第4章 正弦交流电的基本概念

故 i=i1+i 2=11.18 sin(ωt-26.6°) A
第4章 正弦交流电的基本概念 章 例4.2 已知 u1=220 2 sin(314t-150°) V u2=220 2 sin(314t-30°) V 试画出它们的相量图,并求出u= u1 + u2及其有效值. 解 u 1和u2的有效值相量为
W = ∫ P (t )dt = ∫ Ri 2 (t )dt
0 0
T
T
(4.6)
根据有效值的定义,有
W = W~
第4章 正弦交流电的基本概念 章 则有I2RT=
∫
T
0
Ri 2 (t )dt
2
1 I= T
同理有
∫
T
0
Im I cos (ωt + )dt = = 0.707 I m 2
2 m
(4.8)
第4章 正弦交流电的基本概念 章
4.2 正弦交流电的三要素 正弦交流电的三要素
4.2.1变化的快慢 正弦交流电变化的快慢可用三种方式表示. 1. 周期T 交流电量往复变化一周所需的时间称为周期,用 字母T表示,单位是秒(s),如图4.1所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章 2. 频率f 每秒内波形重复变化的次数称为频率, 用字母f表示, 单位是赫兹(Hz).频率和周期互为倒数, 即
(4.20) (4.21) 4.21
式(4.21)即为欧姆定律的相量式.相量图和电路模
第4章 正弦交流电的基本概念 章
i
u i j u I
ω
U = IR
I
U
i u R
0
ωt
0
1
R
(a)
(b)
(c)
(d)
图 4.6 电阻元件 (a) 电路; (b) 波形; (c) 相量图; (d) 电路模型
U R
或 U=IR
(4.19)
第4章 正弦交流电的基本概念 章 上式表明电阻的电压和电流是两个同频率,同相 位的正弦量,如图4.6(b)所示. 将电流,电压分别用相量式表示:
I = I∠ ,U = U∠
U U = = R或 U = I R I I
型分别如图4.6(c)和(d)所示.
m
相量也可以画在复平面上,用有向线段表示,这
m
种图称为相量图,如图4.4所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章
j
ω
Im
0 1
图4.4 相量图
第4章 正弦交流电的基本概念 章 同理,电压相量的最大值表示为
U m = U m e j
(4.14)
电流和电压的有效值相量表示为
I m I m e j I= = = Ie j (4.15) 2 2 U m U m e j U= = = Ue j (4.16) 2 2
U1 和 U 2的相量图如图4.5所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章
j
U2
U
150° 150° 1
U1
图4.源自文库 例4.2相量图
第4章 正弦交流电的基本概念 章
4.4 正弦交流电路中的元件 正弦交流电路中的元件
4.4.1电阻元件 对线性电阻,在正弦交流电的激励下,其伏安关 系在任一瞬间都服从欧姆定律,故有
现在讨论复数指数函数Im ej(ωt+φ) 的展开式:
第4章 正弦交流电的基本概念 章 因为正弦电量是由振幅,频率和相位这三要素决 定的,所以在频率相同的正弦电量激励下,电路中的 各个电量都具有相同的频率.这样,确定一个正弦电 量就只需振幅和相位两个要素.
