2020届2017级四川省成都市成都二诊数学试卷(理科)
成都2020届高中毕业班第二次诊断性检测理科数学
臣
8. 已知函数f(x)=sin(wX+-2六 )(O<w<妢，f(-4穴 )=O,则函数f(x)的图象的对称轴方程为
(A)x=k六一一4六 ，kEZ
(B)x
=坛十
一 亢
4
，kEZ
(C)x=-21 k六，kEZ
1
(D)x
=二
2
坛＋王4 ，kEZ
2 X
9. 如图，双曲线C: az
yZ
bz
l(a>O,b>O)的左，右焦点分别是
13. Cx+D4 的展开式中正的系数为
．
14在!::,ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 B=f,a =2,b=岛，则!::,ABC 的
面积为
．
15. 已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球0的
表面上． 若球0的表面积为 28rr,则该三棱柱的侧面积为
F1(-c,O),凡(c,O),直线y＝2－ bae 与双曲线C的两条渐近线分
别相交千A,B 两点若乙BF芯＝互 3 ，则双曲线C的离心率为
X
(A)2
(B)卢3
(C)应
CD)竺3
10. 在正方体ABCD-A上C上中，点P,Q分别为AB,A D 的 中点 ，过点D 作平面a使
B1 PII平面a,A 1 Q II平面a. 若直线B1 D巾平面a=M,则笠仇的值为
数学（理科） “二诊“考试题 第4页（共4页）
.'
1 (A)-4
1 (B)-3-
1 CC)-2
2 CD)-3
11. 已知EF为圆(x -1)气(y+ l)z = 1 的一条直径，点 M( x,y)的坐标满足不等式组
(2020届成都高三)二诊理科数学试题和答案
成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.i B.-i C.-1 D.12.设全集R U =，集合{}1<=x x M ，{}2>=x x N ，则N M C U )(=（ ） A.{}2>x x B.{}1≥x x C.{}21<<x x D.{}2≥x x 3.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本。
若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）A.20B.50C.40D.60 4.曲线x x y −=3在点)0,1(处的切线方程为（ ）A.02=−y xB.022=−+y xC.022=++y xD.022=−−y x 5.已知锐角β满足αα2cos 12sin 2−=，则αtan =（ ） A.21B.1C.2D.4 6.函数)1ln(cos )(2x x x x f −+⋅=在]1,1[−的图象大致为（ ）A B C D7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.16B.48C.96D.1288.已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f ，则函数)(x f 的图象的对称轴方程为（ ） A.Z k k x ∈−=,4ππ B.Z k k x ∈+=,4ππC.Z k k x ∈=,21π D.Z k k x ∈+=,421ππ 9.如图，双曲线C )0,0(12222>>=−b a by a x ：的左，右交点分别是)0,(1c F −，)0,(2c F ，直线a bc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于B A ,两点.若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.324 C.2 D.33210.在正方体1111D C B A ABCD −中，点Q P ,分别为AD AB ,的中点，过点D 作平面α使αα平面∥，平面∥Q A P B 11，若直线M D B =α平面 11，则11MB MD 的值为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32 11.已知EF 为圆1)1()1(22=++−y x 的一条直径，点),(y x M 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+−103201y y x y x ，则MF ME ⋅的取值范围为（ ） A.]13,29[ B.]13,4[ C.]12,4[ D.]12,27[ 12.已知函数x xe x g xxx f −==)(,ln )(，若存在R x x ∈+∞∈21),,0(，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则ke x x 212)(的最大值为（ ） A.2e B.e C.24e D.21e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．()41x +的展开式中x 2的系数为 。
2020届成都高三二诊数学理科试题(含答案)(2020.4.8考)
数学 (理科 )参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题,共 ６０ 分)
一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分)
１．
C; ２．
A; ３．
B; ４．
D; ５．
C; ６．
B; ７．
B; ８．
C; ９．
A; １０．
B; １１．
D; １２．
C．
第 Ⅱ 卷 (非选择题,共 ９０ 分)
４ 分
１
１
(Ⅱ )由题意,可知 x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)＞
－ 在(
０,＋∞ )上恒成立 ．
x＋１ ex
(
i)若 m ≤０,∵l
n(
x＋１)＞０,∴－ml
n(
x＋１)≥０．
１
１
１
１
∴x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)－
＋ x ≥x２ ＋２x－
＋ x．
x＋１ e
x＋１ e
１
１
１
１
构造函数 G (
x)＝x２ ＋２x－
x１ ,
B(
x２ ,
y１),
y２)．
联立
x＝my＋１
２
,消去 x,得(
m２ ＋２)
y ＋２my－１＝０．
x２ ＋２y２ ＝２
{
２m
１
,
∴Δ＝８m２ ＋８＞０,
．
y１ ＋y２ ＝－ ２
y１y２ ＝－ ２
m ＋２
m ＋２
２ ２(
m２ ＋１)
∴ AB ＝ １＋m２ y１ －y２ ＝
．
m２ ＋２
７ 分
设圆 x２ ＋y２ ＝２ 的圆心 O 到直线l 的距离为d,则 d＝
2020年3月6日四川省成都市高2020届高2017级高三成都七中二诊模拟理科数学试题
B． 2,3
C． 2,
D． ,3
9．设函数
f
(x)
x 2 sin x x2 1
，则
y
f
(x) ， x , 的大致图象大致是的（
）
A
B
C
D
10．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 a 1， c 2
3
， b sin
A
a
sin
3
B
，
则 sin C （ ）
7．设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 则“ a1 a3 2a2 ”是“ S2n1 0 ”的（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
2x y 4 8．设 x ， y 满足 x y 1 ，则 z x y 的取值范围是（ ）
x 2 y 2
A ． 5,3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生仅选一个作答．
17．设数列 an 是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 S n ， a1 1，若 a1 ， a2 ， a5 成等比数列．
（Ⅰ）求 an 及 S n ；
（Ⅱ）设 bn
a
1
2 n1
1
(n
N*) ，设数列
bn
的前 n 项和 Tn ，证明： Tn
1． 4
18．2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G ，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年
的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数，求 X 的分布列和数学期望；
2020年4月8日四川省成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测理科数学试题成都二诊
1 (A)-4
1 (B)-3-
1 CC)-2
2 CD)-3
11. 已知EF为圆(x -1)气(y+ l)z = 1 的一条直径，点 M( x,y)的坐标满足不等式组
尸芦，则蓝·茹的取值范围为
¾l.
