3）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28n C +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()28285648715n C C n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有2721C =种情况； 若2个全是小集团，共有2828C =种情况； 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，计算()04874151039C C P X C ===，()13874158139C C P X C ===，， ()228741528265C C P X C ===，()3187415563195C C P X C ===， ()40874152439C C P X C ===；故X 的分布列为：X0 1 2 3 4P139 839 2865 56195 239数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 19.如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AECD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E F 、.2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE .（2）若//DE CF ，3CD =P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，求直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）520【解析】 【分析】（1）连接BE ，证明DE ⊥平面ABFE 内的两条相交直线,AF AE ，即可证明结论；（2）过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量(1,3)n =-r，求出|cos ,|CP n 〈〉u u u r r即可得答案；【详解】（1）连接BE ，由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， 在题图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE .DE ⊂Q 平面BDE ，AF DE ∴⊥.AE DE ⊥Q ，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE .（2）在题图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I，即AE ⊥平面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM=，1CM =，由勾股定理的逆定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，22,,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,3)C ，130,,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1,3)AC =-u u u r 132,,2AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，12,,33CP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r .设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 得230132022x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,1,3)n =-r . 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2253|cos ,|1573CP n -〈〉==⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭u u u r r，则5sin θ=.【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求线面角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知长度为AB 的两个端点A B 、分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)，且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数？若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22182x y +=（2）存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T时，常数为34+，当定点为2(T -时，常数为34- 【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，利用向量关系2BP PA =u u u r u u u r坐标化，可得曲线C 的方程；（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，将MT NT k k ⋅表示成关于,m t 的函数，利用恒成立问题，可得定点坐标.【详解】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =u u u r u u u r，所以()()00(,)2,22,2x y n m x y m x y -=--=--，即0222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以0323m x n y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.又因为||AB =，所以22018m n +=， 从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为22182x y +=.（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224880m y my +++=，所以()122122228484643240m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩， 故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+.假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()()()121222*********84(4)MT NT y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===---++-+-.当280t -=，且40t -≠时，MI NT k k ⋅为常数，解得t =±显然当t =t =-34-.所以存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T 时，常数为2(T -时，常数为34-.【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程、椭圆中的定值与定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤.（1）求实数a 的值； （2）令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<. 【答案】（1）2a =.（2）见解析. 【解析】试题分析：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤，可证：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意.（2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，可证()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，进而证明()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.试题解析：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，则()22'at h t a tt-=-=，当0a ≤时，()'0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于()10h=，所以当1t >时，()()10h t h >=，不合题意.当0a >时，()2'a t a h t t⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，()'0h t >；当2t a >时，()'0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()ht 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 2h t h a⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln22ln a a =-+-. 所以要使()0ht ≤在0t >时恒成立，则只需()max 0h t ≤，亦即22ln22ln 0a a -+-≤， 令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则()22'1a a a aϕ-=-=， 所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>，即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 又()20ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤， 所以()1h为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故()'10h =.又()22'ath t a t t-=-=，所以2a =， 此时()()21't h t t-=，当01t <<时，()'0h t >，当1t >时，()'0h t <，即：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意. （2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，则()22'1x s x xx-=-=，由于2x >，所以()'0s x >，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()80s <，()90s >，所以()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()gx 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增. 所以()()0mingx g x = 000022ln 2x x x x +=- 2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-） 即0m x =，所以()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【解析】 【分析】（1）结合cos ,sin x y ρθρθ==消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到()122cos sin ρραα+=+，用α表示OA OB +，结合三角函数的性质，计算范围，即可．【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭， 所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， 故OA OB +的取值范围是(2,.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大． 23.已知()1f x x x m =+++，()232g x x x =++.（1）若0m >且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x ≤的解集为A ，不等式()0g x ≤的解集为B ，B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）2m =；（2）04m ≤≤ 【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得()11f x m ≥-=，解出方程即可；（2）易得[]2,1B =--，()3f x ≤即4x m x +≤+，即42m x +≥-且4m ≤，再根据B A ⊆列出不等式即可得结果. 试题解析：（1）()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-(当1x =-时，等号成立） ∵()f x 的最小值为 1，∴11m -=，∴2m = 或0m =，又0m >，∴2m =.（2）由()0gx ≤得，[]2,1B =--，∵B A ⊆，∴(),3x B f x ∀∈≤，即()13x x m -+++≤ 44442m x m x x x m x x +⇔+≤+⇔--≤+≤+⇔≥-且4m ≤ 422m +⇔-≤-且404m m ≤⇔≤≤21。
