高中数学函数的周期性练习

高中数学函数的周期性练习

题型一：求周期问题

【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）

A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数

C. 周期为40的奇函数

D. 周期为40的偶函数

【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期

【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭为奇函数．给出以下3个命题：

①函数()f x 的周期是6；

②函数()f x 的图象关于点302

⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）．

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2

b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ．

2a b + B ．2()b a - C ．2

b a - D ．4()b a -

【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =⋅，且(0)0f ≠．

⑴求证：()f x 为偶函数；

⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）．

典例分析

【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2

x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，(1)0f a =>．

⑴求1()2f 及1()4

f ； ⑵证明()f x 是周期函数；

题型二：求值问题

【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭

，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝

⎭，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-

【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12

x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.

【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

12f x f x +=

，若()15,f =-则()()5f f =__________。

【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )

(A )－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

【例11】 （1996全国，15）设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当0≤x ≤1时，()f x x =，

则f （7.5）等于（ ）

A .0.5 B.－0.5

C.1.5

D.－1.5

【例12】 已知函数f (x )的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)若f (0)＝2004，求

f (2004)

【例13】 函数()f x 在R 上有意义，且满足：⑴()f x 是偶函数；⑵(0)999f =；⑶()(1)g x f x =-是奇函

数，求(2008)f ．

【例14】 ()f x 是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，都有(3)()3f x f x ++≤和(2)()2f x f x ++≥，

设()()g x f x x =-，

⑴求证()g x 是周期函数；

⑵如果f （998）=1002，求f （2000）的值．

【例15】 数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，且a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋

) ①求a 100；

②求S 100.

题型三：其他综合问题

【例16】 （2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设

63(),(),52a f b f ==5(),2

c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<

【例17】 （2005福建卷()f x 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且(2)0f =，则方程()f x =0在区

间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【例18】 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又

知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-。

①证明：(1)(4)0f f +=；

②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；

③求()y f x =在[4,9]上的解析式。

【例19】 （05广东卷）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭

区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．

（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

【例20】 对每一个实数对x ,y ,函数f (t)满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋xy ＋1,若f (－2)=－2,试求满足f (a )＝a 的

所有整数a .

【例21】 已知()f x 为定义在区间(-∞，)+∞上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用k I 表示区间(21k -，

21]k +，已知0x I ∈时，2()f x x =．

⑴求()f x 在k I 上的解析式；

⑵对自然数k ，求集合{|k M a =使方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}．