9 (A)[-2 ,13]
(B)[4,13]
CC)[4,12]
7 CD)[一2 ，12]
12.
已知函数f(x)=一 匝
年份
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代号 x
1
2
3
4
5
6
7
年利润 y( 单位 ： 亿元） 29
33
36
44
48
52
59
数学（理科） ”二诊“考试题 第3页（共4页）
�
C I)求 y 关千 x 的线性回归方程，并预测该公司 2020 年（年份代号记为 8) 的年利润； c Il)当统计表中某年年利润的实际值大于由C I)中线性回归方程计算出该年利润的估计 值时，称该年为 A 级利润年，否则称为 B 级利润年．将(1)中预测的该公司 2020 年的年利润 视作该年利润的实际值，现从 2013 年至 2020 年这 8 年中随机抽取 2 年，求恰有 1 年为 A 级利 润年的概率
2017年成都二诊试题及答案(理科)WORD
2017年成都市二诊试题及答案（理科）WORD第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合[1,2]A =-，2{|,}B y y x x A ==∈，则A B =I (A)[1,4] (B)[1,2] (C)[1,0]- (D) [0,2] (2)若复数1i z a =+（a ∈R ），21i z =-，且12z z 为纯虚数，则1z 在复平面内所对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)在等比数列{}n a 中，已知36a =，35778a a a ++=，则5a = (A)12 (B) 18 (C)24 (D) 36 (4)已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||1=a ，1||2=b ，则2+a b 与b 的夹角是 (A)6π (B) 56π (C)4π (D) 34π(5)若曲线2ln y x ax =+（a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是 (A) 1(,)2-+∞ (B) 1[,)2-+∞ (C) (0,)+∞ (D) [0,)+∞(6)若实数x ，y 满足不等式22010x y x y y m ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且x y -的最大值为5，则实数m 的值为(A)0 (B)1- (C)2- (D)5-(7) 已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α⊂，n β⊂.有下列命题：①若//αβ，则//m n ；②若//αβ，则//m β；③若l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥；④若l αβ=I ，且m l ⊥，m n ⊥，则αβ⊥.其中真命题的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (8) 已知函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数的图象经过点1)2．若函数()g x 的定义域为R ，当[2,2]x ∈-时，有()()g x f x =，且函数(2)g x +为偶函数.则下列结论正确的是(A) ()()π3g g g<< (B) ()()π3g g g <<(C)()()()23πgg g << (D) ()()()2π3g g g <<(9)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为 (A)1.125 (B)1.25 (C)1.3125 (D)1.375 (10) 已知函数()sin(2)2sin cos()f x x x ωϕϕωϕ=+-+（0ω>，ϕ∈R ）在3(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是 (A) (0,2] (B) 1(0,]2 (C) 1[,1]2 (D) 15[,]24(11)设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为(A)2 (B)3624-+ (C) 3 (D)3627+ (12) 把平面图形M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M '叫做图形M 在这个平面上的射影.如图，在四面体A BCD -中，BD CD ⊥，AB DB ⊥，AC DC ⊥，5AB DB ==，4CD =.将围成四面体的三角形的面积从小到大依次记为1S ，2S ，3S ，4S ，设面积为2S 的三角形所在的平面为α，则面积为4S 的三角形在平面α上的射影的面积是(A) 234 (B) 252(C) 10 (D) 30BD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. (13)在二项式25(ax +的展开式中，若常数项为10-，则a = ． (14)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10据的十位数字1未被污损，即，那么这组数据的方差2s 大值是 ．(15)如图，抛物线24y x =的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D OA 至点C ，使||||OA AC =，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G 则||EG 的最小值为 ．(16) 在数列{}n a 中，11a =，2*12(2,)1n n n a a n n n -=≥∈-N ，则数列2{}n an的前n 项和=n T ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知2A π∠=，23B π∠=，6AB =．在AB 边上取点E ，使得1BE =，连接EC ，ED ． 若23CED π∠=，EC = （Ⅰ）求sin BCE ∠的值； （Ⅱ）求CD 的长.(18) （本小题满分12分）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（Ⅰ）从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；（Ⅱ）求特征量y 关于x 的线性回归方程$$y bx a =+$；并预测当特征量x 为570时特征量y 的值． （附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$，$ay bx =-$） (19) （本小题满分12分）A如图，已知梯形CDEF 与ADE ∆所在平面垂直，AD DE ⊥，CD DE ⊥，////AB CD EF ，28AE DE ==，3AB =，9EF =，12CD =，连接BC ，BF . （Ⅰ）若G 为AD 边上一点，13DG DA =，求证：//EG 平面BCF ； （Ⅱ）求二面角E BF C --的余弦值．G(20) （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，圆222:(0)O x y r r b +=<<．若圆O 的一条切线l :y kx m =+与椭圆E 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）当12k =-，1r =时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； （Ⅱ）若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 之间的等量关系，并说明理由．(21) （本小题满分12分） 已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >. （Ⅰ）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ）设1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，若21()()f x f x -存在最大值，记为()M a ．则当a ≤1e e+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.请考生在第(22)、(23)题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ()22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数，直线l 的参数方程为2()132xty t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为)θ，其中π(,π)2θ∈．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求||AB的值．(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()4|||3|f x x x=---．（Ⅰ）求不等式3()2f x+≥0的解集；（Ⅱ）若,,p q r为正实数，且111432p q r++=，求32p q r++的最小值．答案（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(每小题5分，共60分)1.D ；2.A ；3.B ；4.A ；5.D ；6.C ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.C ； 11.D ； 12.A.第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：(每小题5分，共20分) 13.2-； 14.32.8； 15.4; 16.21nn +. 