【试卷】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（包括答案、教师评分标准）
2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （）A ．{|12}x x -≤≤B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i 1iz =-，则z =（）A ．1 B ．2 C ．2D ．223．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（）A ．12pB ．3pC ．2pD ．1p4．函数1()f x ax x=+在(2,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4æö+¥ç÷èøB ．1,4éö+¥÷êëøC ．[1,)+¥D ．1,4æù-¥çúèû5．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件；②命题“0x ">，都有sin 1x ≤”的否定是“00x $>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>7．在ABC △中，25sin ,1,4225C BC AB ===，则ABC △的面积为（）A ．2 B ．32C ．4 D ．58．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x p ww æö=+>ç÷èø， 若()f x 在[0,2]p 上有且仅有5个零点，个零点， 则w 的取值范围为的取值范围为 （ ）A ．1229,510éö÷êëøB ．1229,510æùçúèûC ．1229,510æöç÷èøD ．1229,510éùêúëû10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（所得弦长为（ ） A ．3B ．2 C ．4 D ．2311．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．分．把答案填在题中的横线上．13．612xx æö-ç÷èø的展开式中常数项为的展开式中常数项为 ． 14．已知平面向量a 与b 的夹角为3p ，(3,1),1a b =-= ，则2a b -=．A B C D D 1C 1B 1A 1MN15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则，则2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线与C在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．分． 17．（本小题满分12分）分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：调查结果制成下表：年龄（岁）年龄（岁）[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数频数 5 15 10 10 5 5 了解了解4 12 6 5 2 1 （1）把年龄在[15, 45)称为中青年，称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，称为中老年，称为中老年，请根据上表完成请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考了解新高考 不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年中老年中老年 总计总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 （2）若从年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分）分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ¹=且137,,a a a 成等比数列．成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式； （2）求数列11n na a +ìüíýîþ的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ppÐ=Ð=，平面CDE ^平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DEEF BD ===．（1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．所成角的余弦值．ABCDE FM20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--ÎR ．（1）讨论函数()f x 的极值；的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+¥上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）分） 已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>的短轴长为23，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；的方程；（2）过F 作夹角为4p 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN的取值范围．的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y a a =+ìí=î（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C p r q æö-=ç÷èø． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．的直角坐标．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B CDBAAACAC DB13 160-14 1315 0 16 2或43了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 17(1) 总计总计 30 20 50 250(221288)302020305.56 3.841K ´´-´=´´´»>所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．与年龄（中青年、中老年）有关联．X0 1 2 17(2) P110353101336()012105105E X =´+´+´=18 (1) 1n a n =+ (2) 2(2)n nT n =+19 (1) 设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．易证得平面//OMD 平面CEF ． 故//MD 平面CEF(2) 10420 (1) ①当0≤m 时，没有极值；时，没有极值；②当0m >时，极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．无极大值．(2) 存在1≥m ，使得不等式，使得不等式111()x f x xe->-在(1,)+¥上恒成立．上恒成立．此时m 的最小值是1．21 (1) 22143x y +=(2) 499749974848,éù-+êúëû 22 (1)221:(2)4C x y -+=，2:320C x y -+= (2) PQ 最小值为31-，此时(23,1)P - 23 (1) {|33}≤≤x x -(2) {|12}≤≤x x -1．答案：B 解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x =--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x =-<≤，所以{|22}A B x x =-< ≤．2．答案：C 解析：2i 2i 2i 2,21i 1i 1i 2z z =\====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ×=×=．3．答案：D 解析：因为70412212p»，故选D ． 4．答案：B 解析：当0a ≤时，1()f x ax x =+在(2,)+¥上单调递减，当0a >时，1()f x ax x=+在10,a æöç÷èø上单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø上单调递增，所以12a ≤，即14a ≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=´-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解，④正确．无穷多解，④正确． 6．答案：A 解析：15445511551,1log 5log 2,log 2log 522a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A 解析：234cos 12sin ,sin 255CC C =-=-\=；1,42a c ==，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b æö-+=ç÷èø，5b =，114sin 152225ABC S ab C \==´´´=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21tt =-，作出函数2ty =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5´+´-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍．倍．9．答案：A 解析：因为当[0,2]x Îp 时，2555x p p pw +wp +≤≤，由()f x 在[0,2]p 有且仅有5个零点．则265x pp w +<p 5≤，解得1229510w éöÎ÷êëø，． 10．答案：C 解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ¹，由24x y =，得2x y ¢=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ì=-ï=-íï=-î，得12123x t t y t t =+ìí==-î，22121212222AB t t t t k t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k D =-=，解得3k =±，当3k =时，243120x x -+=，解得23x =，故(23,3)A , 同理可得(23,3)B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D 解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以33323323a ba b a ba b++=+×=≥，故34a b+≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a ba bca ba ba b+++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP \===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V--æöæö=+=´´´+´´´=ç÷ç÷èøèø， 点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=\=．