切线判定与性质练习题(2)

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切线的性质与判定

P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数．解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。

圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc

D.不能确定的切线的性质与判定副标题题号 * 总分得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设。

的半径为厂，圆心。

到直线/的距离为丈 ①直线/和0。

相交②直线 /和。

相切od=r ；③直线/和。

0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。

C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。

，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。

C 与直线AB 的关系是相交；故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。

是MBC 的内切圆，切点为。

、E 、尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。

人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）

2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。

圆的切线综合练习题与答案完整版

圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。

切线的判定和性质

例如图，△ABC 内接于大⊙O ，∠B ＝∠C ，小⊙O 与AB 相切于点D ．求证：AC 是小圆的切线．分析 AC 与小⊙O 的公共点没有确定，故应过O 作AC 的垂线段OE ．再证明OE 等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC 是小圆的切线．证明连结OD ，作OE ⊥AC 于E ． ∵∠B ＝∠C ，∴AB=AC ．又AB 与⊙O 小相切于D ，∴OD ⊥AB ． ∵OE ⊥AC ，∴OD=OE ．即小⊙O 的圆心O 到AC 的距离等于半径，所以AC 是小圆的切线．说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题．例（大连市，l 999）阅读：“如图△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ．求证：AE 与⊙O 相切于点A ．证明：作直径AF ，连结FC ，则∠ACF ＝90°．∴ ∠AFC+∠CAF ＝90°． ∵∠B ＝∠AFC ． ∴ ∠B+∠CAF ＝90°．又∵ ∠CAE=∠B ，∴ ∠CAE+∠CAF ＝90°．即AE 与⊙O 相切于点A ．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．如图，已知△ABC 内接于⊙O ．P 是CB 延长线上一点，连结AP ．且PA 2＝PB ·PC ．求证：PA 是⊙O 的切线．证明：∵PA 2＝PB ·PC ，∴PAPBPC PA ．又∵ ∠P=∠P ，∴△PAB ∽△PCA ．∠PAB=∠C ．由阅读题的结论可知，PA 是⊙O 的切线．说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B 组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．例（西宁，1999）已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以AB 为直径的⊙O 交斜边AB 于E ，OD ∥AB ．求证：（1）ED 是⊙O 的切线；（2）2 DE 2＝BE ·OD证明：（1）连结OE 、CE ，则CE ⊥AB ．在Rt △ABC 中，∵OA=OC ，OD ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴DE=CD ，又∵OC=OE ，OD=OD ，∴△COD ≌△EOD ，∴∠OED=∠OCD=90°，∴ED 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ABC 中，CE ⊥AB ，∴△CBE ∽△ABC ，∴CB 2＝BE ·AB ， ∵OD 为△ABC 的中位线，∴AB=2OD ，BC=2ED ，∴（2ED ）2＝BE ·2OD 即2 DE 2＝BE ·OD说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．BC典型例题四例（北京市西城区试题，2002）已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C.（1）当点P 在AB 延长线上的位置如图1所示时，连结AC ，作APC ∠的平分线，交AC 于点D ，请你测量出CDP ∠的度数；（2）当点P 在AB 延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC ，请你分别在这两个图中用尺规作APC ∠的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出CDP ∠的度数；猜想：CDP ∠的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.解：（1）测量结果：︒=∠45CDP . （2）作图略.图2中的测量结果：︒=∠45CDP . 图3中的测量结果：︒=∠45CDP .猜想：︒=∠45CDP 为确定的值，CDP ∠的度数不随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化.证法一：连结BC .∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ︒=∠90ACB .∵ PC 切⊙O 于点C ，∴ A ∠=∠1.∵ PD 平分APC ∠，.454,3,21432︒=∠=∠∴∠+∠=∠∠+∠=∠∠=∠∴CDP A CDP∴ 猜想正确. 证法二：连结OC .∵ PC 切⊙O 于点C ，.901.︒=∠+∠∴⊥∴CPO OC PC∵ PD 平分APC ∠，.45)1(212.121,31.3,.212︒=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠∠=∠∴=∠=∠∴CPO A CDP A A A OC OA CPO∴ 猜想正确.典型例题五例（北京市崇文区，2002）已知：ABC∆≌C B A '''∆，3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，对应边AC 与C A ''重合，如图（1）.若将C B A '''∆沿CB 边按箭头所示方向平移，如图（2），使边AB 、B A ''相交于点D ，边C A ''交AB 于点E ，边AC 交B A ''于点F ，以C C '为直径在五边形CF C DE '内作半圆O ，设C B '的长为x ，半圆O 的面积为y .1．求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； 2．连结EF ，求EF 与半圆O 相切时的x 的值.解：1．∵ ABC ∆≌C B A '''∆，3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，,4,.4x C B BC C C x C B BC -='-='∴='∴=∴ππππ28)24(2122+-=-=∴x x x y .