i = Im[Im e j (ωt + ) ] = Im[ I m e j e jωt ] = Im[ I m e jωt ] (4.12) I = I e j (4.13)
(b)
(c)
图 4.7 电感元件 (a) 电路; (b) X L的频率特性; (c) 相位关系;
第4章 正弦交流电的基本概念 章
U = j X LI
I
UL
L
0
I
(d)
(e)
图 4.7 电感元件 (d) 相量关系; (e) 电路模型
第4章 正弦交流电的基本概念 章 4.4.3 电容元件 若一电容元件上的电压和电流采用关联参考方向, 如图4.8(a)所示. 设电容电压为 u(t)=Um sin(ωt+φu) 则电容电流为
ωt
π 2
0
ωt
0
ωt
(c)
(d)
(e)
图 4.2 正弦量的相位关系 (c) 同相; (d) 正交; (e) 反相
第4章 正弦交流电的基本概念 章 4.2.3交流电的大小 交流电的大小有三种表示方式:瞬时值,最大值 和有效值. 1. 瞬时值 瞬时值指任一时刻交流电量值的大小.例如i,u和 e,都用小写字母表示, 它们都是时间的函数. 2. 最大值 最大值指交流电量在一个周期中最大的瞬时值, 它 是交流电波形的振幅.如Im,Um和Em,通常用大写字 母并加注下标m表示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章
f (t)
0
t
T
图 4.1 正弦交流电
第4章 正弦交流电的基本概念 章 正弦交流电的数学表达式为 i=Im sin(ωt+φ) (4.1) 式中, i表示正弦交流电的瞬时值;ω表示正弦交流 电变化的快慢,称为角速度; Im表示正弦交流电的最 大值,称为幅值;φ表示正弦交流电的起始位置,称为 初相位.
第4章 正弦交流电的基本概念 章 4.4.2 电感元件 设有一电感元件,其电压,电流和电感电势采用 关联参考方向,如图4.7(a)所示. 设通过该电感的电流为 i=Im sin(ωt+φi) 则
di π uL = e = L = ωLI m sin(ωt + i + ) dt 2 = U Lm sin(ωt + u ) (4.22)
第4章 正弦交流电的基本概念 章 式中,ULm=ωLIm 或 UL=ωLI, 定义XL=ωL=2πfL, 称XL为感抗.则
Um U = = ωL = X L Im I
(4.23)
感抗XL所呈现的物理意义是: 对于一定的电感L, 当 频率增高时,其所呈现的感抗增大;反之亦然, 如图 4.7(b)所示.又
i = u +
π
2
(4.29)
第4章 正弦交流电的基本概念 章 上式表明电容上的电压,电流同频,但电容上电 流相位超前电压相位90°,如图4.8(c)所示. 若电容上的电压和电流用相量表示为
第4章 正弦交流电的基本概念 章 例4.1 已知i1=5 sin(ωt+36.9°) A, i2=10 sin(ωt-53.1°) A,求交流电i1和i2之和. 解 首先用相量表示正弦量i1和i2 :
I m1 = 5e j 36.9 = 5∠36.9 = 4 + j 3 A I m 2 = 10e j 53.1 = 10∠ 53.1 = 6 j8 A I m = I m1 + I m 2 = ( 4 + 3 j ) + (6 j8) = 10 j5 = 11.18∠ 26.6 A
u i = 或u = iR R
(4.17)
其参考正方向如图4.6(a)所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章 设 i=Im sin(ωt+φ) 则 u=Ri=RIm sin(ωt+φ)=Um sin(ωt+φ) 其中 有效值 Um =Im R 或
Um Im = R
(4.18)
I=
i
第4章 正弦交流电的基本概念 章 式(4.26)为欧姆定律的相量式,它不但表示了电感 电压和电流的大小关系,同时也表示了两者之间的相位关 系.其相量图和电路模型分别如图4.7(d),(e)所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章
i XL i XL=2πfL
u
i u
uL
L
0
f
0
ωt
π 2
(a)
u = i +
π
2
第4章 正弦交流电的基本概念 章 式(4.22)表示电感上电压的相位超前电流90°,如 图4.7(c)所示. 由于
则
= I∠ ,U = U∠( + π ) I i i 2
π
(4.25)
U∠( i + ) U 2 = X ∠ π = jX (4.26) = L L I I∠ 2
du π i=C = U mω sin(ωt + u + ) = I m sin(ωt + i ) dt 2