三、解答题：(共70分)17．解：（Ⅰ）在BEC ∆中， 据正弦定理，有sin sin BE CEBCE B=∠. ······························2分 ∵23B π∠=，1BE =，CE =，sin sin 14BE B BCE CE ⋅∴∠===. ·································5分（Ⅱ）由平面几何知识，可知DEA BCE ∠=∠.在Rt AED ∆中，∵2A π∠=，5AE =，∴cos DEA ∠=14. =cos EA ED DEA ∴==∠ ························9分在CED ∆中，据余弦定理，有2222cos CD CE DE CE DE CED =+-⋅⋅∠17282()2=+--=49.7.CD ∴= ··································12分 18．解：（Ⅰ）记“至少有一个大于600”为事件A ．()P A ∴2325C 7=1.C 10-= ························5分 （Ⅱ）555+559+551+563+552==5565x ，=600y ．·······················7分A()()()()()()()()22222113553714213574b-⨯+⨯+-⨯-+⨯-+-⨯-∴=-++-++-$30==0.3100．··············8分 $6000.3556433.2a y bx =-=-⨯=$Q ，∴线性回归方程为$0.3433.2y x =+． ·······················10分 当570x =时，$0.3570433.2604.2y =⨯+=．∴当570x =时，特征量y 的估计值为604.2． ·······································12分 19．解：（Ⅰ）如图，作//GM CD ，交BC 于点M ，连接MF .作//BH AD ，交GM 于N ，交DC 于H ．//EF CD Q ，//GM EF ∴． 3GN AB ∴==，9HC =． ////AB GM DC Q ，23NM BM AG HC BC AD ∴===． 6NM ∴=．9GM GN NM ∴=+=．//GM EF ∴．····················································4分∴四边形GMFE 为平行四边形． //GE MF ∴．又MF ⊂平面BCF ，GE ⊄平面BCF ，//GE ∴平面BCF ．···············································6分 （Ⅱ）Q 平面ADE ⊥平面CDEF 于DE ，AD DE ⊥，AD ⊂平面ADE ， AD ∴⊥平面.CDEF以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DE 为y 轴，DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .∴()0,4,0E ，()940F ，，，()1200C ，，，(30B ，．()900EF ∴=u u u r，，，(34EB =-u u u r ，． 设平面EBF 法向量1n ()111,,x y z =．由1100EF EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r，n n得111190340x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩．取1y =1n ()=．···············································8分同理，()3,4,0FC =-u u u r，(6,FB =--u u u r ．设平面BCF 法向量2n 222(,,)x y z =.由2200FC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ，n n得22222340640x y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 取24x =，得(2=n ．················································10分121212cos ,||||⋅∴<>=n n n n nn ===．·······················11分 Q 二面角E BF C --为钝二面角， ∴二面角E BF C --的余弦值为． ···································12分 20．解：（Ⅰ）Q 直线l 与O e相切，r =.由12k =-，1r =，解得m =．Q 点A ，B 都在坐标轴正半轴上，1:2l y x ∴=-．∴切线l与坐标轴的交点为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)．a ∴=b =∴椭圆E 的方程是224155x y +=．··························································4分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y .Q 以AB 为直径的圆经过点O ，0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=．Q 点A ，B 在直线l 上，1122y kx m y kx m =+⎧∴⎨=+⎩．∴221212(1)()0k x x mk x x m ++++=. ·······（*） ···············6分 由222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+-=⎩消去y ，得22222222(2)0b x a k x kmx m a b +++-=.即()2222222222()0.b a k x kma x a m a b +++-=显然0∆>.∴由一元二次方程根与系数的关系，得2122222222122222.kma x x b a k a m a b x x b a k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩···························8分代入（*）式，得22222222222222222222220.a m a m k a b a b k k m a m b a k m b a k +---++=+ 整理，得22222222()0.m a b a b a b k +--= ·····································10分 又由（Ⅰ），有222(1)m k r =+.消去2m ，得()()()222222211k r a b a b k ++=+.222111a b r∴+=. ,,a b r ∴满足等量关系222111a b r +=. ··········································12分 21．解：（Ⅰ）()211a f x x x '=--()221x ax x--+=，()0,.x ∈+∞···································1分 由题意，得210x ax -+=在()2,x ∈+∞上有根（不为重根）． 即1a x x=+在()2,x ∈+∞上有解． 由1y x x =+在()2,x ∈+∞上单调递增，得15,2x x ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭．检验:当52a >时，()f x 在()2,+∞上存在极值点． 5,2a ⎛⎫∴∈+∞ ⎪⎝⎭. ························································4分（Ⅱ）若0a <≤2，∵()()221x ax f x x--+'=在()0,x ∈+∞上满足()f x '≤0，∴()f x 在()0,+∞上单调递减. ()()210.f x f x ∴-<()()21f x f x ∴-不存在最大值.则2a >. ······················5分∴方程210x ax -+=有两个不相等的正实数根，令其为,m n .且不妨设01m n <<<.则.1m n amn +=⎧⎨=⎩()f x 在()0,m 上单调递减，在(,)m n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减.对()10,1x ∀∈，有()1f x ≥()f m ；对()21,x ∀∈+∞，有()2f x ≤()f n . ()()()()21max .f x f x f n f m ∴-=-⎡⎤⎣⎦·································6分 ()M a ∴=()()f n f m -=11ln ln a n n a m m n m ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11ln .n a m n m n m ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭将a m n =+1n n =+，1m n=代入上式，消去a ，m 得()211ln 2M a n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112ln .n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ··········8分12e e a <≤+Q ， 11e e n n ∴+≤+， 1.n >据1y x x=+在(1,)x ∈+∞上单调递增，得(]1,e .n ∈ ·····················9分设()112ln 2h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(]1,e .x ∈()22111121ln 221h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-++++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121ln x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]1,e .x ∈()0h x '∴>，即()h x 在(]1,e 上单调递增.