以C C '为直径在五边形内作半圆，依题意，在运动过程中C A ''、AC 与⊙O 始终相切，故只需考虑AB 与⊙O 相切的特殊位置，以确定x 的最小值.当C B A '''∆沿CB 边按箭头所示方向平移时， ∵ ABC ∆≌C B A '''∆， ∴ B B '∠=∠， ∴ B DB '∆是等腰三角形.又∵ ,,C O OC C B BC '=''=∴ .O B BO '=∴ O 是B B '的中点.∴ O 到BD 、D B ''的距离相等.∴ AB 与⊙O 相切时，B A ''必与⊙O 相切. 设切点分别为G 、H ，连结OG ，则有,,90B B BCA BGO ∠=∠︒=∠=∠ ∴ BOG ∆∽BAC ∆..5244324,xx BA BO AC OG --=-=∴ 解之得.1=x当1<x 或4≥x 时，不合题意，∴ 自变量x 的取值范围是41<≤x . 2．在C BE '∆和FC B '∆中，⎪⎩⎪⎨⎧︒='∠='∠'=''∠=∠,90,,CF B E C B C B C B B B ∴ C BE '∆≌FC B '∆.,90,//.︒='∠'='∴C FC FC C E FC C E∴ 四边形CF C E '为矩形. 当EF 与⊙O 相切时，C C C E '='21. ).4(2143,43,43tan x x x C E BC AC C B C E B -=∴='∴==''=解之得.58=x典型例题六例已知如图，在ABC ∆中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线交AC 于E ，求证：AC DE ⊥.分析：因为DE 是⊙O 的切线，D 是切点，所以连OD ，得DE OD ⊥，因此本题的关键在于证明OD AC //. 证明连结AD 、ODAB 为⊙O 的直径，AC AB =，BC AD ⊥∴.D 是BC 中点，O 是AB 的中点，OD ∴为BAC ∆的中位线，AC OD //∴DE 是切线，D 为切点，OD 是⊙O 的半径DE OD ⊥∴AC DE ⊥∴ 说明：连结OD 构成了“切线的性质定理”的基本图形，连结AD 构成了圆周角推论的基本图形.典型例题七例如图，已知⊙O 中，AB 为直径，过B 点作⊙O 的切线，连线CO ，若OC AD //交⊙O 于D .求证：CD 是⊙O 的切线.分析：要证AD 是⊙O 的切线，只须证AD 垂直于过切点D 的半径，由此应想到连结OD .证明连结OD OC AD // ，A COB ∠=∠∴及ODA COD ∠=∠ OD OA = ，OAD ODA ∠=∠∴ COD COB ∠=∠∴CO 为公共边，OB OD =COB ∆∴≌COD ∆.即ODC B ∠=∠ BC 是切线，AB 是直径， ︒=∠∴90B ，︒=∠90ODC ， CD ∴是⊙C 的切线.说明：辅助线OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理.典型例题八例如图，以ABC ∆Rt 的一条直角边AB 为直径作圆斜边BC 于E ，F 是AC 的中点，求证：EF 是圆的切线.分析：连OE ，因为EF 过半径OE 的外端，要证EF 是切线，只需证︒=∠90OEF . 思路1 连OF ，证OAF ∆≌OEF ∆，则有︒=∠=∠90OAF OEF思路2 连AE ，则︒=∠90AEC ，证︒=∠+∠=∠+∠90OAE FAE OEA FEA 证明1 如图，连OF 、OE ，的中位线是中点为中点为ABC OF AB O AC F ∆⇒⎭⎬⎫B BC OF ∠=∠⇒⇒1//，32∠=∠ 又B OE OB ∠=∠⇒=3，即21∠=∠，OE OA =，OF OF = 所以OAF ∆≌OEF ∆有︒=∠=∠90OAF OEF 即EF OE ⊥， EF 过半径OE 的外端，所以EF 是⊙O 的切线.证明2 如图，连结AE 、OE AB 是⊙O 直径︒=∠⇒90AEBFA FE AC F AEC =⇒⎭⎬⎫︒=∠⇒中点为9042314321∠+∠=∠+∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒=∠=∠⇒OE OAEF OE ⊥⇒︒⇒90 FE 过半径OE 的外端所以EF 是⊙O 的切线说明：这里的辅助线OE ，仍然想着构造“切线判定定理”的基本图形的作用.典型例题九例如图，已知弦AB 等于半径，连结OB 并延长使.（1）求证AC 是⊙O 的切线；（2）请你在⊙O 上选取一点D ，使得（自己完成作图，并给出证明过程）证明：（1）即是⊙O 的切线.（2）①作BO 延长线交⊙O 于D ，连接AD ，，所以D 点为所求. ②如图，在圆上取一点使得，连结，所以点也为所求.说明：证明一条直线是圆的切线，通常选择：（1）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.而涉及切线问题时，应灵活运用切线的性质，通常连结切点和圆心.题目的第（2）问是分类讨论问题，当题目中的图形未给定时，作图时，应将所有符合条件的图形作出，再分别解答.典型例题十例已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且CB CA OB OA ==,.求证：直线AB 是⊙O 的切线.证明连结OC .∵CB CA OB OA ==,，∴OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线. ∴.OC AB ⊥∴AB 是⊙O 的切线.说明：本题考查切线的判定，解题关键是作出辅助线，易错点是把求证的结论“AB 是⊙O 的切线”.作为条件使用，造成推理过程中的逻辑混乱.典型例题十一例如图，AB 是⊙O 直径，弦AB CD //，连AD ，并延长交⊙O 过点B 的切线于E ，作AC EG ⊥于G .求证：.CG AC =证明连结BC 交AE 于F 点...21,32.31,//BF AF CD AB =∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴BE 为⊙O 切线，...54,21.9051,9042.EF AF EF BF BE AB =∴=∴∠=∠∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠∴⊥∴AB 为直径，∴.AC BC ⊥..//,CG AC BC EG AC EG =∴∴⊥说明：本题主要考查切线的性质，解题关键是作辅助线.典型例题十二例如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD 交⊙O 于点E ，AC AB AD ,5,4==平分BDA ∠.（1）求证：CD AD ⊥.（2）求AC .证明（1）连OC .CD 切⊙O 于C ，∴.CD OC ⊥..//.32,21.31,CD AD AD OC OC OA ⊥∴∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=解（2）连BC .AB 是⊙O 的直径，∴︒=∠90ACB .ABC ADC ∆∴∠=∠︒=∠,21,90 ∽.ACD ∆∴.AD AC AC AB =即.52.45=∴=AC ACAC 说明：在题目条件中若有切线，常常要作出过切点的半径.利用三角形相似的知识求出线段的长.典型例题十三例（北京朝阳区试题，2002）已知：在内角不确定的ABC ∆中，AC AB =，点E 、F 分别在AB 、AC 上，BC EF //，平行移动EF ，如果梯形EBCF 有内切圆，当21=AB AE 时，322sin =B ；当31=AB AE 时，23sin =B （提示：43223=）；当41=AB AE ，54sin =B . （1）请你根据以上所反映的规律，填空：当51=AB AE 时，B sin 的值等于_________；（2）当nAB AE 1=时（n 是大于1的自然数），请用含n 的代数式表示=B sin ___________，并画出图形、写出已知、求证和证明过程。

专题18圆的切线的性质与判定(原卷版)

