计算机图形学基础教程课件之习习题课2第二版孙家广胡事民编著

习题3-8 用de Boor算法，求以(30,0)，(60,10)， (80,30) ， (90,60) ， (90,90) 为 控 制 顶 点 ， 以 T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]为节点向量的三次B样 条曲线在t=1/4处的值。
∵k=4，n=4，k－1≤j≤n即3≤j≤4
∴5个控制顶点控制两段三次B样条曲线，分 别在区间[t3,t4)和[t4,t5)
习题课
习题3-1 参数曲线曲面有几种表示形式？
(1) 代数形式 一条三次曲线的代数形式是：
xy((tt))aa33xytt33aa22xytt22aa11xyttaa00xy z(t)a3zt3 a2zt2 a1zta0z
t[0,1]
(2) 几何形式 描述参数曲线的条件有：端点位矢、端
点切矢、曲率等。
P [2] 3
t4 t t4 t3
P [2] 2
2
tP
[ 3
2
]
2(1 2
t ) P2[ 2 ]
1 2
P [2] 3
1 2
P [2] 2
(43 .4375 ,15 .3125 ) P ( 1 ) 4
习题3-11 Q，Q1，Q2，S1，S2是平面上的5个 点。请设计一条均匀三次B样条曲线，使曲 线经过这5个点，且满足如下设计要求：
根据Bézier曲线的递推算法：
P1 P02
P01
P0
P11 P03 T
P2 P12 P21
P3
构造过程：
P1 T
P0
P2 P3
习题3-6 计算以(30,0)，(60,10)，(80,30)， (90,60)，(90,90)为控制顶点的4次Bézier曲线 在t=1/2处的值，并画出de Casteljau三角形。
P0(30,0) P1(60,10) P2(80,30) P3(90,60) P4(90,90)
P10(45,5) P11(70,20) P12(85,45) P13(90,75)
P02(57.5,12.5) P12(77.5,32.5) P22(87.5,60)
P30(67.5,22.5) P13(82.5,46.25) P04(75,34.37)5
起点：t=3
P (3 )P 3 [3 ](t3 )P 3 [2](4t)P 2 [2]P 2 [2]t 22P 2 [1 ]42 tP 1 [1 ] 1 2P 2 [1 ]1 2P 1 [1 ]1 2(1 3P 23 2P 1)1 2(3 2P 11 3P 0)1 6P 03 2P 11 6P 2
同理，终点：t=4
P(4)P 3[3] (t3)P 3[2](4t)P 2[2] P 3[2] 1 2P 3[1]1 2P 2[1] 1 6P 13 2P 21 6P 3
起点和终来自百度文库的切线方向：
P (3 ) 1 2 (P 2 P 0 ) P (4 ) 1 2 (P 3 P 1 )
∵t3≤t=1/4≤t4 ∴P(t=1/4) 在 第 一 段 三 次 B 样 条 曲 线 上 ，
t∈[t3,t4)，该段曲线只与前四个顶点相关
由de Boor递推公式
Pi[r](t) P tii,tkr rt i0t,ii Pi[rj 1](kt)1,ttiijk krkr tt2 i ,P i[ r,11 j](t), r1,2,,k1;ijkr1,jkr2,,j
1 2
P [1] 2
1 2
P [1] 1
(40 ,10 )
P [2] 3
t t3 t5 t3
P [1] 3
t5 t t5 t3
P [1] 2
tP
[1] 3
(1
t)
P [1] 2
1 4
P [1] 3
3 4
P [1] 2
(46 .875 ,20 .625 )
P [3] 3
t t3 t4 t3
及T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]，可得：
P [1] 1
t t1 t4 t1
P1
t4 t t4 t1
P0
2 tP1
2(1 2
t ) P0
1 2
P1
1 2
P0
(45 ,5)
P [1] 2
t t2 t5 t2
P2
t5 t t5 t2
P1
tP 2
(1 t ) P1
1 4
3
P(t) PiBi,3(t)(1t)3P0 3t(1t)2P1 3t2(1t)P2 t3P3 i0
P(0.4)(0.6)3P0 1.2(0.6)2P1 1.8(0.4)2P2 (0.4)3P3
0.2160 00.43248 960.2881201200.064216 72 69.12 80.64
P2
3 4
P1
(35 ,15 )
P [1] 3
t t3 t6 t3
P3
t6 t t6 t3
P2
tP 3
(1 t ) P2
1 4
P3
3 4
P2
(82 .5,37 .5)
P [2] 2
t t2 t4 t2
P [1] 2
t4 t t4 t2
P [1] 1
2
tP
[1] 2
2(1 2
t
)
P [1] 1
(1) 在Q1，Q2点与Q Q1，Q Q2相切； (2) 分别在Q，Q1和Q，Q2间生成一段直线段； (3) 在Q是一尖点。
答：首先了解均匀三次B样条曲线的端点性质。 对于每一段曲线， 已知：k=4，n=3，T=[0,1,2,3,4,5,6,7] 所以：k－1≤j≤n 即 j=3，t∈[t3,t4)
xy((tt))((11tt))33xy0033tt((11tt))22xy1133tt22((11tt))xy22tt33xy33
习题3-5 设一条三次Bézier曲线的控制顶点为 P0，P1，P2，P3。对曲线上一点P(0.5)，及 一个给定的目标点T，给出一种调整Bézier 曲线形状的方法，使得P(0.5)精确通过点T。
P ( t ) F 0 P 0 F 1 P 1 G 0 P 0 G 1 P 1 t [ 0 , 1 ]
上 式 是 三 次 Hermite(Ferguson) 曲 线 的 几 何 形 式 ， F0 ， F1 ， G0 ， G1 称 为 调 和 函 数 （或混合函数）。
习题3-2 设有控制顶点为P0(0,0)，P1(48,96)， P2(120,120)，P3(216,72)的三次Bézier曲线 P(t)，试计算P(0.4)的(x,y)坐标，并写出 (x(t),y(t))的多项式表示。