()()maxe h x h ∴=⎡⎤⎣⎦1142e 2e .e e e⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()M a ∴存在最大值为4e． ·······································12分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 24ρθρθ+-=. 化简，得4sin .ρθ=由ρ=得sin 2θ=,2θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭Q ， 2.3θπ∴=··························································5分 （Ⅱ）射线OA 的极坐标方程为23θπ=， 直线l的普通方程为0x +-=.∴直线l的极坐标方程为cos sin 0.ρθθ-=联立23cos sin 0θρθθπ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得ρ=||B A AB ρρ∴=-== ·································10分 23．解：（Ⅰ）3334222f x x x ⎛⎫+=-+-- ⎪⎝⎭≥0. 根据绝对值的几何意义，得3322x x ++-表示点(,0)x 到3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点距离之和. 接下来找出到A ，B 距离之和为4的点.将点A 向左移动12个单位到点()12,0A -，这时有11||||4A A A B +=； 同理，将点B 向右移动12个单位到点()12,0B ，这时有11||||4B A B B +=. 3322x x ∴++-≤4，即3()2f x +≥0的解集为[]2,2-. ·····················5分（Ⅱ）令1a =，2a =3a = 由柯西不等式，得()222222123123111a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥2123123111.a a a a a a ⎛⎫⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 即()1113232p q r p q r ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥9. 111432p q r++=Q，932.4p q r ∴++≥ 上述不等式当且仅当1114323p q r ===，即14p =，38q =，34r =时，取等号. ∴32p q r ++的最小值为94. ···········10分。
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z 满足(1)2z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．（5分）设全集U R =，集合{|1}M x x =<，{|2}N x x =>，则()(U M N =I ð ) A ．{|2}x x >B ．{|1}x x …C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x …3．（5分）某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本．若样本中高中生恰有30人，则n 的值为( ) A ．20B ．50C ．40D ．604．（5分）曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．20x y -=B ．220x y +-=C ．220x y ++=D ．220x y --=5．（5分）已知锐角α满足2sin21cos2αα=-，则tan (α= ) A ．12B ．1C ．2D ．46．（5分）函数2()cos (1)f x x ln x x =+-g在[1-，1]的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．16B ．48C ．96D ．1288．（5分）已知函数()sin()(0),()024f x x f ππωωπ=+<<=，则函数()f x 的图象的对称轴方程为( ) A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．,4x k k Z ππ=+∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1,24x k k Z ππ=+∈9．（5分）如图，双曲线2222:(0,0)x y C l a b a b-=>>的左，右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若123BF F π∠=，则双曲线C的离心率为( )A ．2B 42C 2D 2310．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α，若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为( ) A ．14B ．13C ．12D ．2311．（5分）已知EF 为圆22(1)(1)1x y -++=的一条直径，点(,)M x y 的坐标满足不等式组102301x y x y y -+⎧⎪++⎨⎪⎩„…„，则ME MF u u u r u u u u r g 的取值范围为( ) A ．9[2，13]B ．[4，13]C ．[4，12]D ．7[2，12]12．（5分）已知函数(),()x lnxf xg x xe x -==，若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()(0)f x g x k k ==<成立，则221()k xe x 的最大值为( )A ．2eB ．eC ．24eD ．21e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．（5分）4(1)x +的展开式中2x 的系数为 ．14．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3B π=，2a =，3b =则ABC ∆的面积为 ．15．（5分）已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为 ．16．（5分）经过椭圆2212x y +=中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ．则cos NMP ∠的值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知{}n a 是递增的等比数列，1a l =，且22a ，332a ，4a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21221log log n n n b a a ++=g ，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值．19．（12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号x1234567年利润y （单位：亿元）29 33 36 44 48 52 59（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8)的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||PF PF =．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD g的取值范围． 21．（12分）已知函数2()2(1)f x x x mln x =+-+，其中m R ∈． （Ⅰ）当0m >时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设1()()x g x f x e =+，若1()1g x x >+，在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(2x m m y m ⎧=⎨=⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=．（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P ，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值 [选修4-5；不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6f x …；（Ⅱ）设2()2g x x ax =-+，其中a 为常数，若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，2020年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z 满足(1)2z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -【解答】解：由(1)2z i +=，得22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， ∴复数z 的虚部是1-．