专题18 圆的切线的性质与判定（原卷版）类型一利用圆的切线的性质求角度1．（2023•鼓楼区三模）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠A+∠C＝220°，则∠P的度数°．2．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（）A．32°B．64°C．29°D．58°3．（2022秋•金华期末）AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°类型二利用圆的切线的性质求长度4．（2023•九龙坡区模拟）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC 延长线于点P，则P A的长为．5．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在四边形材料ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝9cm ，AB ＝20cm ，BC ＝24cm ．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是．类型三圆的切线的判定6．（2022•孝南区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，以CD 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点E ，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G ．试判断FG 与⊙O 的位置关系，并说明理由．7．（2021•福州模拟）如图，已知△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，以O 为圆心，12OA 长为半径作圆分别交OA ，OB 于点C ，D ，弦MN ∥AB ．（1）判断直线AB 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求证：MĈ=ND ̂．类型四圆的切线的判定与性质的综合运用8．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．9．（2023春•邗江区月考）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．（1）如图1，E为OA上一点，若CE⊥AB，且∠ACD＝∠ACE，求证：DC与⊙O相切；（2）如图2，CD与⊙O相交于点F，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD、DF、弧AF围成的图形的面积．10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点P为AB延长线上一点，连接CP，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线与直径AB交于点E，交⊙O于点D．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）求证：PE＝PC；（3）探究AC+BC与CD之间的数量关系，并说明理由．11．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．（1）求证：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．12．（2023秋•建邺区校级月考）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AC的垂直平分线交边BC于点E，交⊙O 于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．（1）求证：∠CAP=12∠B；（2）若EB＝CP，求∠BAC的度数．13．（2023•盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．14．（2023秋•台江区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，P A为⊙O的切线，弦AC⊥PO，垂足为M，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若P A＝AB，连接BM，求证：BM=√2CM．15．（2023•婺城区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．16．（2022秋•丰润区期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．。

中考真题;切线的判定与性质(答案详解)

中考复习：切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）EM ＝FM 。

：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是⊙O 的切线。

》【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。

<（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。

•例1图321MFOEDCB A例2图 EO D C B A •例3图321OD C BA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。

（1）求∠G 的余弦值；!（2）求AE 的长。

【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。

,（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。

(|•问题一图 G F E O DCB A 问题二图NQ P EO DC BA答案精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

切线的判定和性质

并说明理由。
B
O
A
C
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙ O的切线。
O
A
C
B
例3：已知：点P为 ∠ AOB平分线上的点， PD ⊥ OA于D，以P为圆心，PD为半径作 ⊙P。
求证： ⊙ P与OA，OB都相切。
A
D
P O
C B
已知：在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙ O的切线。
B
O
C
连半径得垂直
一题多解，发散思维
如图，以△ ABD的边AB为直径，作半圆O交AD于C,过点C的切线CE和 BD互相垂直，垂足为D,
用多种方法证明:AB=BD A
O
C
B
ED
综合题，要慎重，挖掘条件
如图，在Rt△ ABC中，∠ B=90度，∠
A的平分线交BC于D,E为AB上一点，
DE=DC,以D为圆心，DB的长为半径作
直线与圆的位置关系
直线与圆相切
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么
（1）直线L与⊙ O相交
d<r
（2）直线L与⊙ O相切
d=r
（3）直线L与⊙ O相离
d>r
做一做，想一想：
画⊙ O,在⊙ O上任取一点A，连结OA，过A点作直线L ⊥ OA.
问：直线L是否与⊙ O 相切，为什么？
数
A E
G
B
C
变式训练4
变如式训图练，5∠：C=90°，AC=6，改形内边成周切的：长A圆长B的。=1半0，径半为径2，为计2.求算三斜角

专题7圆的切线的判定与性质-重难点题型(举一反三)

专题2.2 圆的切线的判定与性质--重难点题型【知识点1 切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E 且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD ⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB 交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD ＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O 中，AB 为直径，P 为射线AB 上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为点C ，D 为弧AC 上一点，连接BD 、BC 、DC ．（1）如图1，求证：∠D ＝∠PCB ；（2）如图2，若四边形CDBP 为平行四边形，BC ＝5，求⊙O 的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。

圆的切线的性质和判定方法练习题

圆的切线的判定方法练习题1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD2．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）试探究AD和CD的位置关系，并说明理由．（2）若AD=3，AC=，求AB的长．4．如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，求圆心M的坐标．5．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：或者．（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．6．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M．（Ⅰ）求证：MO=BC；（Ⅱ）求证：PC是⊙O的切线．7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．8．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．9．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．10．如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．11．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O 于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．14．如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF ∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．。

专题切线的判定与性质的综合运用(共30题)(基础题提升题压轴题)(原卷版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》专题切线的性质与判定的综合运用（共30题）（基础题＆提升题＆压轴题）1．（2022秋•斗门区期末）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若P A＝4，PC＝BC，求⊙O的半径．2．（2023•太平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．4．（2023•东港区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB 上，且以AD为直径的⊙O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．6．（2023•鲁山县一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝8，BD＝4，求AE的长．7．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．8．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AC=4√3，求CF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为BĈ的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O 于点E，连接CE．（1）若CE＝BC，求证：CE是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于E点，BĈ=CÊ，F为⊙O上一点，AF∥CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．12．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．13．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，CD=√2，求⊙O的半径长．14．（2023•新余一模）⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，延长OC至D点．（1）如图1，若OC＝CD，且B为弧AC的中点，求证：BD是⊙O的切线；（2）如图2，若BD是⊙O的切线，且BD＝3，CD＝1，求圆的半径及弦AB的长．15．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．16．（2023•榆阳区一模）如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C 作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．17．（2023•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，AD和CD分别切⊙O于A、E两点，BC与⊙O有公共点B，且EC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB＝12，AD＝8，求BC的长．18．（2022秋•同心县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．19．（2022秋•蔡甸区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与边AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥BC，垂足为G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为6，若AF＝8，求BE的长．20．（2023•鱼峰区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．21．（2023•漳平市一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．22．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．23．（2023•桑植县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：∠ACD＝∠F；（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF 的长．26．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O 于M，CD交AB于E，DB＝DE．（1）求证：DB是⊙O的切线；（2）求证：∠D＝2∠ACD；（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．27．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．28．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP ＝AC，且∠B＝2∠P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．29．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．30．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。