(4.27)
第4章 正弦交流电的基本概念 章 式中UmωC=Im 或
Um 1 1 = = = XC I m ωC 2πfC
(4.28)
XC称为电容的容抗.它的物理意义是: 当电容C一 定,频率越高, 电容对交流电流所呈现的阻碍作用越小, 即容抗越小.当f=0时,XC→∞,电容相当于开路.XC 的频率特性如图4.8(b)所示.又
Um U= = 0.707U m 2 Em E= = 0.707 Em 2
(4.9)
(4.10)
第4章 正弦交流电的基本概念 章
4.3 正弦量的相量表示法 正弦量的相量表示法
设正弦电量是 i=Im sin(ωt+φ) Imej(ωt+φ)=Im[cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)] =Im cos(ωt+φ)+jIm sin(ωt+φ) 上式的虚部恰好就是正弦电流的表达式.即 i=Im[Ime j(ωt+φ) ]=Im sin(ωt+φ) (4.11)
= 220∠ 150 = 220( 3 j 1 )V U1 2 2 = 220∠(180 30 ) = 220( 3 j 1 )V U2 2 2
第4章 正弦交流电的基本概念 章
U = U1 + U 2 = 3 × 220 = 381∠180 V
故 u=381 2sin(314t+180°) V
第4章 正弦交流电的基本概念 章
i u
i u
u 0
i
i
u
2 1
ωt 1
2
0
ωt
(a)
(b)
图 4.2 正弦量的相位关系 (a) u超前; (b) u滞后; (c) 同相; (d) 正交; (e) 反相
第4章 正弦交流电的基本概念 章
(a)
i u i u
(b)
i u u i
i u 0
u
i
2 1
我国电网所供给的交流电的频率是50 Hz,周期为 0.02 s. 3. 角频率ω 交流电量角度的变化率称为角频率,用字母ω表示, 单位是弧度/秒(rad/s),即
1 f = T
(4.2)
2π ω= = = 2πf t T
(4.3)
第4章 正弦交流电的基本概念 章 4.2.2 相位 1. 相位和初相位 正弦电量的表达式中的ωt+φ称为交流电的相位. t=0时,ωt+φ=φ称为初相位,它是确定交流电量初始状 态的物理量.在波形上, φ表示在计时前的那个由负向 正值增长的零点到t=0的计时起点之间所对应的最小电 角度, 如图4.1所示.不知道φ就无法画出交流电量的波 形图,也写不出完整的表达式.
第4章 正弦交流电的基本概念 章
i
i R
+
~U
S
US
-
R
(a)
(b)
图4.3 有效值的概念 (a) 交流; (b)直流
第4章 正弦交流电的基本概念 章 当直流电流I流过电阻R时,该电阻在时间T内消耗 的电能为 W-=I2RT (4.5) 当正弦电流i流过电阻R时,在相同时间T内电阻消 耗的电能为
第4章 正弦交流电的基本概念 章 3. 有效值 引入有效值的概念是为了研究交流电量在一个周 期中的平均效果.有效值的定义是: 让正弦交流电和直 流电分别通过两个阻值相等的电阻,如果在相同时间T 内(T可取为正弦交流的周期),两个电阻消耗的能量相 等,则把该直流电称为交流电的有效值,如图4.3所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章
第4章 正弦交流电的基本概念 章 正弦交流电的基本概念
4.1 引言 4.2 正弦交流电的三要素 4.3 正弦量的相量表示法 4.4 正弦交流电路中的元件 习题4 习题
第4章 正弦交流电的基本概念 章
4.1 引言
电路中的电量有周期性和非周期性两类.波形的 大小和方向随时间作正弦周期性变化的电量称为正弦 交流电,如图4.1所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章 当φ1>φ2时,u比i先达到正的最大值或先达到零值, 此时它们的相位关系是u超前于i(或i滞后于u). 当φ1 < φ2时,u滞后于i(或i超前于u). 当φ1 = φ2时,u与i同相. 当φ=±π/2时,称u与i正交; 而φ=±π时,称u与i 反相. 以上五种情况分别如图4.2(a),(b),(c), (d)和(e)所示.
第4章 正弦交流电的基本概念 章 2. 相位差 相位差是指两个同频率的正弦电量在相位上的差 值.由于讨论是同频正弦交流电,因此相位差实际上 等于两个正弦电量的初相之差,例如 u=Um sin(ωt+φ1) i=Im sin(ωt+φ2) 则相位差 φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2 (4.4)