ABC D D 1C 1B 1A 1FPQ HM NABCD 1C 1B 1A 1P QHDGE13．答案：160- 解析：612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为33361(2)160C x x æö××-=-ç÷èø．14．答案：13 解析：2,1a b == ，cos13a b a bp ×=×= ，所以222244164113a b a a b b -=-×+=-+= ，所以213a b -=．15．答案：0 解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ¢¢=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-¢=+=+=-=，当(0,1)x Î时，()0,()g x g x ¢<单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0,()g x g x ¢>单调递增，单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=．16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为a ，则157tan ,cos 78a a ==．P 在第一象限，在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）． 若212F P F F =，则21212,22F P F F c F P c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得2340e e -+=，解得43e =或1e =-（舍去）． PF 2F 1OPF 2F 1O17．解析：（1）2×2列联表如图所示，列联表如图所示，了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 总计总计30 20 50 …………………………………………………………3分250(221288) 5.56 3.84130202030K ´´-´=»>´´´，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2， 则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X CCC ==========．………………………9分所以X 的分布列为的分布列为X 0 1 2 P11035 3101336()012105105E X =´+´+´=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=ìí+=+î ，即1212372a d d a d +=ìí=î，…………………………3分又因为0d ¹，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n æöæöæö=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷++++èøèøèø ．…………………………12分19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD Ë平面CEF ，EF Ì平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM Ë平面CEF ，CE Ì平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD Ì平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ^，平面CDE ^平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =Ì平面CDE ，所以ED ^平面ABCD ．连接OF ，则EF OD，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ，从而OF ^平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),(3,0,1),(0,1,1)EF AF BF ==-=-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则030n EF y n AF x z ì×==ïí×=-+=ïî，取(1,0,3)n =，…………8分则6cos ,4n BF n BF n BF×==×，设直线BF 与平面AEF 所成角为q ， 则10cos sin ,4n BF q ==，所以直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值为104． ………………………………………………12分20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-¢>=-+=，…………………………………………1分①当0≤m 时，21()0mx f x x-¢=<，所以()f x 在(0,)+¥上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -¢==，得1x m=， A BCD E F Mxy z O当10,x m æöÎç÷èø时，()0,()f x f x ¢<单调递减，当1,x m æöÎ+¥ç÷èø时，()0,()f x f x ¢>单调递增，单调递增， 故()f x 在1x m =处取得极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．…………………………5分（2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe ----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，时取等号，所以当(1,)x Î+¥时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+¥上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；恒成立；所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+¥上恒成立，只能0m >．当01m <<时，11m >，由（1）知，()f x 在11,m æöç÷èø上单调递减，上单调递减， 所以1(1)0f f m æö<=ç÷èø，不满足题意．……………………………………………………………………8分当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e -=---+，因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x ex x x x---+-+¢=-++->-++-==>，所以()F x 在(1,)+¥上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x Î+¥时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x xe->-在(1,)+¥上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由223b =，得3b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =，则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ¹±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-ìÞ+-+-=í+-=î，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==D =+>++，…………6分则2221212212(1)1()434k PQ k x x x x k +=+×+-=+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k+-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +æö+×ç÷+-èø==+++æö+×ç÷-èø，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MNkk k k++++++=×==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ¹时，22724322432197878722t kt k t t-æö+ç÷+èø==+-+， 若0t >，则197797722≥t t +--，若0t <，则197797722≤t t +--- 所以218712432977977≤≤k k ++---，即29778797748243248≤≤k k -++-+，所以499749974848≤≤PQ MN -+，且87PQ MN ¹．………………………………………………10分②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时84997499774848,PQ MN éù-+=Îêúëû． 若设2l 的方程为1y x =-，则74997499784848,PQ MN éù-+=Îêúëû， 综上可知，PQMN 的取值范围是499749974848,éù-+êúëû．……………………………………………12分 22．解析：（1）由122cos :2sin x C y a a=+ìí=î（a 为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13p r qæö-=ç÷èø，得13sin cos 122r q r q -=，即3cos sin 20r q r q -+=，又由cos ,sin x y r q r q ==，得曲线2:320C x y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )a a +，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d a 的最小值，的最小值，23cos 2sin 232()2cos 3126d a a p aa -++æö==+++ç÷èø．………………………………8分当且仅当52,6Z k k p a p =+Î时，()d a 取得最小值，最小值为31-，此时P 的直角坐标为(23,1)-．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x xx x x ìïïï=++-=+-<<íïï--ïî，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-ìï=-+--=+-<<íï-+î，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，不等式()()f x g x ≤的解集为{|12}≤≤x x -．……………………………………………10分654321224y = g (x )y = f (x )B (2,6)A (-1,3)O2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤ C ．{|21}x x -<≤ D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B 解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i 1iz =-，则z =（ ）A ．1 B ．2 C ．2D ．222．答案：C 解析：2i 2i 2i 2,21i1i1i2z z =\====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ×=×=．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12pB ．3pC ．2pD ．1p3．答案：D 解析：因为70412212p »，故选D ．4．函数1()f x ax x=+在(2,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．1,4æö+¥ç÷èøB ．1,4éö+¥÷êëøC ．[1,)+¥D ．1,4æù-¥çúèû4．答案：B 解析：当0a ≤时，1()f x ax x =+在(2,)+¥上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在10,a æöç÷èø上单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø上单调递增，所以12a ≤，即14a ≥． 