《切线的性质》精编测试题及参考答案

《切线的性质》精编测试题及参考答案测试（一）一、选择题1.如图,线段AB是⊙O的直径,点C,D为⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠E=40°,则∠CDB等于( )A.20°B.25°C.30°D.40°（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）2.如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠AOD的度数( )A.70°B.35°C.20°D.40°3.如图,AB与⊙O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则⊙O的半径为( )A．4√5cm B．2√5cm C．2√13cm D．√13 m4.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是( )A.AG=BGB.AB∥EFC.AD∥BCD.∠ABC=∠ADC5.如图,BM与⊙O相切于点B,若∠MBA=140°,则∠ACB的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°（5题图）（6题图）（7题图）（8题图）6.如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,O为BC的中点,以O为圆心作半圆,使它与AB,AC 都相切,切点分别为D,E,则⊙O的半径为( )A.8B.6C.5D.47.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上一点,∠CDB=20°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )A．40° B．50° C．60° D.70°8.如图,已知⊙O 上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA 交OC 延长线于点P,则PA 的长为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．12二、填空题9.如图,已知∠AOB=30°,M 为OB 边上任意一点,以M 为圆心,•2cm•为半径作⊙M ,当OM=______cm 时,⊙M 与OA 相切．（9题图）（10题图）（11题图）（12题图）10.在△ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C 为圆心的圆与AB 相切,则⊙C 的半径为______.11.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,⊙C 的半径为1,点P 是斜边AB 上的点,过点P 作⊙C 的一条切线PQ(点Q 是切点),则线段PQ 的最小值为______.12.平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D,则∠C 的度数______．三、解决问题13.如图,AB 是⊙O 的直径,直线BC 与⊙O 相切于点B,∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D,AD 的延长线交BC 于点C ．（1）求∠BAC 的度数；（2）求证：AD=CD ．14.如图,已知直线PA 交⊙O 于A,B 两点,AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点,且AC 平分∠PAE,过C 作CD ⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC ＋DA=6,⊙O 的直径为10,求AB 的长.15.如图,AB是半圆O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D,连接BC．（1）求证：BC平分∠PDB；（2）若PA=6,PC=6√2,求半径的长．16. 如图,⊙O的直径AB=4,点C为⊙O上的一个动点,连接OC,过点A作⊙O的切线,与BC的延长线交于点D,点E为AD的中点,连接CE. 求证：CE是⊙O的切线.17. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O 的切线,切点为F,FH∥BC,连结AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；测试（二）一、选择题1.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面三个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC.其中正确结论的个数是( )A.3B.2C.1D.0（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）2.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O外一点,过点C作⊙O的切线,切点为B,连结AC交⊙O于D,∠C=38°,点E在AB右侧的半圆上,则∠AED的度数( )A.62°B.52°C.38°D.28°3.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小值( )A.5B.4C.4.75D.4.84.如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )A.4B.8C.4 3D.8 35.如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点.若∠C=65°,则∠P的度数为( )A.65°B.130°C.50°D.100°（5题图）（6题图）（7题图）（8题图）6.如图,四边形ABCD四边分别与⊙O相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD周长为( )A.50B.52C.54D.567.如图,PA、PB切⊙O于点A、B,PA=8,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点,则△PCD的周长是( )A.8B.18C.16D.148.如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,点C为⊙O上一点,连接AC、BC,若∠P=50°,则∠ACB的度数为( )A．60°B．75° C．70° D．65°二、填空题9.已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是________.（9题图）（10题图）（11题图）10.如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,P,C,D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD长为______.11.如图,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,OP与⊙O相交于点C,连接CB,若∠OPA=40°,求∠ABC的度数______.三、解答题12.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,圆心在AC上,∠A=30,D为弧BC的中点.（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形.13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=8,DE=5,求BC的长．14.如图,点A、B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=2,AO=√5,求OD的长度．ABCDO3015.如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长．参考答案测试（一）一、选择题BDBCA DBB二、填空题9. 410. 2.411.√212. 45°三、解决问题13(1)略(2)45°14(1)连接OC,易证OC∥PB.(2)615(1)略(2)316.提示：△OEC≌△OEA17.略测试（二）一、选择题ACDBC BCD二、填空题9. 70°10. 211. 25°三、解决问题12（1）略（2）提示：边条边相等的四边形是菱形.13 (1)析：∠A+∠B=90°,∠ADE+∠ODB=90°, ∠B=∠ODB(2) 提示：设BD的长是x,在Rt△BDC中,BC2=62+x2, 在Rt△ABC中,BC2=(x+8)2−102.14（1）略（2）提示：OC2=AC2+AO2,(OD+2)2=22+(√5)2,OD=1.15（1）略（2）提示：边条边相等的四边形是菱形.。

切线性质与判定练习题

《切线性质与判定》练习题一．选择题（共12小题）1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（）A．80° B．60° C．40° D．20°2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°第1题图第2题图第3题图3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D 等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（）A．80° B．50°或130° C．100° D．40°第4题图第5题图第6题图5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3） B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（）A．5 B．4 C．3 D．27．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（）A．8 B．16 C．16π D．8π8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（）A．50° B．60° C．70° D．75°9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=ATC．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B第7题图第8题图第9题图11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．A．1个B．2个C．3个 D．4个12．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（）A．5个B．4个 C．3个 D．2个第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正确的结论有（）A．3个B．2个 C．1个 D．0个二．填空题（共6小题）13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为．14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB上的一点，∠P=50°，∠C= ．第13题图第14题图第15题图15．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是．若∠P=5O°，那么∠DOE= ．16．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O 的半径为3，则AD的长为．17．已知：如图，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为．第16题图第17题图第18题图18．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．则弦AC的长为．三．解答题19．．如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC，AD平分∠EAC。