故选：B ．2．（5分）设全集U R =，集合{|1}M x x =<，{|2}N x x =>，则()(U M N =I ð ) A ．{|2}x x >B ．{|1}x x …C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x …【解答】解：U R =，{|1}M x x =<，{|2}N x x =>， {|1}U M x x ∴=…ð， (){|2}U M N x x ∴=>I ð．故选：A ．3．（5分）某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本．若样本中高中生恰有30人，则n 的值为( ) A ．20B ．50C ．40D ．60【解答】解：由分层抽样的定义得30150010015001000n ==+，解得50n =， 故选：B ．4．（5分）曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．20x y -= B ．220x y +-=C ．220x y ++=D ．220x y --=【解答】解：3y x x =-231y x ∴'=-， 所以23112k =⨯-=， 所以切线方程为2(1)y x =-，即220x y --= 故选：D ．5．（5分）已知锐角α满足2sin21cos2αα=-，则tan (α= ) A ．12B ．1C ．2D ．4【解答】解：Q 锐角α满足2sin21cos2αα=-， 24sin cos 2sin ααα∴=， sin 0α>Q ，2cos sin αα∴=，可得tan 2α=．故选：C ．6．（5分）函数2()cos (1)f x x ln x x =+-g在[1-，1]的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：22()cos()(1)cos (1)()f x x ln x x x ln x x f x -=-+=-+=-gg ，故函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD ；又(1)cos1(21)0f ln =-<g，故排除A ． 故选：B ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．16B ．48C ．96D ．128【解答】解：模拟程序的运行，可得 0S =，1i =执行循环体，4S =，2i =不满足判断框内的条件3i >，执行循环体，16S =，3i = 不满足判断框内的条件3i >，执行循环体，48S =，4i = 此时，满足判断框内的条件3i >，退出循环，输出S 的值为48． 故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0),()024f x x f ππωωπ=+<<=，则函数()f x 的图象的对称轴方程为( ) A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．,4x k k Z ππ=+∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1,24x k k Z ππ=+∈【解答】解：Q 函数()sin()(0),()0sin()2442f x x f ππωππωωπ=+<<==+，∴42ωπππ+=，2ω∴=，()sin(2)cos22f x x x π=+=，令2x k π=，求得2k x π=，k Z ∈，则函数()f x 的图象的对称轴方程为2k x π=，k Z ∈， 故选：C ．9．（5分）如图，双曲线2222:(0,0)x y C l a b a b-=>>的左，右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若123BF F π∠=，则双曲线C的离心率为( )A ．2B ．23C 2D 23【解答】解：联立2bc y a b y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒22c x bc y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 即(2c B -，)2bca， 直线1BF 的斜率102tan 602BF bcba k ca c ===-+．∴3ba则双曲线C 的离心率为21()2be a+=．故选：A ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α，若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为( ) A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：取BC 的中点T ，连接PT ，1B T ，QT ，取11A D 的中点N ，11C D 的中点K ，连接NK ，ND ，KD ，AC ，11A C ，QT ， 在正方形ABCD 中，//AC PT ，在正方形1111A B C D 中，11//AC KN ， 由截面11ACC A 为矩形，可得11//AC AC ，可得//PT NK ，又PT ⊂/平面DNK ，NK ⊂平面DNK ， 可得//PT 平面DNK ，由//QT AB ，11//AB A B ，可得11//QT A B ，且11QT A B =，可得四边形11A BTQ 为平行四边形，即有11//B T AQ ， 又1//ND AQ ，可得1//B T ND ，1B T ⊂/平面DNK ，ND ⊂平面DNK ， 可得1//B T 平面DNK ，且1B T PT T =I ， 可得平面1//B TP 平面DNK ，由1B P ⊂平面1B TP ，可得1//B P 平面DNK ， 由1//ND AQ ，1A Q ⊂/平面DNK ，ND ⊂平面DNK ， 可得1//A Q 平面DNK ，结合题意可得平面BNK 即为平面α， 由NK 与11B D 交于M ，在正方形1111A B C D 中，11//AC KN ， 可得1113MD MB =， 故选：B ．11．（5分）已知EF 为圆22(1)(1)1x y -++=的一条直径，点(,)M x y 的坐标满足不等式组102301x y x y y -+⎧⎪++⎨⎪⎩„…„，则ME MF u u u r u u u u r g 的取值范围为( ) A ．9[2，13]B ．[4，13]C ．[4，12]D ．7[2，12]【解答】解：不等式组102301x y x y y -+⎧⎪++⎨⎪⎩„…„，作出可行域如图，(2,1)A -，(0,1)B ，4(3C -，1)3-，(1,2)P -Q ，(0,0)O ，(,)M x y ，DE DF =-u u u r u u u r，∴2()()ME MF DE DM DF DM DE DF DM DM DF DE DM =--=+--u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u rg g g g g222221(1)(1)1DF DM DM x y =-+=-=-++-u u u r u u u u r u u u u r ，所以当2x =-，1y =时，ME MF u u u r u u u u r g 的取最大值：12，当12x =-，12y =时，ME MF u u u r u u u u r g 的取最小值为72； 所以则ME MF u u u r u u u u r g 的取值范围是7[2，12]；故选：D ．12．（5分）已知函数(),()x lnxf xg x xe x -==，若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()(0)f x g x k k ==<成立，则221()k xe x 的最大值为( )A ．2eB ．eC ．24e D ．21e 【解答】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()lnxf x x-'=， ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，注意f （1）0=，所以(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x e ∈时，()0f x >；(,)x e ∈+∞时，()0f x >， 同时注意到()()xxx x x x lne g x xef e e e-====， 所以若存在(0,)l x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()(0)f x g x k k ==<成立， 则101x <<且212()()()x f x g x f e ==， 所以21x x e =，即21x lnx =，11lnx k x =，2111x lnxx x =， 故2221()kk x e k e x =， 令2()k h k k e =，0k <，则2()2(2)k k k h k ke k e ke k '=+=+， 令()0h k '<，解得20k -<<，令()0h k '>，解得2k <-， ()h k ∴在(,2)-∞-单调递增，在(2,0)-单调递减，∴24()(2)max h k h e =-=． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．（5分）4(1)x +的展开式中2x 的系数为 6 ．【解答】解：4(1)x +的展开式的通项为14r rr T C x += 令2r =得22346T C x x == ∴展开式中2x 的系数为6故答案为：6．14．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3B π=，2a =，b =则ABC ∆的面积为． 