5．下列命题中是真命题的是（．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件”的充分不必要条件 ；②命题“0x ">，都有sin 1x ≤”的否定是“00x $>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=ìí-=î有无穷多解．有无穷多解．A ．①②④．①②④B ．③④．③④C ．②③．②③D ．①③④．①③④5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=´-=，故错误．，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解，④正确．解，④正确． 6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A 解析：105445511551,1log 5log 2,log 2log 522a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，25sin ,1,4225C BC AB ===，则ABC △的面积为（的面积为（ ） A ．2 B ．32C ．4 D ．57．答案：A 解析：234cos 12sin ,sin 255CC C =-=-\=；1,42a c ==，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b æö-+=ç÷èø，5b =，114sin 152225ABC S ab C \==´´´=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（正视图面积的（ ）A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21tt =-，作出函数2ty =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5´+´-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍．倍．9．设函数()sin (0)5f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()f x 在[0,2]p 上有且仅有5个零点，则w 的取值范围为的取值范围为（ ） A ．1229,510éö÷êëøB ．1229,510æùçúèûC ．1229,510æöç÷èøD ．1229,510éùêúëû9．答案：A 解析：因为当[0,2]x Îp 时，2555x p p p w +wp +≤≤，由()f x 在[0,2]p 有且仅有5个零点．个零点．则265x pp w +<p 5≤，解得1229510w éöÎ÷êëø，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（所得弦长为（ ）A ．3B ．2 C ．4 D ．2310．答案：C 解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ¹，由24x y =，得2x y ¢=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ì=-ï=-íï=-î，得12123x t t y t t =+ìí==-î，22121212222ABt t t t k t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k D =-=，解得3k =±，当3k =时，243120x x -+=，解得23x =，故(23,3)A , 同理可得(23,3)B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D 解析：a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以33323323a bababa b++=+×=≥，故34a b+≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313aba bca b a ba b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．13ABC D D 1C 1B 1A 1MN12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BFBP AQ BP GM FG ==\===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，即为截面， 取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积所在的多面体的体积1111111111*********D DQ C CE C D H EQP V V V --æöæö=+=´´´+´´´=ç÷ç÷èøèø， 点1A 所在的多面体的体积1221211,332VV V =-=\=．ABC D D1C1B 1A 1FPQ HM NABCD1C1B 1A 1P QHDGE二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．分．把答案填在题中的横线上．13．612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为的展开式中常数项为 ． 13．答案：160-解析：612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为33361(2)160C x x æö××-=-ç÷èø． 14．已知平面向量a 与b 的夹角为3p ，(3,1),1a b =-= ，则2a b -=．14．答案：13解析：2,1a b ==，cos 13a b a b p×=×= ，所以222244164113a b a a b b -=-×+=-+= ，所以213a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则，则 2m a += ．15．答案：0 解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ¢¢=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-¢=+=+=-=，当(0,1)x Î时，()0,()g x g x ¢<单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0,()g x g x ¢>单调递增，单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线与C 在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为a ，则157tan ,cos 78a a ==．P 在第一象限，在第一象限，12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F=，则11212,22F P F F c F P c a===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）． 若212F P F F =，则21212,22F P F F c F P c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得2340e e -+=，解得43e =或1e =-（舍去）． PF 2F 1OPF 2F 1O三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．分． 17．（本小题满分12分）分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：调查结果制成下表：年龄（岁）年龄（岁）[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数频数 5 15 10 10 5 5 了解了解4 12 6 5 2 1 （1）把年龄在[15, 45)称为中青年，称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，称为中老年，称为中老年，请根据上表完成请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年中老年中老年 总计总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 （2）若从年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，列联表如图所示，了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 总计总计30 20 50 …………………………………………………………3分250(221288) 5.56 3.84130202030K ´´-´=»>´´´，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分所以X 的分布列为的分布列为X 0 1 2 P110 35 3101336()012105105E X =´+´+´=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ¹=且137,,a a a 成等比数列．成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）求数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=ìí+=+î ，即1212372a d d a d +=ìí=î，…………………………3分又因为0d ¹，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n æöæöæö=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷++++èøèøèø ．…………………………12分19．（本小题满分12分）分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ppÐ=Ð=，平面CDE ^平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．所成角的余弦值．ABCDE FM19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD Ë平面CEF ，EF Ì平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM Ë平面CEF ，CE Ì平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD Ì平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ^，平面CDE ^平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =Ì平面CDE ，所以ED ^平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ^平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),(3,0,1),(0,1,1)EF AF BF ==-=-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则030n EF y n AF x z ì×==ïí×=-+=ïî，取(1,0,3)n = ，…………8分则6cos ,4n BF n BF n BF×==× ， 所以直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值为64．……………………………………………………12分 A BC DEFM x y z O20．