导数问题中参数范围的求法-典型

导数问题中参数范围的求法

」、分离常数法 (I)常规分离常数法

g(a) f (x) min g(a) f (x) max

(U)能分离常数，但求稳定点困难

原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算

例2、已知函数f (x ) 1一―1) (x 0)，若当x 0时，f(x)

x

求正整数k 的最大值.

(x

叭呛 ° ° , h(x) x 1 ?

x 1)

x

x

设 g(x) x 1 In(x 1) 从而 h(x) 0与g(x) 0在(0,)有相同根

x

g (x)

0 由于 g(2)

0且 g(3) 0

x 1

所以g(x) 0存在唯

根 (2,3) 故g()

0 得 1 ln( 1) 0 x (0, )时 g(x) 0

h '(x) 0 x (, )时 g(x) 0 h '(x) 0

h(x)min

(

1)(I n(

1) 1)

1

(3,4)

h()

所以k

h

(X )min

1 4

又因为 k Z ，

故k max

3

・

(川)能分离常数，但求最值困难

例1、(2010全国卷一)已知函数f(x) (x

1)ln x x 1，若 xf (x)

x 2 ax 1，

f '(x) x 1 , Inx x xf '(x) x 2 ax 1

令 g(x) In x x (

当0 x 1

时 g '(x) g ( x)

mac

g(x) 1

求a 的取值范围. a 0)

，

解: 1 x Inx 1

x In x x

g(x)

x

当 x 1 时 g '(x) 0

g (1)

所以g(x) 1 故a 1 原理：将所给不等式变形为

g(a) f(x) g(a) f (x)

恒成立,

解：有已知k (x 1)f (x)

(x 1)(1 n(x 1) 1)

x

设 h(x)

例3、已知函数f(x) (x 1)1 n(1 x)，若当x 0时,f(x) ax 恒成立，求a 的

取值范围.

当x 0时

由已知a 丄色(1 x )ln (1 x)

x x

(1 x)l n(1 x) ' x ln(1 x)

令 g(x) g (x) -

x x

所以a 的取值范围是［1,).

注：此题求最值时应用洛必达法则 洛必达法则1 (适用于0型不定式极限)

0 若函数 f 和g 满足：① lim f(x) lim g(x) 0；

x X Q

x X Q

② 在点x 0的某空心邻域U °(x o )内两者都可导，且g (x) 0 ；

③ lim 3 A ( A 可为实数，也可为 或)； x xo

g (x) 则 lim"^ limA. x

X 。g(x) x xo g (x)

洛必达法则2 (适用于一型不定式极限) 若函数 f 和 g 满足：① lim f (x) lim g(x) ;

X

x

o

X X 。

② 在点X 。的某空心邻域U °(x 。)内两者都可导，且g (x) 0 ；

③ limd A ( A 可为实数，也可为 或)； x x

o

g (x)

则lim 型lim 少 A. x x

o

g(x) x x o

g (x)

此方法对与高中生来说理解上稍有难度， 但对于研究高中教学的人来说，更 进一步对于接受过高等数学教育的人来说还是大有裨益的 • 、最值转化法

解：当x 0时 f(0)

0 a R 有f (x) ax 恒成立

令 h(x) g(x)min x ln(1 x) h '(x) 故 h(x) h(0) 0 进而 g '(x)

x m g (x

)

00 (1 x) ln(1 x)

x

IJm[ln(1 x) 1] 1

适用干①不能分离常数

适用于：②能分离常数，但求稳定点或最值困难

(I)局部最值转化

1 a

例4、(2010山东)已知函数f x Inx ax 1(a R).

x

1

设g x x2 2bx 4.当a —时，若对任意x i (0,2)，存在x? ［1,2］使

4

f刘g x2 .求实数b的取值范围•

解：由于“对任意人(0,2)，存在X2 ［1,2］使f人g X2 ”等价于“ g(x)在［1,2］上的最小值不大于f (x)在(0,2)上的最小值”

1

当a 时f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增

4

1

f (x) min f(1)

2

g x x 2bx 4 , x [1,2]

①当b 1时,g(x)min g(1) 5 2b 1 11

b中舍)

②当1 b 2时，g (x) min g(b) 4 b2 1 |b| 4(舍)

2 2

③当b 2时，g(x)min g(2) 8 4b 1 「17

b .

2 8

综上b的取值范围是［斗).

(U)整体最值转化

方法：设辅助函数

辅助函数的设法：①移项作差设辅助函数

②利用泰勒展式设辅助函数

利用泰勒展式设辅助函数：f (x) f (x0) f (x0)(x x0) f (x)(x x0)2 2!

实质：任意一个函数都可由幕函数近似表示•

例5、已知函数f(x) (x 1)ln(1 x)，若当x 0时，f(x) ax恒成立，求a的取值范围.

解：设g(x) f(x) ax (1 x)ln(1 x) ax