【解答】解：由余弦定理可得，214324c c+-=，解可得，1c =，所以ABC ∆的面积11sin 2122S ac B ==⨯⨯=15．（5分）已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为 36 ．【解答】解：如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，6个顶点都在球O 的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O ，设球的半径为r ，由球O 的表面积为28π，得2428r ππ=， 7r ∴=，设三棱柱的底面边长为a ，则上底面所在圆的半径为3a ，且球心O 到上底面中心H 的距离12OH a =， 222137()()2r a a ∴==+，23a ∴=．则三棱柱的侧面积为2336S a ==． 故答案为：36．16．（5分）经过椭圆2212x y +=中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ．则cos NMP ∠的值是 0 ．【解答】解：设(,)M m n ，由椭圆的对称性可得(,)N m n --，(,0)E m ，所以MN mk n=， 2NE n k m =，所以直线NE 的方程为：()2n y x m m=-， 联立直线NE 与椭圆的方程：22()2220n y x m m x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，整理可得：22222(1)2022n n n x x m m +-+-=， 所以2222222212P n mn m m x n m n m -+==++，所以22222P mn x m m n =++，322()22P P n n y x m m m n =-=+， 所以322222222MPn n m m n k mn nm mm n -+==-+-+，所以1MN NP k k =-g ，即MP NP ⊥， 所以cos 0NMP ∠=， 故答案为：0三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知{}n a 是递增的等比数列，1a l =，且22a ，332a ，4a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）设21221log log n n n b a a ++=g ，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是递增的等比数列，设公比为q ，1a l =，且1q >， 由22a ，332a ，4a 成等差数列，可得32432a a a =+，即2332q q q =+，即2320q q -+=，解得2(1q =舍去）， 则1112n n n a a q --==； （Ⅱ）121222211111log log 22(1)1n n n n n b a a log log n n n n +++====-++g g ， 则前n 项和11111111223111n nS n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值．【解答】()I 证明：由正方形ABCD 可得：AC BD ⊥． 由PO ⊥平面ABCD ，PO AC ∴⊥． 又PO BD O =I ，AC ∴⊥平面PBD ，AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）解：取AB 的中点O ，连接OM ，OE ．建立如图所示的空间直角坐标系．225OP PE OE =-=．(0O ，0，0)，(2B ，2，0)，(0E ，2，0)，(2D -，2-，0)，(0P ，0，5)， (2DE =u u u r ，4，0)，(2DP =u u u r，2，5)，设平面DPE 的法向量为(n x =r ，y ，z )，则0n DE n DP ==u u ur u u u r r r g g ，240x y ∴+=，2250x y z ++=， 取(25n =-r，5，2)．同理可得平面PEB 的法向量(0m =r，5，2)．cos m <r，329||||299m n n m n >===r r g r r r g g ． 由图可知：二面角D PE B --的平面角为钝角．∴二面角D PE B --的余弦值为329-．19．（12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号1234567（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8)的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑． 【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算可得4,43x y ==，71()()140i i i x x y y =--=∑，721()28ii xx =-=∑，所以71721()()ˆ5()ii i ii xx y y bxx ==--==-∑∑，ˆˆ435423ay bx =-=-⨯=． 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ523y x =+． 当8x =时，ˆ582363y =⨯+=（亿元）．故预测该公司2020年的年利润为63亿元．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28，33，38，43，48，53，58，63．其中实际利润大于相应估计值的有3年，故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年，记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，则1153281528C C P C ==．20．（12分）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||PF PF =．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD g的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=，又因为12||3||PF PF =， 所以2||2a PF =，13||2a PF =，因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =， 所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=；（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得22(2)210m y my ++-=， 12222m y y m -+=+，12212y y m-=+，所以弦长2122)|||2m AB y y m+-=+， 设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d =，所以||CD =所以2222123||||4)12m AB CD m m+==-++g g ， 因为233022m <+„，∴2132222m -<+„，2||||AB CD ∴<g所以2||||AB CD g的取值范围． 21．（12分）已知函数2()2(1)f x x x mln x =+-+，其中m R ∈． （Ⅰ）当0m >时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设1()()x g x f x e =+，若1()1g x x >+，在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值．【解答】解：()I 当0m >时，22(1)()2211m x mf x x x x +-'=+-=++，1x >-，令()0f x '=可得1x =-（舍)，或1x -，当(1)x ∈-时，()0f x '<，函数单调递减，当1,)x ∈-+∞时，()0f x '>，函数单调递增，()II 由题意可得，2112(1)1x x x mln x x e+-+>-+在(0,)+∞上恒成立， ()i 若0m „，因为(1)0ln x +>，则(1)0mln x -+…， 所以2211112(1)211x x x x mln x x x x e x e+-+-++-+++…， 令211()21x G x x x x e =+-++，0x >， 则211()22(1)xG x x x e '=++-+， 因为0x >，所以101x e <<，110x e-<-<， 又因为2122222(1)x x x ++>+>+，()0G x ∴'>在0x >时恒成立，故()G x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0G x G >=，故当0m „时，2211112(1)211x x x x mln x x x x e x e+-+-++-+++…在(0,)+∞上恒成立， ()ii 若0m >，令()1x H x e x =--，0x >，则()10x H x e '=->，故()(0H x ，)+∞上单调递增，()(0)0H x H >=， 所以10x e x >+>， 所以1101x x e->+， 由题意知，11()(0,)1x f x x e>-+∞+上恒成立， 所以()0(0f x >，)+∞上恒成立，由()I 知()1)min f x f =且(0)0f =，10->即2m >时，()f x 在1)上单调递减，1)(0)0f f <=，不合题意，10-„即02m <„，此时2211111()2(1)22(1)111x x g x x x mln x x x ln x x x e e x-=+-+-++-++-+++…， 令211()22(1)1x P x x x ln x e x=+-++-+，0x >， 则3222211312(1)3(1)1()22221(1)1(1)(1)x x x P x x x x e x x x x +-++'=+--+>+-+=+++++ 2222(1)3(1)1(21)0(1)(1)x x x x x x +-+++>=>++，()P x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0P x P >=恒成立，综上可得，m 的最大值为2．