（本小题满分12分）分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--ÎR ． （1）讨论函数()f x 的极值；的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e ->-在(1,)+¥上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-¢>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-¢=<，所以()f x 在(0,)+¥上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -¢==，得1x m =， 当10,x m æöÎç÷èø时，()0,()f x f x ¢<单调递减，当1,x m æöÎ+¥ç÷èø时，()0,()f x f x ¢>单调递增，单调递增， 故()f x 在1x m =处取得极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，时取等号， 所以当(1,)x Î+¥时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+¥上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；恒成立；。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(二)高三模拟测试数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（二）高三模拟测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若集合{}|22A x x =-<≤，{}|13B x x =-<<，则A B =U （ ）A ．[)2,3-B ．(]1,2-C ．(]2,2-D ．()2,3-答案：D利用集合的并运算求解即可.解：因为集合{}|22A x x =-<≤，{}|13B x x =-<<，由集合的并运算可得，()2,3A B =-U .故选：D点评：本题考查集合的并运算；考查运算求解能力；属于基础题.2．i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A B ．2 C D 答案：C由复数模长的定义可直接求得结果.解：2z i =-Q ，z ∴==故选：C . 点评：本题考查复数模长的求解问题，属于基础题. 3．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．45y x =±B ．54y x =±C ．43y x =±D ．34y x =? 答案：C 由双曲线的离心率，结合,,a b c 的关系求出,a b 的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解.解： 因为双曲线的离心率为53，即53c e a ==， 所以53c a =，又222c a b =+， 所以43b a =，因为双曲线的渐近线方程为b y x a=±， 所以该双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：C点评：本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若1166S =，则6a =（ ）A ．6B ．4C ．11D ．3答案：A利用等差数列的性质和等差数列前n 项和公式即可求解.解：因为1166S =，由等差数列前n 项和公式可得， ()1111111662a a S +==，解得11112a a +=， 由等差数列的性质可得，11162a a a +=，所以66a =.故选：A点评：本题考查等差数列的性质和等差数列前n 项和公式；考查运算求解能力；灵活运用等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是求解本题的关键；属于基础题.5．511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x -的系数是（ ） A ．15 B ．15- C ．10 D ．10-由二项展开式通项公式可确定3r =，由此可求得系数. 解：511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项()()55155111r r r r r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭， 当3r =时，3224510T C x x --=-=-，即2x -的系数为10-.故选：D .点评： 本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式.6．函数()()21e ln 11e xx f x x x -=+-+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：B根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性排除选项,C D ；利用()20f >排除选项A 即可.解：由题意知，函数())21e ln 11e xxf x x x -=++的定义域为R ，其定义域关于原点对称， 因为())21ln 11xx e f x x x e----=++)21ln 11x x e x x e -=++ 又因为)))1222ln 1ln 1ln 1x x x x x x -+=+=-+， 所以()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，故排除,C D ； 又因为())2212ln 5201e f e-=->+，故排除A. 故选：B本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.7．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．152πB ．12πC ．112πD ．212π 答案：A由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.解：由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥， 因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A点评：本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.8．图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A ．3169d V ≈B ．32d V ≈C ．3300157d V ≈D ．3158d V ≈答案：C利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可.解： 由316V d π=得：36V dπ=. 由A 得：3916V d ≈，69 3.37516π=∴⨯≈；由B 得：312V d ≈，632π∴≈=； 由C 得：3157300V d ≈，6157 3.14300π⨯∴≈=；由D 得：3815V d ≈，68 3.215π⨯∴≈=， C ∴的公式最精确.故选：C .点评：本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.9．已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ）A ．4B ．2C 3D 33答案：A延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,根据题意作出图形，利用三角形全等和三角形中位线的性质即可求解.解：延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,作图如下：因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥， 所以2MF MP =， 所以2111MF MF MP MF F P -=-=，因为,O N 分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F ∆的中位线， 所以1122ON F P ==， 所以21124MF MF F P ON -===.故选：A点评：本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系；考查数形结合思想和运算求解能力；根据题意作出图形，三角形中位线的性质的运用是求解本题的关键；属于中档题.10．若存在m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下述四个结论：①1不是函数()()10f x x x x=+>的一个下界；②函数()ln f x x x =有下界，无上界；③函数()2e xf x x=有上界，无下界；④函数()2sin 1x f x x =+有界． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．② 答案：B根据函数上界、下界及有界的概念，利用导数判断函数的单调性并求最值，结合选项，利用排除法，对结论①②③④进行逐项判断即可.解：。
2020届全国百强中学新高考原创精准模拟考试(十)理科数学试卷
2020届全国百强中学新高考原创精准模拟考试（十）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可．【详解】，则，故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.【考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.【此处有视频，请去附件查看】3.若变量满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，，解得，，则的最大值是，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.执行如图所示程序框图的输出结果是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，， 满足条件，执行循环体，，， 满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为7，故选C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确. 【详解】若，，则有可能在面内，故A 错误；若，，有可能在面内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.6.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为，代入即可得出．【详解】设等差数列的公差，且，，成等比数列，∴，∴，，则，故选B ．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7.设，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，于，，，可得，，，解得，，所以所求椭圆方程为：，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可．【详解】，排除C ，D ；，排除B ，故选A ．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果． 【详解】函数的最小正周期为，解得：，所以， 由于，故：时，取最大值． 故：，解得：，即， 由于，故的最小值为，故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12.如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A. 点到的距离为B. 三棱锥的体积是C. 与平面所成的角是D. 与所成的角是【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论．【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；对于B，三棱锥的体积是，故B错误；对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，故选：D【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．故答案为：150．【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．14.已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1可求出的值，然后求解双曲线方程．【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得，，，解得，则，所以所求的双曲线方程为：，故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.15.已知，，则__________．