切线的性质和判定

切线的性质和判定练习一．解答题（共11小题）1．（2018•宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A 作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．2．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．3．（2018•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN 于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．4．（2018•洪泽区一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC 是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．5．（2018•淅川县二模）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C 作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．（1）直接写出ED和EC的数量关系：；（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是．6．（2018•东河区二模）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB 于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．7．（2018•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD= °；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在上，∠CDF=45°，DF交AB于点N．若DE=3，求FN的长．8．（2018•朝阳区二模）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB 的延长线相交于点D，CA=CD．（1）连接BC，求证：BC=OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE=2，求CE的长．9．（2018•苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB 相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．10．（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC 的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．11．（2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．切线的性质和判定参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2018•宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A 作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．【解答】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=5．【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．2．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．3．（2018•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN 于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．【分析】（1）求出∠AOD=∠EOD，根据全等三角形的判定和性质推出∠DEO=∠DAO，根据切线的判定得出即可；（2）根据矩形的性质和判定得出AB=DH，AD=BH=1，根据切线长定理求出DC，根据勾股定理求出DH即可．【解答】（1）证明：连接OE，∵OA=OE=OB，∴∠OBE=∠PEB，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE，∠OEB=∠DOE，∴∠AOD=∠EOD，在△AOD和△EOD中∴△AOD≌△EOD，∴∠OAD=∠OED，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，∴∠OE D=90°，即OE⊥DE，∵OE为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过D作DH⊥BC于H，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴∠DAB=∠ABH=∠DHB=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB=DH，AD=BH，∵AD=l，BC=4，∴BH=1，CH=4﹣1=3，∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，AD=1，BC=4，∴DE=AD=1，BC=CE=4，∴DC=1+4=5，在Rt△DHC中，由勾股定理得：DH===4，即AB=4．【点评】本题考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质和判定、切线长定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．4．（2018•洪泽区一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC 是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．【分析】（1）连接DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COD=∠COB．则根据“SAS”可判断△COD≌△COB，所以∠CDO=∠CBO．再根据切线的性质得∠CBO=90°，则∠CDO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先利用∠OCB=∠OCD=30°得到∠DCB=60°，则∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系计算出DE=4，DC=OD=4，然后根据三角形面积公式计算．【解答】（1）证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中，∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，=•OD•CE=×4×8=16．∴S△OCE【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了解直角三角形．5．（2018•淅川县二模）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．（1）直接写出ED和EC的数量关系：ED=EC ；（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当BC= 2 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）连结CD，如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；（2）连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O的切线；（3）要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°可判断四边形OCED为正方形．【解答】解：（1）连结CD，如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE；（2）DE是⊙O的切线．理由如下：连结OD，如图，∵BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，∵OC=OD，ED=EC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）当BC=2时，∵CA=CB=2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴DE⊥BC，DE=BC=1，∵OA=DE=1，AO∥DE，∴四边形AOED是平行四边形；∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，∴四边形OCED为正方形．故答案为ED=EC；2，正方形．【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决（3）小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法．6．（2018•东河区二模）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB 于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【分析】（1）由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，（2）得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．（3）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．【解答】证明：（1）如图，连接CE，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE（2）∵OF⊥CE∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°，即：∠OCE+∠FCE=90°，∴∠OEC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（3）如图，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=3，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=3，AC=6，∴AD=3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．7．（2018•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD= 60 °；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在上，∠CDF=45°，DF交AB于点N．若DE=3，求FN的长．【分析】（1）由CD⊥AB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到∠DOM=60°，进而得到△OAD是等边三角形，∠OAD=60°．（2）只需证明DE⊥OD．便可以得到DE与⊙O相切．（3）利用圆的综合知识，可以证明，∠CND=90°，∠CFN=60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值．【解答】解：（1）如图1，连接OD，AD∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB∴AB垂直平分CD∵M是OA的中点，∴OM=OA=OD∴cos∠DOM==∴∠DOM=60°又：OA=OD∴△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°故答案为：60°（2）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CM=MD．∵M是OA的中点，∴AM=MO．又∵∠AMC=∠DMO，∴△AMC≌△OMD．∴∠ACM=∠ODM．∴CA∥OD．∵DE⊥CA，∴∠E=90°．∴∠ODE=180°﹣∠E=90°．∴DE⊥OD．∴DE与⊙O相切．（3）如图2，连接CF，CN，∵OA⊥CD于M，∴M是CD中点．∴NC=ND．∵∠CDF=45°，∴∠NCD=∠NDC=45°．∴∠CND=90°．∴∠CNF=90°．由（1）可知∠AOD=60°．∴．在Rt△CDE中，∠E=90°，∠ECD=30°，DE=3，∴．在Rt△CND中，∠CND=90°，∠CDN=45°，CD=6，∴．由（1）知∠CAD=2∠OAD=120°，∴∠C FD=180°﹣∠CAD=60°．在Rt△CNF中，∠CNF=90°，∠CFN=60°，，∴．【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．8．（2018•朝阳区二模）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB 的延长线相交于点D，CA=CD．（1）连接BC，求证：BC=OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE=2，求CE的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得到∠ACO=∠DCB，根据CA=CD 得到∠CAD=∠D，证明∠COB=∠CBO，根据等角对等边证明；（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵CD为⊙O切线∴∠OCD=90°，∴∠ACO=∠DCB=90°﹣∠OCB，∵CA=CD，∴∠CAD=∠D．∴∠COB=∠CBO．∴OC=BC．∴OB=BC；（2）解：连接AE，过点B作BF⊥CE于点F．∵E是AB中点，∴=，∴AE=BE=2．∵AB为⊙O直径，∴∠AEB=90°．∴∠ECB=∠BAE=45°，．∴．∴CF=BF=1．∴．∴．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．（2018•苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB 相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．【分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据AAS证明△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，可得结论．【解答】证明：（1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD=CE；（2）证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，∴∠AOC=2∠F=45°，∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，∴△CEO是等腰直角三角形．【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．10．（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC 的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；【解答】（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．（2）连接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴=，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．11．（2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【分析】（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6；（2）通过证明AC=AE得到AB=AC；（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得R=，则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可．【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE=2AD=6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，而∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，而AB=AE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB==5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，∴PD=PA﹣AD=﹣3=，∵S△ABQ +S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=，即QD=，∴PQ=PD+QD=+=．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