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(2x m m y m ⎧=⎨=⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=．（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P ，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值 【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=，转换为直角坐标方程为10x y --=．曲线C 的参数方程为2(2x m m y m⎧=⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为24y x =． （Ⅱ）由于点(2,1)P 在直线l 上，所以直线l的参数方程为2(12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），将直线的参数方程212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24y x =的方程，整理得：2140t --=．所以12t t +=，1214t t =-，所以121212||114||||||7t t PM PN t t -+===．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x =-++． （Ⅰ）解不等式()6f x …；（Ⅱ）设2()2g x x ax =-+，其中a 为常数，若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，【解答】解：（Ⅰ）原不等式即|1||3|6x x -++…， 当1x …时，化简得226x +…，解得2x …， 当31x -<<时，化简得46…，此时无解，当3x -„时，化简得226x --…，解得4x -„， 综上所述，原不等式的解集为(-∞，4][2-U ，)+∞．（Ⅱ）由题意22,1()4,01x x f x x +⎧=⎨<<⎩…，设方程()()f x g x =的两根为1x ，2x ，12()x x <，①当211x x >…时，方程2222x ax x -+=+等价于222a x x=++，2221y x x =++=…，当且仅当x =时取等号，易知当1a ∈，5]2在(1,)+∞上有两个不相等的实数根，此时方程224x ax +=，在(0,1)上无解，1a ∴∈，5]2满足条件．②当1201x x <<„时，224x ax +=等价于42a x x=+， 此时方程42a x x=+在(0,1)上显然没有两个不相等的实数根． ③当1201x x <<„，易知当5(2a ∈，)+∞，方程42a x x=+在(0,1)上有且只有一个实数根，此时方程2222x ax x -+=+在[1，)+∞上也有一个实数根， 5(2a ∴∈，)+∞满足条件，综上所述，实数a 的取值范围为1，)+∞．。
2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）
2017年四川省成都市⾼考数学⼆诊试卷（理科）2017年四川省成都市⾼考数学⼆诊试卷（理科）⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1. 设集合A=?1,2，B=y y=x2,x∈A，则A∩B=A. 1,4B. 1,2C. ?1,0D. 0,22. 若复数z1=a+i a∈R，z2=1?i，且z1z2为纯虚数，则z1在复平⾯内所对应的点位于A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在等⽐数列a n中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=A. 12B. 18C. 24D. 364. 已知平⾯向量a，b的夹⾓为π3，且a=1，b=12，则a+2b与b的夹⾓是A. π6B. 5π6C. π4D. 3π45. 若曲线y=ln x+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是A. ?12,+∞ B. ?12,+∞ C. 0,+∞ D. 0,+∞6. 若实数x，y满⾜不等式2x+y+2≥0,x+y?1≤0,y≥m,且x?y的最⼤值为5，则实数m的值为A. 0B. ?1C. ?2D. ?57. 已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯，且m?α，n?β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知函数f x=a x（a>0，a≠1）的反函数的图象经过点22,12．若函数g x的定义域为R，当x∈?2,2时，有g x=f x，且函数g x+2为偶函数，则下列结论正确的是A. gπB. gπC. g 2D. g 29. 执⾏如图所⽰的程序框图，若输⼊a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为A. 1.125B. 1.25C. 1.3125D. 1.37510. 已知函数f x=sinωx+2φ?2sinφcosωx+φω>0,φ∈R在π,3π2上单调递减，则ω的取值范围是A. 0,2B. 0,12C. 12,1 D. 12,5411. 设双曲线C:x2a ?y2b=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左⽀的⼀个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离⼼率为A. B. ?3+624C. D. 3+62712. 把平⾯图形M上的所有点在⼀个平⾯上的射影构成的图形M?叫作图形M在这个平⾯上的射影．如图，在三棱锥A?BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三⾓形的⾯积从⼩到⼤依次记为S1，S2，S3，S4，设⾯积为S2的三⾓形所在的平⾯为α，则⾯积为S4的三⾓形在平⾯α上的射影的⾯积是A. 2 34B. 252C. 10D. 30⼆、填空题（共4⼩题；共20分） 13. 在⼆项式 ax 2+x5的展开式中，若常数项为 ?10，则 a = ______．14. 在⼀个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨⽔污损了两个数据，其中⼀个数据的⼗位数字 1 未污损，即 9，10，11，S 2 可能的最⼤值是______．15. 如图，抛物线 y 2=4x 的⼀条弦 AB 经过焦点 F ，取线段 OB 的中点 D ，延长 OA ⾄点 C ，使OA = AC ，过点 C ，D 作 y 轴的垂线，垂⾜分别为 E ，G ，则 EG 的最⼩值为 ______．16. 在数列 a n 中，a 1=1，a n =n 2n ?1a n?1 n ≥2,n ∈N ? ，则数列 an n 的前 n 项和 T n = ______．三、解答题（共7⼩题；共91分）17. 如图，在平⾯四边形 ABCD 中，已知∠A =π2，∠B =2π3，AB =6，在 AB 边上取点 E ，使得BE =1，连接 EC ，ED ．若∠CED =2π3，EC = 7．（1）求 sin ∠BCE 的值；（2）求 CD 的长．18. 某项科研活动共进⾏了 5 次试验，其数据如表所⽰：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x 555559551563552y 601605597599598（附：回归直线的斜率和截距的最⼩⼆乘法估计公式分别为 b =i ?x i ?yni =1x ?x2n ，a =y ?b x ）（1）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求⾄少有⼀个⼤于 600 的概率；（2）求特征量 y 关于 x 的线性回归⽅程 y =b x +a ，并预测当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值．19. 如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平⾯垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．（1）若G为AD边上⼀点，DG=13DA，求证：EG∥平⾯BCF；（2）求⼆⾯⾓E?BF?C的余弦值．20. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知椭圆E:x2a +y2b=1a>b>0，圆O:x2+y2=r20若圆O的⼀条切线l:y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（1）当k=?12，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的⽅程；（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．21. 已知函数f x=a ln x?x+1x，其中a>0．（1）若f x在2,+∞上存在极值点，求a的取值范围；（2）设x1∈0,1，x2∈1,+∞，若f x2?f x1存在最⼤值，记为M a．