【答案】7【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（）的值，进而求出tan（）的值，tan A变形为tan[（）]，利用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值．【详解】解：∵∈（，），∴∈（，π），∵sin（），∴cos（），∴tan（）＝，则tan A＝tan[（）]．故答案为：【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线P A，PB 分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f （x ）的最大值为．【详解】解：A，B是函数f（x ）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线P A，PB 分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设P A与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k P A＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在中，角的对边分别为，已知，，(1)若，求；(2)求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理得，结合二次函数的性质即可得结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，∴；（2），当时，的面积有最大值.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.∴平面平面，∴平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，，，，得，.设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核平均成绩哪个大？（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.附：【答案】（Ⅰ）王老师；（Ⅱ）没有.【解析】【分析】（Ⅰ）分别计算王老师和赵老师绩效考核的平均成绩，进行比较即可；（Ⅱ）完成列联表，计算的值，利用独立性检验的知识进行判断即可.【详解】（Ⅰ）第一学期的数据为：43，44，49，52，53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，72，73，75，76，78，83，84，87，88，93，95，其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核平均成绩为：；第二学期的数据为：44，49，52，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，81，88，88，94，其“中位数”为65，优秀有5个，合格有15个，不合格有5个，∴赵老师的教学绩效考核平均成绩为：，∴，所以，王老师的教学绩效考核平均成绩较大；（Ⅱ）由题意得：，∵，∴没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，结合数据完成列联表计算的观测值是解决本题的关键，属于基础题.20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.(1)求抛物线的方程；(2)如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积．【详解】（Ⅰ）由轴时，，∴抛物线的方程为：；（Ⅱ）由，可设：，与联立得：，设，，则，∴，由，，∴，，∴：，即，与联立得，∴，∴点到直线的距离，∴，∴当（即轴），取最小值16.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.21.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；（Ⅱ），构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.【详解】（Ⅰ），，，令，，①当，即时，恒成立，∴，∴在上单调递增；②当，即或时，有两个实数根，，若，则，∴，∴当时，，；当时，，，∴在上单调递减；在上单调递增，若，则，∴，当或时，，；当时，，，∴在，上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ），令，由，，得，，∴，∴或（舍去），∴，令，，，∴在上单调递减，∴，且当时，，也取得最小值，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)判断点与直线的位置关系并说明理由；(2)设直线与曲线交于两个不同的点，求的值.【答案】（Ⅰ）点在直线上；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把直线化成直角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线，利用参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）直线：，即，斜率，倾斜角，∵点满足此方程，∴点在直线上；（Ⅱ）曲线的普通方程为①，直线的参数方程为（为参数）②，把②代入①得，得，，又∵，，且与异号，∴.【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若函数的最大值是3，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】【分析】（Ⅰ）代入，的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【详解】（Ⅰ）∵当，时，，∴的解集为；（Ⅱ）∵，，，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(三)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数31i z i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y ⎧==⎨⎩则()U A B =（） A.(1,)+∞B.(0,1)C.(0,)+∞D.[1,)+∞ 3.已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（） A.83- B.43- C.83 D.43 4.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A.314B.1114C.114D.275.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（）A.若//αβ，则l//mB.若αβ⊥，则l m ⊥C.若l β⊥，则αβ⊥D.若αβ⊥，则m α⊥ 6.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c -=（） A.32 B.12C.14D.18 7.已知2log 3a =， 4.12b -=，13827c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A.c b a << B.c a b << C.b c a << D.a c b <<8.已知边长为4菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（）A.16B.14C.12D.89.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（）A.[2,1]--B.(,2][1,0]-∞-⋃-C.(,2][1,0)-∞-⋃-D.(,2)(1,0]-∞-⋃- 10.将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（） A.228(0,][,]939 B.2(0,]9 C.28(0,][,1]99 D.(0,1]11.在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，ACPC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A.3πC.12πD.24π 12.已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A.25 B.2 C.72D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．14.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(3,0)F -，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线AB 的斜率为2，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．16.已知函数()()ln ()ln x x e ax e x f x x ax --=-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n a n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，ACBD O =，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ；（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值．19.金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意 不愿意 男生60 20 女士 40 40（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． ()20P K k ≥0.05 0.01 0.001 0k 3.841 6.63510.828 20.已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-．（1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值；（2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 21.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形21B MNB 面积的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点(1,33M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．。
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100所名校高考模拟金典卷·数学（十）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.已知集合{}2|4M x x =…，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ） A ．M N ⋂=∅B ．N M ⊆C ．{1,0,1}M N ⋂=-D ．M N ⋃=R2.下列复数中实部比虚部小的是（ ） A ．92i +B ．34i -C ．2(3)i +D ．(45)i i +3.已知向量(2,)a m =r ，(1,3)b =-r ，若()a b b +⊥r r r，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．4D ．4-4.在ABC △中，sin B A =，a =，且4C π=，则c =（ ）AB ．3C ．D ．5.为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值大于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值平均水平大于甲的六维能力指标值平均水平D ．甲的数学运算能力指标值大于甲的直观想象能力指标值6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V 、2V ，则（ ）A ．122V V >B ．122V V =C ．12163V V -=D ．12173V V -=7.如图，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）A ．35B ．38C ．310D ．3208.已知的数1()2cos22f x x x =-，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（ ） A ．