矩阵分析课件

(2) 结合律： (V1 I V2 ) I V3 = V1 I (V2 I V3 ), (V1 + V2 ) + V3 = V1 + (V2 + V3 ) .
由结合律，可定义多个子空间的交与和：
V1 I V 2 I L I V s =
V1 + V 2 + L + V s =
s
IV
i =1 s
i =1
定理1.4.9 设U是数域P上有限维线性空间V 的一个 定理 & 子空间，则存在V 的一个子空间W 使得V = U +W。 定义1.4.4 设 V1 , V2 , L , Vs是数域P上线性空间V 的 定义 s 个子空间，如果和 V1 + V2 + L + Vs 中每个向量 α可唯一地表示成 α
α = α1 + α 2 + L + α s , α i ∈ Vi (i = 1,L, s)
子空间，则它们的交V1 I V2 也是V的子空间。
注意：V1与V2的并V1 U V2 一般不是 V的子空间。 的子空间。 注意：
定义1.4.2 设V1 , V2 是数域P上线性空间V的两个 定义
子空间，则集合 {α 1 + α 2 | α 1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } 称为V1与V2的和( sum)，记为V1 + V2。
定义1.4.3 设 V1 ， 2 是数域 P上线性空间V 的两个子 定义 V 空间，如果和 V1 + V2 中每个向量α可唯一地表示成
α = α1 + α 2 , α1 ∈ V1 ,
α 2 ∈ V2
•
则称V1 + V2为直和( direct sum)，记为V1 + V2 .
定理1.4.8 设 V1 ， 2 是数域 P上线性空间V 的两个 定理 V 子空间，则下面的叙述是等价的。
例1.4.3 设A = [a1 , L , a n ] ∈ P
m m× n
, ai ∈ P ,
m
则R ( A) = span(a1 , L , a n )是P 的一个子空间。
1.4.2 子空间的交与和 (Intersection and sum of subspaces)
定理1.4.5 设V1 , V2 是数域P上线性空间V的两个 定理
1.4 线 性 子 空 间 (Linear Subspaces)
1.4.1 线性子空间 (Linear subspaces) 1.4.2 子空间的交与和 (Intersection and sum of subspaces) 1.4.3 子空间的直和 (Direct sum of subspaces)
i
∑V
i
用数学归纳法容易证明：
s
s
i
IV
i =1
和 ∑ Vi 都是V 的子空间。
i =1
则 例1.4.4 设α 1 , L , α s , β 1 , L , β t ∈ V， span(α 1 , L, α s ) + span( β 1 , L, β t ) = span(α 1 , L, α s , β 1 , L, β t )
(1) σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ); ( 2) σ ( kα ) = kσ (α ),
其中α,β是V中任意向量，k 是数域 P中任意数， 则称σ为V 到 V ′的同构映射 同构映射(isomorphic mapping) 同构映射 ，并且称V 与 V ′是同构的 同构的(isomorphic )。 同构的
1.4.1 线性子空间 (Linear subspaces)
定义1.4.1 设W 是数域 P上线性空间V 的非空子集， 定义 如果W 对于V 的两种运算也构成数域P上的线性空 间，则称W 为V 的一个线性子空间 线性子空间(linear 线性子空间 subspace)(简称子空间 子空间). 子空间 定理1.4.1 数域P上线性空间V 的非空子集W 是V 定理 的一个线性子空间当且仅当W 对于V的两种运算 封闭，即 (1) 如果α , β ∈ W , 则α + β ∈ W ;
定理1.4.6 设V1 , V2 是数域P上线性空间V的两个 定理
子空间，则它们的和V1 + V2 也是V的子空间。
显然V1 U V2 ⊆ V1 + V2，所以V1 + V2是包含 V1 U V2的子空间。
由子空间的交与和的定义可知，子空间的交 与和适合下列运算规则：
(1) 交换律：V1 I V2 = V2 I V1 , V1 + V2 = V2 + V1
现在给出由线性空间V 的一组向量构造V 的子空间的方法。 设 α 1 ,α 2 ,L,α s 是数域P上线性空间V 的一组 向量，这个向量组的所有线性组合作成的集合记 为W ，即
W = {k1α1 + k 2α 2 + L + k sα s | ki ∈ P, i = 1, L , s}
W 是V 的非空子集，并且由定理1.4.1知W 是V 的 子空间。称W 是由向量 α 1 ,α 2 ,L,α s 生成 或张成 的 生成(或张成 或张成)的 子空间，记为 L(α 1 , α 2 ,L,α s ) 或 span(α 1 ,α 2 ,L,α s ) 。 子空间
(1) 和V1 + V2是直和；
(2) 和V1 + V2中零向量的表示法唯一 ，即若
α 1 + α 2 = 0 (α 1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 ), 则α 1 = 0且α 2 = 0;
(3) V1 I V2 = {0}; (4) dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ) + dim(V2 ).