切线的判定与性质精选题22道

切线的判定与性质精选题22道一．选择题（共6小题）1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5B．1.5C．3D．43．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（）A．B．2C．D．4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④5．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF 的长度m为（）A．m＝4B．m＝4C．4≤m≤4D．4≤m≤4 6．如图，圆心P（﹣5，0），⊙P的半径为3，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．2B．8C．3或8D．2或8二．填空题（共8小题）7．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，P A′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为．9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25，其中正确结论的序号是．10．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，与⊙O 交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为．11．判断对错（在题后的小括号里，对的打√，错的打×）．（1）两个半圆是等弧；（2）过圆心的线段是半径；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）长度相等的两条弧是等弧；（6）顶点在圆上的角是圆周角；（7）圆周角是圆心角的一半；（8）圆的切线只有一条；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线；（11）经过半径外端的直线是圆的切线；（12）能完全重合的两个图形成中心对称；（13）直径所对的角是直角；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3 ．12．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则折痕EF的长为．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，点P为线段BC上的一动点，连接DP，以DP为直径的圆M，当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，线段BP的最小值为．三．解答题（共8小题）15．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．16．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．17．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．18．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．19．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD＝6，sin C＝时，求⊙O的半径．21．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC 平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．切线的判定与性质精选题22道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出答案；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴PO＝AB，故（3）正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故（4）正确；正确个数有4个，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5B．1.5C．3D．4【分析】连接OE并延长交CF于点H，可证四边形EB′CH是矩形，再根据勾股定理和垂径定理即可求得CF的长．【解答】解：如图，连接OE并延长交CF于点H，∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D'，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，A′B′∥CD′，BC＝B′C＝4，∵边A'B'与⊙O相切，切点为E，∴OE⊥A′B′，∴四边形EB′CH是矩形，∴EH＝B′C＝4，OH⊥CF，∵AB＝5，∴OE＝OC＝AB＝，∴OH＝EH﹣OE＝，在Rt△OCH中，根据勾股定理，得CH＝＝＝2，∴CF＝2CH＝4．故选：D．【点评】本题考查了圆中的计算问题和矩形，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、旋转的性质．3．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EF＝B1C＝8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG，则sin∠OCF＝sin∠B1CG＝，cos∠OCF＝cos∠B1CG＝；利用直角三角形的边角关系可求B1G和CG，最后利用勾股定理可得结论．【解答】解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，如图，∵边A1B1与⊙O相切于点E，∴OE⊥A1B1．∵四边形A1B1C1D1是矩形，∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1．∴四边形B1EFC为矩形．∴EF＝B1C＝8．∵CD为⊙O的直径，∴OE＝DO＝OC＝AB＝5．∴OF＝EF﹣OE＝3．∵A1B1∥CD1，OE⊥A1B1，∴OF⊥CD1．∴CF＝＝4．由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG．∴sin∠OCF＝sin∠B1CG＝，cos∠OCF＝cos∠B1CG＝．∵sin∠OCF＝，cos∠OCF＝，∴，．∴B1G＝，CG＝．∴BG＝BC﹣CG＝．∴BB1＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，旋转的性质，连接EO，利用切线的性质得到OE⊥A1B1，是解决此类问题常添加的辅助线．4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④【分析】①连接DC，根据题意可得：CE＝CD，从而可得∠E＝∠CDE，再利用等角的余角相等可得∠F＝∠CDF，进而可得CD＝CF，即可判断；②由①可得EF＝2CD，所以当CD最小时，则EF最小，所以当CD⊥AB时，先在Rt△ABC中求出AC，再在Rt△ACD中求出CD，即可判断；③连接OC，先证明△AOC是等边三角形，从而可得∠ACO＝60°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∴∠ACD＝30°，进而可得∠ECA＝30°，然后再证∠OCE＝90°，即可判断；④连接AF、BF，根据题意可得DE⊥AC，从而可得DE∥BC，进而可得FH＝DH，∠BHD＝90°，从而证明BC是DF的垂直平分线，然后再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠FBA＝60°，最后在Rt△AFB中求出BF，即可求出BD，即可判断．【解答】解：连接DC，∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∵∠CDE+∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF，故①正确；∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD，当CD最小时，则EF最小，∴当CD⊥AB时，CD最小，∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝AB＝4，∠CAB＝90°﹣∠CBA＝60°，在Rt△ADC中，CD＝AC sin60°＝4×＝2，∴EF＝2CD＝4，∴线段EF的最小值为4，故②不正确；连接OC，∵OA＝OC，∠A＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵AD＝2，OA＝4，∴OD＝OA﹣AD＝4﹣2＝2，∴AD＝OD，∴∠ACD＝∠ACO＝30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝∠ECA+∠ACO＝90°，∵OC是半⊙O的半径，∴EF与半⊙O相切，∴当AD＝2时，EF与半圆相切，故③正确；当点F恰好落在弧BC上时，连接AF、BF，∵点E与点D关于AC对称，∴AC⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AGD＝90°，∴DE∥BC，∵CF＝CE，∴FH＝DH，∵∠EDF＝90°，BC∥DE，∴∠BHD＝∠EDF＝90°，∴BC是DF的垂直平分线，∴BF＝BD，∴∠FBA＝2∠CBA＝60°，∵AB是半⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴FB＝AB cos60°＝8×＝4，∴BD＝BF＝4，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣4＝4，故④不正确，所以，正确结论的序号是①③，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定与性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF 的长度m为（）A．m＝4B．m＝4C．4≤m≤4D．4≤m≤4【分析】分别求得折痕EF的长的最小值与最大值可得答案．【解答】解：如图，当半圆以点B为圆心顺时针旋转90°时，折痕EF的有最小值，∵半圆O的直径AB＝8，∴OF＝O1F＝O1E＝OE＝4，在Rt△EO1F中，∴EF最小值＝＝4．如图1﹣3，当半圆沿垂直于直径AB进行折叠时，折痕EF有最大值，∴O1M＝OM＝2，∠OMF＝90°，EM＝FM，OF＝OB＝4，∴FM＝＝＝2，∴EF有最大值＝2×2＝4，∴折痕EF的长度m为：4≤m，故选：D．【点评】此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、翻折的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．6．如图，圆心P（﹣5，0），⊙P的半径为3，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．2B．8C．3或8D．2或8【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为5﹣3＝2，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为5+3＝8，故选：D．【点评】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化﹣平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．二．填空题（共8小题）7．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（﹣，0）或P（﹣，0）．【分析】根据函数解析式求得A（﹣4，0），B（0．﹣3），得到OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得到AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠P AD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AP＝，∴OP＝或OP＝，∴P（﹣，0）或P（﹣，0），故答案为：（﹣，0）或P（﹣，0）．【点评】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，P A′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为或．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点M时，如图2中，当⊙P与AB相切于点N时，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵，∴设BC＝3x，则AB＝5x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即：（5x）2＝（3x）2+82，∴x＝2，∴AB＝10，BC＝6，∴，①若⊙P与AC相切，如图1，设切点为M，连接PM，则PM⊥AC，且PM⊥P A′，∵PM⊥AC，A′C⊥AC，∴∠B′PM＝∠A′，由旋转性质可知∠A′＝∠A，∴∠B′PM＝∠A，∴，设PM＝4x，则P A′＝PM＝4x，B′P＝5x，又∵A′B′＝AB，即：4x+5x＝10，解得，∴；②若⊙P与AB相切，延长PB′交AB于点N，如图2，∵∠A′+∠B＝∠A+∠B＝90°，∵∠A′NB＝90°，即N为AB与⊙O切点，又∴A'B＝BC+A'C＝BC+AC＝14，∴A′N＝A′B•cos∠A′＝A′B•cos A，即，∴．综上，⊙P的半径为或，故答案为：或．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25，其中正确结论的序号是①②④⑤．【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF．②根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．③连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切．④利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．⑤首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．【解答】解：①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．∴CD＝CF．∴CE＝CD＝CF．故①正确．②当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝10，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝5，BC＝5．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD＝BC＝．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为5．故②正确．③当AD＝3时，连接OC，如图3所示．∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝5，AD＝3，∴DO＝2．∴AD≠DO．∴∠ACD＞∠OCD≠30°．∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠DCA．∴∠ECA≠30°．∴∠ECO≠90°．∴OC不垂直EF．∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，∴EF与半圆不相切．故③错误．④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC．∴∠AGD＝90°．∴∠AGD＝∠ACB．∴ED∥BC．∴△FHC∽△FDE．∴．∵FC＝EF，∴FH＝FD．∴FH＝DH．∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°．