3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈ZB ．2,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C ．35,024k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D ．5,04k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 9.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面αP 平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ △是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．2CD12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x …时，()0g x '>恒成立，且()f x 满足：①对x ∀∈R ，都有((f x f x +=-；②当[x ∈时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式()2[()]2g f x g a a -+„对3322x ⎡∀∈---⎢⎣恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[0,1]C．112424⎡--+⎢⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若实数,x y 满足约束条件1031010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值为______.14.若5212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为2m-，则12d m x x =⎰______. 15.已知2sin cos 213cos 7ααα⋅=-，且tan()3αβ+=，则tan β=______.16.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A B C 、、三点，令1||||AF BF λ=，2||||BC BF λ=，则当3πα=时，12λλ+=______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.公差大于32的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，345,,4a a S +成等比数列，等比数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用,A B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()*n n ∈N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415. （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次随机抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望.19.如图1，在梯形ABCD 中，AB CD P ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E F 、 .2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE .（2）若DE CF P ，CD =P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，求直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值.20.已知长度为AB 的两个端点A B 、分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)，且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数？若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()ln f x a x =+，且()||f x a x „. （1）求实数a 的值； （2）令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证6()7f m <<. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），过原点O ，且倾斜角为α的直线l 交M 于A B 、两点.（1）求l 和M 的极坐标方程； （2）当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求||||OA OB +的取值范围. 23.[选修4—5：不等式选讲]已知()|1|||f x x x m =+++，2()32g x x x =++. （1）若0m >，且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）若不等式()3f x „的解集为A ，不等式()0g x „的解集为B ，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.（十）1.答案 B命题意图 本题考查集合的交集.解题分析 由24x ≤，解得22x -剟，即{|22}M x x =-剟，N M ∴⊆. 2.答案 D命题意图 本题考查复数的实部与虚部.解题分析 因为2(3)96186i i i +=+-=+，(45)54i i i +=-+，故四个选项中只有D 项中的复数的实部比虚部小. 3.答案 A命题意图 本题考查向量的坐标运算.解题分析 由题意，得(3,3)a b m +=-r r ，()a b b +⊥r r r Q ，()33(3)0a b b m ∴+⋅=--=r r r，解得4m =.4.答案 A命题意图 本题考查解三角形.解题分析 由正弦定理知b =，因为a =，所以4b =.因为2222cos104c a b ab π=+-=，所以c =5.答案 C命题意图 本题考查网状图与统计的知识.解题分析 对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4， 乙的逻辑推理能力指标值为3，所以A 项错误；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5， 所以乙的直观想象能力指标值大于甲的数学建模能力指标值，所以B 项错误； 对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为123(434534)66+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为1(543543)46+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5， 所以甲的数学运算能力指标值小于甲的直观想象能力指标值，故D 项错误.故选C 项. 6.答案 D命题意图 本题考查三视图与几何体的体积.解题分析 由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=.由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=，12416243173V V ∴-=-=.7.答案 C命题意图 本题考查几何概型.解题分析 设CG BF H ⋂=，由BCH FGH △∽△，得122HF a BH a ==，即13FH a =， 则25ABFG BCDE S S a +=正方形正方形，22211832332CEH GFH S S S a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭△△阴影， 由几何概型的概率公式，得22332510a P a ==.8.答案 A命题意图 本题考查三角函数的图象与性质. 命题意图1()2cos22f x x x =-Q ，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，将函数2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，可得2sin 33x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，2()sin 33x g x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令233x k ππ-=，k ∈Z ，得322k x ππ=+，k ∈Z ，函数()g x 的对称中心为3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z . 满分导考 考←→分9.答案 C命题意图 本题考查程序框图与数列求和.解题分析 模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解得5k >，则输出k 的值是6. 10.答案 C命题意图 本题考查异面直线的夹角.解题分析 如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面αP 平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l AF ==，11CD BA Q P ，BD AF P ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线BD 与直线1BA 所成的锐角，因为1A BD △为等边三角形，所以160A BD ∠=︒.11.答案 D命题意图 本题考查双曲线的离心率. 解题分析 如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||PQ =，由双曲线的定义可知212PF PF n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得m =，2)n a =，在12QF F △中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒，即22222242)22)122c a a a a ⎛=+-⨯⨯⨯-= ⎝⎭，所以c e a ===12.答案 D命题意图 本题考查函数的性质与最值.解题分析 Q 函数()g x 满足当0x ≥时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，()2[()]2g f x g a a ∴-+„，3322x ⎡∈---⎢⎣恒成立2|()|2f x a a ⇔-+„恒成立，只要使得定义域内2max |()|2f x a a -+„，由((f x f x +=-，得(()f x f x +=，即函数()f x 的周期T =Q 当[x ∈时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，∴该函数过点(，(0,0)，，如图，且函数()f x 在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2.3322x ⎡∈---⎢⎣Q ，函数()f x 的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣时，函数()f x 的最大值为2，由222a a ≤-+，即222a a -+„，则20a a -…，解得1a ≥或0a „.13.答案 2命题意图 本题考查简单的线性规划.解题分析 由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小，所以32z x y =+的最小值为30212⨯+⨯=.14.答案 24命题意图 本题考查二项式定理与定积分.解题分析 5212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项为 55210315511C (1)C 22rr rr r rr r x T x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1031r -=，得3r =，所以x 的系数为23515C 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，522m -=-，5m =，则552221112d 2d 5124mx x x x x ===-=⎰⎰.15.答案 113-或7- 命题意图 本题考查三角恒等变换. 解题分析 2222sin cos sin cos tan 213cos sin 2cos tan 27ααααααααα⋅⋅===---Q，1tan 2α∴=-或tan 4α=. 