(3) Vi I ∑ V j = {0};
j ≠i
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(4) dim(V1 + V2 + L + Vs ) = dim(V1 ) + dim(V2 ) + L + dim(Vs ).
1.5 线性空间的同构 (Isomorphism of Linear Spaces)
定义1.5.1 设V 与V ′都是数域 P 上的线性空间，如 定义 果存在V 到 V ′ 的双映射σ满足
定理1.4.4 设α1,α2 ,L αs 与β1, β2 ,L βt 是线性空间 定理 , ,
间 中两个向量组，则 V (1) span(α 1 ,L, α s ) = span( β 1 ,L, β t )的充分
必要条件是α 1 , L, α s 与β 1 ,L, β t 等价； (2) dim(span(α 1 ,L, α s )) = rank (α 1 ,L, α s ), 并且span(α 1 ,L, α s )的基是向量组α 1 , L,α s 的一个极大线性无关组.
(4) V中向量组α1 , L,α m线性相关当且仅当它们的 像σ (α1 ),L, σ (α m )是V ′中线性相关的向量组;
(5) 如果V是n维的，ε1 , L , ε n是V的一组基, 则V ′也 是n维的, 并且σ (ε1 ),L , σ (ε n )是V ′的一组基。
定理1.5.2 数域P上的两个有限维线性空间V 与 V ′ 定理 同构的充分必要条件是它们的维数相同。 定理1.5.3 数域P上的n 维线性空间V 与 P n 同构。 定理 定理1.5.4 数域P上线性空间之间的同构是一个 定理 等价关系。
定理1.5.1 设V 与 V ′ 是数域 P 上同构的线性空间， 定理 σ为V 到 V的同构映射，则 ′ (1) σ (0) = 0′,0′是V ′的零元素;
( 2) 对任意α ∈V , σ (−α ) = −σ (α );
(3) 如果α1 , L , α m是V中的一个向量组, k1 , L , k m ∈ P, 则σ (k1α1 + L + k mα m ) = k1σ (α1 ) + L + k mσ (α m );
& & & 则称和V1 + V2 + L + Vs为直和，记为 V1 + V2 + L + Vs。
定理1.4.10 设 V1 , V2 , L , Vs 是数域 P 上线性空间V 的 定理 s个子空间，则下面的叙述是等价的。
(1) 和V1 + V2 + L + Vs是直和； (2) 和V1 + V2 + L + Vs 零向量的表示法唯一；
定理1.4.7 设V1，V2 是数域P上线性空间V的两个 定理
有限维子空间，则V1 I V2 与V1 + V2 都是有限维 的，并且
dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 I V2 )
1.4.3 子空间的直和 (Direct sum of subspaces)
(2) 如果k ∈ P, α ∈ W , 则kα ∈ W .
例1.4.2 设A ∈ P
n
m× n
, 则N ( A) = {x | Ax = 0, x ∈ P }
n
是P 的一个子空间。
定理1.4.2 如果W 是线性空间V 的一个子空间， 定理
则 dim(W ) ≤ dim(V ).
由定理1.4.2和定理1.3.1直接可得以下结论。 定理1.4.3 若W 是有限维线性空间V 的子空间，则 定理 W 的一组基可扩充成V的一组基。