∴BF＝BD．∴∠FBH＝∠DBH＝30°．∴∠FBD＝60°．∵AB是半圆的直径，∴∠AFB＝90°．∴∠F AB＝30°．∴FB＝AB＝5．∴DB＝4．∴AD＝AB﹣DB＝5．故④正确．⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影＝2S△ABC＝2×AC•BC＝AC•BC＝5×5＝25．∴EF扫过的面积为25．故⑤正确．故答案为①②④⑤．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．10．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，与⊙O 交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为（6﹣π）cm2．【分析】由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD＝DB＝CD，AO＝CO＝DO，AC⊥OD，由面积和差关系可求解．【解答】解：如图，连接OD，CD，∵BC为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，又∵AC＝BC，∴AD＝DB＝CD，∵AO＝CO＝2cm，∴AC⊥OD，OD＝AO＝CO＝2cm，∴∠COD＝90°，∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOD﹣S扇形COD＝×4×4﹣×2×2﹣＝（6﹣π）cm2，故答案为：（6﹣π）cm2．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11．判断对错（在题后的小括号里，对的打√，错的打×）．（1）两个半圆是等弧×；（2）过圆心的线段是半径×；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆√；（4）相等的圆心角所对的弧相等×；（5）长度相等的两条弧是等弧×；（6）顶点在圆上的角是圆周角×；（7）圆周角是圆心角的一半×；（8）圆的切线只有一条×；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点√；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线×；（11）经过半径外端的直线是圆的切线×；（12）能完全重合的两个图形成中心对称×；（13）直径所对的角是直角×；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交×；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3 √．【分析】根据切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质进行判断即可．【解答】解：（1）两个半圆是等弧×；（2）过圆心的线段是半径×；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆√；（4）相等的圆心角所对的弧相等×；（5）长度相等的两条弧是等弧×；（6）顶点在圆上的角是圆周角×；（7）圆周角是圆心角的一半×；（8）圆的切线只有一条×；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点√；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线×；（11）经过半径外端的直线是圆的切线×；（12）能完全重合的两个图形成中心对称×；（13）直径所对的角是直角×；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交×；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3√，故答案为：×、×、√、×、×、×、×、×、√、×、×、×、×、×、√．【点评】本题考查了圆的性质，切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质，熟练掌握切线的判定和性质定理、三角形的外接圆的性质是解题的关键．12．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则折痕EF的长为+．【分析】过点G作O′G⊥OB于点G，过点A作AO′⊥O′G于点O′，连接OO′交EF于H，连接OF，易证四边形AOGO′为矩形，根据题意可得OO′⊥EF，OH＝HO′，易证Rt△OEH∽Rt△OO′A，根据相似三角形的性质即可求出OH，再根据勾股定理即可求出EH和FH，进一步求EF的值即可．【解答】解：过点G作O′G⊥OB于点G，过点A作AO′⊥O′G于点O′，连接OO′交EF于H，连接OF，如图所示：∴∠AO′G＝∠O′GO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形AOGO′为矩形，∴O′G＝AO＝6，根据题意，得点O′为所在圆的圆心，∴点O与点O′关于EF对称，∴OO′⊥EF，OH＝HO′，设OH＝x，则OO′＝2x，∵∠EOH＝∠O′OA，∠OHE＝∠OAO′，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴OE：OH＝OO′：OA，∵OE＝5，OA＝6，∴5：x＝（2x）：6，解得x＝，∴OH＝，∵OE＝5，OF＝6，根据勾股定理，得EH＝，FH＝，∴EF＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了圆的综合，涉及切线的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判断，勾股定理等，本题综合性较强，难度较大．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．【分析】根据直线l：y＝﹣x+1由x轴的交点坐标A（0，1），B（2，0），得到OA＝1，OB＝2，求出AB＝；设⊙M与AB相切于C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，通过△BMC∽△BAO，即可得到结果．【解答】解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB＝；如图，设⊙M与AB相切于C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，∴△BMC∽△BAO，∴＝，即＝，∴BM＝2，∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．∴m＝2﹣2或m＝2+2．故答案为：2﹣2或2+2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，点P为线段BC上的一动点，连接DP，以DP为直径的圆M，当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，线段BP的最小值为4或9．【分析】分两种情形：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，分别求解即可．【解答】解：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．∵MQ＝MP，∴∠MQP＝∠MPQ，∵∠QPM＝∠QPB，∴∠MQP＝∠QPB，∴MQ∥PB，∵DM＝PM，∴AQ＝QB＝6，∵∠A＝∠B＝∠DQP＝90°，∴∠AQD+∠BQP＝90°，∠BQP+∠QPB＝90°，∴∠AQD＝∠BPQ，∴△DAQ∽△QBP，∴，∴，∴BP＝4．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，四边形ABPD是矩形，∴BP＝AD＝9．综上所述，满足条件的BP的值为4或9．故答案为：4或9．【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．三．解答题（共8小题）15．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．16．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．【解答】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴P A＝PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP∵P A是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC tan∠COB＝5．【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．17．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM ∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．【解答】证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）方法一、如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝方法二、∵，∴∠ABN＝∠BMN，∵∠BNC＝∠BNM，∴△BCN∽△MBN，∴＝，∴BN2＝NC•MN，∴MN＝，∴CM＝．【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求OC的长是本题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．【分析】（1）连接OF，易证∠DBC+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠OFB，∠C＝∠EFC，推出∠OFB+∠EFC＝90°，则∠OFE＝90°，即可得出结论；（2）连接AF，则∠AFB＝90°，求出BD＝3OD＝3，CD＝AB＝4，BC＝＝5，证明△FBA∽△DBC，得出＝，求出BF＝，由CF＝BC﹣BF即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示：∵CD⊥AB，∴∠DBC+∠C＝90°，∵OB＝OF，∴∠DBC＝∠OFB，∵EF＝EC，∴∠C＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，∴OF⊥EF，∵OF为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AF，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵D是OA的中点，∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，∴BD＝3OD＝3，∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，∴∠CDB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，∴△FBA∽△DBC，∴＝，∴BF＝＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．【分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D＝∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE＝∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD＝90°，可得结论；（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB＝BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA＝OB，∴∠D＝∠DAO，∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO，（2分）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，即∠DAO+∠BAO＝90°，（3分）∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°，∴AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A；（4分）（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，（5分）∴，FB＝BC，∴AB＝AC，∵BC＝2，AC＝2，∴BF＝，AB＝2，在Rt△ABF中，AF＝＝1，在Rt△OFB中，OB2＝BF2+（OB﹣AF）2，∴OB＝4，（7分）∴BD＝8，∴在Rt△ABD中，AD＝＝＝＝2．（8分）【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD＝6，sin C＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形性质求出BD⊥AC，推出∠ABE＝∠DBE和∠OBE ＝∠OEB，得出∠OEB＝∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根据切线的判定定理推出即可；（2）根据sin C＝求出AB＝BC＝10，设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，得出sin A＝sin C＝，根据OE⊥AC，得出sin A＝＝＝，即可求出半径．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB＝BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE，∵OB＝OE∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．（2）解：∵BD＝6，sin C＝，BD⊥AC，∴BC＝10，∴AB＝BC＝10，设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A，∴sin A＝sin C＝，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴sin A＝＝＝，∴r＝，答：⊙O的半径是．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．21．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC 平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线；（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠P AE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥P A，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，化简得x2﹣11x+18＝0，解得x1＝2，x2＝9．∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，∴x＝2，从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6．【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．【分析】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出结论；（2）连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出＝，易证∠ACB＝60°，由角平分线定义得∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，由此可得的值，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，。