又tan()tan 3tan tan tan()1tan()tan 13tan αβααβαβααβαα+--=+-==+++Q ，代入tan α的值可得1tan 13β=-或tan 7β=-.16.答案 5命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系.解题分析 设()11,A x y ，()22,B x y ，则由过抛物线24y x =的焦点的直线的性质可得122416||2sin 603AB x x =++==︒，12103x x ∴+=，又21214p x x ==Q ，13x ∴=，213x =.分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，则1||||3(1)31||||(1)3AF AE BF BD λ--====--，同理可得2||||12||||sin 30BC BC BF BD λ︒====，125λλ∴+=.17.命题意图 本题考查求数列的通项与前n 项和. 解题分析（1）13a =-Q ，345,,4a a S +成等比数列，()24354a a S ∴=+，即2(33)(32)(1110)d d d -+=-+-+，解得2d =或1211d =（舍去），25n a n ∴=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，12b =Q ，()32222224b =---=，212b q b ∴==，2n n b ∴=. （2）|25|2nn c n =-⋅Q ，当1n =时，16T =；当2n =时，210T =；当3n ≥时，250n ->，341101232(27)2(25)2n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②()41108222(25)2n n n T n +-⇒-=-++++--⋅L ①②，可得134(27)2n n T n +=+-⋅，16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪∴==⎨⎪+-⋅⎩….18.命题意图 本题考查排列组合与分布列.解题分析 （1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28n C +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是2828564(8)(7)15n C C n n +==++，整理得到(7)(8)210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =.（2）若2个全是大集团，共有2721C =种情况；若2个全是小集团，共有28C 28=种情况，故全为大集团的概率为21321287=+.（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，048715C C 1(0)C 39P X ===；138715C C 8(1)C 39P X ===；2287215C C 28(2)C 65P X ===； 3187415C C 56(3)C 195P X ===；4087415C C 2(4)C 39P X ===. 故X 的分布列为：数学期望为()012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.命题意图 本题考查线面垂直的证明与求线面角.解题分析 （1）连接BE .由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在题图2中，AF BE ⊥， 由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE .DE ⊂Q 平面BDE ，AF DE ∴⊥.AE DE ⊥Q ，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE .（2）在题图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E ⋂=，即AE ⊥平面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF P 交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理的逆定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u uu r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，22,,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，C ，10,,22D ⎛- ⎝⎭，(AC =-u u u r 12,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，12,,3CP ⎛=-⎝u u u r . 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r得2012022x y x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,n =-r . 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，|cos ,|CP n 〈〉==u u u r r，则sin θ=.20.命题意图 本题考查轨迹方程与定点、定值问题. 解题分析 （1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =u u u r u u u r，所以()()00(,)2,22,2x y n m x y m x y -=--=--， 即0222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以0323m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩.又因为||AB =，所以22018m n +=， 从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为22182x y +=. （2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224880m y my +++=，所以()122122228484643240m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩， 故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+.假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()()()12122222121212884(4)MT NT y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===---++-+-. 当280t -=，且40t -≠时，MI NT k k ⋅为常数，解得t =±.显然当t =t =-所以存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT的斜率之积为常数，当定点为1T2(T -21.命题意图 本题考查函数的恒成立与隐零点问题.解题分析 （1）法1：由题意知2ln ||a x a x +„恒成立等价于2ln 0a at t -+„在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，则22()ath t a t t-'=-=. 当0a „时，()0h t '>，故()h t 在(0,)+∞上单调递增， 由于(1)0h =，所以当1t >时，()(1)0h t h >=，不合题意.当0a >时，2()a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，所以当20t a <<时，()0h t '>；当2t a >时，()0h t '<，所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，即max 2()22ln 22ln h t h a a a ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.所以要使()0h t „在0t >时恒成立，则只需max ()0h t „， 即22ln22ln 0a a -+-„，令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则22()1a a a aϕ-'=-=， 所以当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>，即()a ϕ在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又因为(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知2ln ||a x a x +„恒成立等价于2ln 0a at t -+„在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，由于(1)0h =，故2ln 0()(1)a at t h t h -+⇔剟， 所以(1)h 为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故(1)0h '=.又因为22()ath t a t t -'=-=，所以2a =， 此时2(1)()t h t t-'=，当01t <<时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<，即()h t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故2a =合题意. （2）由（1）知()22ln ()(2)2xf x x x xg x x x a x +==>--，所以22(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-， 令()2ln 4s x x x =--，则22()1x s x x x-'=-=，由于2x >，所以()0s x '>， 即()s x 在(2,)+∞上单调递增.又因为(8)0s <，(9)0s >，所以0(8,9)x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()200000min000022ln 2()22x x x x x g x g x x x x +-====--，（因为002ln 4x x =-），即0m x =，所以()000()22ln 2(6,7)f m f x x x ==+=-∈，即6()7f m <<.22.命题意图 本题考查极坐标方程及其应用.解题分析 （1）由题意可得，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R . 曲线M 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以M 的极坐标方程为22(cos sin )10ρρθθ-++=. （2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且12,ρρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得22(cos sin )10ρααρ-++=. 当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以122(cos sin )ρραα+=+， 根据极坐标的几何意义，||OA 、||OB 分别是点A B 、的极径，从而12||||2(cos sin )4OA OB πρρααα⎛⎫+=+=+=+⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故||||OA OB +的取值范围是. 23.命题意图 本题考查绝对值不等式.解题分析 （1）()|1||||(1)()||1|f x x x m x x m m =++++-+=-…（当1x =-时，等号成立），()f x Q 的最小值为1，|1|1m ∴-=，2m ∴=或0m =. 又0m >Q ，2m ∴=.（2）由()0g x „得，[2,1]B =--，B A ⊆Q ，x B ∴∀∈()3f x „， 即4(1)||3||4442m x x m x m x x x m x x +-+++⇔++⇔--++⇔-剟剟?， 且4422m m +⇔--剟，且404m m ⇔剟?.。