则a≤e+1e时，M a是否存在最⼤值?若存在，求出最⼤值；若不存在，请说明理由．22. 在直⾓坐标系xOy中，曲线C的参数⽅程为x=2cosα,y=2+2sinα（α为参数），直线l的参数⽅程为x=3?32t,y=3+12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为23,θ，其中θ∈π2,π．（1）求θ的值；（2）若射线OA与直线l相交于点B，求AB的值．23. 已知函数f x=4? x? x?3，（1）求不等式f x+32≥0的解集；（2）若p，q，r为正实数，且13p +12q+1r=4，求3p+2q+r的最⼩值．第⼀部分1. D2. A3. B4. A5. D6. C7. B8. C9. D 10. C11. D 12. A 第⼆部分 13. ?2 14. 32.8 15. 4 16. 2nn +1 第三部分17. （1）在△CBE 中，由正弦定理得，CE sin B=BE sin ∠BCE，sin ∠BCE =BE sin B CE=1×327=2114．（2）在△CBE 中，由余弦定理得 CE 2=BE 2+CB 2?2BE ?CB cos120°，即 7=1+CB 2+CB ，解得 CB =2．由余弦定理得 CB 2=BE 2+CE 2?2BE ?CE cos ∠BEC ?cos ∠BEC =2 77．?sin ∠BEC =217， sin ∠AED =sin 120°+∠BEC= 3×2 7?1× 21= 2114, ?cos ∠AED =，在直⾓△ADE 中，AE =5，AEDE =cos ∠AED =5 714，?DE =2 7，在△CED 中，由余弦定理得 CD 2=CE 2+DE 22CE DE cos120°=49，∴CD =7．18. （1）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有 C 52=10 种⽅法，都⼩于 600，有 C 32=3 种⽅法，所以⾄少有⼀个⼤于 600 的概率 =710=0.7．（2） x =556，y =600，b= i x i yn i =1 x ?x2n i =1=1 ×1+3×5+ 5 × 3 +7× 1 + 4 ×2 =0.3,bx =433.2，所以 y =0.3x +433.2， x =570，y =604.2，即当特征量x为570时特征量y的值为604.2．19. （1）因为梯形CDEF与△ADE所在平⾯垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，所以以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，DA为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，因为AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF，G为AD边上⼀点，DG=1 3DA，E0,4,0，G0,0,433，B 3,0,43，C12,0,0，F9,4,0，BC=9,0,?43，BF=6,4,?43，EG=0,?4,433，设平⾯BCF的法向量n=x,y,z，则n?BC=9x?43z=0,n?BF=6x+4y?43z=0.取z=33，得n=4,3,33，因为EG?n=?12+12=0，EG?平⾯BCF，所以EG∥平⾯BCF．（2）EB=3,?4,43，EF=9,0,0，设平⾯BEF的法向量n=a,b,c，则m?EB=3a?4b+43c=0,m?EF=9a=0.取c=1，n=0,3,1，平⾯BFC的法向量n=4,3,33，设⼆⾯⾓E?BF?C的平⾯⾓为θ，则cosθ= m ?nm ? n =3252=33926．所以⼆⾯⾓E?BF?C的余弦值为33926．20. （1）依题意原点O到切线l:y=?12x+m的距离为半径1，1+1=1，?m=52，切线l:y=?12x+52，?A0,52，B 5,0，所以a=5，b=52，所以椭圆E的⽅程为：x 25+y254=1．（2）设A x1,y1，B x2,y2，a+y2b=1,得b2+a2k2x2+2a2kmx+a2m2?a2b2=0．Δ=2a2km2?4b2+a2k2a2m2?a2b2．x1+x2=?2a2kmb+a k ，x1x2=a2m2?a2b2b+a k因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，所以OA?OB=x1x2+y1y2=0；k2+1x1x2+km x1+x2+m2=0，所以m2a2+b2=k2+1a2b2,①⼜因为圆O的⼀条切线l:y=kx+m，所以原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径r?m2=1+k2r2,②由①②得r2a2+b2=a2b2．所以以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关系为：r2a2+b2=a2b2．21. （1）f?x=ax ?1?1x2=?x2?ax+1x2，x∈0,+∞，由题意得，x2?ax+1=0在x∈2,+∞上有根（不为重根），即a=x+1 x在x∈2,+∞上有解，由y=x+1x在x∈2,+∞上递增，得x+1x ∈52,+∞ ，时，f x在x∈2,+∞上存在极值点，所以a∈52,+∞ ．（2）若0因为f?x=?x 2?ax+1x2在0,+∞上满⾜f?x≤0，所以f x在0,+∞上递减，所以f x2?f x1<0，所以f x2?f x1不存在最⼤值，则a>2；所以⽅程x2?ax+1=0有2个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设0则m+n=a, mn=1.，f x在0,m递减，在m,n递增，在n,+∞递减，对任意x1∈0,1,有f x1≥f m，对任意x2∈1,+∞,有f x2≤f n，所以f x2?f x1max=f n?f m，所以M a=f n?f m=a ln nm +m?n+1n1m，将a=m+n=1n +n，m=1n代⼊上式，消去a，m得：M a=21n +n ln n+1nn ，因为2e，所以1n +n≤e+1e，n>1，由y=x+1x在x∈1,+∞递增，得n∈1,e，设 x=21x +x ln x+21xx ，x∈1,e，x=211xln x，x∈1,e，所以 ?x>0，即 x在1,e递增，所以 x max= e=4e，所以M a存在最⼤值为4e．22. （1）曲线C的参数⽅程为x=2cosα, y=2+2sinα（α为参数），普通⽅程为x 2+y?22=4，极坐标⽅程为ρ=4sinθ，因为点A的极坐标为2θ，θ∈π2,π，所以θ=2π3．（2）直线l的参数⽅程为x=3?322t（t为参数），普通⽅程为x+3y?43=0，点A的直⾓坐标为 ?3，射线OA的⽅程为y=?x，代⼊x+3y?43=0，可得B ?23,6，所以AB=3+9=23．23. （1）f x+32≥0，即x+32+x?32≤4，x≤?32，不等式可化为?x?32x+32≤4，所以x≥?2，所以?2≤x≤?32；322，不等式可化为x+32x+32≤4恒成⽴；x≥32，不等式可化为x+32+x?3所以x≤2，所以32≤x≤2，综上所述，不等式的解集为?2,2；（2）因为13p +12q+1r3p+2q+r≥1+1+12=9，13p+12q+1r=4，所以3p+2q+r≥94，所以3p+2q+r的最⼩值为94．。
2020届成都二诊理科数学试卷(word版含答案)
2020届成都二诊理科数学试卷(word版含答案)成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）一、选择题：1.复数z满足z(1+i)=2（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.iB.-iC.-1D.12.设全集U=R，集合M={x|x2}，则(C U M)∩N=（）3.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本。
若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A.20B.50C.40D.604.曲线y=x-x2在点(1,0)处的切线方程为（）A.2x-y=0B.2x+y-2=0C.2x+y+2=0D.2x-y-2=05.已知锐角β满足2sin2α=1-cos2α，则tanα=（）A.3B.1C.2D.46.函数f(x)=cosx·ln(x2+1-x)在[-1,1]的图象大致为（）ABCD7.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.16B.48C.96D.1288.已知函数f(x)=sin(ωx+π)(<ω<π),f(0)=1/4，则函数f(x)的图象的对称轴方程为（）A.x=kπ-π/4,k∈ZB.x=kπ+π/4,k∈ZC.x=11π/24+kπ,k∈ZD.x=kπ+3π/4,k∈Z9.如图，双曲线C：(x2/a2)-(y2/b2)=1(a>0,b>0)的左，右交点分别是F1(-c,0)，F2(c,0)，直线y=kx与双曲线C的两条渐近线分别相交于A,B两点。
若∠BF1F2=π/3，则双曲线C的离心率为（）A.2B.2√3C.3D.3√310.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P,Q分别为AB,AD 的中点，过点D作平面α使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α=M，则MD1的值为（）A.11B.12C.32D.2311.已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径，点M(x,y)的坐标满足不等式组{x-y+1≤2 {2x+y+3≥0，则ME·MF的取值范围为（）9≤XXX<16小幅度改写：1.第一题选择题，给出了复数z满足z(1+i)=2时，z的虚部的四个选项，要求选出正确的答案。