圆的切线综合练习题与答案

切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 60 12. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD ＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。

圆锥的切线的性质和判定方法练习题

圆锥的切线的性质和判定方法练习题问题一已知一个圆锥，以其顶点O为圆心，与底面相切的圆为Γ，切点为M。

设P为Γ上一点，与直母线相交于点D。

证明：切线PM 与直母线垂直。

解答：因为Γ与底面相切，所以直母线位置于Γ所在平面内。

设直母线与底面相交于点A，直母线的方向向量为a。

则实质上只需证明直母线AB与切线PM平行即可。

设直母线的参数方程为：x = lx0 + may = ly0 + mbz = lz0 + mc其中(lx0, ly0, lz0)为直母线上一点的坐标，(m, n, o)为直母线的方向向量。

设切线PM的参数方程为：x = px0 + muy = py0 + mvz = pz0 + mw其中(px0, py0, pz0)为切线上一点的坐标。

因为切线PM位于平面POM内，所以切线PM与直母线垂直，即向量PM与向量AO平行。

所以有：(px0, py0, pz0) - (lx0, ly0, lz0) = λ(a, b, c)其中λ为常数。

联立直母线和切线的参数方程，得：(x - lx0, y - ly0, z - lz0) = λ(a, b, c) + μ(m, n, o)联立切线PM和直母线的参数方程，得：(x - px0, y - py0, z - pz0) = μ(a, b, c)将两个方程联立，得：(λ - μ)a = (x - lx0 - px0)(λ - μ)b = (y - ly0 - py0)(λ - μ)c = (z - lz0 - pz0)由于直母线和切线共线，所以(λ - μ) = 0。

因此，切线PM与直母线垂直，即切线PM与直母线平行。

问题二已知一个圆锥，以其顶点O为圆心，与底面相切的圆为Γ，切点为M。

设P为Γ上一点，直线OP与Γ相交于点N。

若点N恰好为Γ的直径中点，证明：切线PM垂直于直线PN。

解答：由已知条件可知，点N为Γ的直径中点，所以PN垂直于Γ。

设PN的方向向量为p。

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切线的判定练习题
1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
2、如图7-51，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
求证：AT是⊙O的切线．
3．如右图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．
4、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．
求证：AC平分∠DAB．
5、如图，AN是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D．DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
6、已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，•弦BC∥OP，求证：PC为⊙O的切线
7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB为直径的⊙
O交AC于E点，D为BC的中点。

求证：DE与⊙O相切。

8、已知：AB为⊙O的直径，AC为弦，D为AB上一点，过D点作
AB的垂线DE交AC于F，EF=EC。

求证：EC与⊙O相切。

9、已知：△ABC中AB=AC，O为BC的中点，以O为圆心的圆与
AC相切于点E，
求证：AB与⊙O也相切。

O
B
A
C
E
D
O
B A
C
D
E
F
B C
O
E
10.已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 和CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ，求证：CD 与小圆相切。

11、已知：以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，，过D 作DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。

12、如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
13．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P ．
求证：⊙P 与OB 相切．
O
E
A
B C
B C
D
A
O
E
14．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC 的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．
15．已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，.2
1
BC AD
以△ABC 的中位线为直径作半圆O ，试确定BC 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论．
16．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．
求证：EF 与⊙O 相切．。